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数列求和的运算
1．等比数列 的公比为2，且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）已知等比数列 的公比为2，且 成等差数列，
，
,解得 ，
（2） ，
.
2．正项数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求证：数列 为等差数列，并求出 ， ；
(2)若 ，求数列 的前2023项和 ．
【答案】(1) ； ；(2) .
【详解】（1）由 可得， ，又因为 为正项数列 的前n项和，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，数列 为等差数列，
所以 ， ， ，所以 .
（2） ，
.
3．已知数列 为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取 ，接着复制该项粘
贴在后面作为 ，并添加后继数2作为 ；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为 ， ， ，并添加
后继数3作为 ，…依次继续下去.记 表示数列 中 首次出现时对应的项数.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意知： ，即 ，且 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 .
（2）由（1）可知， ，所以 在前 项中出现1次，
5在前 项中出现2次，4在前 项中出现 次，3在前 项中出现 次，2在前 项中出现次，1在前 项中出现 次，
所以 .
4．已知等差数列 的前 项和为 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设公差为 ，由 ， ，得 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
，
故数列 的前 项和为 .
5．已知 是首项为2，公差为3的等差数列，数列 满足 .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若数列 与 中有公共项，即存在 ，使得 成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排
列，得到一个新的数列，记作 ，求 .【答案】(1)证明见解析， ，
(2)
【详解】（1）由题意可得： ，
而 ，变形可得： ，
故 是首项为3，公比为3的等比数列.
从而 ，即 .
（2）由题意可得： ， ，令 ，
则 ，此时满足条件，
即 时为公共项，
所以
.
6．设数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 且 ，求数列 的前n项和为 ．
【答案】(1)
(2) ，【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，则 .
（2）由题设知： ， ，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ；
综上， ， .
7．已知数列 满足： ，且对任意的 ，
(1)求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ，证明见解析(2)
【详解】（1） ， .
由题意得 ，
又 ，所以数列 是等比数列.（2）由（1）知 .
运用分组求和，可得
.
8．已知正项数列 的前 项和为 ， 且对任意 ， 成等差数列，又正项等比数列
的前 项和为 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，是否存在正整数 ，使 .若存在，求出 的最大值；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1) ， (2)不存在，理由见解析
【详解】（1）设 的公比为 ，显然 ，
由 ，可得 ，
解得 或 （舍去），又 ，所以 ，
又对任意 ， 成等差数列， ，
所以 .
因为 ，
所以 ，所以 ，故 是以 为首项，公差 的等差数列，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 .
当 时， ，
时， 满足上式，
故 .
（2） ，
设 ，
①，
②，
①-②，得
，
所以 ，
故不存在正整数 ，使 .9．已知各项均为正数的等比数列 ，其前 项和为 ，满足 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 为数列 在区间 中最大的项，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）设 的公比为 ，则 ，又 ，
当 时， ，当 时， ，
两式相减可得， ，所以 ，
所以 或 (舍去)，
所以 ，即 ，
所以等比数列 的通项公式为 ；
（2）由 ， ，可得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 ，
所以 .
即 .
10．已知等差数列 的公差 ，且满足 ， ， ， 成等比数列．(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 求数列 的前2n项的和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，
解得 或 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）由（1）得
所以 ，
所以
，
，
所以数列 的前2n项的和 ．
11．设 是数列 的前n项和，已知 ， .(1)求 ， ；
(2)令 ，求 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由 得 即
，即 ，又 ，所以 ，
（2）当 时， ，
当 时， ，
两式相加可得 ，得 ，
由于 ，所以
12．已知 是递增的等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， ．
(1)求数列 与 的通项公式；
(2) ，数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ， (2)
【详解】（1）解：由题意，设等差数列 的公差为 ，
则 ， ， ，因为数列 为等比数列，则 ，即 ，
因为 ，解得 ， .
又因为 ， ，所以，等比数列 的公比为 ，
因此， .
（2）解：由 ，①
可得 ，所以， ，
当 时， ，②
① ②得 ，所以， ，
不满足 ，所以， .
当 时， ，
当 时， ，
也满足 ，
综上所述，对任意的 ， .
13．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．【答案】(1) (2)
【详解】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ．
可得 ，
整理得： ，
从而 ，
又 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列；
所以 ，
所以 ，经检验， 满足 ，
综上，数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得 ，所以 ，所以 ，
，
所以
14．已知 为数列 的前n项和， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，
化简得 ，
所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ．
（2） ，
所以
所以 ．
15．已知函数 的首项 ，且满足 ．
(1)求证 为等比数列，并求 ．
(2)对于实数 ， 表示不超过 的最大整数，求 的值．【答案】(1)证明见解析， (2)
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
又因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，所以 .
（2）因为 ，
所以
.
设 ，
所以 ，
所以，
所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
16．已知各项均为正数的数列{ }满足 （正整数
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列{ }的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：已知递推公式 ，两边同时加上3，
得： ，
因为 ，
所以 ，
又 ，所以数列 是以 为首项、以2为公比的等比数列.
（2）由（1） ，则 ，
所以
.
17．已知在数列 中， ，且 是公差为1的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求使得 的最大整数m的值；
(3)设 ，求数列 的前n项和
【答案】(1) (2)8(3)
【详解】（1）由 可知 ，又 是公差为1的等差数列，
所以 ，故 ．
（2） ，
，
则 ，整理得 ，
解得 ，故满足条件的最大整数m的值为8．（3）由题得 ，
则 ，
，
两式相减得 ，
所以 .
18．已知数列 各项都不为 ，前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和为
【答案】(1) ; ;(2)
【详解】（1）由 ，可得 ，两式相减得 ，整理得
，因为数列 各项都不为 ，所以数列 是以 为公比的等比数列．令 ，则
，解得 ，故 ．
由题知 ，
所以
（2）由（1）得 ，所以，
，
两式相减得 ，
所以 ．
19．已知等比数列 的公比为2，数列 满足 ， ， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项和，证明： ．
【答案】(1) ； (2)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，
又 ，解得 ．
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 ．
则 ，即 ．
所以 是以2为首项，1为公差的等差数列，故 ．
（2）由（1）可得 ， ，所以 ．则 ①，
②，
①-②可得 ，
所以 ．
因为 ，所以 是递增数列．
则 ，故 ．
20．在数列 中， ， .
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析； ；(2)
【详解】（1） ，
当 时， ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ；
（2）
数列 的前 项和．
21．记 为数列 的前 项和，已知 是公差为2的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 是公差为2的等差数列，所以 ，
所以 .
（2） ，①
所以 ，②
① -②则 ，
所以 .
22．已知数列 满足 （n≥2， ）， ．
(1)求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析，(2)
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
所以 ，又 ，
∴ 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上 ．
23．已知数列 是公差为 的等差数列，且满足 .
(1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前10项和 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 是公差为 的等差数列， ，
所以当 时， ，
当 时， ，
因为 ，即 ，
解得 ，所以 或 （舍去），
所以 ；
（2）由（1）得，
.
所以 .
24．已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，
两式相减，得 ，整理得 ，
即 时， ，又当 时， ，解得 ，所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
令 ，易知， ，
设数列 的前 项和为 ，则 ①，
②，
由①-②，得 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
25．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）设数列 的公比为 ，
则 ， ，解得 ，
所以 ，即 的通项公式为 ；（2）由题可知 ，
则 ，
，
两式相减得：
，
.
26．已知数列 中， ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和 ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）解：因为 ， ，
所以 ，
所以
当 时， 满足条件，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
27．数列 满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和为 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得， ，所以 ，
设 设其前 项和为 ，
则 ①
②
减②得
所以所以
28．已知正数数列 ， ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
又 ，∴ ，即 ．
又 ，
且 ，∴
（2） ，∴ ， ，
又 ，
∴ .
29．已知数列 、 ，满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：因为 ， ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，所以 ，
即 ， ，
又因为 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 的通项公式为 .
（2）解： ，则 ，
所以， ，
故 .
30．已知数列 中， ， 是数列 的前 项和，数列 是公差为1的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）因为数列 是首项为2，公差为 的等差数列，所以 ，则 ，得 （ ），
两式相减得： ，则 ，
（ ），
又 适合上式，故 ．
另解：由 得 （ ），
故 为常数列，
则 ，故 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则 .
31．已知在等差数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2) 且
【详解】（1）若等差数列公差为 ，则 ，即 ，由 ，则 ，
所以 的通项公式 .
（2）由题设 ，
当 为偶数，则 ；
当 为奇数，则 ；
所以 且 .
32．记数列 的前n项和为 ，已知 ， ， ．
(1)求 ，t；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，t＝2
(2)
(3)
【详解】（1）由 （ ）可得， ， ， ，又 ， ，则 解得 ，t＝2．
（2）由 （ ）可得，
当n为奇数时， ，所以数列 的奇数项是一个公差为3的等差数列，又
，则 ；
当n为偶数时， ，所以数列 的偶数项是一个公差为3的等差数列，又
，则 ，
则 ．
（3）
．
，则 ，
即 ．
33．数列 中， ，且 ．
(1)证明：数列 为等比数列，并求出 ；
(2)记数列 的前n项和为 ．若 ，求 ．
【答案】(1)证明见详解， (2)1360【详解】（1）因为 ，
则 ，且 ，
所以数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
故 ，可得 .
（2）因为 ，即 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，
两式相减得： ，整理得 ；
所以
，
即 .
34．已知数列 满足 ， ．
(1)记 求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
【答案】(1) (2)
【详解】（1） ， ，又 ， ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，
所以数列 的前n项和为
=
.
35．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的值及数列 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项和
【答案】(1) ， ， ；(2)
【详解】（1） ， ， 成等差数列，
，即 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，
是等比数列，
，则 ，得 ，
数列 的通项公式为 ， ；
（2） ，
则前 项和 ，
，
两式相减可得
，
化简可得 ．
36．已知数列 和 ， ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， (2)
【详解】（1）由 ， ， 得 ，
整理得 ，而 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
，
.
（2） ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，从而
.
37．等比数列 的前n项和为 ，已知 ，且 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，因为 成等差数列，
所以 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ；
，
，
两式相减可得
；
所以 .
38．已知数列 的前n项和为 ， ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求 ．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，当 时， ，两式作差得，
即 ，又 ，所以，当 时， ，
又当 时， ，解得 ，
可知数列 是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，即
（2）由（1）知 ，所以
，
.
39．已知数列 满足： .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）设 ，则 ，且 ，
因为 ，所以 ，
即 是以4为首项，2为公比的等比数列，则数列 是等比数列.
（2）由（1）知 ，则 ，即 ，
则 ，
，
两式相减得： ，
所以 .
40．已知正项等差数列 的前n项和为 ，其中 ， .
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ， ；
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为 ，公差为 ，
则 ，则 ，
因为 ，所以 ，
化简为 ，解得： 或 （舍），
所以 ， ；（2） ，
两式相减得 ，
