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第 29 讲 尺规作图与定义、命题、定理
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 尺规作图
题型01 尺规作图-作线段
题型02 尺规作图-作角度
类型一 作一个角等于已知角
类型二 尺规作角的和、差
类型三 过直线外一点作这条线的平行
类型四 作角平分线
题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
题型04 尺规作图-作三角形的中线与高
题型05 尺规作图-作垂直平分线
题型06 尺规作图- 画圆
题型07 尺规作图- 找圆心
题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
题型09 尺规作图-作外接圆
题型10 尺规作图-作内切圆
题型11 尺规作图-作圆内接正多边形
题型12 尺规作图-格点作图
考点二 定义、命题、定理
题型01 判断是否命题
题型02 判断命题真假
题型03 举反例说明命题为假命题
题型04 写出命题的逆命题
题型05 反证法证明中的假设
题型06 用反证法证明命题
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考点要求 新课标要求 命题预测
能用尺规作图: 本考点内容以考查尺规作
①作一个角等于已知角；作一个角的平分线. 图和真假命题为主，年年考
②作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线. 查，是广大考生的得分点，分
③过直线外一点作这条直线的平行线. 值为6分左右．预计2024年
尺规作图 ④已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底 各地中考还将继续考查这两个
边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形. 知识点. 中考对尺规作图的
⑤过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的 考查涉及多种形式，不再是单
内接正方形和内接正六边形. 一的对作图技法操作进行考
⑥过圆外一点作圆的切线. 查，而是把作图与计算、证
通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 明、分析、判断等数学思维活
结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其 动有效融合，既体现了动手实
践的数学思维活动，也考查了
逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不
学生运用数学思考解决问题的
一定成立.
能力，为避免丢分，学生应扎
定义、命 知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻
实掌握．
题、定理 辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格
式.
了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误
的.
通过实例体会反证法的含义.
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考点一 尺规作图
尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
五种基本作图：
类型 图示 作图依据
a
作一条线段等
圆上的点到圆心的距离等于半径.
于已知线段
A
P
O
B'
作一个角等于 N
Q 1)三边分别相等的两个三角形全等；
已知角
2)全等三角形的对应角相等；
α
O O' A'
G M 3)两点确定一条直线.
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B
作一个角的平
分线 N P
A
O
M
M
作一条线段的
1)到线段两个端点距离相等的点在这条
垂直平分线
线段的垂直平分线上；
A B
2)两点确定一条直线.
N
M
过一点作已知 P
1)等腰三角形“三线合一”；
直线的垂线
2)两点确定一条直线.
A BA B
P
N
根据基本作图作三角形
类型 图示
a
已知三角形的三边，求作三角形
b b a
c
c
a
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 b
a
α
b
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 A
α β
m α β
B m C
已知直角三角形一直角边和斜边，求作直 a a
角三角形 c c
根据基本作图作圆
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类型 图示
B
过不在同一直线上的三点作圆
（即三角形的外接圆）
A
C
O
A
作三角形的内切圆
O
B C
D
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3) 切记作图中一定要保留作图痕迹．
题型01 尺规作图-作线段
【例1】（2021上·辽宁抚顺·九年级校联考周测）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图．
(1)画直线AB；
(2)作射线BC；
(3)画线段AD；
(4)连接CD，并延长CD至点E，使DE＝CD；（保留作图痕迹）
(5)在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
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(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析
【分析】（ 1）根据直线的概念作图即可；
（2 ）根据射线的概念作图即可；
（3 ）根据线段的概念作图即可；
（4 ）以点D为圆心、DC为半径，画弧交CD延长线于点E；
（5 ）根据两点之间线段最短，连接AC、BD，交点即为所求点O．
【详解】（1）如图所示，直线AB即为所求；
（2）如图所示，射线BC即为所求；
（3）如图所示，线段AD即为所取；
（4）如图所示，线段DE即为所求；
（5）如图所示，点O即为所求．
【点睛】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图．熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正确
的根据定义作图是解题的关键．
【变式1-1】（2023上·广西河池·九年级统考期末）如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：
(1)作直线AC，射线BC，连接AB；
(2)延长AB到点D，使得BD=AB；
(3)直接写出∠ABC+∠CBD=______°．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)180°
【分析】（1）按照题意用直尺作出图形；
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（2）按照题意作出图形即可；
（3）由题意可知，∠ABC+∠CBD=180°．
【详解】（1）解：如图所示，直线AC，射线BC，线段AB即为所求；
（2）解：如图所示线段 BD即为所求；
（3）解：∠ABC+∠CBD=180°，理由是：
∵延长AB到点D，使得BD=AB
∴∠ABD是平角
∴∠ABC+∠CBD=180°
【点睛】本题考查了直线、线段、射线的作图，解决本题的关键是准确作图．
【变式1-2】（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕
迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)4.5
【分析】（1）作射线AM，在射线AM上顺次截取AE=a,EF=c，在线段FA上截取FB=b，则线段AB
即为所求；
（2）由（1）中结论及已知条件，求得AB的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长．
【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求：
（2）如图，
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∵ a=6，b=4，c=7，
∴AB=a+c−b=6+7−4=9
∵点C是线段AB的中点，
1 1
∴AC= AB= ×9=4.5
2 2
即AC的长4.5．
【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式1-3】（2022上·广西梧州·七年级统考期末）（1）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作图，分别
作下列两条线段．
①AB=a+b；
②CD=2a−b．
（2）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）155°
【分析】（1）①先作线段 AC=a，再以点C为一端点，往AC延长线方向作线段CB=b即可；
②先作线段 CE=2a，再以点E为一端点，往EC延长线方向作线段ED=b即可；
（2）先根据已知条件求出∠AOD的度数，再由∠AOC=∠COD+∠AOD计算即可．
【详解】（1）解：
①AB=a+b；
②CD=2a−b
（2）解：∵∠AOB=90°，∠BOD=25°
∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−25°=65°
∵∠COD=90°
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+65°=155°．
【点睛】本题考查了作图-线段的和差及计算角的和差，熟练掌握作图技巧及知识点是解题的关键．
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题型02 尺规作图-作角度
类型一 作一个角等于已知角
【例2】（2022·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和
圆规在AB边上找一点D，使∠BCD=∠A，则符合要求的作图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】过点D作AB的垂线，利用同角的余角相等证明即可．
【详解】根据题意，A作图是构造等腰三角形，
不符合题意；
B是作的角的平分线，
故不符合题意；
C是过点D作AB的垂线，
∴∠A=90°-∠B，∠BCD=90°-∠B，
∴∠BCD=∠A，
故C符合题意；
D作的是线段AC的垂直平分线，
故不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了垂线的基本作图，余角的性质，熟练掌握作图，灵活运用互余性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023·山东青岛·校考一模）如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．
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(1)尺规作图：以E为顶点，作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F．
（2）根据∠DFE＝150°，可得到∠EFB的度数，再根据平行线的判定及性质，角平分线的定义即可得到
∠BEF的度数．
【详解】（1）解：如图，∠AEF即为所求；
（2）∵∠DFE＝150°，
∴∠EFB＝180°－150°＝30°，
∵∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC．
∴∠FBC＝∠EFB＝30°，∠EBC+∠BEF＝180°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝2∠FBC＝60°，
∴∠BEF＝180°－60°＝120°．
【点睛】本题考查了基本作图，角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握作一个角等于已知角，熟练
运用平行线的判定和性质是解决本题的关键．
【变式2-2】（2021下·上海闵行·上海上师初级中学校考期中）如图，已知∠AOB=70°，∠α=53°，在
图中用尺规作∠AOC=∠α，并计算∠BOC的值.（保留作图痕迹，不得使用量角器）
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【答案】见解析
【分析】分两种情况：OC在∠AOB内和OC在∠AOB外进行作图解题即可．
【详解】解：如图，当OC在∠AOB内时，
∠BOC=∠AOB−∠AOC=70°−53°=17°，
如图，当OC在∠AOB外时，
∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+53°=123°，
综上所述，∠BOC=17°或∠BOC=123°．
【点睛】本题考查限定工具作图—尺规作一个角等于已知角，角的和差，掌握分类讨论是解题的关键．
类型二 尺规作角的和、差
【例3】（2023上·内蒙古呼和浩特·校考阶段练习）如图，已知∠ABC．
(1)请以射线DG为边作一个角，使它等于∠ABC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）
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(2)若∠ABC的补角是∠ABC的5倍，则∠ABC= ．
【答案】(1)详见解析
(2)30°
【分析】（1）作一个角等于已知角，反向延长所作角的一边，得其邻补角即为所求．
（2）根据补角的定义知互为补角的两个角和为180°，构建方程求解．
【详解】（1）解：作∠MDF=∠ABC，反向延长射线DM，得射线DG，∠GDF即为所求；
（2）解：由题意，得∠ABC+5∠ABC=180°，
解得：∠ABC=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作一个角等于已知角，补角的定义，解题的关键是掌握尺规作图的方
法和步骤，以及相加等于180°的两个角互补．
【变式3-1】（2023上·陕西榆林·校考阶段练习）已知如图∠α、∠β，请你利用尺规作图作∠AOB，使
∠AOB=∠β−∠α．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据尺规作图的方法先作∠AOC=∠β，再以OC为角的一边作∠BOC=∠α，则∠AOB即为
所求．
【详解】解：如图，∠AOB即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，角的计算，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键．
【变式3-2】（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于
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1
点E，请用尺规作图法，在射线BE上求作一点D，使得∠ADE= ∠C．（保留作图痕迹，不写作法）
2
【答案】见解析
【分析】如图所示，作∠CAD=∠C交射线BE于D，点D即为所求．
【详解】解：如图所示，作∠CAD=∠C交射线BE于D，点D即为所求；
∵∠CAD=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AC于点E，
1
∴∠CBE= ∠ABC，
2
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
1
∴∠ADE= ∠C．
2
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等边
对等角等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
类型三 过直线外一点作这条线的平行
【例4】（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，在△ABC中，P为AC边上任意一点，按以下步骤作
图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AP、AB于点M，N；②以点P为圆心，以AM长为
半径作弧，交PC于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作
射线PF交BC于点Q．若∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=（ ）
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A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理得到∠B=80°，再根据作图方法可知∠CPQ=∠A，则PQ∥AB，由此
即可得到∠PQC=∠B=80°．
【详解】解：∵∠A=60°，∠C=40°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=80°，
由作图方法可知∠CPQ=∠A，
∴PQ∥AB，
∴∠PQC=∠B=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，证
明PQ∥AB是解题的关键．
【变式4-1】（2023下·河南焦作·统考期中）如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作
OB 的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB 于点D；
②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA 即为所求．
小亮作图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．以上结论都不正确
【答案】B
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【分析】由作法可知：∠O=∠OAE，结合平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：由作法可知：∠O=∠OAE，
根据内错角相等，两直线平行，可得AE∥OB
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到∠O=∠OAE是关键．
【变式4-2】（2024上·陕西商洛·统考期末）如图，在△ABC中，延长BC至点D，请用尺规作图法求作射
线CE，使得CE∥AB，且点E在BD上方．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角的基本作图，利用同位角相等，两直线平行，画一个角等于∠B，且是一对同位角
即可．
【详解】根据题意，画图如下：
则CE即为所求．
【变式4-3】（2023上·吉林长春·统考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点，在给定的网格中，按下列要求作图
(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
(2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C．
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图，中位线的性质，平行线的性质；
（1）利用网格特征作出BC的中点E，连接DE即可；
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（2）利用网格特征作出线段AC的中点F，连接DF即可；
（3）利用网格特征作出∠ADE=∠C，交AC于点G，即可．
解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，点E即为所求；
（2）如图2中，点F即为所求；
（3）如图3中，利用网格特征作出∠ADE=∠C，交AC于点G，
由三角形的内角和可知：∠AGD=∠B，
故点G即为所求．
类型四 作角平分线
【例5】（2024上·内蒙古包头·统考期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当
1
长为半径作弧，分别交AB,BC于点D和E；②分别以点D,E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧
2
相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H，若∠BHG=110°，则
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∠HGB=（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图思想是解决问题的关键．也考查了平行
线的性质以及三角形内角和．由题意可知BG是∠ABC的平分线，得到∠ABG=∠CBG，根据平行线的
性质得到∠HGB=∠CBG，等量代换得到∠HGB=∠ABG，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：由题意可知BG是∠ABC的平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∵HG∥BC，
∴∠HGB=∠CBG，
∴∠HGB=∠ABG，
∵∠BHG=110°，
1
∴∠AGB=∠HBG= ×(180°−110°)=35°，
2
故选：C．
【变式5-1】（2023上·广东广州·广州市第七十五中学校考期中）如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，与AB交于点D；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小．
【答案】(1)见解析
(2)∠CDA=100°
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）利用三角形内角和及角平分线定义∠ACD=∠BCD=30°，由三角形内角和定理求出∠CDA大小
即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
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（2）解：∵∠A=50°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°，
∵CD平分∠ACB，
1
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=30°，
2
∴∠CDA=180°−∠ACD−∠A=180°−30°−50°=100°．
【点睛】此题考查了基本作图—角平分线，利用角平分线的定义求角度，三角形的内角和定理，熟练掌握
各知识点是解题的关键．
【变式5-2】（2023上·河南驻马店·统考阶段练习）如图，已知△ABC， 过点A 的直线l∥BC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D． 求证：△ABD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义，得出∠ABD=∠ADB，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，BE即为∠B的平分线；
（2）解：∵l∥BC，
∴∠ADB=∠DBC
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
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∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
【点睛】本题考查了作图——角平分线，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握
等腰三角形判定条件是解题关键．
题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
【例6】（2024上·山西吕梁·统考期末）如图，已知△ABC．
实践操作：
（1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺规作图，点D在直线AB的下方，保留作图痕迹，不写
作法）．
推理与探究：
（2）点E是BC上一点，AE∥BD．探究：线段CE+AE与DB有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）CE+AE=DB，见解析
【分析】本题考查了作三角形以及全等三角形的性质、平行线的性质：
（1）以点A为圆心，AC为半径在AB下方画弧，同时以点B为圆心，BC为半径，在AB下方画弧，两弧
相交一点，即为点D，因为AC=AD，AB=AB，BC=BD，所以△ABD≌△ABC，即可作答．
（2）先由全等三角形的性质，得∠CBA=∠DBA，CB=DB，结合平行线的性质，得∠CBA=∠EAB，
以及等角对等边，即可作答．
【详解】解：（1）如图△ABD即为所求；
（2）CE+AE=DB．理由：
∵ △ABD≌△ABC
∴ ∠CBA=∠DBA，CB=DB
∵ AE∥BD
∴ ∠EAB=∠ABD
∴ ∠CBA=∠EAB
∴ EA=EB
∵ CB=CE+EB
∴ DB=CE+AE．
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【变式6-1】（2023上·湖北襄阳·统考期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，
为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
（2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车
亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使OM+ON+MN最短，请在图中作出点O的位置(尺规
作图，不写作法，保留作图痕迹)．
【答案】（1）B；（2）见解析
【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于
已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解．
（2）本题考查将军饮马模型，作M关于直线a的对称点M'，连接N M'与直线a交于点O,根据对称的性质
和两点之间线段最短，即可得到OM+ON+MN最短．
【详解】（1）解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，
∴△ACD≌△BEF(SSS)，
故选：B．
（2）解：点O的位置如图所示：
【变式6-2】（2024上·湖北襄阳·统考期末）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．
如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36°，则△ABC为黄金三角
形．
(1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法）
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(2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质
及角平分线的作图是解答本题的关键．
（1）根据定义可知，黄金三角形需满足两个条件：①等腰三角形，②顶角为36°．因此满足条件的黄金三
角形不唯一，例如以∠C=72°为一个角构造黄金三角形，只需作∠B的平分线交AC于点D，则△BDC是
黄金三角形；
（2）由AB=AC及三角形内角和定理可知∠ABC=∠C=72°，由角平分线的定义可得
∠ABD=∠CBD=36°，则∠BDC=72°，所以∠BDC=∠C，故△BDC是黄金三角形．
【详解】（1）如图，△BDC就是所求作的黄金三角形；
（2）∵AB=AC，
180°−∠A
∴∠ABC=∠C= =72°，
2
由作图可知，BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°，
2
∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
所以△BDC是黄金三角形．
【变式6-3】（2024上·江西南昌·校联考期末）如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅
用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．
(1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3（画出一个即可）；
5
(2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为 （画出一个即可）．
2
【答案】(1)见解析
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(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定：
（1）取格点C，连接AC、BC，则△ABC即为所求；
（2）取格点D，连接AD、BD，则△ABD即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；
（2）解：如图所示，△ABD即为所求。
【变式6-4】（2023上·江苏南京·校联考期末）如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一个含30°角的
直角三角形ABC，使其斜边为AB（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】方法一，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，再以点D为圆心，DB长为半径作弧，以点A
为圆心，AD长为半径作弧与前弧相交于点C，△ABC即为所作；
1
方法二，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，再作射线AC,在射线AC上截取AC= AB，过点C作
2
AC的垂线CB，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交CB于点B，△ABC即为所作．
【详解】解：方法一：含30°角的直角三角形ABC如图所示：
方法二：含30°角的直角三角形ABC如图所示：
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【点睛】本题考查的是作图-复杂作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性质是解题
的关键．
【变式6-5】（2022下·福建漳州·统考期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直
角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使
得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段AC为所求作的线段；
（2）已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．
1
求证：BC= AC．
2
解法一：如图，在AC上截取一点D，使得CD=CB，连接DB．
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∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．
∵CD=CB，∴△BCD是等边三角形．
∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．
∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．
1
∵BC=CD=DB，∴BC= AC．
2
解法二：如图，延长CB至点D，使CB=BD，连接AD．
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，
∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD(SAS)．∴AC=AD．
∴△ACD是等边三角形．
∴AC=CD．
1 1
∵BC= CD，∴BC= AC．
2 2
【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题
的关键．
【变式6-6】．（2022·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个
等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【答案】(1)作图及理由见解析；
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(2)作图及理由见解析．
【分析】（1）首先作线段BC=a，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接AB、CA即可．
（2）首先作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，再直线DE上取线段FC=h，然后AB=AC=a，连接
AB、CB即可．
【详解】（1）解：
作法：1. 作线段BC=a，（如图1）
2.作线段BC的垂直平分线MN，最足为O，
3.在直线MN上取线段OA=h，
4.连接AB、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵线段BC的垂直平分线是MN，OA=h，
∴ AB=AC，△ABC的高为h，
∴△ABC为等腰三角形，
∵ BC=a，
∴△ABC是底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形；
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（2）解：
作法：1. 作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，（如图2）
2. 在直线DE上取线段FC=h，
3.以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线GH于点A，
4. 以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AF于点B，
5.连接BC、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵ AB=AC=a，
∴△ABC为等腰三角形，
∵直线GH垂直于直线DE，垂足为F，FC=h，
∴△ABC是腰长为a，腰上的高为h的等腰三角形；
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质．
题型04 尺规作图-作三角形的中线与高
【例7】（2023下·江苏泰州·泰州市海军中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要
求进行下列作图（只能借助于网格）
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(1)分别画出△ABC的中线BG、高CH；
(2)画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△≝¿；
(3)画一个直角三角形MNP(要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图即可；
（2）根据平移变换的定义和性质作图即可；
（3）由△ABC的面积为3知所作三角形的面积为6，据此结合网格作图即可得解；
【详解】（1）如图所示，中线BG、高CH即为所求；
（2）如图所示，△≝¿即为所求；
（3）如图所示，直角三角形MNP即为所求；
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【点睛】本题主要考查作图-基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高，中线的定义和平移变换
的定义与性质．
【变式7-1】（2023·吉林·一模）如图，图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，
每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图：
(1)在图①中，作△ABC的BC边上的高；
(2)在图②中，过点B作直线l，使得直线l平分△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在CB的延长线上，找到格点D，使得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，连接AD，
即可求解．
（2）根据网格的特点找到AC的中点，过AC的中点与点B作直线l，即可求解．
【详解】（1）解：线段AD即为所求；
∵AB=22+44=20,AD=32+33=18,BD=12+12 =2
∴AB2=AD2+BD2
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴AD即为所求；
（2）直线l即为所求．
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【点睛】本题考查了勾股定理与网格，作三角形的高，中线，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图
法在AC边上作一点P，使得S =4S .（保留作图痕迹，不写作法）
△ABC △ADP
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，与三角形中线有关的面积的计算，分别以点A、C为圆心，大于
1
AC的长度为半径画弧，交于M、N，作直线MN角AC于点P，点P即为所求，熟练掌握以上知识点并
2
灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，点P即为所求，
，
∵在△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴S =2S ，
△ABC △ACD
由作图可得：MN垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴S =2S ，
△ACD △APD
∴S =4S ．
△ABC △APD
【变式7-3】（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小
正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，
并保留作图痕迹．
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(1)网格中∠B的度数是 ___________°；
(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
(4)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、
1
AB边上，位似比为 ．
3
【答案】(1)45
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）直接根据网格的性质求解即可；
（2）找到BC的中点D，连接AD即可；
（3）根据网格的性质画出AC的垂线，与AC交于点E即可；
BM 1
（4）在BC上找到点M，使得 = ，再过点M画AC的平行线，与AB交于点N，即可得解．
BC 3
【详解】（1）解：由图可知：
∠B的度数是45°
（2）在图①中，中线AD即为所求；
（3）在图②中，点E即为所求；
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（4）在图③中，△BMN即为所求．
【点睛】本题考查了作图−位似变换，解决本题的关键是掌握位似变换．
题型05 尺规作图-作垂直平分线
【例8】（2023下·河北石家庄·校考开学考试）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．FH>HG B．FH=HG C．EF>FH D．EF=FH
【答案】A
【分析】由作图可得：PC是∠APB的角平分线，DE是线段PQ的垂直平分线，过H作HK⊥AP于K，
证明HG=HK，结合HK∠B．
(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，使得EA=EB（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AE，若∠B=48°，求∠AEC的度数．
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【答案】(1)见解析
(2)96°
【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点E即可；
（2）结合（1）利用三角形的外角定义即可解决问题．
【详解】（1）如图，点E即为所求；
（2）∵AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∵∠B=48°，
∴∠BAE=∠B=48°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=48°+48°=96°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，
解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
【变式8-4】（2023·广东潮州·二模）如图，在▱ABCD中，AC为对角线．
(1)求证：△ABC≌△CDA．
(2)尺规作图：作AC的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若△CDE的周长为10，求▱ABCD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)20
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAC=∠BCA，利用AAS即可证明△ABC≌△CDA；
1
（2）以A，C分别为圆心，大于 AC长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；
2
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（3）利用垂直平分线的性质可以得到CE=AE，结合CE+ED+CD=10，得到AD+CD=10，根据平行
四边形的性质即可求得结论；
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠DAC=∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
¿，
∴△ABC≌△CDA（AAS）；
（2）如图，EF即为所作；
（3）∵EF垂直平分AC，
∴CE=AE，
∵△CDE的周长为10，
∴CE+ED+CD=10，
∴AE+ED+CD=10，
∴AD+CD=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∴▱ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=2(AD+CD)=20．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作图
是解题的关键．
题型06 尺规作图- 画圆
【例9】（2023·福建泉州·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC是钝角
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(1)求作⊙O，使得圆心O在边AC上，且⊙O经过点B,C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，设AC与⊙O的另一个交点为D，且AC=2AB=4AD求证：AB是⊙O的切线
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由⊙O经过点B,C可知圆心O到点B,C的距离相等，因此线段BC的垂直平分线与AC的交
点即为圆心O，由此可解；
（2）连接OB，设AC=8k(k>0)，则AB=4k，AD=2k，利用勾股定理的逆定理判断∠ABO=90°，
即可证明AB是⊙O的切线．
【详解】（1）解：如图1，⊙O是所求作的圆：
图1
（2）证明：如图2，连接OB，
图2
设AC=8k(k>0)，则AB=4k，AD=2k，
∴CD=AC−AD=8k−2k=6k，
1
∴ OC=OB=OD= ×6k=3k，
2
AO=AD+OD=2k+3k=5k．
在△ABO中，OB2+AB2=(3k) 2+(4k) 2=25k2，AO2=25k2，
∴ OB2+AB2=AO2，
∴ ∠ABO=90°，即AB⊥BO．
∵点B在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，圆的基本性质，勾股定理的逆定理，切线的判定等，难
度不大，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用上述知识点．
【变式9-1】（2021·山东青岛·统考一模）已知：△ABC及AB边上一点E．
求作：⊙O，使它分别与AB、BC相切，且点E为其中一个切点．
（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
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【答案】见解析
【分析】过点E作AB的垂线，作∠ABC的平分线，两线相交于点O，然后以O点为圆心，OE为半径作
⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式9-2】（2021·江苏盐城·校考二模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作⊙O，使点O在BC上，且⊙O与AC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC=8，BC=15，求⊙O半径．
24
【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径为 ．
5
【分析】（1）如图作∠CAB的平分线交BC于点O，以OC为半径作 O即可；
1 1
（2）设点E为切点，OE＝OC＝r，根据S AOB= •AB•OE= •OB•A ⊙ C，构建方程即可；
△ 2 2
【详解】解：（1）如图作∠CAB的平分线交BC于点O，以OC为半径作 O， O即为所求；
⊙ ⊙
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（2）设点E为切点，OE＝OC＝r，
在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√82+152=17，
1 1
∵S AOB= •AB•OE= •OB•AC，
△ 2 2
∴17r＝8（15﹣r），
24
∴r= ．
5
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
【例10】（2023·广东茂名·统考一模）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一
条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=24cm，CD=8cm．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13cm
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O
是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径OA的长．
【详解】（1）解：作弦AC的垂直平分线与弦BC的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O
就是此残片所在的圆，
如图1所示．
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（2）连接OA，如图2所示：
设OA=x，
∵CD=8cm，AD=12cm，
∴OD=(x−8)cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+(x−8) 2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
【点睛】本题考查了作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方
程是解决问题（2）的关键．
【变式10-1】（2023·河南新乡·统考三模）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已
经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示
的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全⊙O，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线交
CB的延长线于点E，过点C作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD．
①求证：AD=AC；
②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC=√70,BC=4，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)① 见解析；②7
【分析】（1）分别作出AB和BC的垂直平分线交于点O，即为所求作的圆心O；
（2）①连接AO并延长交CD于点F，根据切线的性质和平行线的性质得到OF⊥CD，然后利用垂径定理
得到DF=CF，最后利用垂直平分线的性质求解即可；
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1
②连接BD，首先根据题意得到OF是△DCB的中位线，得到OF= BC=2，然后得到AD=AC=√70，
2
最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，分别作AB和BC的垂直平分线交于点O，
∴点O即为所求作的圆心O；
（2）如图所示，连接AO并延长交CD于点F，
∵AE是⊙O的切线，
∴FA⊥AE，
∵CD∥AE，
∴∠AFC=90°，
∴OF⊥CD，
∴DF=CF，
∴AF所在直线是CD的垂直平分线，
∴AD=AC；
②如图所示，连接BD，
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∵DB为⊙O的直径，
∴点O是DB的中点，OD=AO=BO，
∵点F是CD的中点，
∴OF是△DCB的中位线，
1
∴OF= BC=2，
2
∵AD=AC=√70，
∵AF⊥DC，
∴AD2−AF2=OD2−OF2，
即(√70) 2 −(AO+2) 2=AO2−22，
∴解得AO=−5（舍去），AO=7，
∴⊙O的半径为7．
【点睛】此题考查了尺规作圆的圆心，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握以上知识点．
【变式10-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
(1)在AB边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BD=2√3，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为2．
【分析】（1）作AD的垂直平分线与AB的交点为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：如图：⊙O即为所求；
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；
（2）解：连接OD，设⊙O的半径为x，即OA=OD=x，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD2+BD2=OB2，即：x2+(2√3) 2=(6−x) 2，
解得：x=2，
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
题型09 尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【例11】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一
条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
【答案】见解析
【分析】本题考查切线的定义和尺规作图；作法为：①连接OP，以OP为直径作⊙O'；②⊙O'与⊙O相
交于点E，作直线PE．则直线PE即为所求．
【详解】解：如图，直线PE即为所求，
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证明：∵OP是直径，
∴∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切线．
【变式11-1】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC
于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
(1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
1
(2)在（1）的条件下，求证：PQ= BD，
2
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）连接OP，过P作OP的垂线即可；
（2）根据圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形的中位线的性质证明．
【详解】（1）解：如图：PQ即为所求；
1
作射线OP，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于 MN为半径画
2
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弧，两弧交于点E，作直线PE，交AC于点Q，则直线PQ即为所求；
（2）证明：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠D=∠APB=90°，
∵AB=AC，
∴BP=CP，
∵OA=OB，
∴OP∥AC，
∵PQ为⊙O的切线，
∴OP⊥PQ，
∴PQ⊥AC，
∵BD⊥CD，
∴PQ∥BD，
∴CQ=DQ，
∴PQ是△BCD的中位线，
1
∴PQ= BD．
2
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形的中位线的性质是解题的关
键．
【变式11-2】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，
∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接OD．
(1)尺规作图：先作线段CD的垂直平分线l，交AC于点E，再作直线DE；（要求：不写作法，保留作图痕
迹）
(2)DE是⊙O的切线吗？请说明理由；
(3)当点O是AB中点时，请直接写出此时线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE是⊙O的切线，理由见解析
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(3)3
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的尺规作图方法确定出点E的位置，再作直线DE即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到ED=EC，则∠EDC=∠C，再根据等边对等角得到
∠OBD=∠ODB，由∠OBD+∠C=90°，得到∠ODB+∠EDC=90°，则∠ODE=90°，即
OD⊥DE，由此即可证明DE是⊙O的切线；
（3）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠ADC=90°，由等边对等角得到∠OAD=∠ODA，再证
1
明∠EAD=∠EDA，得到EA=ED，则EA=ED=EC= AC=3．
2
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：DE是⊙O的切线，理由如下：
∵直线l是线段CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠A=90°，
∴∠OBD+∠C=90°，
∴∠ODB+∠EDC=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：由题意得AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ODE=∠OAE=90°，
∴∠OAD+∠EAD=∠ODA+∠EDA，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
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1
∴EA=ED=EC= AC=3．
2
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质和
线段垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
题型10 尺规作图-作外接圆
【例12】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知∠A=90°，作出△ABC的外接圆⊙M
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】作BC的垂直平分线与BC交于点M，以M为圆心，BC为直径画圆即可．
【详解】解：如图所示，⊙M即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—画圆，熟练掌握90°角所对的弦是直径是解题的关键．
【变式12-1】（2022·黑龙江绥化·统考三模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆⊙O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；
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③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；
(2)在（1）中所作的图中，若AB=4，BC=2，则线段AE的长为______．
【答案】(1)作图见解析；
4
(2) √21．
7
【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB的垂直平分线，找出圆心O，以
O为圆心，OA为半径画圆即可，再分别以A，B为圆心，AB为半径画弧交于点D，连接AD，CD，即可做
出等边三角形ACD；
（2）证明∠BAD=90°，利用勾股定理求出BD=√AB2+AD2=2√7，再利用等面积法即可求出线段AE的
长．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：∵AB=4，BC=2，△ACD是等边三角形，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，
√3
∴AD=AC=AB× =2√3，
2
∴BD=√AB2+AD2=2√7，
1
AB·AD
2 4
∴AE= = √21，
1 7
BD
2
4
故线段AE的长为 √21．
7
【点睛】本题考查三角形的外接圆，垂直平分线的作法，等边三角形的性质，勾股定理，（1）的关键是
掌握直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，（2）的关键是证明∠BAD=90°．
题型11 尺规作图-作内切圆
【例13】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，已知△ABC．
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(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作△ABC的内切圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=4，AB=5，BC=6，则tan∠OBC=__________．（如需画草图，请使用
图2）
【答案】(1)见解析
√7
(2)
7
【分析】（1）作∠ACB,∠ABC的角平分线，交于点O，过点O作BC的垂线，交BC于点D，以点O为
圆心，OD为半径画圆，⊙O即为所求；
OD
（2）如图，切线长定理求出BD的长，等积法求出OD的长，再利用tan∠OBC= ，进行求解即可．
BD
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）设AB,AC分别切⊙O于点E,F，连接OE,OF，则：OE⊥AB,OF⊥AC，OD=OE=OF，
由题意，得：OD⊥BC，BD=BE,AE=AF,CD=CF，
设BD=BE=x，
∴AE=AF=AB−BE=5−x，CD=CF=BC−BD=6−x，
∴AC=AF+CF=5−x+6−x=4，
7
∴x= ，
2
过点A作AG⊥BC于点G，则：∠AGB=∠AGC=90°，
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设BG=a，则：CG=6−a，
∵AG2=AB2−BG2=AC2−CG2
∴52−a2=42−(6−a) 2，
15
解得：a= ，
4
5
∴AG=√AB2−BG2= √7，
4
∵S =S +S +S ，
△ABC △AOB △BOC △AOC
1 1 5√7
∴ BC⋅AG= (AB+BC+AC)⋅OD，即：6× =(4+5+6)⋅OD，
2 2 4
√7
∴OD= ；
2
OD √7
∴tan∠OBC= = ．
BD 7
√7
故答案为： ．
7
【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，解直角三角形．熟练掌握等积法求三角形的内切圆的半
径，是解题的关键．
【变式13-1】（2021·广东佛山·统考一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）尺规作图：作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若⊙O的半径为1，求BC的长．
【答案】（1）图见解析；（2）2√2+2．
【分析】（1）作∠BAC的平分线AD，再作∠ABC的平分线交AD于O，然后以O点为圆心，OD为半径
画圆即可；
（2）过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OC，如图，根据切线的性质得到OD＝OE＝OF＝1，利
用四边形AEOF为正方形得到OA＝√2OE＝√2，然后根据等腰直角三角形的性质得到BC＝2AD．
【详解】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OC，如图，
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∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝1，
易得四边形AEOF为正方形，
∴OA＝√2OE＝√2，
∴AD＝AO+OD＝√2+1，
∵AD为等腰直角三角形斜边上的角平分线，
∴AD为斜边上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴BC＝2AD＝2√2+2．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
题型12 尺规作图-作圆内接正多边形
【例14】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一
个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】先作直径AC，再作AC的垂直平分线交O于点B，D，则四边形ABCD为⊙O的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几
何图形的性质和基本作图的方法作出图，同时此题也考查了正多边形和圆．
【变式14-1】（2023上·浙江宁波·宁波市第七中学校联考期中）如图，已知⊙O．
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(1)用直尺和圆规作出圆的内接正六边形ABCDEF（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若⊙O半径为6，求A´B的长度（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)2π
【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于半径．
（1）连接AO，以A为圆心，AO为半径作弧交⊙O于B，F，再以B为圆心，AO为半径作弧交⊙O于
C，以C为圆心，AO为半径作弧交⊙O于D，以D为圆心，AO为半径作弧交⊙O于E，连接
AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求；
1
（2）由作图知A´B的长度是⊙O周长的 ，进而可求出A´B的长度．
6
【详解】（1）如图，六边形ABCDEF即为所求；
（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴A´B=B´C=C´D=D´E=E´F=F´A，
1
∴A´B的长度是⊙O周长的 ，
6
1
∴A´B的长度为 ×2π⋅6=2π．
6
题型13 尺规作图-格点作图
【例15】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只
用无刻度的直尺作图.
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(1)在图①中，作∠A的角平分线；
(2)在图②中，在AC边上找一点D，使得AB2=AD⋅AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长AB构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠A的角平分线过等腰三角形底边的
中点，找出底边中点P与点A连接即可；
（2）设网格边长为1，如图，取格点P、Q、M，连接PQ交网格于N，连接MN，交网格于E，连接BE
AD 16
交AC于D，可得△ABD~△ECD，根据AB2=AD⋅AC可得 = ，根据相似三角形的性质结合网格
CD 9
9
特征作出CE= 即可得答案．
4
【详解】（1）解：如图，点射线AP即为所求；
（2）解：设网格边长为1，如图，取格点P、Q、M，连接PQ交网格于N，连接MN，交网格于E，连接
BE交AC于D，
AB 4
∵AB2=AD⋅AC， = ，
AC 5
AD 16
∴ = ，
CD 9
∵CE∥AB，
∴△ABD~△ECD，
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AD AB 16
∴ = = ，
CD CE 9
9
∴CE=
4
∴如图，点D即为所求；
【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练
掌握相关知识是解题的关键．
【变式15-1】（2023·吉林长春·统考一模）如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定
的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作△ABC的中线CD．
(2)在图②中，在AB边上找一点E，连结CE，使CE=BE．
10
(3)在图③中，在AC边上找一点F，连结BF，使△BFC的面积为 ．
3
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找出线段AB的中点D，连接CD即可；
（2）找到格点M，连接CM，与线段AB的交点为点E，连接CE即可；
（3）作线段AC的三等分点F，连接BF即可．
【详解】（1）解：如图，线段CD即所得；
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（2）解：如图，
（3）解：如图；
【点睛】本题考查基本作图，中线的定义、等腰三角形的性质、线段三等分点的作法，相似三角形的性质，
熟练掌握三等分点的作法是解题的关键．
【变式15-2】（2023·天津河北·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M,Q在格点上，
点N为小正方形边的中点，连接MN．
(1)MN的长为_________
(2)点P为线段MN上一点，当∠MPQ=45°时，请用无刻度的直尺在网格中画出点P，并简要说明点P的
位置是如何找到的（不要求证明）
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√89
【答案】(1)
2
(2)见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理计算可得；
（2）在网格图中作点C，使QC⊥MN，QC=MN，构造等腰直角△QCD，∠QCD=90°，QC=CD，
则∠QDC=45°，CD∥MN，DQ交MN于P点，则有∠MPQ=∠CDQ=45°，
√ 5 2 √89
【详解】（1）解：MN= 42+( ) = ，
2 2
√89
故答案为： ．
2
（2）如图，点P为所求，
5
将点Q向下平移4个单位，向左平移 个单位得点C，（即取小正方形边的中点C），再将点C向右平移4
2
5
个单位，向下左平移 个单位得点D，（小正方形的中心），连接QD，得等腰直角△QCD，
2
∠QCD=90°，QC=CD，QD交MN于P点，则∠MPQ=∠CDQ=45°，
【点睛】本题主要考查了勾股定理，网格作图．涉及了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是掌握在网格中构造垂直的线段和作中点、正方形的中心．
【变式15-3】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线
段AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE；连接PE交AC于F，则sin∠APF=______
(2)在图2中，在线段AC上画点Q，连接PQ，使得PQ∥BC
(3)在图3中，分别在线段AC，线段BC上画M，N连接PM，MN，使得PM+MN最小.
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3√10
【答案】(1)
10
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，利用格点可得Rt△AGB≌Rt△EKA，由此可得点E，再证Rt△HAP∽Rt△KEA，
AP AH 1
可得 = = ，即EA=3AP，再由勾股定理可得PE=√AP2+EA2=√10AP，进而可得
EA EK 3
sin∠APF；
（2）连接TX交AC于点Q，连接PQ，点Q即为所作；
（3）连接SL交AC于点M，取格点B'，连接AB'交网格线于点P'，连接P'M并延长交BC于点N，点M，
N即为所作．
【详解】（1）解：如图，线段AE即为线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段．
由图可知，AG=EK=3，∠AGB=∠EKA=90°，GB=KA=4，
∴ Rt△AGB≌Rt△EKA(SAS)，
∴ ∠GAB=∠KEA，AB=AE，
∵ ∠KAE+∠KEA=90°，
∴ ∠GAB+∠KAE=90°，
∴ ∠BAE=90°，
∴线段AE即为所求；
∵ ∠HAP=∠KEA，∠AHP=∠EKA=90°，
∴ Rt△HAP∽Rt△KEA，
AP AH 1
∴ = = ，
EA EK 3
∴ EA=3AP，
∴ PE=√AP2+EA2=√10AP，
AE 3AP 3√10
∴ sin∠APE= = = ，
PE √10AP 10
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3√10
∴ sin∠APF= ，
10
3√10
故答案为： ．
10
（2）解：如图，连接TX交AC于点Q，连接PQ，点Q即为所作；
∵ AZ∥BY，BY =2AZ，
AP AZ 1
∴ = = ，
BP BY 2
∵ AX∥CT，CT=2AX，
AQ AX 1
∴ = = ，
QC CT 2
AP AQ
∴ = ，
BP QC
∴ PQ∥BC；
（3）解：如图，连接SL交AC于点M，取格点B'，连接AB'交网格线于点P'，连接P'M并延长交BC于点
N，
设小正方形的边长为1，
∵ AO=CO=4，∠AOC=90°，
∴ △AOC是等腰直角三角形，∠ACB=45°，
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∴ ∠ACB'=90°−∠ACB=45°，
又∵ BC=B'C=7，
∴ △BAC和△B' AC关于AC对称，
∴点P和点P'关于AC对称，
∴ PM=P'M，PM和P'M关于AC对称，
由（2）可知PM∥BC，
∴ ∠AMP=∠ACB=45°，
∴ ∠AM P'=45°，
∴ ∠PM P'=45°+45°=90°，
∴ M P'⊥BC，
∴ PM+MN=P'M+MN=P'N，
即此时PM+MN最小，
∴点M，N即为所作．
【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，
轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．
考点二 定义、命题、定理
类别 相关内容
定 义 与 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
命题 2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”
后接的部分是结论．
真 命 1．正确的命题叫做真命题．
题 、 假 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
命题 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
逆命题 1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命
题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条
件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命
题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
公 理 与 1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这
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定理 样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判
断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
互 逆 命 1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个
题 定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互
逆定理．
反证法 1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设
不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义
或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
题型01 判断是否命题
【例1】（2021·广东深圳·明德学校校考一模）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a=b，a=c，那么b=c
【答案】B
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】解：由题意可知，
A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果a=b，a=c，那么b=c，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为
假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
【变式1-1】（2023·广东揭阳·统考二模）下列句子中哪一个是命题（ ）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空．
C．猴子是动物． D．过直线l外一点作l的平行线．
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【答案】C
【分析】需判定每个句子是否判断一件事情，若进行了判断，则为命题，反之，则不是命题；根据上述方
法判断．
【详解】解：A、你的作业做完了吗？它是疑问句，不是命题，本选项不符合题意；
B、美丽的天空，它是描述性语言，不是命题，本选项不符合题意；
C、猴子是动物，是命题，本选项不符合题意；
D、过直线l外一点作l的平行线，它是描述性语言，不是命题，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题．正确记忆命题的定义是解题关键．
题型02 判断命题真假
【例2】（2023·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）已知二次函数y=x2+ax+b（a，b为常数）．命
题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的
交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假
命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【答案】A
a
【分析】根据对称轴为直线x=− =1，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为
2
x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可．
【详解】假设抛物线的对称轴为直线x=1，
a
则x=− =1，
2
解得a= -2，
∵函数的图像经过点(3，0),
∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
令y=0，得x2−2x−3=0，
解得x =−1,x =3，
1 2
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②，③，④都是正确，命题①错误，
故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物
线与x轴的交点问题是解题的关键．
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【变式2-1】（2022·河南洛阳·统考一模）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
【答案】B
【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．
【点睛】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
【变式2-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．
C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合
题意．
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定
方法，属于中考常考题型．
【变式2-3】（2023·湖南岳阳·岳阳市弘毅新华中学校考一模）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判
断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项
不符合题意；
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B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真
命题，故此选项不符合题意；
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以
及直角三角形斜边上的中线的性质．
【变式2-4】（2022·江苏无锡·校考一模）下面a，b的取值，能够说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命
题的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝﹣3，b＝﹣5 D．a＝﹣3，b＝5
【答案】C
【分析】命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题
可以写成“如果…那么…”形式，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进
行判断即可．
【详解】解：当a＝﹣3，b＝﹣5时，a＞b，而|a|＜|b|，
所以能够说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的是a＝﹣3，b＝﹣5，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．有些命题的正确性是用推理证实的，
这样的真命题叫做定理．
题型03 举反例说明命题为假命题
【例3】（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）要说明命题“若a2>b2，则a>b是
假命题”，下列a，b的值能作为反例的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=−2，b=−1 C．a=−1，b=−2 D．a=2，b=−1
【答案】B
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个条件逐项判定即可．
【详解】解：A、a＝3，b＝2，满足a2>b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
B、a＝﹣2，b＝﹣1，满足a2>b2，但不满足a＞b，故能作为证明原命题是假命题的反例；
C、a＝﹣1，b＝﹣2，不满足a2>b2，满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
D、a＝2，b＝﹣1，满足a2>b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
故选：B．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，理解“要说明命题为假命题，只需举出一个反例”是解题的关键．
【变式3-1】（2023·北京·模拟预测）“如果a2>b2，那么a>b”是假命题，请举出一个反例．在你举出的
反例中，a= ，b= ．
【答案】 ﹣1（答案不唯一） 0（答案不唯一）
【分析】找出一对使得命题不成立的数即可．
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【详解】解：当a＝﹣1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，故原命题为假命题，
故答案为：﹣1，0．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，能根据题意举出合适的反例是解答此题的关键．
题型04 写出命题的逆命题
【例4】（2022·广东广州·统考一模）下列命题的逆命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】C
【分析】根据矩形的性质、逆命题及真假命题可进行排除选项．
【详解】解：A、原命题的逆命题是：矩形的对角线相等，是真命题，故不符合题意；
B、原命题的逆命题是：矩形的对角线互相平分，是真命题，故不符合题意；
C、原命题的逆命题是：矩形的对角线互相垂直，是假命题，故符合题意；
D、原命题的逆命题是矩形有一个角是直角，是真命题，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主语考查矩形的性质、逆命题及真假命题，熟练掌握矩形的性质、逆命题及真假命题是解题
的关键．
【变式4-1】（2022·广东珠海·统考二模）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．两直线平行，内错角相等 D．如果a=b，那么a2=b2
【答案】C
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B．逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
C．逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；
D．逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，错误，为假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
【变式4-2】（2020·河北·模拟预测）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为
.
【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.
【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命
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题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
题型05 反证法证明中的假设
【例5】（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）用反证法证明“若ab2”时，
应假设（ ）
A．a≤b B．a≥b C．a2≤b2 D．a2≥b2
【答案】C
【分析】根据反证法的第一步是否定结论， 大于的否定说法是小于或等于，则可判断结论．
【详解】否定结论：a2>b2，则应假设：a2≤b2，
故选：C．
【点睛】本题考查反证法对结论的否定，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于
或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等．
【变式5-1】（2022·广东佛山·统考二模）命题：已知△ABC，AB=AC．求证：∠B<90°．运用反证法
证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A．AB≠AC B．∠B>90° C．∠B≥90° D．AB≠AC且∠B≥90°
【答案】C
【分析】根据反证法的步骤，第一步要从结论的反面出发假设结论，即可判断．
【详解】解：∵∠B<90°的反面为∠B≥90°，
∴第一步应假设∠B≥90°成立，
故选C．
【点睛】此题考查的是反证法的步骤，掌握反证法的第一步为假设结论不成立，并找到结论的反面是解决
此题的关键．
【变式5-2】（2020·浙江杭州·模拟预测）若要运用反证法证明“若a>b>0，则√a<√b”，首先应该假设
（ ）
A．√a≥√b B．√a>√b C．√a≤√b D．√a<√b
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
【详解】解：反证法证明“若a>b>0，则√a<√b”时，首先应假设√a≥√b，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果
只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
题型06 用反证法证明命题
【例6】（2023·福建泉州·统考二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D=360°．
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老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°，
如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点．
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠EFG．
∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°，
∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°，
这与“________”相矛盾，
∴假设不成立，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
【答案】三角形的外角和等于360°
【分析】先假设∠B+∠E+∠D≠360°，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论．
【详解】证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°，
如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点．
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠EFG．
∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°，
∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°，
这与“三角形的外角和等于360°”相矛盾，
∴假设不成立，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
故答案为：三角形的外角和等于360°
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【点睛】本题考查的是反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论
证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
【变式6-1】（2022·湖南长沙·校考一模）在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得
出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．
请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．
求证：∠1=∠2．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2
∴A'B'∥CD（ ）
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴∠1=∠2．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两
条直线互相平行．
【答案】(1)∠1≠∠2；同位角相等，两直线平行
(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】（1）证明：假设∠1≠∠2．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2，
∴A'B'∥CD（同位角相等，两直线平行）
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ∠1≠∠2；同位角相等，两直线平行；
（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
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故答案为：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这个
假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定假设
不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
【变式6-2】．（2018·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所
以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m-3=0 有两个实根x 和x．
1 2
求证：x≠x．
1 2
【答案】见解析
【分析】假设x=x，则方程有两个相等的实数根，即判别式△=0，据此即可得到关于m的一元二次方程，
1 2
而此方程无实数根，从而证明△=0错误，得到所证的结论．
【详解】证明：假设x=x，则〔﹣（m+1）〕2-4（2m﹣3）=0，整理得：m2﹣6m+13=0，
1 2
而m2﹣6m+13=（m﹣3）2+4＞0，与m2-6m+13=0矛盾，
故假设不成立，
所以x≠x．
1 2
【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时
要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定．
68
