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第 22 讲 多边形与平行四边形
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 多边形的相关概念
题型01 多边形的概念及分类
题型02 计算网格中不规则多边形面积
题型03 计算多边形对角线条数
题型04 对角线分三角形个数问题
题型05 多边形内角和问题
题型06 已知多边形内角和求边数
题型07 多边形的割角问题
题型08 多边形的外角问题
题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用
题型10 多边形内角和、外角和与角平分线的综合运用
题型11 多边形内角和与外角和的综合应用
题型12 多边形外角和的实际应用
题型13 平面镶嵌
考点二 平行四边形的性质与判定
题型01 利用平行四边形的性质求解
题型02 利用平行四边形的性质证明
题型03 判断已知条件能否构成平行四边形
题型04 添加一个条件使四边形成为平行四边形
题型05 数平行四边形个数
题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
题型07 证明四边形是平行四边形
题型08 与平行四边形有关的新定义问题
题型09 利用平行四边形的性质与判定求解
题型10 利用平行四边形的性质与判定证明
题型11 平行四边形性质与判定的应用
考点三 三角形中位线
题型01 三角形中位线有关的计算
题型02 三角形中位线与三角形面积计算问题
题型03 与三角形中位线有关的证明
题型04 三角形中位线的实际应用
题型05 与三角形中位线有关的规律探究
题型06 与三角形中位线有关的格点作图
题型07 构造三角形中位线的常用方法
类型一 连接两点构造三角形中位线
类型二 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
类型三 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
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考点要求 新课标要求 命题预测
了解多边形的概念及多 本考点内容是考查重点，年年都会考查，分
边形的顶点、边、内角、外角与 值为10分左右，预计2024年各地中考还将出
多边形的相关
对角线. 现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角
概念
探索并掌握多边形内角 和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有
和与外角和公式. 关计算的可能性比较大．中考数学中，对平行四
边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全
探索并证明平行四边形
等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对
平行四边形的 的性质定理.
于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运
性质与判定 探索并证明平行四边形
用．
的判定定理.
探索并证明三角形中位
三角形中位线
线定理.
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考点一 多边形的相关概念
多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–
2)
n(n−3)
个三角形，n边形的对角线条数为
2
多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）.
【解题技巧】
1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.
3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；
②已知多边形的内角和求边数；
③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．
多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.
正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.
【解题技巧】
（n−2）×180° 360°
1）正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 ．
n n
2）正n边形有n条对称轴．
3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对
n(n−3)
角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线.
2
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取
一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的
任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
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题型01 多边形的概念及分类
【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称
又是中心对称的图形是（ ）
A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【变式1-1】（2023·江苏徐州·统考二模）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
【变式1-2】（2022·辽宁盘锦·校考一模）下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
题型02 计算网格中不规则多边形面积
【例2】（2022·北京海淀·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若
AB=1，则四边形ABCD的面积为 ．
【变式2-1】（2021·北京昌平·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，
则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S S （填“＞”“＝”或“＜”），
△ABC ΔADB
【变式2-2】（2021·湖南娄底·统考一模）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称
1
为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+ b−1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）
2
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计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S= ．
【变式2-3】（2021·山西临汾·统考三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？
“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，
上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个
多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来
1
很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+ b−1，其中
2
a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以
验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
（1）如图2，是6×6的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形
的面积是_______．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则a+b=______．
（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图
形．
题型03 计算多边形对角线条数
【例3】（2023·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是
（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
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【变式3-1】（2022·河北保定·统考一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边
形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【变式3-2】（2021·云南普洱·统考一模）如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从
五边形的同一个顶点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，
……，依此规律，从n边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ ）
A．n B．n−2 C．n−3 D．2n−3
【变式3-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点
有 条对角线．
【变式3-4】（2022·陕西西安·校考三模）一个正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的对角线共有
条．
题型04 对角线分三角形个数问题
【例4】（2019·广东深圳·校联考一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种
多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是:
多边形：
顶点个数f: 4 5 6 …
1
线段条数e: 5 7 9 …
三角形个数v: 2 3 4 …
1
题型05 多边形内角和问题
【例5】（2021·河南周口·统考二模）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是
2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
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【变式5-1】（2022·江苏盐城·统考一模）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）如图，四边形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，则
∠D的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【变式5-3】（2020·辽宁葫芦岛·统考三模）如图，多边形ABCDEFG中， ∠E=∠F=∠G=108°
,∠C=∠D=72°，则∠A+∠B的值为（ ）
A．108° B．72° C．54° D．36°
【变式5-4】（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，
则∠PAE= °．
【变式5-5】（2021·陕西·三模）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等
于 度．
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题型06 已知多边形内角和求边数
【例6】（2022·湖南怀化·统考模拟预测）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【变式6-1】（2022·北京房山·统考一模）下列多边形中，内角和为720°的是（ ）
A． B． C． D．
题型07 多边形的割角问题
【例7】（2020·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．
则原来多边形的边数是 ．
【变式7-1】（2018·山东聊城·统考模拟预测）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这
个多边形的内角和是 ．
【变式7-2】（2021·河北唐山·统考一模）如图，一张内角和为1800°的多边形纸片按图示的剪法剪去一个
内角后，得到的新多边形的边数为 ．
一个n变形剪去一个角后，若剪去的一个角只经过一个顶点和一边，则剩下的形状是n边形，若剪
去的一个角经过两条邻边，则剩下的形状是（n＋1）边形，若剪去的一个角经过两个相邻点，则剩下
的形状是（n－1）边形．所以遇到相关题目时，要分类讨论．
题型08 多边形的外角问题
【例8】（2022·湖南长沙·模拟预测）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【变式8-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转
45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第
一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
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A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【变式8-2】（2020·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
题型09 多边形内角和、外角和与平行线的综合运用
【例9】（2022·河南·统考模拟预测）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若
∠1=19°，则∠2的度数为（ ）
A．41° B．51° C．42° D．49°
【变式9-1】（2019·四川宜宾·校联考一模）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平
分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
【变式9-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）如图，五边形ABCDE中， AB∥CD，
∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．100° B．180° C．210° D．270°
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【变式9-3】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A A A ……A 上，若
1 2 3 n
∠1−∠2=60°，则n= ．
【变式9-4】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，
∠DCE=150°.
(1)求∠BAD的度数：
(2)若∠F=40°，求∠E的度数.
题型10 多边形内角和、外角和与角平分线的综合运用
【例10】（2022·贵州黔东南·模拟预测）如图，AB∥CD，∠BED=100°，BF、DF分别为∠ABE、
∠CDE的角平分线，则∠BFD=（ ）
A．100° B．120° C．130° D．135°
【变式10-1】（2022·江苏泰州·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC与
∠ADC的平分线交于点O，则∠BOD的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
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【变式10-2】（2022·山东济南·统考一模）如图，正五边形ABCDE中，内角∠EAB的角平分线与其内角
∠ABC的角平分线相交于点P，则∠APB＝ 度．
【变式10-3】（2021·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分
线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P= ．
【变式10-4】（2020·河北·模拟预测）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角
∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP=60°，则∠APB= 度．
题型11 多边形内角和与外角和的综合应用
【例11】（2022·河北唐山·统考一模）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是
（ ）
A．72° B．84° C．82° D．94°
【变式11-1】（2022·广西梧州·统考一模）一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角
等于（ ）
A．60° B．45° C．72° D．40°
【变式11-2】（2022·安徽合肥·统考一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，AF∥DG，若∠2=20°，
则∠1=（ ）
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A．60° B．56° C．52° D．40°
【变式11-3】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【变式11-4】．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）等边三角形、正方形及正五边形各一个，按
下图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．102° B．104° C．106° D．108°
【变式11-5】（2019·河北秦皇岛·统考一模）发现：如图1，在有一个“凹角∠A A A ”n边形
1 2 3
A A A A …A 中（n为大于3的整数），
1 2 3 4 n
∠A A A =∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +……+∠A −(n−4)×180°．
1 2 3 1 3 4 5 6 n
验证：
（1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC=∠A+∠C+∠D．
（2）如图3，有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；
∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F−360°．
延伸：
（3）如图4，在有两个连续“凹角A A A 和∠A A A❑❑”的四边形 A A A A ……A 中（n为大于
1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 n
4的整数），∠A
1
A
2
A
3
+∠A
2
A
3
A
4
=∠A
1
+∠A
4
+∠A
5
+∠A
6…..
+∠A
n
−(n− )×180°
．
_
【变式11-6】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）定义：由n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形
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叫做n边形．相邻两边组成的角叫做它的内角，一边和它邻边的延长线组成的角叫做它的外角．为了探究
n边形的外角和与内角和的度数，小华做了以下实验：取若干张纸片，分别在纸片上画出三角形、四边形、
五边形等，顺次延长各边得到各个外角，然后沿着多边形的边和延长线将它剪开，将外角拼在一起，观察
图形，并进行推理．
（1）实验操作．
（2）归纳猜想．
多边
三角形 四边形 五边形 … n边形
形
外角
___________ ___________ ___________ … ___________
和
内角
___________ ___________ ___________ … ___________
和
（3）理解应用．
一个多边形的内角和是外角和的1008倍，它是多少边形？
题型12 多边形外角和的实际应用
【例12】（2023·江苏徐州·统考一模）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 ABC与四边形BCDE
的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）
△
A．α−β=0 B．α−β<0
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C．α−β>0 D．无法比较α与β的大小
【变式12-1】（2022·北京顺义·统考一模）如图，小明从A点出发，沿直线前进20米后左转30°，再沿直
线前进20米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）
A．120米 B．200米 C．160米 D．240米
【变式12-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出发，
当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和为 ．
题型13 平面镶嵌
【例13】（2022·山西太原·一模）如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边
形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【变式13-1】（2023·北京平谷·统考二模）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则
∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【变式13-2】（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢
勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内
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角为 度．
【变式13-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长
相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为 ．
【变式13-4】（2021·浙江金华·统考一模）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相
同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：
．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式
表示）
解决几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
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考点二 平行四边形的性质与判定
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四
边形的对称中心.
【解题技巧】
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S
△BEC
=S
△ABE
+S
△CDE
．
6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
A
A A E D D
D
F
B
B E C C B E C
图② 图③
图①
平行四边形的判定定理：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；
2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两
组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；
3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证
明．
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题型01 利用平行四边形的性质求解
【例1】（2022·福建·统考模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，
∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到
△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四边形ACC' A'的面积是（ ）
A．96 B．96√3 C．192 D．160√3
【变式1-1】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，
∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100° B．80° C．70° D．60°
【变式1-2】（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，
∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-3】（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'
处，若∠1=∠2=36°，∠B为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
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【变式1-4】（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在▱ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点
O，AC+BD=22，则 BOC的周长为
△
【变式1-5】（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y
k
轴上，反比例函数y= (x>0)的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则k= ．
x
【变式1-6】（2023·湖南衡阳·校考一模）如图，平行四边形ABCD中，AB=5,BC=10,BC边上的高
AM=4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
(1)求证：△ABM∽△EBF；
(2)当点E为BC的中点时，求DE的长；
(3)设BE=x,△≝¿的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多
少？
题型02 利用平行四边形的性质证明
【例2】（2022·山东济南·统考一模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：
AE＝CF．
【变式2-1】（2023·广西贵港·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F
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在CD边上，CF=AE,连接AF,BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB, CF=3,DF=5,求四边形BFDE的面积．
【变式2-2】（2021·河南驻马店·统考一模）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，
k
对角线AC，OB交于点M，函数y= (x>0)的图象经过点A(3,4)和点M．
x
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．
【变式2-3】（2022·重庆·重庆八中校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线
BD于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕
迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字
母或者符号）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，①__________，
∴∠ABE=∠CDF
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB
1
∴∠BAE= ∠BAD，②___________，
2
∵四边形ABCD是平行四边形
∴③_______________
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∴∠BAE=∠DCF
在 ABE与 CDF中
¿
△ △
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF
【变式2-4】（2022·山西临汾·统考一模）如图，在▱ABCD中，AB>AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保
留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．
题型03 判断已知条件能否构成平行四边形
【例3】（2022·河南郑州·一模）如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找
点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【变式3-1】（2023·湖南娄底·统考二模）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等
【变式3-2】（2023·湖南娄底·娄底市第三中学统考二模）在下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边
形的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等 B．一组对边平行且相等
C．两组对角相等 D．对角线互相平分
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题型04 添加一个条件使四边形成为平行四边形
【例4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，添加下列
条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AB=CD B．AD∥BC
C．AD=BC D．∠C+∠D=180°
【变式4-1】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇不完整的推理过程．
小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确的是( )
A．∠B+∠C=180° B．AB=CD
C．∠A=∠B D．AD=BC
【变式4-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上，连接BE、
DE、DF、BF，请添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，那么需要添加的条件是 ．（只填
一个即可）
题型05 数平行四边形个数
【例5】（2020·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相
邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．
图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【变式5-1】（2019·湖北黄石·校联考一模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF
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过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有( )
A．15个 B．16个 C．17个 D．18个
题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
【例6】（2021·河南商丘·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(−1,3)，C(−2,−1)，
找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A．(2,4) B．(−4,2) C．(0,−4) D．(−3,2)
【变式6-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且
A、B、C三点的坐标分别为(3,3),(6,4),(4,6)．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，求出AB边上的高．
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题型07 证明四边形是平行四边形
【例7】（2022·福建莆田·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，
DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=DF，∠ABD=∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式7-1】（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，
AB=DF,AC=DE,EB=CF．连接AE,CD．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AE=AC，求证：AB=DB．
【变式7-2】（2023·山东枣庄·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且
ED=BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
3
(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC= ，求四边形AFCE的面积．
4
【变式7-3】（2020·山东潍坊·统考一模）在Rt ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将 ABC绕点A顺时
针旋转一定的角度α得到 AED，点B、C的对应点分别是E、D.
△ △
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
△
(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.
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【变式7-4】（2022·广东广州·统考一模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴上．反比例函
k
数数y = （x > 0）的图象经过矩形OABC对角线的交点D（4，2），且与边AB，BC分别交干点E，F，
x
直线EF交x轴于点G．
(1)求点F的坐标；
(2)求证:四边形AEGC是平行四边形．
k
【变式7-5】（2023·河南·河南省实验中学校考三模）如图，已知反比例函数y= (x>0)的图像经过点
x
A(4,2)，过A作AC⊥y轴于点C．点B为该反比例函数图像上的一点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接
AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
(1)求反比例函数表达式；
(2)若BD=2OC，判断四边形ACED的形状，并说明理由．
题型08 与平行四边形有关的新定义问题
【例8】（2023·江西抚州·金溪一中校联考二模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两
倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
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【概念理解】
(1)如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．
①△BCG是________三角形．
②若AD=4，则BD=________．
【问题探究】
(2)如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，
AD=4，AB=k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，
请说明理由．
【应用拓展】
(3)如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC
分别是和谐边，AB=4，AD=k，请求出k的值．
【变式8-1】（2021·浙江宁波·统考二模）定义：有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．
(1)如图1，若▱ABCD的一组邻边AB＝4，AD＝7，且它的面积为14√2．求证：▱ABCD为半矩形．
(2)如图2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD内）到AB的距离为1，⊙O的半径＝5，
求AD的长．
(3)如图3，半矩形ABCD中，∠A＝45°，AD=BD=4
①求证：CD是△ABD外接圆的切线；
②求出图中阴影部分的面积．
【变式8-2】（2021·浙江台州·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学统考二模）定义：如图1，四边形EFGH的四个
顶点分别在□ABCD四条边上（不与□ABCD的顶点重合），我们称四边形EFGH为□ABCD的内接四边形．
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（1）如图1，若▱ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，求证：AE＝CG
（2）若▱ABCD的内接四边形EFGH是矩形．
①请用无刻度的直尺与圆规，在图2中作出一个符合要求的矩形EFGH．（不必说明作图过程，但要保留
作图痕迹）
4
②如图3，已知sin A= ，AB＝10，H是AD的中点，HG＝2HE，求AD的长．
5
1
（3）已知，▱ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，且S = S ，求证：点E，F，G，H
▱EFGH 2 ▱ABCD
中至少存在两个点是□ABCD边的中点．
题型09 利用平行四边形的性质与判定求解
【例9】（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．
若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
k
【变式9-1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，直线y=x+1、y=x−1与双曲线y= (k>0)分别相
x
交于点A、B、C、D．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是（ ）
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3 √2 4
A． B． C． D．1
4 2 5
【变式9-2】（2023上·山东临沂·九年级沂水县实验中学校考期末）已知如图，A(1,1)、B(4,2)．CD为x
轴上一条动线段，D在C点右边且CD=1，当AC+CD+DB的最小值为 .
【变式9-3】（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10．若点E是边AD
上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，
AF+FE+EC的最小值为 ．
【变式9-4】（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量
关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图
②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使
A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此
▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=2√5，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此
问题，直接写出结果．
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题型10 利用平行四边形的性质与判定证明
【例10】（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E
为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列结论：①AB⊥AC；②
1
AD=4OE；③四边形AECF是菱形；④S = S ．其中正确结论的个数是（ ）
△BOE 4 △ABC
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式10-1】（2023·安徽·统考中考真题）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同
侧的两个等边三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为3√3 B．PE+PF的最小值为2√3
C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为3√3
【变式10-2】（2020·广东广州·统考中考真题）如图，点A的坐标为(1,3)，点B在x轴上，把ΔOAB沿x轴
向右平移到ΔECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 ．
【变式10-3】（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地
面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
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(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB=AB．我们还可
以得到FC＝ ， EF＝ ；
(2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
(3)已知BC=30cm,DC=80cm，若BE 恰好经过原矩形DC边的中点H ，求EF与BC之间的距离．
【变式10-4】（2020·浙江舟山·统考中考真题）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形
纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝
90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，
OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
题型11 平行四边形性质与判定的应用
【例11】（2022·浙江舟山·校联考三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点
D，E，F，G 在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S =S ，BC=a，BD=b，
四边形ADHF △HGE
CF=c，则a，b，c 满足的关系式为（ ）
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A．a+c=2b B．b2+c2=a2 C．√b+√c=√a D．a=2√bc
【变式11-1】（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用
无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；
（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．
【变式11-2】（2021·天津南开·统考二模）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已
知A(3,0),B(0,4)．
（1）点C的坐标是（___，__）；
（2）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y轴于点F，求△OPF
的面积；
（3）在（2）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平
行四边形O'F'D'E'与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系
式，并直接写出d的取值范围．
【变式11-3】（2023·上海青浦·校考一模）如图，已知∠AOB=90°，∠AOB的内部有一点P，且
OA=OB=OP=10，过点B作BC∥AP交AO于点C，OP与BC交于点D．
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3
(1)如果tan∠AOP= ，求OC的长；
4
(2)设AP=x，BC= y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)如果BD=AP，求△PBD的面积．
【变式11-4】（2023·北京·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线
MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD．
(2)当AC=BC，且D为中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由．
(3)求AD∶DB=3∶2，CE=CA=3时，求EF的长．
考点三 三角形中位线
三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行.
数量关系：可以证明线段的倍分关系.
常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半.
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.
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题型01 三角形中位线有关的计算
【例1】（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在△ABC中，BC=4，点D，E分别为AB，AC的中点，则
DE=（ ）
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
【变式1-1】（2023·河南许昌·统考二模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．
若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
【变式1-2】（2023·湖北黄冈·统考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别为AB，BC，
CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 ．
【变式1-3】（2023·江苏扬州·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO,AB的中点C，
D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 ．
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题型02 三角形中位线与三角形面积计算问题
【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE
的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
【变式2-1】（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在△ABC中，D，E分别是AB、AC的中点，若
S =2，则S ＝（ ）
ΔADE △ABC
A．4 B．8 C．2 D．16
【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·校考一模）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的
延长线交AB于N，那么NM:MC= ，S :S = ．
△DMN 四边形ANME
题型03 与三角形中位线有关的证明
【例3】（2023·新疆和田·和田市第三中学校考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中
点，延长DE至点F，使得CF∥AB，连接DC，AF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)求证：四边形BDFC是平行四边形
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【变式3-1】（2023·北京东城·统考一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其
中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
1
求证：DE∥BC，且DE= BC．
2
方法一 方法二
证明：如图，过点C作CF∥AB，交DE的延长 证明：如图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接
线于点F． FC，DC，AF．
【变式3-2】（2023·江苏淮安·统考二模）我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第
三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
1
求证：DE∥BC，DE= BC．
2
证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法
的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在△ABC中，过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．可证△ADE≌______，
根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，然后判断出四边形BCFD是______，根据图形性质可证得
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1
DE∥BC，DE= BC．
2
(2)【方法迁移】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠D=120°，E为AD的中点，G、
F分别为AB、CD边上的点，若AG=√3，DF=4，∠GEF=90°，求GF的长．
CG
(3)【定理应用】如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， =K(K>1)，
BG
AB
延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F，直接写出 的值（用含K的式子表示）．
AF
【变式3-3】（2023·北京·统考一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一
种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
1
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．求证：DE∥BC，且DE= BC．
2
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方法一： 方法二：
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接 证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使
FC，DC，AF． EF=≥¿，连接AF．
题型04 三角形中位线的实际应用
【例4】（2023·广州市模拟）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，
连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段
AB的长度是（ ）
A．12m B．10m C．9m D．8m
【变式4-1】（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在
池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m．
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题型05 与三角形中位线有关的规律探究
【例5】（2022·山东聊城·校联考一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作
ED∥AB交AC于点D，EF∥AC交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作S 取BE边的中点E ，
1 1
作E D FB交EF于D ，E F ∥EF交BF于点F ，得到四边形E D FF ，它的面积记作S ，…照此规
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
律作下去，则S 的值为 ．
2022
【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，
点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D 、
1
点E 、点F 分别是EF，EB，FB边的中点，连接D E 、E F ，得到△EE D ，它的面积记作S ，照此
1 1 1 1 1 1 1 1 1
规律作下去，则S = ．
2023
【变式5-2】（2021·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分
别连接AB，AC，BC的中点，得到第1个等腰直角三角形A B C ；分别连接A B，A C ，BC 的中点，
1 1 1 1 1 1 1
得到第2个等腰直角三角形A B C ……以此规律作下去，得到等腰直角三角形A B C ，则
2 2 2 2020 2020 2020
B B 的长为 ．
1 2020
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题型06 与三角形中位线有关的格点作图
【例6】（2023·浙江嘉兴·统考二模）在5×5的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直
尺，按要求作图：
(1)在图中找一个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图中作△ABC中平行于BC边的中位线EF．（保留画图痕迹，不写画法）
【变式6-1】（2023·上海杨浦·统考三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形
的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点
三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-2】（2023·吉林长春·统考一模）如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点，点D为AC上一格点，点E为AB上任
一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画△ABC的中位线DF，使点F在边AB上．
(2)在图②中画以AC为对角线的▱ABCG．
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(3)在图③中作射线ED，在其上找到一点H，使DH=DE．
【变式6-3】（2022·浙江温州·统考模拟预测）如图，是8×8的方格纸，线段AB的两个端点分别落在格点
上，请按照要求画图：
(1)在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ互相平分．
(2)在图2中画一个以AB为中位线的格点△≝¿．
题型07 构造三角形中位线的常用方法
类型一 连接两点构造三角形中位线
【例7】（2021·山东枣庄·统考一模）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形
ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则
MN＝（ ）
11 13 15
A． B． C．6 D．
2 2 2
1
【变式7-1】（2020·山东泰安·统考二模）如图，抛物线y= x2−4与x轴交于A、B两点，P是以点C
4
（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是（ ）
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√41 7
A．3 B． C． D．4
2 2
【变式7-2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE =
1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
√6 √3
A． B．
2 2
√6−√2
C．2−√3 D．
2
【变式7-3】（2021·河南·统考模拟预测）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB
的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为 ．
【变式7-4】（2023·四川内江·统考二模）如图，点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，6)，C为坐
标平面内一点，BC=2√2，M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为
．
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类型二 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
【例8】（2023·陕西商洛·统考一模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC与BD交
于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为 ．
【变式8-1】（2022·广东深圳·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线
CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )
A．√3 B．√2 C．1 D．√6-2
【变式8-2】（2023·湖北孝感·校考一模）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，
F是对角线AC上一点，且∠≝=45°，则AF:FC的值是（ ）
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A．3 B．√5+1 C．2√2+1 D．2+√3
【变式8-3】（2024·福建福州·校考一模）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的
底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，
连接BF,DE．
(1)如图1，求证：DE=BF；
(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
类型三 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
【例9】（2023·广东广州·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在AD，BC边上，且
AE=3DE，BG=CG，连接BE、CE，EF平分∠BEC，过点C作CF⊥EF于点F，连接GF，若正方形的边长
为4，则GF的长度是（ ）
5−√3 5−√15 5−√17 √17−3
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式9-1】（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，
CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（ ）
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A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
【变式9-2】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE
上，且∠AFB=90°，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BF平分∠ABC B．∠CAF=∠BAC−∠DFA
1 1
C．S = S D．EF= (BC−AB)
△ADE 4 四边形DBCE 2
【变式9-3】（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，
3
cos∠B= ，AE平分∠BAC，且AE⊥CE于点E，点D为BC的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
4
√7
A．2 B．4−√7 C．2√7 D．2−
2
43
