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第 27 讲 与圆有关的位置关系
目 录
题型01 判断点和圆的位置关系 题型13 利用切线的性质定理证明
题型02 根据点和圆的位置关系求半径 题型14 切线的性质与判定的综合运用
题型03 判断直线与圆的位置关系 题型15 作圆的切线
题型04 根据直线与圆的位置关系求半径 题型16 应用切线长定理求解
题型05 根据直线与圆的位置关系求点到 题型17 应用切线长定理求证
直线的距离 题型18 判断三角形外接圆圆心位置
题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐 题型19 求外心坐标
标 题型20 求特殊三角形外接圆的半径
题型07 求圆平移到与直线相切时运动距 题型21 由三角形的内切圆求长度
离 题型22 由三角形的内切圆求角度
题型08 圆和圆的位置关系 题型23 由三角形的内切圆求周长、面积
题型09 判断或补全使直线成为切线的条 题型24 求三角形的内切圆半径
件 题型25 直角三角形周长、面积和内切圆
题型10 利用切线的性质求线段长 半径的关系
题型11 利用切线的性质求角度 题型26 三角形内心有关的应用
题型12 证明某条直线时圆的切线 题型27 三角形外接圆与内切圆综合
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题型 01 判断点和圆的位置关系
1．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA=6时，则点A与⊙O的位置关系是
（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
2．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程
x2−4x−5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8,tanA=2，以点A为圆心，半径
为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是（ ）
A．点C在圆A内，点B在圆A外
B．点C在圆A上，点B在圆A外
C．点C、B都在圆A内
D．点C、B都在圆A外
题型 02 根据点和圆的位置关系求半径
4．（2022·山东枣庄·校考一模）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是
9cm，则⊙O的半径是 ．
5．（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，
最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2−12ax−20=0的两个实数根，则⊙O的直径为 ．
6．（2023·上海·校考一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A为圆心，r为半径作⊙A，使得
点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
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题型 03 判断直线与圆的位置关系
7．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为(0,2)，
将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与⊙P的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
4
8．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，AC=5cm，以点C为圆
5
心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
9．（2021·上海崇明·统考二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝
5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
题型 04 根据直线与圆的位置关系求半径
10．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，
BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，
那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
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1 5 25
A． <r<4 B． <r<6 C．9<r< D．9<r<13
2 2 2
11．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C为圆心，r为
半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．
12．（2022·湖北襄阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3,1)，若⊙A与坐标轴有三个
公共点，则⊙A的半径为 ．
题型 05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
13．（2023·江苏淮安·统考一模）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离
可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
14．（2020·河北唐山·统考二模）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有公共点，则圆心O到直线AB的
距离不可能为（ ）
A．5 B．5.5 C．4.5 D．1
15．（2022·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N
上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N的“近距离”，记为d(M,N)．特
别地，当图形M与图形N有公共点时，d(M,N)=0．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），
（1）d（点A，点C）＝________，d（点A，线段BD）＝________；
（2）⊙O半径为r，
① 当r ＝ 1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r ＝___________．
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（3）M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜
1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．
题型 06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
16．（2020·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径r=2√2的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与
直线y=x+2相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
3
17．（2022·河南南阳·统考一模）如图，直线y=− x−3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一
4
动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
( 7 ) ( 7 ) ( 17 )
A． − ,0 B． − ,0 或 − ,0
3 3 3
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
C． − ,0 D． − ,0 或 − ,0
7 7 17
18．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，√3），
∠BAO=30°，点P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线
相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
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题型 07 求圆平移到与直线相切时运动距离
19．（2021上·吉林四平·九年级统考期末）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交
⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
20．（2020·九年级单元测试）已知⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1，函数y=x与⊙O交于点A、B，
点P(x,0)在x轴上运动，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，则x的范围是 .
21．（2020上·全国·九年级期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标
为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
题型 08 圆和圆的位置关系
22．（2023·吉林四平·校联考三模）如图，已知长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B的半径为1，圆A
与圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（ ）
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A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
23．（2022·上海徐汇·统考二模）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆
的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
24．（2021·四川绵阳·一模）如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°， O 沿
1 2 1 2 2
直线OO 平移，当 O 平移到与 O⊙和AB所在直线都有公共点⊙时，令圆心距OO＝x，则x的取值⊙范围
1 2 2 1 1 2
是（ ） ⊙ ⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4√3 D．2≤x≤8
25．（2021·山东青岛·统考一模）【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次
递进，最后猜想得出结论．
探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．
探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？
如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加
的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．
探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？
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如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新
增加的圆分成2×2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．
（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．
（2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n−1)个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成
______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成
__________________个区域．（将结果进行化简）
（3）【结论应用】
①用10个圆最多能把平面分成_________个区域；
②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．
题型 09 判断或补全使直线成为切线的条件
26．（2020·安徽芜湖·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列
格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1)
27．（2019下·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以C为圆心作⊙C与
AB相切，则⊙C的半径长为（ ）
A．8 B．4 C．9.6 D．4.8
28．（2022·吉林长春·吉林大学附属中学校考一模）如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，
以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM= cm时，⊙M与OA相切.
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29．（2019下·九年级课时练习）Rt△ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=3cm，圆心为C，半径为2cm
和3cm的两个圆⊙C 和⊙C 与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与⊙C相切？
1 2
题型 10 利用切线的性质求线段长
30．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长
线交于点P，若AC=PC=3√3，则PB的长为（ ）
3
A．√3 B． C．2√3 D．3
2
31．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB边上一点，
以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD．若AD=BD，⊙O的半径为3，
则CD的长度为（ ）
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9 3√3
A． B． C．3 D．2√3
4 2
32．（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB
与小圆相切于点C，则弦AB的长为 cm．
33．（2022·浙江衢州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，
F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为 ．
题型 11 利用切线的性质求角度
34．（2022·广西南宁·校联考一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则
∠AOC的度数是（ ）
A．144° B．130° C．129° D．108°
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35．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若
∠BAD=35°，则∠C= °．
36．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与
BC相切于点C，若∠A=32°，则∠ADO=
37．（2023·江苏连云港·校考一模）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交
于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= °．
题型 12 证明某条直线时圆的切线
38．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，在△ ABC中，∠ABC =45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与
边BC交于点D．
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(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4，求图中阴影部分的面积．
39．（2023·云南昆明·校考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上
一点，且∠DEC=∠ABC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE=4√5，AC=2BC，求线段CE的长．
40．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O在BC边上，
⊙O经过点A和点B，且与BC边相交于点E．
(1)试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CE=3，求⊙O的半径．
41．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O
交AB于点D，E是AC的中点．
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(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠BCD=30°，AE=5√3，求阴影部分的面积；
题型 13 利用切线的性质定理证明
42．（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
43．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且
CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5,AC=8，求线段PD的长．
44．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点
D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
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(1)求证：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．
45．（2020·北京·统考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D
为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
1
（2）若sinC= ，BD=8，求EF的长．
3
题型 14 切线的性质与判定的综合运用
46．（2020·山东德州·统考二模）如图，AB是△ABC外接圆的直径，O为圆心，CH⏊AB，垂足为H，且
∠PCA=∠ACH， CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP=2．
（1）判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的长．
1
（3）若tan∠ACP= ，求⊙O半径．
2
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47．（2020·甘肃酒泉·统考二模）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D，E为
AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．
48．（2023·云南楚雄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点
D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线
AE 2
(2)若 = ,AF=10，求⊙O的半径．
DE 3
49．（2021·广东韶关·统考一模）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝
30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径OD的长；
(3)求线段BM的长．
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题型 15 作圆的切线
50．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）已知：⊙O和圆外一点P，求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
1
②分别以O，P为圆心，大于 OP长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交OP于点C．
2
③以C为圆心，OC长为半径作⊙C，交⊙O于点A，B；
④作直线PA，PB．
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接MP，MO，NP，NO，OA，OB．
∵ MP=MO，NP=NO，
∴MN是线段OP的______（______）（填推理的依据）．
∴ CP=CO．
∵OP为⊙O的直径，A，B在⊙C上
∴ ∠OAP=∠OBP=90°（______）（填推理的依据）．
∴半径OA⊥AP，半径OB⊥BP．
∴直线PA，PB为⊙O的切线（______）（填推理的依据）．
51．（2023·山东青岛·统考三模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：⊙O，使圆心O在斜
边AB上，经过点B且与边AC相切于点E．（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
52．（2023·江苏南京·统考二模）如图，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O与菱形的四条边都相切要
求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
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53．（2023·福建莆田·统考二模）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点
O，以OB为半径作⊙O．判断直线AC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°．现要修一条圆弧形水上栈道，
要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切．求作⊙O．（要求：尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹）
题型 16 应用切线长定理求解
54．（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、
D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
55．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若
∠ABO=25°，则∠APB的度数为（ ）
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A．50° B．55° C．65° D．70°
56．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，PA､PB切⊙O于A､B，若∠APB=60∘,⊙O的
半径为3，则线段PO的长度为（ ）
A．5√3 B．6 C．8 D．10
57．（2021·湖北随州·一模）如图：PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的
是（ ）
A．∠APO=∠BPO B．PA=PB C．AB⊥OP D．C是PO的中点
题型 17 应用切线长定理求证
58．（2022·四川成都·统考二模）已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，BC是直径，
AB交PO于点M，⊙O的半径为3，PA=4．
(1)求证：AC∥PO；
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(2)求AC的长
59．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别为⊙O的切线，切点分
别为C、D，⊙O交BC另一点E．
(1)求证：DE∥AO；
(2)若AC=6，AB=10，求DE的长．
60．（2021·河北唐山·统考二模）如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为
O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．
61．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OP交⊙O
于点C，连接AC，BC．
(1)求证：C是A´B的中点；
(2)若AC=OC=2，求AP的长．
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题型 18 判断三角形外接圆圆心位置
62．（2023·河北邢台·统考一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格
点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF
63．（2023·北京昌平·统考二模）船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建
立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是
正方形网格，点A,B,C,D,P,M,N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M,N间
的角度（∠MPN的大小）一定无触礁危险.那么，对于A,B,C,D四个位置，船处于___________时，也
一定无触礁危险.（ ）
A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D
64．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、
B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
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65．（2018·广东汕尾·校考三模）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
题型 19 求外心坐标
66．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，A(0,−3)，B(2,−1)，C(2,3)．则△ABC
的外心坐标为（ ）
A．(0,0) B．(−1,1) C．(−2,−1) D．(−2,1)
67．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，
4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
31 33
A．（6，8） B．（4，5） C．（4， ） D．（4， ）
8 8
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68．（2022·广东深圳·统考二模）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好
经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
(1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______；
(2)连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______；
(3)连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．
题型 20 求特殊三角形外接圆的半径
69．（2023·辽宁阜新·统考一模）如图，⊙O是等边 ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
△
3 √3 5
A． B． C．√3 D．
2 2 2
70．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则
△ABC的外接圆的半径是 ．
1
71．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=− x2+bx+c的图像与x
2
轴交于点A(−1,0)和点B(4,0)，与y轴交于点C，顶点为点D．
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(1)求二次函数表达式和点D的坐标；
(2)连接AC、BC，求△ABC外接圆的半径；
√5
(3)点P为x轴上的一个动点，连接PC，求PC+ PB的最小值；
5
(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为−3，动点M从点C出发，沿平行于x
轴的直线a向右运动，连接EM，过点M作EM的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b
与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．
题型 21 由三角形的内切圆求长度
72．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则√2AC+BC的最大值为 ．
73．（2022·四川泸州·二模）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝
6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（ ）
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12√7 10√7 9√7 8√7
A． B． C． D．
7 7 7 7
74．（2022·云南文山·一模）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若
BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（ ）
√34
A．2 B．3 C．√10 D．
2
75．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O
为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
题型 22 由三角形的内切圆求角度
76．（2022·山东烟台·统考一模）如图，点I是△ABC的内心，若∠I=116°，则∠A等于（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
77．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考一模）如图，△ABC中，∠A=80°，点O是△ABC
的内心，则∠BOC的度数为（ ）
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A．100° B．160° C．80° D．130°
题型 23 由三角形的内切圆求周长、面积
78．（2020·贵州遵义·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC
的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm
79．（2018·海南省直辖县级单位·统考一模）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角
形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，
面积记为S；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使
1 2
半圆的直径在等腰Rt 的直角边上，面积记为S；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S 则下列
3 4
判断正确的是（ ）△
①S=S ；②S=S ；③在S，S，S，S 中，S 最小．
1 2 3 4 1 2 3 4 2
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
80．（2023·广东江门·统考二模）一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等
于 ．
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81．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考一模）如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，
等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为
6，则圆中的黑色部分的面积是 ．
82．（2022·贵州铜仁·统考三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S
a+b+c
=√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面积），并给出
2
了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
a+b+c
∴p= =6
2
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶
公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
题型 24 求三角形的内切圆半径
83．（2022·贵州铜仁·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，
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1
AD=8√3，分别以B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延
2
长线交于点E，连接CE，则ΔBCE的内切圆半径是（ ）
A．4 B．4√3 C．2 D．2√3
84．（2019·福建·校联考二模）如图，ΔABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知AB=15，
AC=9，BC=12，阴影部分是ΔABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟
落在花圃上的概率为（ ）.
1 π π π
A． B． C． D．
6 6 8 5
85．（2021·江苏苏州·校考一模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ．
题型 25 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
86．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在四边形材料ABCD中， AD∥BC ，∠A=90°，AD=9cm，
AB=20cm，BC=24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
110
A． cm B．8cm C．6√2cm D．10cm
13
87．（2022·广东深圳·统考二模）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是 ABC的内切圆，半径
△ △
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为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．30﹣4π B．30√3−4π C．60﹣16π D．30√3−16π
题型 26 三角形内心有关的应用
88．（2022上·广东河源·九年级校考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，且
∠FOD=∠EOD=120°，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
89．（2022·江苏·九年级假期作业）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则
（ ）
A．D点是△ABC的内心 B．D点是△ABC的外心
C．E点是△ABC的内心 D．E点是△ABC的外心
90．（2023·吉林长春·统考模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个
小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则
大正方形的面积为 ．
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91．（2024上·广西柳州·九年级统考期末）学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同
学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边
都相切．小聪用A，B，C表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成：
(1)尺规作图：在图1中找出圆心点O（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)若纸片三边长分别是：BC=8，AC=6，AB=10，⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F
（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积．
题型 27 三角形外接圆与内切圆综合
92．（2023·山东泰安·校考二模）如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，
若AI=2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC=6，ID=5，则IE的长为（ ）
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A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
93．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交
AI
⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则 的值是（ ）
AD
3 5 4 9
A． B． C． D．
7 9 11 13
94．（2020·河北邢台·统考模拟预测）如图，在⊙O中，A´B=A´C，BC＝6，AC=3√10．I是△ABC的内
心，则线段OI的值为（ ）
1
A．1 B．5−√10 C．√10−3 D． √10
3
95．（2021·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，
其半径为√3，则△BIC的外接圆直径为 .
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一、单选题
1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，
AB=2√3，BC=3，则OC的长度是（ ）
A．3 B．2√3 C．√13 D．6
2．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若
∠ACD=50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，
IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）
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A．15° B．17.5° C．20° D．25°
4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AD
AB 1
为半径的弧恰好与BC相切，切点为E．若 = ，则sinC的值是（ ）
CD 3
2 √5 3 √7
A． B． C． D．
3 3 4 4
5．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，
F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则(BF+CE−BC)的值和∠FDE的大小分别为（ ）
α α
A．2r，90°−α B．0，90°−α C．2r，90°− D．0，90°−
2 2
6．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以AD为直径
的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC=8，BC=6，则DE的长是（ ）
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4√10 8√10 80 8
A． B． C． D．
9 9 27 3
7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，等圆⊙O 和⊙O 相交于A，B两点，⊙O 经过⊙O 的圆心
1 2 1 2
O ，若O O =2，则图中阴影部分的面积为（ ）
2 1 2
4 2
A．2π B． π C．π D． π
3 3
8．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1<AB<7 B．S ≤6
△ABC
C．△ABC内切圆的半径r<1 D．当AB=√7时，△ABC是直角三角形
9．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点
上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的
面积为（ ）
5 7 5 7 5 7 5 7
A． π− B． π− C． π− D． π−
2 4 2 2 4 4 4 2
10．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA﹐点C在⊙O上，
OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD．若∠B=65°，则∠DOC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．75°
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11．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积
为（ ）
1 1
A． rl B． πrl C．rl D．πrl
2 2
12．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O
相切，切点分别为C，D．若AB=10,PC=12，则sin∠CAD等于（ ）
12 13 13 12
A． B． C． D．
5 12 5 13
13．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=10，DE是弦，AB⊥DE，CE´B=EB´D，
3
sin∠BAC= ，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接
5
CG．下列结论中正确的个数是（ ）
①∠DBF=3∠DAB；
②CG是⊙O的切线；
③B，E两点间的距离是√10；
11√10
④DF= ．
9
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
14．（2023·上海·统考中考真题）在△ABC中AB=7,BC=3,∠C=90°，点D在边AC上，点E在CA延
长线上，且CD=DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范
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围是 ．
15．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC
分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
16．（2023·黑龙江·统考中考真题）矩形ABCD中，AB=3,AD=9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，
使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 ．
17．（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，
径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角
形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边
的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商
就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单
位）
18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一
座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向
树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
19．（2023·山东泰安·统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所
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示放置于桌面上，并量出AB=4cm，则这张光盘的半径是 cm．（精确到0.1cm．参考数据：
√3≈1．73）
三、解答题
20．（2023·江西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，∠C=64°，以AB为直径的⊙O与AC相
交于点D，E为AB´D上一点，且∠ADE=40°．
(1)求B´E的长；
(2)若∠EAD=76°，求证：CB为⊙O的切线．
21．（2023·云南·统考中考真题）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在
射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA⋅AC=DC⋅AB．设△ABE的面积为S ,△ACD的面
1
积为S ．
2
(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若BC=BE,S =mS ，求常数m的值．
2 1
22．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点
D，连接BD，过点C作CE∥AB．
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(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标
明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：BD=BF．
23．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，B´C=B´D，
DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD=2∠F，连接BD．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)判断△DGB的形状，并说明理由；
(3)当BD=2时，求FG的长．
24．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2=BC2+AC2，延长AC至
点D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交
AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧A´C上）．
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(1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S ，S ，S，若S ⋅S=(S ) 2 ，求(tanD) 2的值；
1 2 1 2
√ 1 1
(3)若⊙O的半径为1，设FM=x，FE⋅FN⋅ + = y，试求y关于x的函数解析式，
BC⋅BN AE⋅AC
并写出自变量x的取值范围．
25．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，
AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC=4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
(1)求证：BD为⊙O的切线；
(2)求AE的长度．
26．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且
1
∠BCD= ∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
2
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
3
(2)若sinB= ,⊙O的半径为3，求AC的长．
5
27．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两
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点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
28．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S ；
阴
(2)在扇形AOB的内部，⊙O 与OA，OB都相切，且与弧AB只有一个交点C，此时我们称⊙O 为扇形AOB
1 1
的内切圆，试求⊙O 的面积S．
1 1
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