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第 18 讲 等腰三角形
目 录
题型01 等腰三角形的定义
题型02 根据等边对等角求角度
题型03 利用等边对等角证明
题型04 根据三线合一求解
题型05 根据三线合一证明
题型06 格点图中画等腰三角形
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
题型08 根据等角对等边证明边相等
题型09 根据等角对等边求边长
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
题型11 等腰三角形性质与判定综合
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
题型14 等腰三角形有关的新定义问题
题型15 等腰三角形有关的动点问题
题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
题型17 利用等边三角形的性质求线段长
题型18 手拉手模型
题型19 等边三角形的判定
题型20 等边三角形与折叠问题
题型21 等边三角形有关的规律探究问题
题型22 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
题型23 利用垂直平分线的性质求解
题型24 线段垂直平分线的判定
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题型 01 等腰三角形的定义
1．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）已知x，y满足 ，则以 ， 的值为
两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
2．（2019·陕西西安·校联考一模）已知等腰三角形的一个外角等于 ，则它的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（2023·四川广安·统考二模）已知等腰三角形的两边长满足 ，那么这个等腰三角
形的周长为 ．
题型 02 根据等边对等角求角度
1．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形 的两条对角线 ， 相交于点 ，点 在 上，且
．则 的度数为 ．
2．（2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模） 中， ， 的平分线与
边所夹的锐角为 ，则 ．
3．（2022·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在 中， 于点 ， 与 相交于点 ，且
， ．若 ，则 的度数为 ．
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题型 03 利用等边对等角证明
1．（2023·广东深圳·统考三模）在 中， ， ，点 在 内部，若 的
面积为 ，且满足 ，则 ．
2．（2023·辽宁大连·统考一模）如图， 中， ， ， 于D，E是 的
中点， 的延长线交 的延长线于F，若 ，则 ．
3．（2023·广东广州·统考一模）如图， 是 的弦， 交 于点P，过点B的直线交 的延
长线于点C，若 ， ， ，则 的长为 ．
4．（2023·天津西青·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ， ， 均落在格点上，
连接 ， ．
（1）线段 的长等于 ．
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（2）以 为圆心， 为半径作圆，在 上找一点 ，满足 ．请用无刻度的直尺，在如
图所示的网格中，画出点 ，作出 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
题型 04 根据三线合一求解
1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图， 中， ， 于 ，点 在线段 上，
，若 ， ，则 的长为 ．
2．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆O，交 于点
D．若 ，则 的度数是 度．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在 中， ， 的面积为 ，则 的值为
．
4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 是等边三角形，点E是 的中点，过点E作
于点F，延长 交 的反向延长线于点D，若 ，则 的长为 ．
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题型 05 根据三线合一证明
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图， 中， ， 是 的外接圆， 的延长线
交边 于点D．
(1)求证： ；
(2)若 ， 时，求 的半径．
2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，已知在 中， ， ，点D是 外
一点， ．
(1)尺规作图：请利用直尺和圆规作出 的高 （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)连接 ，若 ，判断四边形 的形状并说明理由．
3．（2023·广东江门·统考一模）如图，在 中， ， ，以 为直径作 分别交
、 于点 、 ，过点 作 的切线交 于点 ．
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(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
题型 06 格点图中画等腰三角形
1．（2021·广东广州·执信中学校考三模）如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网
格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·贵州贵阳·校考一模）如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格
点中任意放置点C（不包含点A、点B所在的格点），恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C
为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
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A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
题型 07 根据等角对等边证明等腰三角形
1．（2018·河北·模拟预测）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰
三角形．
2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）在▱ABCD中，对角线 平分 交 于点 ，交
于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
3．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，矩形 ，将 沿对角线 翻折得到 （如图1），
交边 于点 ，再将 沿 翻折得到 （如图2），延长 交边 于点 ．设 、
．
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(1)求证： 为等腰三角形；
(2)当 ，四边形 为正方形时，求 的值；
(3)当四边形 为菱形时，求 与 的数量关系．
4．（2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图，在矩形 中， ，点E是 边上一点，
，延长 至点F，使C ， 交 于点G，连接 ，交 于点H．’
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若点E为 的中点， ，求 的值．
题型 08 根据等角对等边证明边相等
1．（2023·广东东莞·模拟预测）如图， 为 的中位线，且 平分 交 于点F．若 ，
，则 ．
2．（2021·湖北咸宁·统考模拟预测）在 中， ， ，以顶点A为圆心，适当长为
半径画弧，分别交 ， 于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于 的长为半径画弧，两弧交于
点P，作射线 交 于点D．则 与 的数量关系是 ．
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3．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形 中， ， 的平
分线分别交AD于点E，F．若 ， ，则BE的长为 ．（用含a，b的代数式表示）．
4．（2022·山东德州·统考二模）我们把宽与长的比为黄金比（ ）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄
金矩形ABCD中， ，BC＝4， 的平分线交AD边于点E，则AE的长为 ．
5．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，直线 与双曲线 交于 、 两点，直线 经过点 ，与
双曲线 交于另一点 ， ，连接 ，若 的面积是50，则 ．
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题型 09 根据等角对等边求边长
1．（2020·河北·模拟预测）把两个同样大小含 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的
锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 ，且另外三个锐角顶点 在同一直线上．若 ，
则 ．
2．（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形 是平行四边形，以点B为圆心， 的长为半径作弧
交 于E，分别以点C，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线 交 的延长
线于点F， ，则 ．
3．（2023·浙江杭州·校考二模）已知如图，在矩形 中，点E是 的中点，连接 ，将 沿着
翻折得到 ， 交 于点H，延长 ， 相交于点G，若 ， ，则 ．
4．（2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在矩形 中，点 是线段 上的一点，
， ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，若 ， ，则线段 的
长度为 ．
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5．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）在 中， ，M为 的中点，将
绕点M旋转，使点C与点B重合得到 ，设边 交边 于点N．若 ，则
．
题型 10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
1．（2020·福建厦门·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）
（m＜6），若 POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（ ）
A．2个 △ B．3个 C．4个 D．5个
2．（2018·湖北武汉·统考一模）已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它
的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为 .
3．（2018·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足
△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 ．
题型 11 等腰三角形性质与判定综合
1．（2022·福建·统考模拟预测）已知 ，AB＝AC，AB＞BC．
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(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，
用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若 ，求∠ADB
的度数．
2．（2023·广西·模拟预测）已知 是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长
线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时， 的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
3．（2023·广西·模拟预测）如图，以 为直径的 经过 的顶点 ， ， 分别平分 和
， 的延长线交 于点 ，连接 ．
(1)判断 的形状，并证明你的结论；
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(2)若 ， ，求 的长．
4．（2022·北京西城·统考一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转 （ ），得到线段
BE，连接EA，EC．
(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE
的面积为______；
(2)当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之
间的数量关系，并证明．
5．（2023·广西·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是 边上的一点，以
为直角边作等腰 ，其中 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 时，求 的长．
题型 12 等腰三角形有关的折叠问题
1．（2023·安徽芜湖·统考二模）在 中， 是边 的中点， 是 边上一动点，连接 ，将
沿直线 折叠得 ．
（1）如图（1），若 为边长为4的等边三角形，当点D恰好落在线段 上时，则 ＝ ；
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（2）如图（2），若 为直角三角形． ， ．分别连接 、 、 ，若
，且 ，则 ＝ ．
2．（2023·安徽蚌埠·一模）如图， 中， ， ，点 是 上一点，沿 折叠得
，点 落在 的平分线上， 垂直平分 ， 为垂足，则 的度数是 ．
3．（2023·吉林长春·一模）实践与探究
(1)操作一：如图①，已知三角形纸片 ， ， ，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，
折痕为 ，点B的对应点为点E， 与 交于点F，且 ，则 ______度；
(2)操作二：如图②，将 沿 继续折叠，点E的对应点为点G． 与 交于点M， 与 交
于点N，则图②中度数为 的角共有______个．
(3)根据以上操作所得结论，解答下列问题：
①求证： ；
②若 ，则线段 的长为______．
4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图， 中， ，点D是 的中点，将 折叠，使点A
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与点D重合，折痕为 ，连接 ．求证：四边形 是菱形．
题型 13 等腰三角形有关的规律探究问题
1．（2021·四川乐山·统考一模）如图， 为等腰直角三角形， ，以斜边 为直角边作等腰
直角三角形 ，再以 为直角边作等腰直角三角形 ，…，按此规律作下去，则 的长度为（
）
A． B． C． D．
2．（2021·河南三门峡·统考二模）如图，在单位为1的方格纸上， ， ， ，…，是
斜边在 轴上，斜边长分别为2，4，6，…，的等腰直角三角形，若 的顶点坐标分别为 ，
， ，则依图中所示规律， 的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
3．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，在平面直角坐标系 中，有一个等腰直角三角形 ，
，直角边 在 轴上，且 ．将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形
，且 ,再将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ……，
依此规律，得到等腰直角三角形 ，则点 的坐标为 ．
4．（2021·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，分别连接 ，
， 的中点，得到第1个等腰直角三角形 ；分别连接 ， ， 的中点，得到第2个等
腰直角三角形 ……以此规律作下去，得到等腰直角三角形 ，则 的长为 ．
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5．（2021·山东聊城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中， ，…都是等腰直角三
角形，其直角顶点 ， ，…均在直线 上．设 ．．的面积分别
为 ，…，依据图形所反映的规律， ．
题型 14 等腰三角形有关的新定义问题
1．（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这
条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．
(1)如图1，在四边形 中， ，连结 ，点 是 的中点，连结 ， ．
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①试判断四边形 是否是双等腰四边形，并说明理由；
②若 ，求 的度数；
(2)如图2，点 是矩形 内一点，点 是边 上一点，四边形 是双等腰四边形，且 ．
延长 交 于点 ，连结 ．若 ， ， ，求 的长．
2．（2023·贵州铜仁·校考一模）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离
之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最
近值”．
【基础巩固】（1）如图1，在等腰 中， ， 为 边上的高，已知 上一点E满
足 ， ，求 ；
【尝试应用】（2）如图2，等边 边长为 ，E为高线 上的点，将 绕点A逆时针旋转
得到 ，连接 ，请你在此基础上继续探究出等边 的“最近值”；
【拓展提高】（3）如图3，在菱形 中，过 的中点E作 垂线交 的延长线于点F，连接
，已知 ， ，求 “最近值”的平方．
题型 15 等腰三角形有关的动点问题
1．（2023·河北邢台·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点 ，点 为 轴正半轴上一动点，连
接 ，以 为一边向下作等边三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
2．（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图1，点P是等腰直角 的斜边 上一动点（不与点A，C重
合），点D在边 上，且 ，设 ， 的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，
则腰 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在 中， ， ，点M在边 上， ，
点 是射线 上一动点，连接 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，联结 ，如果
，那么 的长是 ．
4．（2022·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ，
过点 的直线与 轴交于点 ，线段 的长是一元二次方程 的两个实数
根．动点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发沿着折线 向终点 运动，过点 作 轴的垂
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线，交 轴于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)连接 ，设 的面积为 ，点 的运动时间为 秒，求 与 的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
(3)在直线 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明
理由．
题型 16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，分别以 的 边为斜边向外作等腰直角三角形
和等腰直角三角形 ，点G是 的中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ， =2 ， =3 ，求 的正切值；
(3)如图3，以 的 边为斜边向外作等腰直角三角形 ，连接 ，试探究线段 的关系，
并加以证明．
2．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，四边形 是矩形，点E在边 的延长线上，点F在边 上，
且 ， ，延长 交 于点G．
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(1)求证： 是直角三角形；
(2)求 的值；
(3)探究三条线段 之间的等量关系，并说明理由．
3．（2023·湖北十堰·统考一模）在 中， 为 边上一点（不与点 重合），将线
段 绕点 逆时针旋转 得到 ．
(1)如图1，连接 ，则线段 与 的数量关系是_________，位置关系是________；
(2)如图2，当点 在 的延长线上时，连接 ，写出此时线段 之间的等量关系，并加以证明；
(3)如图3，在四边形 中， ．若 ，请直接写出 的长．
4．（2023·山东东营·统考一模）（1）问题：如图①，在 中， ，D为 边上一点（不
与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 和线段 的数量关
系是______，位置关系是______；
（2）探索：如图②，在 与 中， ， ，将 绕点A旋转，使点D
落在 边上，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形 中， ．若 ， ，求 的
长．
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题型 17 利用等边三角形的性质求线段长
1．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD
与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
2．（2021·江西·统考二模）如图，在等边三角形 中，D是 的中点，P是边 上的一个动点，过
点P作 ，交 于点E，连接 ．若 是等腰三角形，则 的长是
．
3．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形 中，P，Q两点分别在边 上， ，
D是 的中点．若 ，则 的最小值是 ．
题型 18 手拉手模型
1．（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，等腰 中， ，点D在线段 上运
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动（不与A、B重合），将 与 分别沿直线 翻折得到 与 ，给出下列结论：
① ；
② 面积的最小值为 ；
③当点D在 的中点时， 是等边三角形；
④当 时， 的长为 ；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
2．（2021·山东济南·统考二模）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运
动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：
①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为 ；④当点D在AB的中点时，
△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为 ．其中所有正确结论的序号是 ．
题型 19 等边三角形的判定
1．（2023·上海杨浦·二模）已知：在直角梯形 中， ， ， 沿直线 翻折，
点A恰好落在腰 上的点E处．
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(1)如图，当点E是腰 的中点时，求证： 是等边三角形；
(2)延长 交线段 的延长线于点F，连接 ，如果 ，求证：四边形 是矩形．
2．（2019·山东·校考一模）如图，已知等边 ， 于 ， ， 为线段 上一点，且
，连接 ，BF， 于 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）试说明 与 的位置关系和数量关系．
3．（2022·安徽马鞍山·校考一模）如图1， 和 都是等边三角形，且A，C，E在同一条直线上，
分别连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，若 ， ， 分别为 ， ， 的中点，过 作 与 的延长线交
于 ，求证： ；
(3)如图3，设 与 交于 点，点 在 上， ，交 于 ，交 的延长线于 ，试判断
的形状．
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题型 20 等边三角形与折叠问题
1．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知等边 的边长为 ，点 是 边上的一个动点（与点A、
B不重合），直线 是经过点 的一条直线，把 沿直线l折叠，点B的对应点是点 ．
(1)基础图形：如图1，当 时，若点 恰好在 边上，求 的长度；
(2)模型变式：如图2，当 时，若直线 ，则 的长度为______；
(3)动态探究：如图3，点 在 边上运动过程中，点 到直线 的距离为 ．
如果直线 始终垂直于 ，那么 的值是否变化？若变化，求出 的变化范围；若不变化，求出 的
值；
当 时，请直接写出在直线 的变化过程中， 的最大值．
2．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图1，等边三角形纸片 中， ，点D在边 上（不与点
B、C重合）， ，点E在边 上，将 沿 折叠得到 （其中点 是点C的对应点）．
(1)当点 落在 上时，依题意补全图2，并指出 与 的位置关系；
(2)如图3，当点 落到 的平分线上时，判断四边形 的形状并说明理由；
(3)当点 到 的距离最小时，求 的长；
(4)当A， ，D三点共线时，直接写出 的余弦值．
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题型 21 等边三角形有关的规律探究问题
1．（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图
中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“
……”的路线运动．设第n秒运动到点 （n为正整数），则点 的
坐标是 ．
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，过点B作
MA ⊥AC于点A，过点A，作AB∥OA，交OC于点B；过点B 作BA⊥AC于点A，过点A 作AB∥OA，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
交OC于点B；…按着这个规律进行下去，点A 的坐标是 ．
2 2021
3．（2021·广东汕头·统考一模）如图，边长为4的等边 ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，
以OB为边作等边 OBA ，边OA 与AB交于点O，以OB为边作等边△OBA，边OA 与AB交于点O，
1 1 1 1 1 2 1 2 1 2
以OB为边作等边 OBA，边OA 与AB交于点O，…，依此规律继续作等边 O BA，则A 的横坐
2 2 3 2 3 2 3 n﹣1 n 2021
标 ．
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题型 22 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
1．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，在正方形 中， 是等边三角形，
、 的延长线分别交 于点E，F，连接 ， 与 相交于点H，给出下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2023·山东泰安·统考二模）如图，正 的边长为2，沿 的边 翻折得 ，连接 交
于点O，点M为 上一动点，连接 ，射线 绕点A逆时针旋转 交 于点N，连接
．以下四个结论：① 是等边三角形：② 的最小值是 ；③当 最小时
；④当 时， ．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
3．（2022·福建厦门·校考二模）如图，四边形 是矩形纸片， ，对折矩形纸片 ，使
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与 重合，折痕为 ，展平后再过点 折叠矩形纸片，使点 落在 上的点 ，折痕 与 相交于
点 ；再次展平，连接 ， ，延长 交 于点 ．有如下结论：① ；② ；③
是等边三角形；④ 为线段 上一动点， 是 的中点，则 的最小值是 ．其中正
确结论的序号是 ．
4．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在菱形 中， ， ，点E在边 上，连接
．作点A关于 的对称点F，连接 、 、 ．现给出以下4个结论：① 平分 ；②菱形
的面积等于 ；③ 周长的最小值为 ；④当 时， ，其中正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
题型 23 利用垂直平分线的性质求解
1．（2022·河南驻马店·模拟预测）如图，在 中， ，分别以点A和点C为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线 ，直线 与 相交于点D，连接 ，若
，则 的长是（ ）
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A．6 B．3 C．1.5 D．1
2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，
两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错
误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
3．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若
AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．
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题型 24 线段垂直平分线的判定
1．（2020·河南焦作·统考一模）已知，在△ABC中， ，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长
为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论
中错误的是（ ）
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
2．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在 中， ，分别以点 为圆心，
的长为半径作弧，两弧交于点 ，连接 则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，在矩形 中，点 是 的中点， 的平分线交 于点
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将 沿 折叠，点 恰好落在 上 点处，延长 、 交于点 ，有下列四个结论：①
垂直平分 ；② 平分 ；③ ；④ ．其中，将正确结论的序号全部
选对的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
一、单选题
1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为
1
半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧在∠ABC
2
内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB=AG=4，GD=5，则CH的长为
（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
2．（2023·海南·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，交边
AD于点E，连接CE，若AE=2ED，则CE的长为（ ）
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A．6 B．4 C．4√3 D．2√6
1
3．（2023·海南·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=40°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的
2
长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为
（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以
1
AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧
2
交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S :S 的值是（ ）
△BDE △CDE
A．1:2 B．1:√3 C．2:5 D．3:8
5．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以
1
BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作
2
射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
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A．∠BCE=36° B．BC=AE
BE √5−1 S √5+1
C． = D． △AEC =
AC 2 S 2
△BEC
6．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是
（ ）
A．70° B．45° C．35° D．50°
7．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为4cm，矩形DEFG的长和宽分
别为4cm和√3cm，点C和点E重合，点B，C(E)，F在同一条直线上，令矩形DEFG不动，等边三角形
ABC以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，等边三角形ABC与矩形
DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线y=x+1和x轴之间由小到大依次画
出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，
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则第100个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．298 B．299 C．2197 D．2198
二、填空题
9．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A(3,0)，
B(0,4)，点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点
C的坐标为 ；点D的坐标为 ．
10．（2023·江苏·统考中考真题）若等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，则这个三角形的底边长是
cm．
11．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B(0,0)、C(1,0)．
将线段CA 绕点C按顺时针方向旋转120°至CP ；将线段BP 绕点B按顺时针方向旋转120°至BP ；
1 1 2
将线段AP 绕点A按顺时针方向旋转120°至AP ；将线段CP 绕点C按顺时针方向旋转120°至CP ；
2 3 3 4
……以此类推，则点P 的坐标是 ．
99
12．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB'，将AC绕
点A逆时针旋转β至AC' (0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB'C'，使∠BAC+∠B' AC'=180°，
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我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①△ABC与△AB'C'面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB'和CC'，则∠B'BC+∠CC'B'=180°；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B'C'=10．
13．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，△OA A ,△A A A ,△A A A ,⋯⋯都是边长为2的等
1 2 3 4 5 6 7 8
边三角形，按下图所示摆放．点A ,A ,A ,⋯⋯都在x轴正半轴上，且A A =A A =A A =⋯⋯=1，
2 3 5 2 3 5 6 8 9
则点A 的坐标是 ．
2023
14．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，
点B关于直线DE的轴对称点为点B'，连接DB'，EB'，分别与AC相交于F点，G点，若
AF=8，DF=7,B'F=4，则CG的长度为 ．
三、解答题
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15．（2023·青海西宁·统考中考真题）一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，且经过点B(m,4)．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−4的图象；
(3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
16．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中
点，连结DE．已知BC=10，AD=12，求BD，DE的长．
17．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=3√2，点D在AB边上，连接CD，
将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
(1)求证：△CAD≌△CBE；
(2)若AD=2时，求CE的长；
(3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
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18．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=BC=2AC=8，△ABC沿BC方向向
左平移得到△DCE，A、C对应点分别是D、E．点F是线段BE上的一个动点，连接AF，将线段AF绕点
A逆时针旋转至线段AG，使得∠BAD=∠FAG，连接FG．
(1)当点F与点C重合时，求FG的长；
(2)如图2，连接BG、DF．在点F的运动过程中：
①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；
②当BF的长为多少时，△ABG能构成等腰三角形？
19．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将
线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
20．（2022·山东临沂·统考中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，
CD．
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(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长
线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
38
