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→➌题型突破←→➍专题训练←
题型一抛物线与三角形有关问题
1．如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点
C，连接 ，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线 上，若以点P、Q、E为顶点
的三角形与 相似，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得
到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据 是等腰直角三角形，
得出 是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得
∴此抛物线的解析式为：
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（2）当 时， ，所以，OB=OC=3，
∴ 是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与 相似，
∴ 是等腰直角三角形，
设点P的坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
设BC的解析式为 ，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，
解得， ，故BC的解析式为 ，
把 代入得， ，则E点坐标为 ，
如图，当E为直角顶点时， ，解得， ， （舍去），
把 代入得， ，则P点坐标为 ，
当Q为直角顶点时，PQ=QE，即 ，解得 ， （舍去），
把 代入得， ，则P点坐标为 ；
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当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即 ，解得 ，
（舍去），则P点坐标为 ；
综上，P点坐标为 或 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关
键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程．
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A、B（点A在点B的
左侧），与y轴相交于点C，连接 ．
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(1)求线段AC的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P
的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1) (2) (3) 或 或 或
【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出
对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设
点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当 ， ，
分别列出等式求解即可．
(1)
与x轴交点：
令y=0，解得 ，
即A（-1，0），B（3，0），
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C（0，-3），
∴AO=1,CO=3,
∴ ;
(2)抛物线 的对称轴为：x=1，
设P（1，t），
∴ ， ，
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴
∴t=-1，
∴P（1，-1）；
(3)设点M（m,m2-2m-3），
，
，
,
①当 时，
，
解得， （舍）， ，
∴M（1，-4）；
②当 时，
，
解得， ， （舍），
∴M（-2，5）；
③当 时，
，
解得， ，
∴M 或 ；
综上所述：满足条件的M为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知
识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
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3.如图1，已知二次函数 的图象与x轴交于点 、 ，与
y轴交于点C，且 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C作 轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一
个动点，连接PB、PC，若 ，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点
P的横坐标为t，试用含t的代数式表示 的值，并求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2)P（1+ ）或（1- ）；
(3)
【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，
将点C的坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a，
），可表示出△BCD的面积，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得到E点
坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S PBC=S BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在
△ △
第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t， ），M（t， ），表示出PM的长，
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根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出 ，从而得出 的函数表达式，进
一步求得结果．
(1)
∵A（-1，0），
∴OA=1，
又∵∠AOC=90°，tan∠OAC= ，
∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），
设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），
将C点坐标代入得：a=1，
∴y=（x+1）（x-2）= ；
(2)
设点P（a， ），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为：y=x-2，
∴当 时，x=y+2= ，
∴PE= = ，
∴S PBC= PE·OC，
△
∵抛物线的对称轴为y= ，CD∥x轴，C（0，-2），
∴点D（1，-2），
∴CD=1，
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∴S BCD= CD·OC，
△
∴ PE·OC= CD·OC，
∴a2-2a=1，
解得a=1+ （舍去），a=1- ；
1 2
当x=1- 时，y= =a-1=- ，
∴P（1- ，- ），
如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，
∴F（a，a-2），
∴PF=（ ）-（a-2）= ，
∴S PBC= PF·OB= CD·OC，
△
∴ =1，
解得a=1+ ，a=1- （舍去）；
1 2
当a=1+ 时，y= = ，
∴P（1+ ， ），
综上所述，P点坐标为（1+ ）或（1- ）；
(3)
如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，
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由题意可知，P（t， ），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（ ）=- ，
又∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴ + ，
∴当t=1时，( )最大= ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角
形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．
4.如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ，连接 ， ．
（1）求 ， ， 三点的坐标并直接写出直线 ， 的函数表达式；
（2）点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 的平行线 ，交线段 于点
．
①试探究：在直线 上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
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②设抛物线的对称轴与直线 交于点 ，与直线 交于点 ．当 时，请直
接写出 的长．
【答案】（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，直线
的函数表达式为： ；直线 的函数表达式为： ；（2）①存在，点
的坐标为 或 ；② ．
【分析】
（1）分别令 和 时即可求解 ， ， 三点的坐标，然后再进行求解直线 ，
的函数表达式即可；
（2）①设点 的坐标为 ，其中 ，由题意易得 ，
， ，当 时，以 ， ， ， 为顶点的四
边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当 时， 是菱形，当
时， 是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物
线的对称轴为直线 ，由（1）可得直线 的函数表达式为： ；直线 的
函数表达式为： ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，进而可得
，设点 ，然后可求得直线l的解析式为 ，则可
求得点 ，所以就有 ，最后根据面积公式及两点距离公式可
进行求解．
【详解】
解：（1）当 时， ，解得 ， ，
∵点 在点 的左侧，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
当 时， ，
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∴点 的坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，代入点A、C的坐标得： ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为： ．
同理可得直线 的函数表达式为： ；
（2）①存在．设点 的坐标为 ，其中 ，
∵点 ，点 的坐标分别为 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴当 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
当 时， 是菱形，如图所示：
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ；
当 时， 是菱形，如图所示：
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∴ ，
解，得 ， （舍去），
∴点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ；
综上所述，存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，且点 的坐标为
或 ；
②由题意可得如图所示：
由题意可得抛物线的对称轴为直线 ，由（1）可得直线 的函数表达式为：
；直线 的函数表达式为： ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，
∴点 ， ，
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∴ ，
设点 ，
∵ ，
∴设直线l的解析式为 ，把点M的坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线l的解析式为 ，
∴联立直线l与直线AC的解析式得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点 ，
∵点 是直线 下方抛物线上的一个动点，且 ，
∴点M在点N的上方才有可能，
∴ ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ，
∴由两点距离公式可得 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解
题的关键．
5.如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ， ， ，
抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
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（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 相似？
若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴
上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐
标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的
等腰 ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， 或 ；（3）点 ，
最短路程为 ，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等腰 时，点
或 ，理由见详解．
【分析】
（1）由题意易得 ，然后设二次函数的解析式为 ，
进而代入求解即可；
（2）由题意易得 ，要使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则可
分①当 时，②当 时，进而分类求解即可；
（3）由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然
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后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为
动点G所走过的最短路程，最后求解即可；
（4）由题意可分①当点Q在第二象限时，存在等腰 ，②当点Q在第一象限时，
存在等腰 ，然后利用“k型”进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
设二次函数的解析式为 ，代入点C的坐标可得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，即为 ；
（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：
由（1）可得抛物线的解析式为 ，则有对称轴为直线 ，
设直线BC的解析式为 ，代入点B、C坐标可得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
∴点 ， ，
∴由两点距离公式可得 ，
若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有 ，
①当 时，则有 轴，如图所示：
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∴点 ，
②当 时，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴点 ；
（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点
F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短
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则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分
别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过
的最短路程，如图所示：
∵OC=8，点D为CO的中点，
∴OD=4，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
设直线HI的解析式为 ，则把点H、I坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线HI的解析式为 ，
当y=0时，则有 ，解得： ，
当x=1时，则有 ，
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∴点 ，
∴点G走过的最短路程为 ；
（4）存在以点Q为直角顶点的等腰 ，理由如下：
设点 ，则有：
①当点Q在第二象限时，存在等腰 时，如图所示：
过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，
∴ ，
∴四边形COLK是矩形，
∴CK=OL，
∵等腰 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∵点 ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ；
②当点Q在第一象限时，存在等腰 时，如图所示：
同理①可得 ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ；
综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰 时，点 或
．
【点睛】
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本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角
形的性质，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直
角三角形的性质是解题的关键．
6.如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿
轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 ．
(1)写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值；
(3) 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于点 ，
是否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， 或 或
【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；
（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．
(1)
解：由翻折可知： .
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令 ，解得： ， ，
∴ ， ，
设图象 的解析式为 ，代入 ，解得 ，
∴对应函数关系式为 = ．
(2)
解：联立方程组 ，
整理，得： ，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线 与图象 有三个交点；
(3)
解：存在．如图1，当 时， ，此时，N与C关于直线x= 对称，
∴点N的横坐标为1，∴ ；
如图2，当 时， ，此时， 点纵坐标为2，
由 ，解得 ， （舍），
∴N的横坐标为 ，
所以 ；
如图3，当 时， ，此时，直线 的解析式为 ，
联立方程组： ，解得 ， （舍），
∴N的横坐标为 ，
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所以 ，
因此，综上所述： 点坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次
函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现
数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．
题型二抛物线与线段有关问题
7.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，
3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转
90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点
M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点 的坐标为 ，则 ，根据旋转
的性质可得 ，从而可得 ，将点 代入抛物线的解析
式求出 的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
从而可得 与 轴的交点即为所求的点 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式，
由此即可得出答案．
(1)解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ．
(2)解：抛物线 的对称轴为直线 ，其顶点 的坐标为
，
设点 的坐标为 ，则 ，
由旋转的性质得： ，
，即 ，
将点 代入 得： ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
所以点 的坐标为 ．
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(3)解：抛物线 的顶点 的坐标为 ，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点 ，
这时点 落在点 的位置，且 ，
，即 ，恰好在对称轴直线 上，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
则 ，
由两点之间线段最短可知， 与 轴的交点即为所求的点 ，此时 的值最小，
即 的值最小，
由轴对称的性质得： ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
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解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，
故在 轴上存在点 ，使得 的值最小，此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标
的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
8.抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）．
（1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标；
②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标；
（2）如图（3）， 是原点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段
， （不含端点）于 ， 两点，若直线 与抛物线只有一个公共点，求证
的值是定值．
【答案】（1）① ， ；②点 的坐标是 ．（2）见解析
【分析】
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（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出 ，点E在抛物线上，求出纵坐
标为 ，再根据平行四边形的性质，求出 ；
②连 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，设点 坐标
为 ，点 坐标为 ，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到
，再由则 ，列出方程求解；
（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用
求解即可；方法二：先用待定系数法
求出直线 与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点 坐标为
，点 坐标为 ，再求出结果．
【详解】
（1）解：①∵抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边），
∴令 =0，解得： ， ，
∴ ，
∵点E在抛物线上，点 的横坐标是 ，
∴ ，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴
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∴ ；
②设点 坐标为 ，点 坐标为 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴将 沿 平移可与 重合，点 坐标为 ．
∵点 在抛物线上，∴ ．
解得， ，所以 ．
连 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ．
则 ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，解得 ， （不合题意，舍去）．
∴点 的坐标是 ．
（2）方法一：证明：依题意，得 ， ，∴
设直线 解析式为 ，则 ，解得 ．
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∴直线 的解析式为 ．
同理，直线 的解析式为 ．
设直线 的解析式为 ．
联立 ，消去 得 ．
∵直线 与抛物线只有一个公共点，
∴ ， ．
联立 ，且 ，解得， ，
同理，得 ．
∵ ， 两点关于 轴对称，∴ ．
∴ ．
∴ 的值为 ．
方法二：证明：同方法一得直线 的解析式为 ．
设直线 的解析式为 ， 与抛物线唯一公共点为 ．
联立 ，消去 得 ，∴ ．
解得 ．∴直线 的解析式为 ．
联立 ，且 ，解得 ．
∴点 坐标为 ．同理，点 坐标为 ．
∵ ，∴ ．
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∴ 的值为 ．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，
解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化
为方程解决，属于压轴题．
9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，
二次函数 的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段 上的
一个动点，过点M作直线l平行于y轴交 于点F，交二次函数 的图象于
点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与 相似时，求线段 的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线 对称，求点N的坐标．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）N(0， )
【分析】
（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系数法即可求解；
（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F为顶点的三角形与 相似时，
或 ，设F(m，-m+3)，则E(m， )，根据比例式列出方程，
即可求解；
（3）先推出四边形NCFE是平行四边形，再推出FE=FC，列出关于m的方程，求出m的值，
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从而得CN=EF= ，进而即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∵二次函数 的图象过B、C两点，
∴ ，解得： ，
∴二次函数解析式为： ；
（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y轴，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与 相似时， 或 ，
设F(m，-m+3)，则E(m， )，
∴EF= -(-m+3)= ，CF= ，
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∴ 或 ，
∴ 或 （舍去）或 或 （舍去），
∴EF= = 或 ；
（3）∵l∥y轴，点N是y轴上的点，
∴∠EFC=∠NCG，
∵点N、F关于直线 对称，
∴∠CNE=∠EFC，
∴∠CNE=∠NCG，
∴NE∥FC，
∴四边形NCFE是平行四边形，
∵点N、F关于直线 对称，
∴∠NCE=∠FCE，
∵l∥y轴，
∴∠NCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴ = ，解得： 或 （舍去），
∴CN=EF= ，
∴ON= +3= ，
∴N(0， )．
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【点睛】
本题主要考查二次函数与几何的综合，相似三角形的判定，掌握函数图像上点的坐标特征，
用点的横坐标表示出相关线段的长，是解题的关键．
题型三抛物线与角度有关问题
10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 和点
．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上一点（不与点 重合），直线 将 的面积分成2：1两部分，
求点 的坐标；
（3）点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴移动，运动时间为 秒，当
时，求 的值．
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【答案】（1） ；（2）点 （6，-8）；（3）当点 从点 出发，以每秒
1个单位的速度沿 轴正方向移动时， 秒；沿CO方向在 轴移动时， 秒．
【分析】
（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）在 的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将 的面积分成
2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；
（3）先利用图形在 内构造 ，求出 ，在
中由 ， ，求出OM长即可解答，
【详解】
解：（1）由抛物线 经过点 和点 ，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为： ；
（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）
∵点 和点 ．
∴ ，
∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将 的面积分成2：1两部
分，如解（2）图，
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∵点 为该抛物线上一点（不与点 重合），
∴直线CP经过Q点，
设直线CP解析式为： ，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：
，
∴ ，
即可设直线CP解析式为： ，
联立函数解析式为： ，
解得： ， ，
故P点坐标为（6，-8），
（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为H，
由轴对称性质可知： ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴
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∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点 从点 出发，以每秒1个单位的速度远动：
当沿 轴正方向移动时， ，则 秒，
当沿 轴CO方向移动时， ，则 秒，
综上所述：当点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴正方向移动时， 秒；沿
CO方向在 轴移动时， 秒．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（1）关键是在三角形边上找到将 的面积
分成2：1两部分直线CP经过的点，问题（3）关键是通过对称构造 ，再通
过解三角形求解OM长．
11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点
A，点 是抛物线上一动点．
（1）如图1，当 ， ，且 时，
①求点M的坐标：
②若点 在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重
合），过点C作 ，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点 在对称轴上，当 ， ，
且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上
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一点，点G的坐标为 ，连接GF．若 ，求证：射线FE平分 ．
【答案】（1）① ；② ，见解析；（2）见解析
【分析】
（1）①直接将点 代入解析式，又有 ，
即可解出坐标；②相等，先求出点 ，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角
形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；
（2）根据已知条件求出点 的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与 轴的交
点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形
中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即
可判断出为角平分线．
【详解】
解：（1）如答案图6.
① 点 在抛物线上，且 ，
，解得 ，（舍去）
，
， ．
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② ，
点 在该抛物线上，
， ．
设直线MB交x轴于点H，解析式为 ，
解得
当 时， ，
， ．
过点M作 轴，垂足为R，
， ，
，
根据勾股定理得 ，
，
． ，
， ， ，
， ．
（2）如答案图7.
证明：对称轴 ， ，
， ，
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．过点M作 轴，垂足为Q，
， ，
．
当 时，解得 ， ，
．
， ，
，
． ，
．
设直线EM的解析式为 ，
解得
．设直线EM交y轴于点S，过点S作 ，垂足为P ．
当 时， ．
．当 时， ，
，
， ．
，
，
．
， ，
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，
， ．
设 ，则 ．
在 中，
，
．
（负值舍去），
， ，
．
， ，
射线FE平分 ．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相
似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解
题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．
题型四抛物线与四边形有关问题
12.已知抛物线 ．
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(1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交
于点 ．是否存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ，
以线段 为边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交
点，求 的取值范围．
【答案】(1)① ，②存在，点P坐标为(2，-3)或（ ，- ），理由见解析
(2)b< 或b>
【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P
（m，m2-2m-3）若点 是线段 的三等分点，则 或 ，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是
菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段 没有交点，分两种情况（CE在抛
物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．
(1)
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①解：把 ， 代入 ，得
，
解得： ，
∴
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得
，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）
若点 是线段 的三等分点，
则 或 ，
即 或 ，
解得：m=2或m= 或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m=
∴点P坐标为(2，-3)或（ ，- ）
(2)解：把点D（-3，0）代入直线 ，解得n=4，
∴直线 ，
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当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD= =5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）
∵点 在抛物线 上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴ ，
∵该抛物线与线段 没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-9<4
解得：b<
当CE在抛物线右侧时，
3b-9>4
解得：b>
综上所述，b< 或b>
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情
况讨论．
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于
点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为 ，连
接 ， ，求 的最小值．
（3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 ， ， ，
为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 点的横坐标分别为：2， ，
或 ．
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为 将 ， 两点代
入求得 ，c的值即可；
（2）胡不归问题，要求 的值，将折线化为直线，构造相似三角形将 转化
为 ，再利用三角形两边之和大于第三边求得 最值；
（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求
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得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN= AB,利用两点距离公式求解方程可得N点
的坐标．
【详解】
解：（1）∵ 过 ，
∴
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（2）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
∵
对称轴 ．
∴ ，
，
∴ ，
∴
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∴
∴
当 ， ， 三点在同一点直线上时， 最小为 ．
在 中， ，
∴
即 最小值为 ．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，
联立
得
是等腰 ，
分别过 两点作 的垂线，交 于点 ，
过 作 轴， 轴,
, 也是等腰直角三角形
设 ，则 ，所以
代入 ，解得 , （不符题意，舍）
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同理，设 ，则 ，所以
代入 ，解得 , （不符题意，舍）
② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，
设 ，则
整理得：
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解得： （不符题意，舍）， （不符题意，舍），
，
综上所述： 点的横坐标分别为：2， ， 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与
一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知
识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
14.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左
侧），与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ．
(1)求点 的坐标；(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距
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离的最大值；(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存
在点 使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) 最大为 (3)存在， 的坐标为 或（3，-16）或
【分析】（1）把点A的坐标代入 ，求出c的值即可；
（2）过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，证明 是等腰直角
三角形，得 ，当 最大时， 最大，，运用待定系数法求直线 解析式为
，设 ， ，则 ，求得PH，再根据二次函
数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角
线三种情况讨论求解即可．
(1)
（1）∵点 在抛物线 的图象上，
∴
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
(2)过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，如图：
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∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
设直线 解析式为 ，
将 代入得 ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大为 ，
∴此时 最大为 ，即点 到直线 的距离值最大；
(3)存在．∵
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x， ）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
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∵A（-5，0），C（0，5），
∴ ，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得， ，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
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∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为 ，即H（ ）
∴ ，解得， 。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点 的坐标为： 或（3，-16）或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图
象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数
形结合是解题的关键．
题型五抛物线与圆有关问题
15.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C
（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心， 为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋ EP的值
最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）y= x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，
【分析】
（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；
（3）在CE上截取CF= （即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则
BF的长即为所求．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a= ，
∴该抛物线的表达式为y= x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴当y=0时， （x-2）2+8=0，解得：x=-2，x=6，
1 2
∴A（-2，0），B（6，0），
∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，
∴BE2=BC2+CE2，
∴∠BCE=90°，
∴△BCE是直角三角形；
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（3）如图，在CE上截取CF= （即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接
EP，
则BF的长即为所求．
连接CP，∵CP为半径，
∴ ，
又∵∠FCP=∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴ ，FP= EP，
∴BF=BP+ EP，
由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+ EP为最小值．
∵CF= CE，E（2，8），
∴F（ ， ），
∴BF=
【点睛】
本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的
性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函
数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
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16.如图，已知二次函数 的图象经过点 且与 轴交于原点及点
．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点 的坐标及直线 的表达式；
（3）判断 的形状，试说明理由；
（4）若点 为 上的动点，且 的半径为 ，一动点 从点 出发，以每秒2个单
位长度的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 匀速运
动到点 后停止运动，求点 的运动时间 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）等腰直角三角形，理由见
解析；（4）
【分析】
（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；
（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标
求出AB解析式即可；
（3）根据二次函数对称性可知 为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条
线段的长，利用勾股定理验证即可；
（4）根据题意可知动点 的运动时间为 ，在 上取点 ，使 ，
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可证明 ，根据相似三角形比例关系得 ，即
，当 、 、 三点共线时， 取得最小值，再根据等
腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．
【详解】
解：（1） 二次函数 的图象经过 ，且与 轴交于原点及点
∴ ，二次函数表达式可设为：
将 ， 代入 得：
解这个方程组得
∵二次函数的函数表达式为
（2）∵点 为二次函数图像的顶点，
∴ ，
∴顶点坐标为： ，
设直线 的函数表达式为 ，则有：
解之得：
∴直线 的函数表达式为
（3） 是等腰直角三角形，
过点 作 于点 ，易知其坐标为
∵ 的三个顶点分别是 ， ， ，
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∴ ，
且满足
∴ 是等腰直角三角形
（4）如图，以 为圆心， 为半径作圆，则点 在圆周上，依题意知：
动点 的运动时间为
在 上取点 ，使 ，
连接 ，则在 和 中，
满足： ， ，
∴ ，
∴ ，
从而得：
∴
显然当 、 、 三点共线时， 取得最小值，
过点 作 于点 ，由于 ，
且 为等腰直角三角形，
则有 ， ，
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∴动点 的运动时间 的最小值为：
．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，
相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题
的关键．
题型六抛物线与面积有关问题
17.已知二次函数 ，其中 ．
(1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点 的坐标；
(2)求证：二次函数 的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线 上运
动，平移后所得函数的图像与 轴的负半轴的交点为 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)最大值为
【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即
可得到答案；
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（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为 ，然后分别证明顶点坐标
的横纵坐标都小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为 ，
然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线 上推出 ，
过点 作 ，垂足为 ，可以推出 ,由此即可求解．
(1)
解：将 代入 ，
解得 ．
由 ，则 符合题意，
∴ ，
∴ ．
(2)
解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴二次函数 的顶点在第三象限．
(3)
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解：设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为
当 时， ，
∴ ．
将 代入 ，
解得 ．
∵ 在 轴的负半轴上，
∴ ．
∴ ．
过点 作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴ ．
在 中，
,
∴当 时，此时 ， 面积有最大值，最大值为 ．
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【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平
移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
18.已知抛物线 与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点 ，求 的最小值；
（2）已知点 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l： 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 上，且 ，
过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证： 与 的面积相
等．
【答案】（1）-1；（2）① ；②见解析
【分析】
（1）先求得c=1，根据抛物线 与x轴只有一个公共点，转化为判别式
△=0，从而构造二次函数求解即可；
（2）①根据抛物线 与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴
的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可
【详解】
解：因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
以方程 有两个相等的实数根，
所以 ，即 ．
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（1）因为抛物线过点 ，所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，
当 时， 取到最小值 ．
（2）①因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点 中恰有两点在抛物线的图象上，
所以只能是 在抛物线的图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ．
又点 在抛物线的图象上，所以 ，
故抛物线的解析式为 ．
②由题意设 ，则 ．
记直线 为m，分别过M，N作 ，垂足分别为E，F，
即 ，
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．
所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，
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即 ．①
把 代入 ，得 ，
解得 ，
所以 ．②
将②代入①，得 ，
即 ，解得 ，即 ．
所以过点A且与x轴垂直的直线为 ，
将 代入 ，得 ，即 ，
将 代入 ，得 ，
即 ，
所以 ，因此 ，
所以 与 的面积相等．
【点睛】
本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等
基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与
方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键．
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