文档内容
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专题 10 三角形压轴
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点 三角形压轴
题型01 与三角形有关的多结论问题（选/填）
题型02 与三角形有关的平移问题
题型03 与三角形有关的翻折问题
题型04 与三角形有关的旋转问题
题型05 与三角形有关的全等/相似问题
题型06 与三角形有关的最值问题
题型07 与三角形有关的动点问题
题型08 与三角形有关的新定义问题
题型09 与三角形有关的阅读理解问题
题型10 与三角形有关的存在性问题
题型11 三角形与几何图形综合
题型12 三角形与函数综合
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多
三角形压轴 以选择、填空题型出现，但是三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特
别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.
考点 三角形压轴
题型01 与三角形有关的多结论问题（选/填）
1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB
延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥ AB于点M，
15
AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP= ，④BD∥FQ．正确的是（ ）
8
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把
△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=√3，AD=1．以下结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；
3−√3
③当点E在BA的延长线上时，MC= ；
2
1
④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 ．
2
其中正确结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，
连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其
中所有正确结论的序号是 ．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，
∠BAC=∠DAE=90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．
下列结论中：①AC=CD；②√2AD2=BC⋅AF；③若AD=3√5，DH=5，则BD=3；④
AH2=DH⋅AC，正确的是 ．
题型02 与三角形有关的平移问题
1．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图1，在△ABC中，AB=BC=2AC=8，△ABC沿BC方向向左平
移得到△DCE，A、C对应点分别是D、E．点F是线段BE上的一个动点，连接AF，将线段AF绕点A逆
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时针旋转至线段AG，使得∠BAD=∠FAG，连接FG．
(1)当点F与点C重合时，求FG的长；
(2)如图2，连接BG、DF．在点F的运动过程中：
①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；
②当BF的长为多少时，△ABG能构成等腰三角形？
2．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD
在AC的右侧，BD=2AC，AD与BC相交于点O．
AO
(1)如图1，若连接CD，则△BCD的形状为______， 的值为______；
AD
(2)若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
3
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC= ，求OE的长；
2
②如图3，当∠ACB=60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：OF⊥ AB．
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=−2x上，
∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．
(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是_________三角形；
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(2)求证：△AOE≌△BOD；
(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y =ax2+bx−4向左平移2个单位，得到
1
抛物线y ．
2
①若直线EA与抛物线y 有唯一交点，求t的值；
1
②若抛物线y 的顶点P在直线EA上，求t的值；
2
2
③将抛物线y 再向下平移， 个单位，得到抛物线y ．若点D在抛物线y 上，求点D的坐标．
2 (t−1) 2 3 3
题型03 与三角形有关的翻折问题
1．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于
点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记
∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
2．（2023·宁夏·中考真题）综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探
究．
探究发现
如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
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（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接
DE，DB，则∠BDE=_______°，设AC=1，BC=x，那么AE=______（用含x的式子表示）；
底BC √5−1
（2）进一步探究发现： = ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
腰AC 2
底BC √5−1
= ；
腰AC 2
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角
形．如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求这个菱形较长对角线的长．
3．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如
下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
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问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进
一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC
的长．
题型04 与三角形有关的旋转问题
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=6，点D是BC的中点．
四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG=60°，且DE=2，菱形DEFG可以
绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．
(1)在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系
及α的值；
(2)当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由；
(3)设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B
时，请直接写出△APC的面积．
2．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，点D在边AC上，将
线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA'，线段DA'交AB于点E，作A'F⊥ AB于点F，与线段
AC交于点G，连接FC,GB．
(1)求证：△ADE≌△A'DG；
(2)求证：AF⋅GB=AG⋅FC；
1
(3)若AC=8，tan A= ，当A'G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．
2
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3．（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角
顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，
AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理
由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
4．（2022·湖南湘潭·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别
作l的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)特例体验：
如图①，若直线l∥BC，AB=AC=√2，分别求出线段BD、CE和DE的长；
(2)规律探究：
①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0<α<45°)，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说
明理由；
②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°)，与线段BC相交于点H，请再探线
段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：
在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S ．
△BFC
题型05 与三角形有关的全等/相似问题
1．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
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AD 1
在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且 = （n为正整数），E是AC边上的动
BD n
点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
√2
(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF= AB，请写出证明过程．
2
【深入探究】
(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论
并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必
证明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=2√2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的
路径长（用含n的代数式表示）．
2．（2023·福建·中考真题）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的
一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的
延长线相交于点M．
(1)求证：△ADE∽△FMC；
(2)求∠ABF的度数；
(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．
3．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探
究AD，BE的位置关系．
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(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：____________；
(2)如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当m=√3,AB=4√7,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
题型06 与三角形有关的最值问题
1．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直
线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里
拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
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(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
2．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，
D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．
(1)如图1，求证：∠CBE=∠CAF；
(2)如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH=FH；
(3)如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得
到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB=4，
直接写出PQ+QF的最小值．
3．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点
P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点
P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．
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①在图中画出点Q；
1
②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT= OM;
2
1
(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t( AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接
MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关
系，并证明你的猜想；
(3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中
点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点
PQ
D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出 的值．
BC
题型08 与三角形有关的新定义问题
1．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
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有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'，则
△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S
△ABC
，S
△A'B'C'
分别表示△ABC和△A'B'C'的面积．
1 1
则S = BC⋅AD,S = B'C' ⋅A'D' ，
△ABC 2 △A'B'C' 2
∵AD=A'D'
∴S :S =BC:B'C' ．
△ABC △A'B'C
【性质应用】
(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S :S =__________；
△ABD △ADC
(2)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S =1，
△ABC
则S = __________，S = _________；
△BEC △CDE
(3)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S =a，
△ABC
则S = __________．
△CDE
2．（2021·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和
点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关
系是________．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成
立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是
否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD=60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．
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题型09 与三角形有关的阅读理解问题
1．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l ∥l ，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
1 2
解：相等．理由如下：
1 1
设l 与l 之间的距离为h，则S = BC⋅h，S = BC⋅h．
1 2 △ABC 2 △DBC 2
∴S =S ．
△ABC △DBC
【探究】
S h
(1)如图②，当点D在l ，l 之间时，设点A，D到直线l 的距离分别为h，h'，则 △ABC = ．
1 2 2 S h'
△DBC
证明：∵S
△ABC
S AM
(2)如图③，当点D在l ，l 之间时，连接AD并延长交l 于点M，则 △ABC = ．
1 2 2 S DM
△DBC
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证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
AE AM
∴ = ．
DF DM
S
由【探究】（1）可知 △ABC = ，
S
△DBC
S AM
∴ △ABC = ．
S DM
△DBC
(3)如图④，当点D在l 下方时，连接AD交l 于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，
2 2
S
△ABC
的值为 ．
S
△DBC
2．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从
而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
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(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．
①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．
题型10 与三角形有关的存在性问题
1．（2020·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
OD S
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断 、 △OBC 是否都为定值？如果是，分
OA S
△ABC
别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S =1，求正方形ABCD的面积．
△CME
2．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=3√2，点D在AB边上，连接CD，将
CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
(1)求证：△CAD≌△CBE；
(2)若AD=2时，求CE的长；
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(3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
3．（2023·北京·中考真题）在△ABC中、∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC
上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
(2)如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出
∠AEF的大小，并证明．
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，
CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：______，∠BDC=______°；
(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，
CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，
且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：
______；
(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S =
△ABP
______．
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题型11 三角形与几何图形综合
1．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片ABC，小宏做如下操作：
（1）取AB，AC的中点D，E，在边BC上作MN=DE；
（2）连接EM，分别过点D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足为G，H；
（3）将四边形BDGM剪下，绕点D旋转180°至四边形ADPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点E旋
转180°至四边形AEST的位置；
（4）延长PQ，ST交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q，A，T在一条直线上；
②四边形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四边形FPGS与△ABC的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．
【任务2】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别是AB，CD的中点，连接PQ．求证：
1
PQ= (AD+BC)．
2
4
【任务3】如图3，有一张四边形纸ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB= ，小
5
丽分别取AB，CD的中点P，Q，在边BC上作MN=PQ，连接MQ，她仿照小宏的操作，将四边形
ABCD分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长．
3
2．（2022·浙江金华·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sinB= ，点E从点B出发沿折线
5
B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的
右侧作矩形EFGH．
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(1)如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
(3)已知FG=8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似
（包括全等）？
3．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在
等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥ AB，垂足为B，点P在CB上．
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意
在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_______度；
(2)【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP,BE
之间的数量关系，并说明理由．
题型12 三角形与函数综合
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c上的点A，C坐标分别为(0,2)，(4,0)，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M
为y轴负半轴上一点，且OM=2，连接AC，CM．
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(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S =S 时，求点P的坐标；
△PAC △ACM
(3)点D是线段BC(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，
若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'，在抛物线平
移过程中，当M A'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，M A'+MC'的最小值为______．
2．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，
与y轴交于点B(0,9)，与直线OC交于点C(8,3)．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A'C'D'，点A，C，D的对
应点分别为A'，C'，D'，若△A'C'D'与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC'=m，当点A'与点B
重合时停止运动．
①若直线C'D'交直线OC于点E，则线段C'E的长为________（用含有m的代数式表示）；
10
②当00)与x轴交于点A，与
抛物线E:y=ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a
的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(−2,1)，(2,0)等均为格点．如图
2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值
范围．
一、全等三角形的判定
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二、相似三角形的性质与判定
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
1．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC
同侧，AB√a2+b2；③√2(a+b)>c；
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上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动
点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥ AC于点M、作
PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数
图象最低点E的坐标为（ ）
( 24) (32 24) (32 )
A．(5，5) B． 6, C． , D． ,5
5 5 5 5
3．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=3√5，点C为平面内
3
一动点，BC= ，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．当线段OM取最大值时，
2
点M的坐标是（ ）
(3 6) (3 6 ) (6 12) (6 12 )
A． , B． √5, √5 C． , D． √5, √5
5 5 5 5 5 5 5 5
4．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与
DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是 ．
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5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板ABC和DEF中，
∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°，BC=EF=12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD
与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 ，现将△≝¿绕点C(F)按顺时针方向旋转
（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是
．
√3
6．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l :y= x上，顶点B
1 3
在x轴上，AB垂直x轴，且OB=2√2，顶点C在直线l :y=√3x上，BC⊥l ；过点A作直线l 的垂线，垂
2 2 2
足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得到第一个△A B C ；过点
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 作直线l 的垂线，垂足为C ，交x轴于B ，过点B 作A B 垂直x轴，交l 于点A ，连接A C ，得到第
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
二个△A B C ；如此下去，……，则△A B C 的面积是 ．
2 2 2 2023 2023 2023
7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB'，将AC绕点A逆
时针旋转β至AC' (0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB'C'，使∠BAC+∠B' AC'=180°，我们称
△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补
中心”．下列结论正确的有 ．
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①△ABC与△AB'C'面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB'和CC'，则∠B'BC+∠CC'B'=180°；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B'C'=10．
8．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，
D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．
(1)如图1，求证：∠CBE=∠CAF；
(2)如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH=FH；
(3)如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得
到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB=4，
直接写出PQ+QF的最小值．
9．（2023·河北·中考真题）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，
AB=8,BC=2√11,CD=12,DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时
针旋转n°(00)，连接A'P．
(1)若点P在AB上，求证：A'P=AP；
(2)如图2．连接BD．
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①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；
②若点P到BD的距离为2，求tan∠A'MP的值；
(3)当0
