文档内容
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第 5 节 直角三角形与勾股定理
回归教材·过基础
【考点清单】
知识点1 直角三角形的性质与判定
直角三角形的两个锐角①
性质
直角三角形中斜边上的中线等于②
直角 有一个角为③ 的三角形是直角三角形
三角形
有两个角④ 的三角形是直角三角形
判定
如果三角形的一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是
直角三角形
含30°角的
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于
⑤
直角三角形的性质
30°角的判定 若一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30°
1 1
(1)S = ch= ab,其中a,b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的
Rt△ABC 2 2
高;
拓展
a+b−c c
(2)Rt△ABC内切圆的半径r= ,外接圆的半径R= ,即斜边
2 2
的一半
知识点2 勾股定理及其逆定理
1.勾股定理
(1)如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么⑥ .
(2)能构成直角三角形的三条边长的三个正整数,称为勾股数.
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为a,c,b,且满足⑦ ,那么这个三角形是直角三角形.
技巧提示
运用勾股定理时,应分清直角边和斜边,斜边为最长边,即斜边的平方等于两直角边的平方和.
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【基础演练】
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,则有下列结论:
(1)∠A+∠B= ,依据是 .
(2)AC2+BC2= ,依据是 .
2.如图,在△ABC中,请你添加一个条件,使得△ABC是直角三角形.添加的条件可以是 .
依据是什么?
3.在直角三角形ABC中,∠C=90°,解答下列问题:
(1)若∠A=38°,则∠B= °.
(2)若分别以直角三角形三条边为边长向外作正方形,记两直角边为边长所作的正方形面积为
S,S,斜边为边长所作的正方形面积为S,若S=6,S=14,则S= .
1 2 3 1 3 2
(3)如图1,CD⊥AB,垂足为D.
图1
①图中有几个直角三角形?请写出来.
②填空:∠ACD=∠ ,∠A=∠ ,∠ACD+∠ =90°,AC2= AD2+ =AD·
,BC2= BD2+ =BD· ,CD2= AD· ,Rt△ACD∽ ∽ .
③若∠A=30°,AC=2√3,则BC= ,AB= ,AD= ,∠BCD= °.
④E为AB上一点,连接CE,若AC=4,BC=3,则
(ⅰ)AB= ,CD= ;
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(ⅱ)当CE为中线时,ED= ;
(ⅲ)当CE为角平分线时,若∠A=40°,则∠DCE= °.
(4)如图2、图3,∠ACB=90°,直线l经过点C,过点A,B分别作BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D,E,若
AC=BC,则所得的△ACE和△CBD有什么关系?试猜想DE,BD,AE之间的数量关系,并证明你的
结论.
图2 图3
4.如图,以AB所在的直线为x轴,过点C的直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,若
OA=4,OB=1,OC=2.
(1)写出点A,B,C的坐标,并求直线BC的解析式.
(2)若点D在y轴上,将BC沿直线BD对折,使BC正好落在x轴上,点C的对应点为C',求点D的
坐标.
真题精粹·重变式
考向1 直角三角形的性质与判定
1.(2021·福建)如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校附近选一
点C,利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=2 km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB等于
( )
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A.2 km B.3 km
C.2√3 km D.4 km
热点训练
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中点,则CD= .
考向2 勾股定理及其逆定理
热点训练
3.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另
一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=√2,则CD=
.
核心方法
利用直角三角形求线段长的方法
1.勾股定理是揭示直角三角形三边关系的定理.若已知直角三角形中的两边长,则可求出第三
边长;若已知直角三角形三边的关系,则可设未知边长,根据勾股定理列方程求解.
2.在直角三角形中求边长,首先要考虑的是用勾股定理求解.当直角三角形中出现30°角时应
联想到30°角所对的直角边是斜边的一半,当出现斜边上的中线时要想到直角三角形中斜边上的
中线等于斜边的一半,这些线段间的数量关系是直角三角形中求线段长的关键.
3.若图形中含折叠,则考虑用折叠的性质,然后在直角三角形中,设未知量,列方程求解.
4.若所求为线段和(或可转化为线段和的形式),考虑用证全等转化到直角三角形中求解.
4.以2,3为直角边的直角三角形的斜边长为 ( )
A.√5 B.√13
C.4 D.5
5.如图,已知正方形A的面积为3,正方形B的面积为4,则正方形C的面积为 .
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6.(数学文化)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的
证明.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大
正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE= .
7.《九章算术》勾股章有一问题,其意思:现有一竖立着的木柱,在木柱上端系有绳索,绳索从木柱
上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牵着绳索退行,在离木柱根部8尺处时绳索用尽,请
问绳索有多长?若设绳索长度为x尺,根据题意,可列方程: .
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①互余 ②斜边的一半 ③90° ④互余 ⑤斜边的一半
⑥c2=a2+b2 ⑦a2+b2=c2
基础演练
1.(1)90° 直角三角形两个锐角互为余角
(2)AB2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
2.解析:(1)∠A+∠B=90°或∠C=90°,依据是两个锐角互为余角的三角形是直角三角形,或者有
一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)AC2+BC2=AB2 ,依据是在三角形中,如果两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形
是直角三角形.
3.解析:(1)52 (2)8
(3)①三个直角三角形,分别是Rt△ACD,Rt△BCD,Rt△ABC.
②B BCD A(或BCD) CD2 AB CD2 AB BD Rt△CBD Rt△ABC ③2 4
12 7
3 30 ④5 5
5 10
(4)解析:△ACE≌△CBD,DE=BD+AE(另一种情况自行证明).
证明:∵∠ACB=90°,BD⊥l,AE⊥l,
∴∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°,
∴∠EAC+∠ECA=∠BCD+∠ECA=90°,
∴∠EAC=∠BCD.
∵在△ACE和△CBD中,∠EAC=∠DCB,∠AEC=∠CDB,AC=CB,
∴△ACE≌△CBD(AAS),
∴CE=BD,AE=CD,
∴CE +CD=BD+AE,
∴DE=BD+AE.
4.解析:(1)A(-4,0), B(1,0),C(0,2).
设直线BC的解析式为y=kx+b,
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{k+b=0, {k=−2,
依题意得 解得
b=2, b=2,
∴y=-2x+2.
(2)①如图1,当点D在y轴的正半轴上时,可得BC'=BC,
图1
根据勾股定理,得BC= = ,∴OC'=BC'-OB= -1,DC'=DC=OC-OD=2-OD.
√12+22 √5 √5
在Rt△DC'O中,∵OD2+C'O2=C'D2,
∴OD2+(√5-1)2=(2-OD)2,
解得OD=√5-1,∴点D的坐标为 0,√5-1 .
2 2
②如图2,当点D在y轴的负半轴上时,可得BC'=BC,DC'=DC,
图2
根据勾股定理,得BC= = ,∴OC'=BC'+OB= +1,DC'=DC=OD+OC=OD+2.
√12+22 √5 √5
在Rt△DC'O中,∵OD2+C'O2=C'D2,
∴OD2+(√5+1)2=(2+OD)2,
解得OD=1+√5,∴点D的坐标为 0,-1+√5 .
2 2
综上所述,点D的坐标为 0,√5-1 或 0,-1+√5 .
2 2
真题精粹·重变式
1.D 2.3 3.√3-1 4.B 5.7 6.3
7.(x-3)2+82=x2
7
