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专题 22 直角三角形【十六大题型】
【题型1 由直角三角形的性质求解】......................................................................................................................3
【题型2 根据已知条件判定直角三角形】..............................................................................................................4
【题型3 利用勾股定理求解】..................................................................................................................................5
【题型4 判断勾股数问题】......................................................................................................................................5
【题型5 勾股定理与网格问题】..............................................................................................................................6
【题型6 利用勾股定理解决折叠问题】..................................................................................................................8
【题型7 勾股定理与无理数】..................................................................................................................................9
【题型8 利用勾股定理证明线段的平方关系】...................................................................................................10
【题型9 勾股定理的证明方法】............................................................................................................................12
【题型10 以弦图为背景的计算】............................................................................................................................13
【题型11 利用勾股定理构造图形解决问题】.......................................................................................................14
【题型12 利用勾股定理解决实际问题】................................................................................................................15
【题型13 在网格中判定直角三角形】....................................................................................................................17
【题型14 利用勾股定理逆定理求解】....................................................................................................................18
【题型15 图形上与已知两点构成直角三角形的点】...........................................................................................19
【题型16 用勾股定理解决实际生活问题】...........................................................................................................20
【知识点 直角三角形】
1.直角三角形的性质与判定
直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形。
1 1
面积公式：S= ab= cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
2 2
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m
b
c
a
2. 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
变式： ， ， , , .
a2=c2−b2 b2=c2−a2 c=√a2+b2a=√c2−b2b=√c2−b2
勾股定理的证明方法（常见）：
1
方法一（图一）：4S +S =S ，4× ab+(b−a) 2=c2，化简可证．
Δ 正 方 形EFGH正 方 形ABCD 2
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4× ab+c2=2ab+c2
2
大正方形面积为 ，所以
S=(a+b) 2=a2+2ab+b2 a2+b2=c2
1 1 1
方法三（图三）：S = (a+b)⋅(a+b)，S =2S +S =2⋅ ab+ c2，化简得证a2+b2=c2
梯形 2 梯形 ΔADE ΔABE 2 2
D b a A a
C D
a
H
c
c b b
c
E
G
F c
b c c E
b a a a
A c B a b B b C
图一 图二 图三
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数
时，称a，b，c为一组勾股数.
常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.
判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c；
2）确定最大的数c；
3）计算较小的两个数的平方a2+b2是否等于c2.
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3.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
【题型1 由直角三角形的性质求解】
【例1】（2023·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边
CD,BC上，且DE=CF，连接AE,DF,DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED=70°，则∠AGD的
度数为 ．
【变式1-1】（2023·北京平谷·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列
结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2=90° B．∠1=30° C．∠1=∠4 D．∠2=∠3
【变式1-2】（2023·江苏镇江·统考二模）如图，分别以△ABC的边AC和AB向外作等腰Rt△ACE和等腰
Rt△ABD，点M、N分别是BC、CE中点，若MN=2√3，则四边形BCED的面积为 ．
【变式1-3】（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如
图2固定三角板AOB，将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与
OB边重合时停止转动．
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【解决问题】
(1)在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系______；
(2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；
(3)当∠AOC、∠AOB、∠BOC中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优
线”，请直接写出所有满足条件的t值．
【题型2 根据已知条件判定直角三角形】
【例2】（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，
③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（2023·陕西西安·一模）如图，已知锐角三角形ABC，用尺规作图法在BC上作一点P，使得
∠B+∠PAB=90°．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，C及AB的中点D，且D
是A´C的中点．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)若⊙O的半径为1，求AB2:BC的值．
【变式2-3】（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线
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y=x−2交于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶
点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 利用勾股定理求解】
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，O是矩形的对称中心，点E、
F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为（ ）
A．2√2 B．5√2 C．√5 D．2√5
【变式3-1】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点A(1,2),B(−3,b)，当线段AB最短时，
b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【变式3-2】（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点
O．若AC⊥BD，AB=4，CD=√5，则BC2+AD2= ．
【变式3-3】（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在△ABD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=2√3，将
AB绕点A逆时针旋转α度(0<α<90)，得到AP，当△ADP是等腰三角形时，点P到AD的距离为 ．
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【题型4 判断勾股数问题】
【例4】（2023·四川泸州·统考二模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前
1世纪．《周髀算经》中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为
3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股
数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图
研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若某个此类勾股数的
勾为16，则其弦是 ．
【变式4-1】（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一
个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角
形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图②；如此继续“生长”下去，则第2015次“生长”后，
这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 ．
【变式4-2】（2023·江苏南通·统考中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界
上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，
1 1 1 1
a= m2− ，c= m2+ ，m是大于1的奇数，则b= （用含m的式子表示）．
2 2 2 2
【变式4-3】（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了
1 1
勾股数a，b，c的计算公式：a= (m2−n2)，b=mn，c= (m2+n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数．
2 2
下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
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【题型5 勾股定理与网格问题】
【例5】（2023·广东·统考中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A B C 的大小关系；
1 1 1
(2)证明（1）中你发现的结论．
【变式5-1】（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．
已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在图中画一个等腰三角形PEF，使底边长为√2，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形
ABCD的中心旋转180°后的图形．
(2)在图中画一个Rt△PQR，使∠P=45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个
单位后的图形．
【变式5-2】（2023·安徽·统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点
A,B,C,D均为格点（网格线的交点）．
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(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A B ；
1 1
(2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A B ，画出线段A B ；
2 2 2 2
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【变式5-3】（2023·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格
中按下列要求作△ABC，点C在格点上．
9
(1)在图①中，△ABC的面积为 ；
2
(2)在图②中，△ABC的面积为5
5
(3)在图③中，△ABC是面积为 的钝角三角形．
2
【题型6 利用勾股定理解决折叠问题】
【例6】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边
AD=5,OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD 恰好经过点B，点C
1
落在y轴的点C 位置，点E的坐标是（ ）
1
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A． B． C． D．
(1,2) (−1,2) (√5−1,2) (1−√5,2)
【变式6-1】（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边
AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形
EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为 ．
【变式6-2】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=√6，BC=6．点E为边
BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点
B'，过点B'作B'H⊥BC于点H，若B'H=2√2，则FD的长是 ．
【变式6-3】（2023·河南周口·统考二模）如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=12，P是射线AD上
一点，将△ABP沿BP折叠得到△A'BP，若点A'恰好落在BC的垂直平分线l上，则线段AP的长为 ．
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【题型7 勾股定理与无理数】
【例7】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正
方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为
（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式7-1】（2023·河北石家庄·统考三模）张华学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，课下
便尝试在数轴上找一个表示无理数的点．首先画一条数轴，原点为O，点A表示的数是2，然后过点A作
AB⊥OA，使AB=3，连接OB，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的
数介于（ ）
A．−1和−2之间 B．−2和−3之间 C．−3和−4之间 D．−4和−5之间
【变式7-2】（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较
√2+1与√5的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较√2+3与√17的大小，以下数形结
合正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【变式7-3】（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直
线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的
横坐标为 ．
【题型8 利用勾股定理证明线段的平方关系】
【例8】（2023·广东佛山·校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，CD⊥AB于点D，
点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC=3，BC=4，求CD的长；
(2)求证：BD2−AD2=2DE⋅AB；
1
(3)求证：CE= AB．
2
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【变式8-1】（2023·浙江杭州·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点E，若
AD的长与⊙O的半径相等，则下列等式正确的是（ ）
A．2BC2=AB2+CD2 B．3BC2=2AB2+2CD2
C．4BC2=3AB2+3CD2 D．5BC2=4AB2+4CD2
【变式8-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，
CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
(1)判断∠ACD与∠BCE间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段AD、AE、AC间满足的数量关系．
【变式8-3】（2023·北京平谷·统考一模）在△ABC中，BD⊥AC，E为AB边中点，连接CE，BD与CE
相交于点F，过E作EM⊥EF，交BD于点M，连接CM．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：∠EMF=∠ACF；
(3)判断BM、CM、AC的数量关系，并证明．
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【题型9 勾股定理的证明方法】
【例9】（2023·河北·统考模拟预测）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案：
甲 乙
如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板
如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形
DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，通过用
ABDE和四边形CFCH均是正方形，通过用两种方
两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．
法表示正方形ABDE的面积来进行证明．
对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对
【变式9-1】（2023·辽宁盘锦·校联考二模）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而
两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S ，图2中空白部
1
分的面积为S ，则下列对S ，S 所列等式不正确的是（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
S =a2+b2+2ab S =c2+ab S =S a2+b2=c2
1 2 1 2
【变式9-2】（2023·四川攀枝花·校联考二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D
在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【变式9-3】（2023·江苏盐城·校考三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定
理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，
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如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形ABCD．
(1)请你利用图2证明勾股定理；
(2)如图3，以MN为直径画圆O，延长CF交DM于点E，判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(3)若b=3a，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示）
【题型10 以弦图为背景的计算】
【例10】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方
形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的
面积为（ ）
A．6+3√2 B．4+2√2 C．6+2√3 D．15
【变式10-1】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会．
如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学
方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼
成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那
么cosθ的值等于 ．
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【变式10-2】（2023·浙江杭州·统考中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前
中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH
）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE．设
∠BAF=α,∠BEF=β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β，则n=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式10-3】（2023·河南周口·校联考三模）任意一张正方形先对折再翻折然后加上废旧的草杆就能做成
一个简易的纸风车，迎着风就会哗啦啦转动起来，小小的纸风车带来童年满满的回忆．如图是彤彤折叠的
一个纸风车，风车由四个全等的直角三角形组成，其中∠DOG 为90°．延长直角三角形的斜边，恰好交于
四个直角三角形的斜边中点，若IJ=√2，那么这个风车的面积为（ ）
A．2√2 B．4√2 C．4−√2 D．√2+1
【题型11 利用勾股定理构造图形解决问题】
【例11】（2023·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折
线A−B−C−D，其中AB可以绕点B任意旋转，保持∠C=90°，将A，D两点用绷直的皮筋连接，设皮
筋长度为d，则d不可能是（ ）
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A．3 B．5 C．7 D．8
【变式11-1】（2023·吉林·模拟预测）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A
和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面
爬行到点B的最短路程为（ ）
A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm
【变式11-2】（2023·江苏南京·统考一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何
体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5 B．√5+2√2 C．2√5+1 D．2+√2+√5
【变式11-3】（2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）已知a，b均为正数，且 ， ，
√a2+b2 √a2+4b2
是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
√4a2+b2
3 1
A． ab B．ab C． ab D．2ab
2 2
【题型12 利用勾股定理解决实际问题】
【例12】（2023·湖北十堰·统考一模）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放
在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有（ ）
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A．5cm B．7cm C．8cm D．11cm
【变式12-1】（2023·浙江衢州·三模）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够
直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：
米）．据此可以求得该隧道预计全长 米．
【变式12-2】（2023·山东泰安·统考三模）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然
后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为
km．（结果保留根号）
【变式12-3】（2023·江西吉安·校考模拟预测）我校的八（1）班教室A位于工地B处的正西方向，且
AB=160米，一辆大型货车从B处出发，以10米/秒的速度沿北偏西60度的方向行驶，如果大型货车的噪
声污染半径为100米：
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(1)教室A是否在大型货车的噪声污染范围内？请说明理由．
(2)若在，请求出教室A受污染的时间是多少？
【题型13 在网格中判定直角三角形】
【例13】（2023·吉林白山·校联考二模）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定
的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5；
(2)在图②中，画平行四边形ABEF，使其面积为9．
【变式13-1】（2023·陕西商洛·校考三模）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为
（ ）
1 1 √5 √3
A． B． C． D．
3 2 5 3
【变式13-2】（2023·河北张家口·统考三模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D
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四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点E．
（1）AB与AC是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）AE= ．
【变式13-3】（2023·广东·统考中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A B C 的大小关系；
1 1 1
(2)证明（1）中你发现的结论．
【题型14 利用勾股定理逆定理求解】
【例14】（2023·山东日照·校考二模）如图，在 ▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别
1
交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于 FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH
2
交AD于点E，连接CE，若AE=5，DE=3，CE=4，则BE的长为（ ）
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A．8√5 B．4√5 C．2√41 D．40√2
【变式14-1】（2023·山东聊城·统考三模）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且
，则 的面积为（ ）
√a−5+(b−12) 2+|c−13|=0 △ABC
A．30 B．60 C．65 D．无法计算
【变式14-2】（2023·四川自贡·统考一模）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，
若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 ．
【变式14-3】（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为
线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC
于点M、作PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所
示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
( 24) (32 24) (32 )
A．(5，5) B． 6, C． , D． ,5
5 5 5 5
【题型15 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例15】（2023·福建·校联考一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．
若 ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
△A．4 B．2 C．1 D．0
【变式15-1】（2023·辽宁沈阳·校联考一模）在平面直角坐标系中，已知点A(−6,0)，B(2,0)，若点C在
1
一次函数y=− x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数有 个．
2
【变式15-2】（2023·浙江温州·校考二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶
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点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点A(0,1)，B(4,0)，请在所在的网格区域（含边界）
画出符合要求的整点三角形．
(1)在图1中画一个Rt△ABC．
(2)在图2中画一个△ABQ，使点Q的横纵坐标相等，且△ABQ的面积等于3．
【变式15-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(6,0)，点B坐标
为(2,−2)，直线AB与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
(2)点B关于y轴的对称点为点D．
①请直接写出点D的坐标为______；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为______．
【题型16 用勾股定理解决实际生活问题】
【例16】（2023·广西·校联考三模）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航
行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距
．
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【变式16-1】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，
AD=13，∠B=90°，求此木板的面积 ．
【变式16-2】（2023·浙江温州·校考二模）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500
米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在
施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路
长．
【变式16-3】（2023·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）A、B、C、D四个小城镇，它们之间
（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知
各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，
为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价
为 元．
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