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专题 14 三角形
课标要求 考点 考向
考向一 三角形的分类
考向二 三角形三边关系
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线
等概念，了解三角形的稳定性。
与 三 角 考向三 三角形的高
2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角
形 有 关
形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 考向四 三角形的中线
的线段
3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的证明方
考向五 线段的垂直平分线
法。
4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平 考向六 角平分线的性质和判定
分线的性质定理。
与 三 角 考向一 三角形的内角和定理
5.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定
形 有 关
考向二 三角形的外角的定义及性
理。
的角
质
6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰（等边）三
全 等 三 考向一 全等三角形的概念及性质
角形的性质定理，探索并掌握等腰（等边）三角形的判
角形 考向二 全等三角形的判定
定定理。
考向一 等腰三角形的定义及性质
7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性
等 腰 三 考向二 等腰三角形是判定
质定理。
角形 考向三 等腰三角形的性质及判定
8.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简
考向四 等边三角形
单的实际问题。
直 角 三 考向一 直角三角形
角形 考向二 勾股定理及逆定理
考点一 与三角形有关的线段
►考向一 三角形的分类
1．（2024·陕西·中考真题）如图，在 中， ， 是 边上的高，E是 的中点，连
接 ，则图中的直角三角形有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
►考向二 三角形三边关系
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形
的周长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在 中， ，以 为边作 ， ，
点D与点A在 的两侧，则AD的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
4．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
►考向三 三角形的高
5．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
6．（2024·山东德州·中考真题）如图，在 中， 是高， 是中线， ， ，则
的长为（ ）
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A． B．3 C．4 D．6
►考向四 三角形的中线
7．（2024·河北·中考真题）如图， 的面积为 ， 为 边上的中线，点 ， ， ， 是线段
的五等分点，点 ， ， 是线段 的四等分点，点 是线段 的中点．
（1） 的面积为 ；
（2） 的面积为 ．
8．（2024·浙江·中考真题）在 的方格纸中， 的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，分
别按下列要求画图．
(1)在图1中的线段 上找一点D，连接 ，使 平分 的面积．
(2)在图2中的线段 上找一点E，连接 ，使 平分 的周长．
►考向五 线段的垂直平分线
9．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在 中， ， ，分别以点 ，点 为圆心，
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大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ， ，过点 ， 作直线交 于点 ，连接 ，则 的
周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在 中， 垂直平分 交 于点 ，若
的周长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
►考向六 角平分线的性质和判定
12．（2024·青海·中考真题）如图， 平分 ，点P在 上， ， ，则点P到 的
距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2024·云南·中考真题）已知 是等腰 底边 上的高，若点 到直线 的距离为3，则点
到直线 的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
14．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上分别截取
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线段 ， ，使 ；分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交于
点P，作射线 ，交 于点M，过点M作 于点N．若 ， ，则
．
15．（2024·陕西·中考真题）如图，在 中， ，E是边 上一点，连接 ，在 右侧作
，且 ，连接 ．若 ， ，则四边形 的面积为 ．
考点二 与三角形有关的角
►考向一 三角形的内角和定理
16．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线 ， 于点D， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，
交 于点 ，交 于点 ；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径
相等）在 的内部相交于点 ；画射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为（ ）
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A． B． C． D．
18．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传
递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架 交于它们
的中点E，液压杆 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·四川·中考真题）如图，在 中， ， ，按如下步骤作图：①以点B为圆
心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 长为半径画弧，
两弧在 的内部相交于点F，作射线 交 于点G．则 的大小为 度．
►考向二 三角形的外角的定义及性质
20．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图， 中， ， 平分 的外角 ，点 是 的中点，连接 并延长交
于点 ，连接 ．
求证：四边形 是平行四边形．
证明：∵ ，∴ ．
∵ ， ， ，
∴①______．
又∵ ， ，
∴ （②______）．
∴ ．∴四边形 是平行四边形．
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若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A． ， B． ，
21．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·新疆·中考真题）如图，在 中， ．若点D在直线 上（不
与点A，B重合），且 ，则 的长为 ．
23．（2024·重庆·中考真题）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．
若 ，则 的长度为 ．
考点三 全等三角形
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易错易混提醒
1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
3.三边分别相等的两个三角形全等。
4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
►考向一 全等三角形的概念及性质
24．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形 由四个全等的直角三角形
和中间一个小正方形 组成，连接 ．若 ，则 （ ）
A．5 B． C． D．4
25．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴
影部分的两个三角形关于点 对称的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是 ，将线段 绕点O顺时针旋转90°，点A的对应
点的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
►考向二 全等三角形的判定
27．（2024·浙江·中考真题）如图，在正方形 中， 分别是边 上的点，
且 分别在边 上，且 与 交于点O，记 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
28．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形 ，E，F，G，H分别为各边中点，连接 ，
， ， ，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
29．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.
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（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆心， 长为半径画
弧，两弧交于点 ；
（3）过点 作射线 ，则 .
上述方法通过判定 得到 ，其中判定 的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
30．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系 中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，
则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
31．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形 中， ， ，F是CD的中点．下列条件中，
不能推出 与CD一定垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·山东·中考真题）如图，点 为 的对角线 上一点， ， ，连接 并延
长至点 ，使得 ，连接 ，则 为（ ）
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A． B．3 C． D．4
考点四 等腰三角形
►考向一 等腰三角形的定义及性质
33．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中
与 都是等腰三角形，且它们关于直线 对称，点 ， 分别是底边 ， 的中点，
．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024·重庆·中考真题）如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点，连接 ，
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
35．（2024·上海·中考真题）在菱形 中， ，则 ．
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36．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知 ， 是等腰直角三角形， ，顶点
分别在 上，当 时， ．
►考向二 等腰三角形是判定
37．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片 ， ， ，他
进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把 沿 折叠得到 ， 交折痕 于点E，则线段
的长为（ ）
A． B． C． D．
38．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片 中， ，点E、F分别在边 上，
将纸片 沿 折叠，使点D的对应点 在边 上，点C的对应点为 ，则 的最小值为
，CF的最大值为 ．
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39．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形 中， ， ， ， ．以点
为圆心，以 长为半径作图，与 相交于点 ，连接 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别与
， 相交于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内
部相交于点 ，作射线 ，与 相交于点 ，则 的长为 （用含 的代数式表示）．
40．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是 边 ， 的中点，连接 ， ．若
，则 的长为
41．（2024·山东·中考真题）如图，已知 ，以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别与 、
相交于点 ， ；分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内部相交于点
，作射线 ．分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线
分别与 ， 相交于点 ， ．若 ， ，则 到 的距离为 ．
►考向三 等腰三角形的性质及判定
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42．（2024·安徽·中考真题）如图，在 中， ，点 在 的延长线上，且 ，
则 的长是（ ）
A． B． C． D．
43．（2024·山西·中考真题）如图，已知 中， ，以BC为直径作半圆（圆心为点
O），交 于点D，E．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
►考向四 等边三角形
44．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在 中， ，将 沿BD翻折 得
到 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 为AB的中点，连接 ．若 ，
则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
45．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形 中，点 在 上，当 是等边三角形时， 为
（ ）
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A． B． C． D．
46．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形 内接于 ， ，则AB的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
47．（2024·甘肃·中考真题）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点O， ，
，则 的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
48．（2024·湖北·中考真题） 为等边三角形，分别延长 ，到点 ，使
，连接 ， ，连接 并延长交 于点 ．若 ，则
， ．
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考点五 直角三角形
►考向一 直角三角形
49．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点
的对应点分别为 ，延长 交 于点 ，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
50．（2024·海南·中考真题）如图，菱形 的边长为2， ，边 在数轴上，将 绕点A
顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
52．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提
起．起始位置示意图如图2，此时测得点 到 所在直线的距离 ， ；停止位置示意
图如图3，此时测得 （点 ， ， 在同一直线上，且直线 与平面平行，图3中所有点在
同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据： ，
， ， ）
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(1)求 的长；
►考向二 勾股定理及逆定理
53．（2024·西藏·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点P是边 上任意一
点，过点P作 ， ，垂足分别为点D，E，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
54．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形 中，分别以点 和 为圆心， 长为半径画弧，两弧有
且仅有一个公共点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
55．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长线
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上一点，连接 ， ， 平分 ．交 于点 ．若 ，则 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
56．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正方形 的面积为50，以 为腰作等腰 ，
平分 交 于点G，交 的延长线于点E，连接 ．若 ，则 ．
57．（2024·四川·中考真题）如图， 中， ， ， ，折叠 ，使点A与点
B重合，折痕 与 交于点D，与 交于点E，则 的长为 ．
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）如图，D是 的边 上一点，将 折叠，使点C落在 上的点
处，展开后得到折痕AD，则AD是 的（ ）
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A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线
2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈 ， 和
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是 的边 上一点，且 ，过点D作 ，交
于点E，取线段 的中点F，连接 ．若 ，则 中 边上的中线长为（ ）
A．2 B．6 C．7 D．8
4．（2024·广东·模拟预测）已知一个三角形的两边长分别为4和1，则这个三角形的第三边长可能是（
）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．（2024·陕西·模拟预测）如图，在 中， ， 是 的高线， 是 的中线，
连接 ．若 ．则 为（ ）
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A．4 B．2．5 C．3 D．
6．（2024·重庆·三模）如图，正方形 中，E为 边上一点，连接 ，将 绕点E逆时针旋转
得到 ，连接 ，若 ，则 一定等于（ ）
A．α B． C． D．
7．（2024·吉林长春·一模）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其
蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
8．（2024·安徽·模拟预测）如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，且点A，D，E在同一条
直线上， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
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9．（2023·海南·模拟预测）如图，在 中， ， 平分 交斜边
于点D，以D为圆心，适当长度为半径画弧，交 于M、N，分别以M、N为圆心，以大于
的长度为半径画弧，两弧相交于E，作直线 交 于F，则 （ ）
A．1 B． C． D．
10．（2024·湖北·模拟预测） 的三边 ， ， 的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，
为半径作圆，则该圆与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
11．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝 放置在数轴上，点A，B对应的数分别为 ，
5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为 ，则点D在数轴上对
应的数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼， ， ， ．若
在 中点M处建一个 网络基站，该基站的覆盖半径为 ，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是
（ ）
A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y
13．（2024·重庆·模拟预测）如图， 正方形 ，点F为 中点， 点E为 上一点， 满足
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，设 ， 则 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·河北·模拟预测）如图，在 中， ，以点A为圆心， 长为半径画弧，交
于点D，再分别以B，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线 分别
交 于点E，若 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
15．（2024·浙江·一模）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形 ，延长 交
于点F，若 ，则阴影部分的面积之和用含 的代数式表示是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线
同侧， ， ， ，连接DE，设 ， ， ，下列结
论正确的数量为（ ）
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（1） （2） （3）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在 中， ，D、E、F分别是 的中点，
若 cm，则 cm．
18．（2024·上海·模拟预测）菱形 的边长为 ， ， 于E， 于F，那么
周长为
19．（2024·广东·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形围成正方形 和正方形EFGH， 连接 ，
分别交 于点 ． 已 知 ， 正方形 的面积为24，则图中阴影部分的面积之和
为
20．（2024·湖南·模拟预测）如图，在 中，①以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于
点 ；②分别以点 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧在 内部交于点 ；③作射线
交 于点 ；④过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ．若 ，则
的度数为 ．
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21．（2024·青海·一模）一个等腰（非等边）三角形的三边长均满足一元二次方程 ，则这个
三角形的周长是 ．
22．（2024·全国·模拟预测）如图，在等边 中，点 为 边上一动点，点 为 上一点，且满足
，连接 ， ，当线段 的长度最小时， 的值为 ．
三、解答题
23．（2024·浙江·模拟预测）如图，在正五边形 中，连结 交 于点F
(1)求 的度数．
(2)已知 ，求 的长．
24．（2024·青海·一模）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，过点 作
于点 ．
(1)求证： ；
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(2)若 ， ，求 的长．
25．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中， 是 的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在 上找到一点E使得 为以 为底边的等腰三角形；(保留作图
痕迹，不写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作 交 于点F，求证：
26．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中， 的顶点
均为格点（网格线的交点）．
(1)将 向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的 ；
(2)仅用无刻度直尺作出 的高 ．
27．（2024·湖南·模拟预测）【问题背景】
已知，在正方形 中， 为正方形的对角线， 为 的中点，点 为射线 上一个动点（不与点
重合），分别过点 向直线 作垂线，垂足分别为点 ，连接 ．
【猜想感知】
（1）如图①，当点 在线段 上时，判断 的形状，并说明理由；
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【类比探讨】
（2）如图②，当点 在线段 的延长线上时，试探究线段 之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若 ，求线段 的长．
28．（2024·广东·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与
交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一
个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
(1)如图，在 中， 为角平分线， ，求证： 为 的“优美分割线”；
(2)在 中， 为 的“优美分割线”且 为等腰三角形， ，求 的度
数；
(3)在 中， 为 的“优美分割线”，且 是等腰三角形，求线段 的
长．
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