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第 22 讲 多边形与平行四边形
目 录
题型01 多边形的概念及分类
题型02 计算网格中不规则多边形面积
题型03 计算多边形对角线条数
题型04 多边形内角和问题
题型05 已知多边形内角和求边数
题型06 多边形的割角问题
题型07 多边形的外角问题
题型08 多边形外角和的实际应用
题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用
题型10 多边形内角和与外角和的综合应用
题型11 平面镶嵌
题型12 利用平行四边形的性质求解
题型13 利用平行四边形的性质证明
题型14 判断已知条件能否构成平行四边形
题型15 数平行四边形个数
题型16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
题型17 证明四边形是平行四边形
题型18 与平行四边形有关的新定义问题
题型19 利用平行四边形的性质与判定求解
题型20 利用平行四边形的性质与判定证明
题型21 平行四边形性质与判定的应用
题型22 三角形中位线有关的计算
题型23 三角形中位线与三角形面积计算问题
题型24 与三角形中位线有关的规律探究
题型25 与三角形中位线有关的格点作图
题型26 连接两点构造三角形中位线
题型27 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
题型28 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
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题型 01 多边形的概念及分类
1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（ ）
A．正多边形都是中心对称图形 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等D．各边相等的圆外切多边形是正多边形
2．（2020·全国·模拟预测）下列图形中，正多边形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型 02 计算网格中不规则多边形面积
3．（2021·北京平谷·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则
ΔABO的面积与ΔCDO的面积的大小关系为：S S (填“>”，“=”或“<”) .
△ABO △CDO
4．（2021·湖北武汉·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一
个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中△ABC的与四边形DEFG均为格点多
边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积可
表示为S=N+aL+b（a，b为常数），若某格点多边形对应的N=14，L=7，则S=（ ）
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A．16.5 B．17 C．17.5 D．18
5．（2021·北京顺义·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，
则△ABC的面积与△≝¿的面积比为 ．
6．（2020·山西运城·统考模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
（1）如图2，是5×5的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形
的面积是 ；
（2）已知：一个格点多边形的面积S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，则a+b＝ ；
（3）请你在图3中设计一个格点多边形（要求： 格点多边形的面积为8； 格点多边形是一个轴对称
图形但不是中心对称图形） ① ②
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题型 03 计算多边形对角线条数
7．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边
数的是（ ）
A．n(n−2)=20 B．n(n−2)=40 C．n(n−3)=20 D．n(n−3)=40
8．（2022·陕西·校联考模拟预测）若一个多边形从一个顶点出发可以引7条对角线，则这个多边形共有
条对角线．
9．（2021·山东青岛·统考二模）【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n−2个三角形，共有多少种
不同的分割方案(n≥4)？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进
转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有f (n)种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显
然，只有2种不同的分割方案．所以，f (4)=2．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分
成三类：
第1类：如图③，用点A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割
成2个三角形，由探究一知，有f (4)种不同的分割方案，所以，此类共有f (4)种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为
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1
f (4)种分割方案．
2
第3类：如图⑤，用点A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割
成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
1 5 10
所以，f (5)=f (4)+ f (4)+f (4)= ×f (4)= ×f (4)=5（种）
2 2 4
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分
成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成
3个三角形，由探究二知，有f (5)种不同的分割方案，所以，此类共有f (5)种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成
2个三角形，由探究一知，有f (4)种不同的分割方案．所以，此类共有f (4)种分割方案．
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成
2个三角形，由探究一知，有f (4)种不同的分割方案．所以，此类共有f (4)种分割方案．
第4类：如图，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3
个三角形，由探究二知，有f (5)种不同的分割方案．所以，此类共有f (5)种分割方案．
所以，f (6)=f (5)+f (4)+f (4)+f (5)
2 2 14
=f (5)+ f (5)+ f (5)+f (5)= ×f (5)=14（种）
5 5 5
()
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则f (7)与f (6)的关系为f (7)= ×f (6)，共有
6
______种不同的分割方案．
……
【结论】用n边形的对角线把n边形分割成(n−2)个三角形，共有多少种不同的分割方案(n≥4)？（直接写
出f (n)与f (n−1)之间的关系式，不写解答过程）
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【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中
的关系式求解）
题型 04 多边形内角和问题
10．（2023·山东日照·校考三模）我们知道三角形的内角和为180°，而四边形可以分成两个三角形，故它
的内角和为2×180°=360°，五边形则可以分成3个三角形，它的内角和为3×180°=540°（如图），依
此类推，则八边形的内角和为（ ）
A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
11．（2023·河北邯郸·校考模拟预测）一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的
玻璃，经测量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数（ ）
A．65° B．45° C．30° D．20°
12．（2023·河北沧州·统考模拟预测）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内
角为 度．
13．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻
两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边
形的勾股边，如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．
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(1)求∠A+∠C的度数．
(2)判断四边形ABCD是否是“勾股四边形”，并说明理由．
题型 05 已知多边形内角和求边数
14．（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）一个多边形的内角和等于1260°，则它是（ ）
A．五边形 B．七边形 C．九边形 D．十边形
15．（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ，对
角线共有 条．
题型 06 多边形的割角问题
16．（2022·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和
变为1260°，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．12 B．10 C．11 D．10或11
17．（2021·上海徐汇·统考二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（
）
A．180° B．270° C．360° D．540°
18．（2019·山东德州·统考一模）如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（ ）
A．比原多边形少180° B．与原多边形一样
C．比原多边形多360° D．比原多边形多180°
题型 07 多边形的外角问题
19．（2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（ ）
A．900° B．700° C．360° D．180°
20．（2022·云南昆明·统考一模）小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，
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如图所示，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此走法，当她第一次走到
A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（ ）
A．30° B．32° C．35° D．36°
21．（2021·广东深圳·校联考模拟预测）已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是 边形．
题型 08 多边形外角和的实际应用
22．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
23．（2023·贵州遵义·统考三模）如图，小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E的方向跑步
健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
24．（2022·河北保定·统考二模）一机器人以3m/s的速度在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到
停止所行走的路程为 m，共需时间 s．
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题型 09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用
25．（2020·河北·校联考二模）如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，
∠ABG=50°，则∠FAE的度数是（ ）
A．22° B．32° C．50° D．130°
26．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，六边形ABCDEF为正六边形，l ∥l ，则∠2−∠1的值为
1 2
（ ）
A．60° B．80° C．108° D．120°
27．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若
∠1=44°，则∠2的度数为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
题型 10 多边形内角和与外角和的综合应用
28．（2021·河北邢台·校考二模）如图，正五边形ABCD，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD，
则∠BDG=（ ）
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A．144° B．120° C．114° D．108°
29．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，六边形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，
即∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分别作∠≝¿和∠EFA的平分线交于点P，则∠P的度数是（ ）
A．55° B．56° C．57° D．60°
30．（2021·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，五边形ABCDE中，∠B=80°，
∠C=110°，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．190° C．210° D．180°
31．（2022·福建·模拟预测）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，
∠2＝51°，那么∠3等于（ ）
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A．5° B．10° C．15° D．20°
32．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是
（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；
A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对
33．（2023·湖北孝感·统考一模）如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线
OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO= 度．
题型 11 平面镶嵌
34．（2023·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，
1 1 1
已知正多边形的边数为x、y、z，则 + + 的值为 ．
x y z
35．（2023·河北沧州·统考二模）要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正
六边形，边长记作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．
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（1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案．
方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ；
方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ；
（2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为
．
36．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不
同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了A，B两种菱形进行了密铺，则菱形B的锐角的度数为
°．
37．（2022·河北·统考二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，
围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n个全等的
正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则
该图形外轮廓的周长是 ．
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题型 12 利用平行四边形的性质求解
38．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在 ▱ABCD中，一定正确的是（ ）
A．AD=CD B．AC=BD C．AB=CD D．CD=BC
39．（2022·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考一模）如图，在 ▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于
点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3,AD=4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
40．（2020·河北·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，
且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH=HG B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD D．ΔABO的面积是ΔEFO的面积的2倍
41．（2021·四川乐山·统考三模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交
BE
CD的延长线于点G，若2AF=3FD.则 的值为（ ）
EG
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3 2 2 1
A． B． C． D．
5 5 3 3
42．（2023·山东德州·统考一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ．
题型 13 利用平行四边形的性质证明
43．（2020·江苏盐城·统考模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的
延长线于点F，AD=DF，连接DE．
(1)求证：AE平分∠BAD；
(2)若点E为BC中点，∠B=60°，AD=4，求 ▱ABCD的面积．
44．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形
BEDF为正方形．
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(1)求证AE=CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5．求CF的长．
45．（2021·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB
＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．
（1）求证：BP＝CP；
（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．
46．（2022·重庆·重庆实验外国语学校校考三模）已知四边形ABCD为平行四边形．
(1)尺规作图：作线段CD的垂直平分线，垂足为点E，交AD于点F，交BA的延长线于点G，连接CF．在
线段AB上取一点H，使FH＝FC，连接HF；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，若∠GFH＝∠D，求证：GF＝CE．
证明：∵EF垂直平分CD
∴∠FEC＝90°，______①
∴∠FCD＝∠D
∵∠GFH＝∠D
∴______②
∵四边形ABCD为平行四边形
∴______③
∴∠HGF＋∠FEC＝180°
∴∠HGF＝∠FEC＝90°
在△FGH和△CEF中
¿
∴△FGH≌△CEF(AAS)
∴GF=CE．
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题型 14 判断已知条件能否构成平行四边形
47．（2019·安徽合肥·统考一模）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出
四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
48．（2022·上海·统考模拟预测）下列条件中，可以判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．两条对角线相等
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．一组对边平行，另一组对角相等
题型 15 数平行四边形个数
49．（2017·河南·模拟预测）数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个
数有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
50．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
(1)从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率
是 ．
(2)从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画
四边形是平行四边形的概率．
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题型 16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
51．（2017·河北邢台·统考一模）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B
( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )
k
52．（2022·山东泰安·统考一模）如图，反比例函数y= （k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)，直线
x
AB与x轴交于点B(4，0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使
得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是 ．
53．（2019·浙江嘉兴·一模）如图是6×6的正方形网格，点A，B，C均在格点上．请按下列要求完成作图：
①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
（1）在图中作出一个以点A，B，C，D为顶点的平行四边形．
（2）在图中作出 ABC中AB边上的中线．
△
题型 17 证明四边形是平行四边形
54．（2023·新疆·统考一模）如图，在 ▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．
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(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．
55．（2022·湖北荆门·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在
BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
56．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA
的延长线于点F，已知AE=DE，FE=CE．
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
57．（2021·河北承德·统考一模）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、
D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
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题型 18 与平行四边形有关的新定义问题
58．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P，给出如下定义：
若在直线y=x上存在点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点P为线段AB的“关联点”．已知
A(5,2)，B(1,4)．
(1)在P (−3,3)，P (−2,4)，P (−1,5)，P (1,6)中，线段AB的“关联点”是___________；
1 2 3 4
(2)若点P在第二象限且点P是线段AB“关联点”，求线段OP长度d的取值范围；
(3)已知正方形CDEF边长为1．以T(t,3)为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M，N在线段AB上（M
在N的下方）．若正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，使得该点为线段MN的“关联点”，直接
写出t的取值范围．
题型 19 利用平行四边形的性质与判定求解
59．（2023·重庆江北·校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，
AE∥BD，EF⊥BF，AB=√5，EF=4，则CF的长是（ ）
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4
A． B．√3 C．2 D．√5
3
60．（2023·湖南怀化·统考三模）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一
个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形ABCD周长不变 B．AD=CD
C．四边形ABCD面积不变 D．AD=BC
61．（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的
动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
62．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，
以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S OABC＝2√2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O
矩形
k
重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好过MN
x
的中点，则k的值为 ，点C'的坐标为 ．
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题型 20 利用平行四边形的性质与判定证明
63．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
64．（2023·广东茂名·校联考二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC,AB的中点，
O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形．
5
(2)当AD=5，tan∠EDC= 时，求FG的长．
2
65．（2021·山东枣庄·统考一模）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和
DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝
3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
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活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，
OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
4 12
66．（2022·山东潍坊·统考一模）如图，在直角坐标系中，B(0,4)，D(5,0)，一次函数y= x+ 的图
11 11
象过C(8,n)，与x轴交于A点．
(1)求点A和点C坐标；
(2)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(3)将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A OB ，问：能否使以O、A 、D、B 为顶点的四边形是平行
1 1 1 1
四边形？若能，直接写出点A 的坐标；若不能，请说明理由．
1
67．（2022·浙江舟山·校联考三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点
D，E，F，G 在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S =S ，BC=a，BD=b，
四边形ADHF △HGE
CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（ ）
A．a+c=2b B．b2+c2=a2 C．√b+√c=√a D．a=2√bc
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题型 21 平行四边形性质与判定的应用
68．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边
3
形，这个四边形是 形；如果直尺的宽度是 √2cm，两把直尺所夹的锐角为45°，那么这个四边形的
2
周长为 cm．
69．（2022·云南昆明·云南师范大学实验中学校考三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，
折叠后得到△EPA'，当折叠后△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时
BP的长为 ．
70．（2023·四川成都·统考模拟预测）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片
ABCD折四边形，AB=9cm，点E，G分别是AD，BC边上的中点，点F，H分别是AB，CD边上的点，
且BF=DH=3cm，连接FG，GH，HE，EF，EG．将△BFG，△DEH分别沿FG，EH翻折，点B
的对应点为点B'，点D的对应点为点D'，当点B'落在线段EF上时，则BC= cm；当点B'在△EFG
内部时，连接B'D'，若△EB'D'为直角三角形，则四边形EB'GD'的面积为 cm2．
71．（2023·山东青岛·统考模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，∠ADB=90°,AB=10cm,AD=8cm，点P
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从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为
1cm/s．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE∥BD交AB于点E，连接PQ，交BD于
点F．设运动时间为t(s)(00)的图像交于A，B两点，
x
3
点M在以C(2,0)为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为 ，则k的值是
2
．
85．（2022·天津和平·统考二模）如图，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，点D在AB上，
连接CE，点M，点N分别为BD，CE的中点，则MN的长为 ．
86．（2023·广东佛山·校考一模）如图梯形ABCD中，取AB的中点E，CD的中点F，并连接EF，线段
EF与线段AD、BC间的数量关系（ ）
1
A． EF=AD+BC B． EF= (AD+BC)
2
1 1
C． EF= (AD+BC) D． EF= (AD+BC)
3 4
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87．（2020·海南·统考二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，
EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．
题型 27 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
88．（2021·河南南阳·校联考二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，点E，F分别
是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
89．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，
BC=4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的
最小值是
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题型 28 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
90．（2023·山东泰安·校考一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，
AE⊥CE于点E，连接DE．若AB=7，DE=1，则AC的长度是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
91．（2023·湖南·模拟预测）如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于
D．
(1)求证：2DM+AB=AC；
(2)若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长．
92．（2022·福建·二模）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD,AC＝7,AB＝3，
则DE的值为（ ）
3
A．1 B．
2
5
C．2 D．
2
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一、单选题
1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方
式放置，点E在AB上，边GF、EF分别交CD于点H、K，若∠BEF=64°，则∠GHC等于（ ）．
A．44° B．34° C．24° D．14°
2．（2023·北京·统考中考真题）十二边形的外角和为（ ）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
3．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中，内角和等于360°的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=2√3，则矩形ABCD的周长
是（ ）
A．16√3 B．8√3+4 C．4√3+8 D．8√3+8
5．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大
1
于 AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法
2
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错误的是（ ）
1
A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD= AB
2
1
C．DE= BC D．S :S =1:4
2 △ADE 四边形DBCE
6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，AC,BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC,BC的中点，
⊙O的半径为2．若∠C=45°，则DG的长为（ ）
3
A．2 B．√3 C． D．√2
2
7．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，添加下列条件不能判定四边
形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD=BC B．AB∥DC C．AB=DC D．∠A=∠C
8．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，
BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=（ ）
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5 5
A． B． C．2 D．1
4 2
9．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在边
AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以√3m/s的速度从点B向点C运动．若点P，
Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y(m2)
与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为
（ ）
A．12m2 B．12√3m2 C．24m2 D．24√3m2
10．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．点F
是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过
区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( )
A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
11．（2023·河北·统考中考真题）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形
ABCD为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
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（1）作BD的垂直平分线交 （2）连接AO，在AO的延长线上 （3）连接DC，BC，则四边形
BD于点O； 截取OC=AO； ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线
与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2023·云南·统考中考真题）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC
的中点分别为M、N．若MN=3米，则AB=（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
14．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另
有A,B,C,D四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
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A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ
二、填空题
15．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和等于 度．
16．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF中，∠FAB= °．
17．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AC,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于
点F．下列结论：
①CF平分∠ACD； ②AF=2DF； ③四边形ABCF是菱形； ④AB2=AD⋅EF
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
18．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，
使得新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 °．
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19．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径
1
画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于 PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线
2
1
BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于 AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线
2
S
MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD．若CD=4，DE=1，则 △DFG= ．
S
△BGC
20．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形A B B C ，A B B C ，
1 1 2 1 2 2 3 2
A B B C ，A B B C ，…都是平行四边形，顶点B ，B ，B ，B ，B ，…都在x轴上，顶点C ，C ，
3 3 4 3 4 4 5 4 1 2 3 4 5 1 2
1
C ，C ，…都在正比例函数y= x（x≥0）的图象上，且B C =2A C ，B C =2A C ，
3 4 4 2 1 2 1 3 2 3 2
B C =2A C ，…，连接A B ，A B ，A B ，A B ，…，分别交射线OC 于点O ，O ，O ，O ，
4 3 4 3 1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 2 3 4
…，连接O A ，O A ，O A ，…，得到ΔO A B ，ΔO A B ，ΔO A B ，…．若B (2,0)，
1 2 2 3 3 4 1 2 2 2 3 3 3 4 4 1
B (3,0)，A (3,1)，则ΔO A B 的面积为 ．
2 1 2023 2024 2024
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21．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，
M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
22．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以
AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延
长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
23．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是
OA，OB的中点．若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
24．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图， ▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是
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(0，0)、(3，0)、(1，2)．则顶点B的坐标是 ．
三、解答题
25．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，
CF，且AE∥CF．求证：
(1)∠1=∠2；
(2)△ABE≌△CDF．
26．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边
上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接
FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC=AE．
(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；
(2)求证：FH=ME．
27．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题） ▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E
逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
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(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图①，求证：AE+EC=BF；
(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图②：当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，
如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=_______．
28．（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S =20时，则BE⋅CF=______．
矩形ABCD
1
（2）如图，在菱形ABCD中，cosA= ，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交
3
AD于点F，若S =24时，求EF⋅BC的值．
菱形ABCD
（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC
上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=7√3时，请直接写出
AG的长．
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29．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在
边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．
(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何轴助线的情况下，
请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
40
