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第18讲等腰三角形（讲义）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_一轮复习资料_配套讲义（原卷版+解析版）_教师版（含答案解析）

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第18讲等腰三角形（讲义）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_一轮复习资料_配套讲义（原卷版+解析版）_教师版（含答案解析）
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第 18 讲 等腰三角形
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 等腰三角形的性质与判定
题型01 等腰三角形的定义
题型02 根据等边对等角求角度
题型03 利用等边对等角证明
题型04 根据三线合一求解
题型05 根据三线合一证明
题型06 格点图中画等腰三角形
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
题型08 根据等角对等边证明边相等
题型09 根据等角对等边求边长
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
题型11 等腰三角形性质与判定综合
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
题型14 等腰三角形有关的新定义问题
题型15 等腰三角形有关的动点问题
题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
考点二 等边三角形的性质与判定
题型01 利用等边三角形的性质求线段长
题型02 手拉手模型
题型03 等边三角形的判定
题型04 等边三角形与折叠问题
题型05 等边三角形有关的规律探究问题
题型06 等边三角形有关的新定义问题
题型07 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理
题型01 利用垂直平分线的性质求解
题型02 线段垂直平分线的判定
题型03 线段垂直平分线的实际应用
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考点要求 新课标要求 命题预测
 理解等腰三角形的概念.
 探索并证明等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、 该板块内容重在掌握基本知
与判定 中线及顶角平分线重合. 识的基础上灵活运用，也是考查
 探索并掌握等腰三角形的判定定理: 重点，年年都会考查，最为经典
有两个角相等的三角形是等腰三角形. 的“手拉手”模型就是以等腰三
角形为特征总结的.而数学中考
 探索等边三角形的性质定理:等边三
中，等腰三角形单独出题的可能
角形的各角都等于60°.
等边三角形的性质
性还是比较大的，多以选择填空
 探索等边三角形的判定定理:三个角
与判定
题型出现，但是因为等腰三角形
都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰
可以放在很多模型中，所以等腰
三角形)是等边三角形.
三角形结合其他考点出成压轴题
 理解线段垂直平分线的概念，
的几率特别大，所占分值也是比
 探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的 较多，属于是中考必考的中等偏
定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距
性质与判定定理 上难度的考点.
离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线
段的垂直平分线上.
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考点一 等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等
边”）.
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明
是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
b
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 0）的图象上，则k的值为 ．
x
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【答案】12
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，利用等腰三角形的性质求得OC=BC=3，再利用勾股定理求得
AC=4，得到点A的坐标是(3，4)，利用待定系数法即可求解．
【详解】解：过点A作AC⊥OB于点C，
∵OA=AB=5，OB=6，
∴OC=BC=3，
∴AC=√52−32=4，
∴点A的坐标是(3，4)，
k
∵点A在反比例函数y= （k≠0，x>0）的图象上，
x
∴k=3×4=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查反比例函数与等腰三角形的综合，利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的
坐标是解题关键．
【变式4-4】（2023·河北·统考模拟预测）如图，点D,C,E在直线l上，点A,B在l的同侧，AC⊥BC，
若AD=AC=BC=BE=5,CD=6，则CE的长为 ．
【答案】8
【分析】过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，证明△ACM≌△CBN，得出AM=CN，
1
BN=CM，根据等腰三角形性质得出DM=CM= CD=3，根据勾股定理求出
2
1
AM=√AD2−DM2=√52−32=4，根据等腰三角形性质得出EN=CN= EC，求出CE=2CN=8即
2
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可．
【详解】解：过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，如图所示：
则∠AMD=∠AMC=∠BNC=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCN=∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACM=∠CBN，
∵AC=BC，∠AMC=∠BNC=90°，
∴△ACM≌△CBN，
∴AM=CN，BN=CM，
∵AD=AC，AM⊥CD，
1
∴DM=CM= CD=3，
2
∴AM=√AD2−DM2=√52−32=4，
∴CN=AM=4，
∵BC=BE，BN⊥CE，
1
∴EN=CN= EC，
2
∴CE=2CN=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题
的关键是作出辅助线，证明△ACM≌△CBN．
题型05 根据三线合一证明
【例5】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过
点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
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A．线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
B．线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
C．线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
D．线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】如图所示，连接AD，设该圆圆心为O，连接OE，OD，先由三线合一定理和切线的性质证明
A、O、D三点共线，即AD是⊙O的直径，进而得到点O是线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平
分线的交点．
【详解】解：如图所示，连接AD，设该圆圆心为O，连接OE，OD，
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴A、O、D三点共线，即AD是⊙O的直径，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA=OE，
∴点O在线段AE的垂直平分线，
∴点O是线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
故选C．
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【点睛】本题主要考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，三线合一定理，证明AD是⊙O的直径
是解题的关键．
【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是
AO，CO的中点．
(1)求证：DE=BF；
(2)请从以下三个条件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD中，选择一个合适的作为已知
条件，使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)②，证明见解析
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到AO=CO,OD=OB然后根据题意得到OE=OF，进而证
明出四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②∠BAC=∠DAC，首先根据平行四边形的性质得到∠DCA=∠BAC，然
后利用等量代换得到∠DCA=∠DAC，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AC⊥BD，然后利用对
角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,OD=OB
∵点E，F分别是AO，CO的中点
∴OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形
∴DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC
∵∠BAC=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC
∴AD=CD
∵AO=CO
∴AC⊥BD
∵四边形DEBF是平行四边形
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∴平行四边形DEBF是菱形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握以上知识点．
【变式5-2】（2023·广西河池·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为
直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
(1)求证：AD是圆O的切线．
(2)若PC是圆O的切线，BC=4，求PE的长．
【答案】(1)见解析
√2
(2)
2
【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质得到AD⊥BC，即可得证；
（2）连接OP，通过证明△DEC∽△POC，利用相似三角形的性质得到PC与CE的长度，再进行线段
和差即可求解．
【详解】（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是圆O的切线；
（2）连接OP，
∵BC=4，
∴BD=DC=2，
∵BD为直径，
∴BO=OD=1，
∵EP为⊙O切线，
∴OP=1，
∵OC=3，
∴在 Rt△OPC中，OC2−OP2＝PC2，
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∴PC=√32−12=2√2，
∵∠ECD＝∠PCO，∠EDC＝∠OPC＝90°，
∴△DEC∽△POC，
EC DC
∴ = ，
OC PC
EC 2
∴ = ，
3 2√2
3
∴ EC= √2，
2
3 √2
∴PE=PC−EC= 2√2− √2 = ．
2 2
【点睛】本题考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．如果已知切线，连半径，得垂直；如
果证明切线，则连半径，证垂直．
【变式5-3】（2023·贵州黔东南·统考三模）（1）如图，直线AB经过⊙O上一点C，连接OA,OB，从
以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①
OA=OB；②CA=CB；③AB是⊙O的切线．你选择的条件是____________，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB=90°，OA=4√2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①②，③（答案不唯一）；（2）16−4π
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接OC，根据等腰三角形性质可得OC⊥ AB，即
可；
（2）先求出OC，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可．
【详解】解：选择的条件是①②，结论是③；理由如下：
如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
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∴OC⊥ AB，
∵OC为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）∵∠AOB=90°，OA=4√2，OA=OB，
∴AB=√OA2+OB2=8，
∵OA=OB，CA=CB，
1
∴OC⊥ AB，OC= AB=4，
2
∴阴影部分的面积为
1 90π×42
S −S = ×4√2×4√2− =16−4π．
△AOB 扇形 2 360
【点睛】本题考查命题与定理，切线的判定，扇形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型06 格点图中画等腰三角形
【例6】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为
1，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足
∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于45°，构造出一个P点，再画出△P MN的外接圆，这
1
个外接圆与网格交点为格点的都符合题意．
【详解】解：如图，在BC边上取点P ，使BP =AN=2，连接N P ，M P ，
1 1 1 1
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∴NB=AM=4，
∵∠MAN=∠NBP =90°，
1
∴△MAN≌△NBP (SAS)，
1
∴MN=N P ，∠AMN=∠BN P ，
1 1
∵∠ANM+∠AMN=90°，
∴∠ANM+∠BN P =90°，
1
∴△P MN是等腰直角三角形，
1
∴∠M P N=45°，
1
作△P MN的外接圆交网格于P 、P 、P 、P ，
1 2 3 4 5
根据圆周角定理，得∠M P N=∠M P N=∠M P N=∠M P N=∠M P N=45°，
1 2 3 4 5
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间
想象能力，模型意识．
【变式6-1】（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B
在格点上．再选择一个格点C，使 ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
△
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】确定AB的长度后即可确定点C的位置．
【详解】AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
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故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆以及等腰三角形的判定，解题的关键是确定AB的长，难度不大．
【变式6-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）图1、图2是两张形状、大小完全相
同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1
(1)在图1中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形ABC，（点A、B、C在小正方形的顶点上）．
(2)在图2中画出一个腰长为10的等腰三角形DEF（点D、E、F在小正方形的顶点上），并直接写出等腰
三角形DEF的底角的正切值为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，7
【分析】（1）根据腰长和面积求出腰上的高，即可画图；
（2）根据勾股定理求解可画出三角形，过点E作EG⊥DF交DF于点G，由勾股定理求得DF=2√2，
1
根据等腰三角形的性质可得DG=FG= DF=√2，求得EG=7√2，即可求得底角的正切值．
2
【详解】（1）解：该等腰三角形腰上的高为：10×2÷5=4，
AB=√32+42=5，如图所示
（2）如图，DE=EF=√62+82=10，
过点E作EG⊥DF交DF于点G，
1
DF=√22+22=2√2，根据等腰三角形的性质可得DG=FG= DF=√2，
2
EG=√102−(√2) 2=7√2，
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EG 7√2
∴tan∠EDG= = =7，
DG √2
故答案为：7．
【点睛】本题考查了勾股定理，网格内作三角形，等腰三角形的性质和正切值的计算，结合勾股定理作
出三角形是解题的关键．
【变式6-3】（2023·浙江丽水·统考二模）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边
三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．
(1)在图1中画出以AB为边的平行四边形ABCD，且点C，D在格点上；
(2)在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
(3)在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找到格点C,D，根据AD=BC=2，且AD∥BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）AB,AE分别为两个小菱形的对角线，即可求解；
（3）作菱形ABMN对角线AM,BN交于点F，则AF⊥BF，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，AD=BC=2，且AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，
（2）解：如图所示，AB,AE分别为两个小菱形的对角线，
∴AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形，
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（3）解：如图所示，
∵AB,AN,MN,BM分别等于两个菱形的对角线长，
∴四边形ABMN是菱形，
对角线AM,BN交于点F，则AF⊥BF
∴△ABF是直角三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的定义，菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质
与判定是解题的关键．
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分
∠ABC．
(1)求证：BD=DE；
(2)若BD:BC=2:3．直接写出S :S 的值．
△ADE △EDC
【答案】(1)见解析
(2)2:1
【分析】（1）由平行线的性质可得∠CBE=∠BED，由角平分线的定义可得∠DBE=∠CBE，即
∠DBE=∠BED，即可解答；
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DE 2 AE DE 2
（2）由已知条件可得 = ，再说明△ADE∼△ABC可得 = = ,即AE=2EC；如图：过D
BC 3 AC BC 3
1 1
作DG⊥ AC，则S = AE⋅DG,S = EC⋅DG，然后代入计算即可．
△ADE 2 △EDC 2
【详解】（1）证明：∵ED∥BC，
∴∠CBE=∠BED,
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=∠CBE,
∴∠DBE=∠BED
∴BD=DE．
（2）解：∵BD:BC=2:3，BD=DE，
DE 2
∴ = ，
BC 3
∵ED∥BC，
∴△ADE∼△ABC
AE DE 2
∴ = = ,即AE=2EC
AC BC 3
如图：过D作DG⊥ AC
1 1
∴S = AE⋅DG,S = EC⋅DG,
△ADE 2 △EDC 2
∴S :S =AE:EC=2EC:EC=2:1．
△ADE △EDC
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判
定与性质是解答本题的关键．
【变式7-1】（2023·江苏常州·统考二模）如图，已知△ABC．
(1)在图中用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射线DE交AB于点
E（不写作法，保留作图痕迹）；
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(2)在（1）的条件下，判断△BDE的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)△BDE是等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）作∠ABC的角平分线BD，作∠ADE=∠C．
（2）利用平行线的性质与判定证明∠BDE=∠DBC，结合角平分线的定义可得△BDE两个内角相等，
进而得△BDE是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图所示，BD为△ABC的角平分线，∠ADE=∠C．
（2）解：△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵ ∠ADE=∠C，
∴ DE∥BC，
∴ ∠BDE=∠DBC，
又∵ ∠DBC=∠DBE，
∴ ∠BDE=∠DBE，
∴ DE=BE，
∴ △BDE是等腰三角形．
【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，用尺规作相等的角，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式7-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O
上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
25
（2）连接BC，若AD=OD，AE= ，BC=6，求PC的长．
8
65
【答案】（1）见解析；（2）
16
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【分析】（1）根据垂直和切线的性质得到∠AED=∠PCA，然后根据对顶角相等得到
∠AED=∠PEC，根据等角对等边即可证明；
（2）作OF⊥ AC于点F，PG⊥ AC于点G，连接OE，根据三角形中位线的性质得到OF的长，在
Rt△OEF中应用勾股定理得到EF的长，进而得到CE的长，然后根据三角形相似的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵PD⊥ AB，
∴∠DAE+∠AED=90°．
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA+∠OCA=90°．
∵OA=OC，
∴∠DAE=∠OCA．
∴∠AED=∠PCA，
∵∠AED=∠PEC，
∴∠PCA=∠PEC．
∴PC=PE，即△PCE是等腰三角形．
（2）作OF⊥ AC于点F，PG⊥ AC于点G，连接OE，
1 25
可得OF= BC=3，OE=AE= ，
2 8
7
∴EF=√OE2−OF2=
．
8
∴AF=4，AC=8．
∴AB=10，⊙O的半径为5．
39
∴CE=AC−AE= ．
8
∵∠PCE=∠PEC=∠AED=∠B
又∵∠PGC=∠ACB
∴△PCG∼△ABC
PC AB
∴ = ．
CG BC
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1 39
∵CG= CE=
2 16
CG·AB 65
∴PC= = ．
BC 16
65
故答案为 ．
16
【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的性质，是
几何部分的综合题，第（2）问关键是证明两个三角形相似．
题型08 根据等角对等边证明边相等
【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，
∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出CD=AB=6，∠DAF=∠F，进而求出
DF=AD=9的长即可由FC=DF−CD得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=9，
∴FC=DF−CD=9−3=3，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．利用平行线与角平分线得出
∠DAF=∠F是解题的关键．
【变式8-1】（2023·江苏苏州·统考二模）如图锐角△ABC中，AB=4，BC=6，∠A=2∠C，则AC
的值为 ．
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【答案】5
【分析】过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，证明△ABD∼△CBA，进而即可得到答案．
1
【详解】解：过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，则∠1=∠2= ∠BAC，
2
1
∵∠BAC=2∠C，即∠C= ∠BAC，
2
∴∠1=∠2=∠C，
∴AD=CD，∠3=∠2+∠C=2∠C，
∴∠3=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∼△CBA，
AB BD AD
∴ = = ，
CB BA CA
∵AB=4，BC=6，
8
∴BD= ，
3
8 10
∴CD=6− = ，
3 3
10
∴4 3 ，
=
6 CA
∴AC=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，添加辅助线构造相
似三角形是关键．
【变式8-2】（2023·浙江·统考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，
EB平分∠DEC．
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(1)求证：BC=CE；
(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DEB=∠BEC，根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBC，
根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠A，设∠C=∠A=x，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）解：证明：∵BE平分∠DEC，
∴∠DEB=∠BEC，
∴DE∥BC．
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE；
（2）∵BC=CE，CE=AB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠A，
设∠C=∠A=x，
∵EA=EB，
∴∠ABE=∠A=x，
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∴2x+2x+x=180°，
∴∠C=x=36°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三
角形的性质是解题的关键．
【变式8-3】（2023·湖北武汉·统考二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点
E，交CD的延长线于点F．
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(1)求证：DE=DF；
(2)若∠C=120°，直接写出∠1的度数．
【答案】(1)见解析
(2)150°
【分析】（1）利用AD∥BC推出∠FED=∠FBC，AB∥CD推出∠2=∠F，用BF平分∠ABC推导
∠2=∠FBC，从而得到∠F=∠FED，从而得证；
（2）根据AD∥BC，推出∠EDF=∠C=120°，再结合∠F=∠FED利用三角形内角和为180°推出
180°−∠EDF
∠FED= =30°，从而得到∠1=180°−∠FED=150°.
2
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠FED=∠FBC．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠F．
∵BF平分∠ABC，
∴∠2=∠FBC，
∴∠F=∠FED，
∴DE=FD．
（2）∠1=150°，
求解过程如下：
∵∠C=120°，AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=120°，
又∵∠F=∠FED，
180°−∠EDF
∴∠FED= =30°，
2
∴∠1=180°−∠FED=150°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的相关计算，等角对等边，三角形内角和等知识，掌握平行
线的性质是解题的关键．
题型09 根据等角对等边求边长
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，点F
为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是（ ）
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11
A．2√2−2 B． C．2 D．√5
6
【答案】C
1
【分析】根据正方形的性质得出∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB= ×90°=45°，求出
2
∠ABF=90°−22.5°=67.5°，∠AFB=∠BCF+∠CBF=67.5°，得出∠ABF=∠AFB，根据等腰
三角形的判定，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
1
∴∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB= ×90°=45°，
2
∵∠CBF=22.5°，
∴∠ABF=90°−22.5°=67.5°，
∠AFB=∠BCF+∠CBF=67.5°，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=2，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌
握正方形的性质，得出∠ABF=∠AFB．
【变式9-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分
线，DE⊥ AC，垂足为点E.若DE=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．2√3 C．2 D．2√2
【答案】D
【分析】过点D作DF⊥ AB，根据角平分线的性质得出DF=DE=2，再由等角对等边得出DF=BF=2，
由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作DF⊥ AB，如图所示：
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∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥ AC，DE=2，
∴DF=DE=2，
∵∠B=45°，
∴∠BDF=∠B=45°，
∴DF=BF=2
∴BD=√BF2+DF2=2√2，
故选：D．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些
知识点是解题关键．
【变式9-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，在▱ABCD中，
AB=6，BC=8，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点，分别以M，N
1
为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠BCD的内部交于点P，射线CP交AD于点E，交BA的
2
延长线于点F，则AF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题意可得：CP是∠BCD的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角
对等边得出BF=BC=8，再根据线段的和差即可得出答案.
【详解】解：由题意可得：CP是∠BCD的平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∵▱ABCD，AB=6，BC=8，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠FCD，
∴∠F=∠BCF，
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∴BF=BC=8，
∴AF=BF−AB=8−6=2；
故选：B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相
关图形的性质、得出BF=BC是解题的关键.
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【例10】（2020·安徽淮北·统考一模）如图，在矩形ABCD中， AB=4,BC=6,点E是AD的中点，点
F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF为腰，E为顶角顶点时，②当EF为腰，F为
顶角顶点时，③当EF为底，P为顶角顶点时，分别确定点P的位置，即可得到答案．
【详解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，CF=1，点E是AD的中点，
∴EF=3√2=√18>4．
∴△PEF是等腰三角形，存在三种情况：
①当EF为腰，E为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC上存在两个点P，在AB上存在一个
点P，共3个，使△PEF是等腰三角形；
②当EF为腰，F为顶角顶点时，
∵√18<6,
∴在BC上存在一个点P，使△PEF是等腰三角形；
③当EF为底，P为顶角顶点时，点P一定在EF的垂直平分线上，
∴EF的垂直平分线与矩形的交点，即为点P，存在两个点．
综上所述，满足题意的点P的个数是6．
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学
会分类讨论思想，是解题的关键．
【变式10-1】（2018·江苏常州·统考一模）已知直线y=−√3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛
物线y=−(x−√3) 2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( )
A．8个 B．4个 C．5个 D．6个
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【答案】A
【分析】分三种情况考虑：①以点B为圆心，AB长度为半径作圆可找出两个点P；②以点A为圆心，AB
长度为半径作圆可找出四个点P；③作线段AB的垂直平分线可找出两个点P．综上即可得出结论．
【详解】分三种情况考虑：如图所示：
①以点B为圆心，AB长度为半径作圆，交抛物线于点P 、P ；
1 2
②以点A为圆心，AB长度为半径作圆，交抛物线于点P 、P 、P 、P ；
3 4 5 6
③作线段AB的垂直平分线，交抛物线于点P 、P ．
7 8
综上所述：能使△ABP为等腰三角形的点P的个数为8个．
故选A．
【点睛】二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的判定，依照题
意画出图形，解题的关键是利用数形解决问题．
【变式10-2】．（2023·广东河源·统考一模）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已
知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有
（ ）个．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况：当BA=BC时，当AB=AC时，当CA=CB时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
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分三种情况：
①当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C ，C ，
1 2
②当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C ，C ，
3 4
③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C ，C ，C ，C ，
5 6 7 8
综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
题型11 等腰三角形性质与判定综合
【例11】（2023·北京顺义·统考二模）如图，在△ABC中，AD，BD分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．若AE=4，BF=6，则EF的长为 ．
【答案】10
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质可得
∠BAD=∠ADE，∠ABD=∠BDF，进一步可得∠CAD=∠ADE，∠CBD=∠BDF，可得
DE=AE，DF=BF，进一步可得EF的长．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，∠ABD=∠BDF，
∴∠CAD=∠ADE，∠CBD=∠BDF，
∴DE=AE=4，DF=BF=6，
∴EF=DE+DF=4+6=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的
关键．
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【变式11-1】（2020·江苏泰州·统考一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且 POA为等腰三角形，若
符合条件的点P恰好有2个，则m= ．
△
2√3
【答案】0或±
3
【分析】由于当OP=OA时，这样的P点一定有2个，易得PO=PA不存在，AP=AO也不存在，这时才满
足符合条件的点P恰好有2个，从而得到m=0，当AP=OA时，可得n=2m，n为任何值均成立，然后将
n=2m分别代入另外两种情况中求出m的值即可．
【详解】设点P(0，n)
①当OP=OA时，这样的P点一定有2个，
∴PO=PA不存在，AP=AO也不存在，
∴A点在x轴上，
此时m=0．
②当AP=OA时，22+(m−n) 2=22+m2
可得n(n−2m)=0
∵点P、O、A能够成三角形
∴n=2m，n为任何值均成立
③当OP=PA时，n2=22+(m−n) 2
可得4+m2−2mn=0
∵符合条件的点P恰好有2个
∴22+m2=n2与4+m2−2mn=0应该存在两个不同的解
∴将n=2m代入22+m2=n2中
可得22+m2=(2m) 2
2√3
解得m=±
3
将n=2m代入4+m2−2mn=0中
可得4+m2−4m2=0
2√3
解得m=±
3
2√3
故答案为：0或± ．
3
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【点睛】本题考查了等腰三角形的问题，掌握等腰三角形的性质以及判定、勾股定理、解一元二次方程
是解题的关键．
【变式11-2】（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，已知AB=6√3，点C在线段AB上，△ACD是底边长
为6的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中
点，连接MB，则线段MB的最小值为 ．
【答案】9−2√3
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形等
知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹．连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T．证明
MJ垂直平分线段CD，推出点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，求出BM即可．
【详解】解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T，过点D作DH⊥ AB，垂足为点
H，
∵四边形EFCD是矩形，点M是DF的中点，
∴点M在对角线DF，EC的交点，
∴MD=MC，
∵MJ⊥CD，
∴DJ=JC，
∴点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，
∵DA=DC，∠ADC=120°，AC=6，
1
∴∠A=∠DCA=30°，AH=CH= AC=3，
2
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2√3
∴CD=3× =2√3，
3
∴CJ=DJ=√3，
CJ
∴CT= =2
√3 ，
2
∵AB=6√3，AC=6，
∴BT=BC+CT=(6√3−6)+2=6√3−4，
∵∠CJT=90°，∠JCT=30°，
∴∠BTM=60°，
√3 √3
∴BM= BT=(6√3−4)× =9−2√3，
2 2
∴BM的最小值为9−2√3．
故答案为：9−2√3．
k (8 )
【变式11-3】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数y= (x>0)的图象过点A(n,2)和B ,2n−3
x 5
两点．
(1)求n和k的值；
(2)点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S =6，求C点的坐标；
△AOC
(3)过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△≝¿是以DE为腰
的等腰直角三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)n和k的值分别为4，8；
(2)C(2,4)，
(3)点F(−9,6)或(−3,9)。
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；
8
（2）设点C(m, )，过点C做CG⊥x轴于点G，交OA于点H，以CH为底，由△AOC的面积解出点C
m
坐标；
（3）先用待定系数法求得进而求出直线DE的解析式，再分两种情况进行讨论：①以DE为直角边，D为
直角顶点；②以DE为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
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k (8 )
【详解】（1）解：∵函数y= (x>0)的图像过点A(n,2)和B ,2n−3 两点，
x 5
∴¿，
解得¿，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：∵n=4,k=8，
8
∴A(4,2),B( ,5)，
5
设直线OA的解析式为：y=mx，
1
把A(4,2)代入y=mx，得2=4m，解得m= ，
2
1
∴直线OA的解析式为：y= x，
2
过点C作CG⊥x轴于点G，交直线OA于点H，
8
设C(m, )(m>0)，
m
1
∴H(m, m)，
2
1
∴S = CH⋅x =6，
ΔAOC 2 A
1 8 1
∴ ( − m)×4=6，
2 m 2
∴m=2或m=8（不符合题意舍去）
∴C(2,4)，
1
（3）解：∵DE∥OA，直线OA的解析式为：y= x，
2
1
∴设直线DE的解析式为：y= x+b，
2
∵点C(2,4)在直线DE上，，
1
∴4= ×2+b，即b=3，
2
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1
∴直线DE的解析式为：y= x+3；
2
当x=0时，y=3，
∴E(0,3)，OE=3
当y=0时，x=−6，
∴D(−6,0)，OD=6
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以DE为直角边，D为直角顶点；
如图，过F 做FK⊥x轴于点K，可知：∠F KD=∠DOE=90°，
1 1
∵∠F DE=90°，
1
∴∠F DK+∠EDO=90°，
1
又∵∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠F DK=∠DEO，又DF =DE，
1 1
∴△F KD≌△DOE，
1
∴F K=DO=6,KD=OE=3，
1
故点D到点F 的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点F❑坐标，
1 1
∵D(−6,0)，且F在第二象限，
∴F (−6−3,0+6)即F (−9,6)；
1 1
②以DE为直角边，E为直角顶点；同①理得，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得
F (−3,9)．
2
综上所述：点F(−9,6)或(−3,9)
【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析
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式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
【例12】（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足
为B，且BC>AB．求证：BC=AD+BD．
①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC
与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与AC，
CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；
为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC（点D与点C在AB同侧），若
∠ADB=2∠C．求证：BC=AD+BD．
【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，
100 121 3
AD= ,CD= ,sinD= ,∠BCD=∠BAD,∠ABC=3∠ADC，求四边形ABCD的面积．
3 3 5
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1444
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
3
【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路，利用垂直平分线的性质、三角形外角的性质，可得
AE=AD=CE，进而可证BC=CE+BE=AD+BD；选择小亮同学的解题思路，先证AE=EC，
∠D=∠AED，推出AE=AD，再根据等腰三角形“三线合一”证明BE=BD，进而可证
BC=CE+BE=AD+BD；
（2）过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，证明四边形AEBD是平行四边形，推出AD=BE，
AE=BD，∠ADB=∠E，在BC上截取BF=BE，同（1）可证BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD；
（3）延长AB交DC的延长线于点E，作AH⊥DE于点H，作BF⊥DE于点F，先通过导角证明
∠D=∠E，∠BCE=2∠E，同（1）可得EF=BC+CF．再利用勾股定理、锐角三角函数解直角三角
形，求出△EAD，△EBC的底和高，根据四边形ABCD的面积=S −S 即可求解．
△EAD △EBC
【详解】解：（1）选择小鹏同学的解题思路，证明如下：
如图，
∵ BE=BD，AB⊥CD，
∴ AB是线段DE的垂直平分线，
∴ AE=AD，
∴ ∠D=∠AED，
∵ ∠D=2∠C，
∴ ∠AED=2∠C，
又∵ ∠AED=∠C+∠CAE，
∴ ∠C=∠CAE，
∴ CE=AE，
∴ CE=AD，
∴ BC=CE+BE=AD+BD；
选择小亮同学的解题思路，证明如下：
如图，
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∵ EF是线段AC的垂直平分线，
∴ AE=EC，
∴ ∠C=∠CAE，
∴ ∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
又∵ ∠D=2∠C，
∴ ∠D=∠AED，
∴ AE=AD，
∴ CE=AD．
∵ AE=AD，AB⊥CD，
∴ BE=BD，
∴ BC=CE+BE=AD+BD；
（2）证明如下：
如图，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，在BC上截取BF=BE，连接AF，
∵ AE∥DB，AD∥BC，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴ AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E，
∵ ∠ADB=2∠C，
∴ ∠E=2∠C，
∵ ∠ABC=90°，
∴ AB⊥FE，
又∵ BE=BF，
∴ AB是线段EF的垂直平分线，
∴ AE=AF，
∴ ∠E=∠AFE，
∵ ∠E=2∠C，
∴ ∠AFE=2∠C，
又∵ ∠AFE=∠C+∠CAF，
∴ ∠C=∠CAF，
∴ CF=AF，
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∴ CF=AE，
∴ BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD；
（3）如图，延长AB交DC的延长线于点E，作AH⊥DE于点H，作BF⊥DE于点F，
∵ ∠BCD=∠BAD，∠BCD+∠BCE=180°，∠BAD+∠E+∠D=180°，
∴ ∠BCE=∠E+∠D，
∵ ∠ABC=∠E+∠BCE，
∴ ∠ABC=∠E+∠E+∠D=2∠E+∠D，
∵ ∠ABC=3∠ADC，
∴ 3∠D=2∠E+∠D，
∴ ∠D=∠E，
∴ ∠BCE=∠E+∠D=2∠E，
又∵ BF⊥DE，
同（1）可证EF=BC+CF．
100 3
∵ AD= ，sinD= ，AH⊥DE，
3 5
100 3
∴ AH=AD⋅sinD= × =20，
3 5
∴ HD=√AD2−AH2=
√ (100) 2
−202=
80
，
3 3
∵ ∠D=∠E，
∴ AD=AE，
又∵ AH⊥DE，
∴ HE=HD，
160
∴ DE=2HD= ，
3
121
∵ CD= ，
3
160−121
∴ EC=DE−CD= =13，
3
设EF=x，则CF=EC−EF=13−x，
∵ EF=BC+CF，
∴ BC=EF−CF=x−(13−x)=2x−13，
∴ BF2=BC2−CF2=(2x−13) 2−(13−x) 2=3x2−26x，
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3
∵ sinD= ，∠D=∠E，
5
3
∴ tanE=tanD= ，
4
3
∴ BF=EF⋅tanE= x，
4
∴ (3 x ) 2 =3x2−26x，
4
32
解得x = ，x =0（舍），
1 3 2
3 32
∴ BF= × =8，
4 3
1 1 1 160 1 1444
∴四边形ABCD的面积=S −S = DE⋅AH− EC⋅BF= × ×20− ×13×8= ．
△EAD △EBC 2 2 2 3 2 3
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行四边形的判定和
性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，注意应用前
两问的结论．
【变式12-1】（2023·福建南平·统考二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC绕点C
按顺时针方向旋转α角(0<α<180°)得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．
(1)判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；
(2)当∠ADC=2∠BAC时，求∠BAC的大小；
(3)如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG=AF，当点E在线段AD上时，求证：
AB=AE+2BG．
【答案】(1)CE∥AB，证明见解析
(2)∠BAC=20°
(3)证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质和等边对等角的性质，得到∠B=∠DCE，即可证明CE∥AB；
（2）设∠BAC=x，则∠ADC=2x，由旋转的性质，得出AC=DC，再根据三角形外角的性质，得到
∠ACB=4x，然后根据三角形内角和定理，求出x的值，即可得到答案；
（3）连接CF、CG，利用旋转的性质，证明△AGC≌△AFC(SAS)，得CG=CF，∠AGC=∠AFC，
再根据等腰三角形三线合一的性质，得的CF⊥ AD，从而得出∠BGC=90°，再证明
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Rt△BGC≌Rt△EFC(HL)，得到BG=EF，即可证明结论．
【详解】（1）解：CE∥AB，证明如下：
证明：由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DCE，
∴CE∥AB；
（2）解：设∠BAC=x，则∠ADC=2∠BAC=2x，
由旋转的性质可得，AC=DC，
∴∠CAD=∠ADC=2x，
∴∠ACB=∠ADC+∠CAD=4x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=4x，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，
∴x+4x+4x=180°，
解得：x=20°，即∠BAC=20°；
（3）解：证明：如图3，连接CF、CG，
由旋转的性质可知：∠BAC=∠D，CB=CE，CA=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠BAC=∠CAD，
∵AG=AF，AC=AC，
∴△AGC≌△AFC(SAS)，
∴CG=CF，∠AGC=∠AFC，
∵CA=CD，点F为线段AD的中点，
∴CF⊥ AD，
∴∠AFC=90°，
∴∠AGC=∠AFC=90°，
∴∠BGC=90°，
在Rt△BCG和Rt△EFC中，
¿，
∴Rt△BGC≌Rt△EFC(HL)，
∴BG=EF，
∴AB=AG+BG=AF+BG=AE+EF+BG=AE+2BG．
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【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质，三角
形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识．解题关键是作辅助线构造全等三角形．
【变式12-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50°，
将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为
（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【分析】依据三角形内角和定理，求出∠ABC的度数，再证明∠DBA=∠A=40°，即可得到∠DBC
的度数．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=50°，
1
∴∠ABC=∠C= (180°−50°)=65°；
2
由折叠可得：DA=DB，
∴∠DBA=∠A=50°，
∴∠DBC=65°−50°=15°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和
定理等几何知识点．
【变式12-3】（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E为AD边
的中点，连接BE，CE，点F，G分别是BE，BC边上的两个动点，连接FG，将△BFG沿FG折叠，使
点B的对应点H恰好落在边EC上，若△CGH是以GH为腰的等腰三角形，则EH的长为 ．
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50 14
【答案】 或
11 5
1
【分析】当GH=CH时，如图1所示，过点H作HM⊥BC于M，则CM=GM= CG，设
2
x
BG=GH=CH=x，则CG=12−x，CM=6− ，利用勾股定理求出CE=5，证明∠DEC=∠MCH，
2
CM 3
再解直角三角形得到cos∠MCH= = ，代入计算即可得到答案；当GH=CG时，如图2所示，过
CH 5
36
点G作GM⊥CE于M，则CH=2CM，解直角三角形求出CM，可得CH=2CM= ，则EH可求．
5
【详解】解：如图1所示，当GH=CH时，过点H作HM⊥BC于M，
1
∴CM=GM= CG，
2
由折叠的性质可得BG=GH=CH，
设BG=GH=CH=x，则CG=BC−BG=12−x，
x
∴CM=6− ，
2
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，CD=AB=8，∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，
∵E是AD的中点，
∴DE=6，
在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=√CD2+DE2=10，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠MCH，
DE 3
在Rt△CDE中，cos∠CED= = ，
CE 5
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CM 3
∴在Rt△CMH中，cos∠MCH= = ，
CH 5
x
6−
∴ 2 3，
=
x 5
60 60
解得：x= ，即CH= ，
11 11
50
∴EH=CE−CH= ；
11
如图2所示，当GH=CG时，过点G作GM⊥CE于M，
∴CH=2CM，
1
由折叠的性质可得BG=GH=CG= BC=6，
2
3 18
在Rt△CGM中，CM=CG⋅cos∠GCM=6× = ，
5 5
36
∴CH=2CM= ，
5
14
∴EH=CE−CH= ；
5
50 14
故答案为： 或 ．
11 5
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，利用分类讨论的
思想求解是解题的关键．
【变式12-4】（2023·甘肃张掖·统考二模）（1）如图①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B
落在点B'处，B'C与AD交于点E，求证：△AEC是等腰三角形；
（2）点O是矩形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点A的对应点为A'，
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点B与点D重合，连接BF，求证：四边形FBED是菱形；
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由折叠的性质得出∠ECA=∠ACB，由平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，则可得出
结论；
（2）连接BD，证明△DOF≌△BOE(AAS)，由全等三角形的性质得出DF=BE，得出四边形BEDF是
平行四边形，由菱形的判定可得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，
∴∠ECA=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形；
（2）证明：连接BD，
∵将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点A的对应点为A'，点B与点D重合，
∴OB=OD，BD⊥EF，
∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF，
∵∠DOF=∠BOE，
∴△DOF≌△BOE(AAS)，
∴DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又BD⊥EF，
∴四边形FBED是菱形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的性质、翻折变换、菱形的判定、全等
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
【变式12-5】（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践
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(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的
点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一
个45°角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上
的点N处，连接NF交AM于点P．
①∠AEF=______度；
②若AB=√3，求线段PM的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形ABCD，点E，F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折叠，
点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB=3，
AD=5，请直接写出线段BE的长．
【答案】(1)∠EAF=45°，见解析
(2)①∠AEF=60°，见解析；PM=2−√3，见解析；
9
(3)线段BE的长为 或2；
7
【分析】（1）根据折叠性质和正方形的性质可得∠EAF=45°；
（2）①由折叠性质可得∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，结合
∠EAF=45°可得∠AFN=45°，即可求解；②根据△ANF是等腰直角三角形，可证
△ANP≌△FNE(ASA)，设PN=EN=a，
根据AN+EN=AE，即可求解；
（3）在AD上取一点J，使得AJ=AB，过点J作JT⊥BC，交AF于点K，连接EK，可得
6
△AJK∽△ADF，设BE=x，则EK=x+ ，根据勾股定理即可求解．
5
【详解】（1）解：∠EAF=45°；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠BAD=90°，
由折叠性质可得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，
1
∴∠MAE+∠MAF=∠BAE +∠DAF= ∠BAD=45°，
2
即∠EAF=45°；
（2）解：①∵四边形ABCD是正方形，
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∴∠C=∠B=90°，
由折叠性质可得：∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，
∴∠ANF=180°−90°=90°，
由操作一得：∠EAF=45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE，
∴2(45°+∠NFE)+∠CFE=180°，
∴∠NFE=∠CFE=30°，
∴∠AEF=90°−30°=60°；
②∵ △ANF是等腰直角三角形，
∴AN=FN，
∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
∴△ANP≌△FNE(ASA)，
∴AP=FE,PN=EN，
∵∠NFE=∠CFE=30°，∠ENF=∠C=90°，
∴∠NEF=∠CEF=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠B=90°，
∴∠BAE=30°，
√3
∴BE= AB=1，
3
∴AE=2BE=2，
设PN=EN=a，
∵∠ANP=90°,∠NAP=30°，
∴AN=√3PN=√3a，AP=2PN=2a，
∵AN+EN=AE，
∴√3a+a=2，解得：a=√3−1，
∴AP=2a=2√3−2，
∴PM=AM−AP=√3−(2√3−2)=2−√3；
（3）解：如图，在AD上取一点J，使得AJ=AB，过点J作JT⊥BC，交AF于点K，连接EK，
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当DF=2CF时，CF=1,DF=2，
∵JK∥DF，
∴△AJK∽△ADF，
AJ JK
∴ = ，
AD DF
JK 3
∴ = ，
2 c
6
∴JK= ，
5
由（1）可知，EK=BE+JK，
6
设BE=x，则EK=x+ ，
5
∵EK2=ET2+KT2，
6 2 6 2
∴(x+ ) =(3−x) 2+(3− ) ，
5 5
9
∴x= ，
7
当CF=2DF时，同理可得BE=2，
9
综上所述，线段BE的长为 或2；
7
【点睛】此题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判
定与性质、解直角三角形等知识， 熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF=45°是解题
的关键．
题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
【例13】（2022·湖北荆门·校考模拟预测）如图，直角坐标系中，△A A A ，△A A A ，△A A A
1 2 3 3 4 5 5 6 7
…，是斜边在x轴上，斜边长分别为4，8，12，16，…的等腰直角三角形，若△A A A 的顶点坐标分
1 2 3
别为A (4,0)，A (2,2)，A (0,0)，则依图中所示规律，A ❑❑的坐标为 ．
1 2 3 2022
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【答案】（2，2022）
【分析】先判断点A 的位置，再判断横纵坐标的变化特点，根据规律可得出答案．
2022
【详解】解：∵ 2022÷4=505⋅⋅⋅2，
∴A 是505个循环后的第二个点，即直角顶点.
2022
∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
∵A (2,2)是第1个等腰直角三角形的顶点，
2
A (2,6)是第3个等腰直角三角形的顶点，
6
A (2,10)是第5个等腰直角三角形的顶点，
10
A (2,14)是第7个等腰直角三角形的顶点，
14
…，
∵2022=1011×2，
∴A 是第1011个等腰直角三角形的顶点，
2022
∴A 在第一象限，横坐标为2，纵坐标为2022，
2022
∴点A 的坐标为(2,2022)．
2022
故答案为：(2,2022)．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内的坐标，规律问题，等腰直角三角形的性质等，得出纵坐标
的变化规律是解题的关键．
【变式13-1】（2022·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测）如图，在等腰RtΔABC中，已知
∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上．将ΔABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P ，
1
此时AP =√2；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋转到位置②，可得到点P ，此时AP =1+√2；将位
1 1 2 2
置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到点P ，此时AP =2+√2；···，按此规律继续旋转，
2 3 3
直至得到点P 为止，则AP = ．
2022 2022
【答案】1348+674√2/674√2+1348
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【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出AP＝√2，AP＝1+√2，AP＝2+√2，AP＝2+2√2，
1 2 3 4
AP＝3+2√2，AP＝4+2√2，每三个一组，进而找到规律即可．
5 6
【详解】解：观察图形的变化可知：
AP＝√2；
1
AP＝1+√2；
2
AP＝2+√2；
3
AP＝2+2√2；
4
AP＝3+2√2；
5
AP＝4+2√2＝2（2+√2）；
6
…．
发现规律：
APn＝n（2+√2）；
3
APn ＝n（2+√2）+√2；
3 +1
APn ＝n（2+√2）+√2+1．
3 +2
∴AP ＝AP ＝674（2+√2）＝1348+674√2．
2022 674×3
故答案为：1348+674√2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等，根据题意得出
规律是解题的关键．
【变式13-2】（2022·山东潍坊·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形
AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直
角三角形A OB，且A O=2AO，再将Rt△A OB ，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形
1 1 1 1
A OB ，且A O=2A O……，依此规律，得到等腰直角三角形A OB ，则点B 的坐标是
2 2 2 1 2021 2021 2022
．
【答案】(−22022,−22022)
【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B 的坐标位置，进而得出答案．
2022
【详解】解：∵ΔAOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B(1,1)，
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将RtΔAOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A OB ，且A O=2AO，
1 1 1
再将Rt△A OB 绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A OB ，且A O=2A O…，依此规律，
1 1 2 2 2 1
∴每4次循环一周，B (2,−2)，B (−4,−4)，B (−8,8)，B (16,16)，
1 2 3 4
∵2022÷4=505……2，
∴点B 与B 同在一个象限内，
2022 2
∴点B (−22022 ，−22022 )．
2022
故答案为：(−22022，−22022 )．
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出B点坐标变化规律是解题关
键．
【变式13-3】（2022·上海·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在
Rt△ABC内部作正方形DEFG，其中点D，E 分别在AC，BC边上，边FG 在BC上，它的面积记作
1 1 1 1 1 1 1 1
S；按同样的方法在△CDE 内部作正方形DEFG，它的面积记作S，S= ，…，照此规律作下
1 1 1 2 2 2 2 2 2
去，正方形DEFG 的面积S= ．
n n n n n
8 8
【答案】
34 32n
【分析】先说明AB=3GF、GF=3GF，再求出AB的长，然后分别求出第一个、第二个正方形的面积，
1 1 1 1 2 2
然后寻找规律，最后再利用规律解答即可．
【详解】解：∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴AG= DG, BF= E F
1 1 1 1 1 1
∵正方形DEFG，
1 1 1 1
∴FG= DG= E F
1 1 1 1 1 1
∴AB=3GF
1 1
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同理：GF=3GF，
1 1 2 2
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2
∴AB=√22+22=2√2
1 1 1 (1) 2
∴正方形DEFG 的边长为2√2× ，正方形DEFG 边长为2√2× × = 2√2
1 1 1 1 3 2 2 2 2 3 3 3
(1) 2 (1) 2 8 1 1 (1) n
∴S= 2√2· 2√2= ，正方形DnEnFnGn边长为2√2× × ×⋯= 2√2
2 3 3 34 3 3 3
(1) n (1) n 8
∴正方形DnEnFnGn的面积Sn= 2√2× 2√2= ．
3 3 32n
8 8
故答案为： ， ．
34 32n
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，运用所学知识发现规律、并灵活
利用规律成为解答本题的关键．
题型14 等腰三角形有关的新定义问题
【例14】（2023·江苏扬州·统考二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶
角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰
三角形互为“友好三角形”．
(1)如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（异于B点），AB=AC，
AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，连接CE，则CE______BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=
______°（用含m的代数式表示）．
(2)如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=60°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理
由．
(3)如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，过D点作DF⊥ AD，交直线CE于F点，若点D从B点运动到C点，
直接写出F点运动的路径长．
【答案】(1)=，180−m
MN √3
(2) =
CE 2
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15
(3)
2
【分析】（1）由∠BAC=∠DAE=m°，可得∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE(SAS)，则
BD=CE，∠ACE=∠ABD，根据∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD，计算求解可求
∠BCE；
（2）如图②，连接AN，AM，由等边三角形的性质可得AN⊥DE，AM⊥BC，∠DAN=30°，
AN AM √3 MN AN √3
∠BAM=30°，则∠MAN=∠BAD， = = ，证明△MAN∽△BAD，则 = = ，
AD AB 2 BD AD 2
MN √3
同（1）可证△BAD≌△CAE(SAS)，则BD=CE，进而可得 = ；
CE 2
（3）由题意知，F在直线CE上运动，由（1）可知，∠BCE=180°−∠BAC=90°，即CE⊥BC，如
图③，过A作AO⊥BC于O，则O为BC的中点，当点D在B点时，F点与G点重合，由AB=AC，
∠BAC=90°，BC=6，可得∠ABC=45°，AO=CO=3，则∠CBG=∠ABG−∠ABC=45°，
CG=BC=6，当点D运动到O点时，F点与C点重合，当点D运动到D'点时，F点与F'点重合，则
CF' D'C CF' 3−OD'
∠OAD'=∠CD'F'，△OAD'∽△CD'F'，则 = ，即 = ，解得
OD' AO OD' 3
− ( OD'− 3) 2 3 3
(3−OD')⋅OD' 2 3，由−1<0，可知当OD'= 时，CF'最大，值为 ，当点
CF'= = + 2 4
3 3 4
D从D'点运动到C点，点F从F'回到C点，根据F点运动的路径长为GC+2CF'，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠DAE=m°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵¿，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD=180°−∠BAC=180°−m°，
故答案为：=，180−m；
MN √3
（2）解： = ，理由如下：
CE 2
如图②，连接AN，AM，
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由题意知，△ABC和△ADE均为等边三角形，
∵M、N分别是底边BC、DE的中点，
∴AN⊥DE，AM⊥BC，∠DAN=30°，∠BAM=30°，
∵∠DAN=∠DAM+∠MAN，∠BAM=∠BAD+∠DAM，∠DAN=∠BAM，
∴∠MAN=∠BAD，
AN √3 AM √3
∵ =sin∠ADE= ， =sin∠ABC= ，
AD 2 AB 2
AN AM √3
∴ = = ，
AD AB 2
∴△MAN∽△BAD，
MN AN √3
∴ = = ，
BD AD 2
同（1）可证△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，
MN √3
∴ = ；
CE 2
（3）解：由题意知，F在直线CE上运动，
由（1）可知，∠BCE=180°−∠BAC=90°，即CE⊥BC，
如图③，过A作AO⊥BC于O，则O为BC的中点，当点D在B点时，F点与G点重合，
∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=6，
∴∠ABC=45°，AO=CO=3，
∵BG⊥ AD，
∴∠CBG=∠ABG−∠ABC=45°，
∴CG=BC=6，
当点D运动到O点时，F点与C点重合，
当点D运动到D'点时，F点与F'点重合，则∠OAD'=∠CD'F'，
∵∠AOD'=∠D'CF'=90°，
∴△OAD'∽△CD'F'，
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CF' D'C CF' 3−OD' − ( OD'− 3) 2
∴ = ，即 = ，解得 (3−OD')⋅OD' 2 3，
OD' AO OD' 3 CF'= = +
3 3 4
∵−1<0，
3 3
∴当OD'= 时，CF'最大，值为 ，
2 4
当点D从D'点运动到C点，点F从F'回到C点，
3 15
∴F点运动的路径长为GC+2CF'=6+2× = ，
4 2
15
∴点D从B点运动到C点，F点运动的路径长为 ．
2
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函
数的性质，正弦，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式14-1】（2022·广东中山·统考三模）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为
“兄弟三角形”．
(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．
(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连
接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE，进而得到∠CAE=∠BAD，再证明
△BAD≌△CAE即可得到答案；
（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得
到AG=AH，根据角平分线的判定定理证明结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
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∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠CAE=∠BAD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE．
（2）证明：如图，过点A作AG⊥BM于G，AH⊥EM于H，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠CAE=∠BAD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠ACH，
∵AG⊥BM，AH⊥EM，
∴∠AGB=∠AHC=90°，
∴△BAG≌△CAH（SAS），
∴AG=AH，
∴AM平分∠BME．
【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，
正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键．
【变式14-2】（2023·广东阳江·统考三模）定义：△ABC中，∠A+2∠B=90°，则称△ABC为倍余三
角形．
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(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上(不与B，C重合)，满足AB=AD，求证：△ACD为倍
余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
AD
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求 的值．
BC
【答案】(1)①
(2)见解析
√6 √10
(3)①36°或22.5°；② 或
6 5
【分析】（1）由倍余三角形的定义及等腰三角形的性质可得出答案；
（2）由圆周角定理的推论得出∠B+∠C=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ADB，根据三角
形外角的性质可得出答案；
（3）①若∠AOD为钝角，设∠OAD=x，则∠DAC=x，∠C=2x，得出∠ADO=3x，即5x=90°，
求出∠C=36°；若∠ADC为钝角，设∠OAD=x，则∠OAC=∠C=x，∠AOD=2x，即4x=90°，
求出x=22．5°，则可得出答案；
②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF=1，CD=x，根据等面积法列出分式方程，解方程求出x的值则可
得出答案．
【详解】（1）解：①∵△ABC为倍余三角形，
∴∠A+2∠B=90°，
∴∠A+∠B=90°−∠B<90°，
∴∠C>90°，
∴倍余三角形一定是钝角三角形，故①正确，
②等腰三角形可能是倍余三角形．如∠A=∠B=30°，△ABC是倍余三角形．故②错误，
故答案为①；
（2）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
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∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠DAC+2∠C=∠DAC+∠C+∠C=∠ADB+∠C=∠B+∠C=90°，
∴△ACD为倍余三角形；
（3）①如图1，
∵∠AOD为钝角，
∴∠OAD+2∠ADO=∠B+∠AOB>90°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠ADO=90°时，即2∠OAD+∠B=90°，
又∵∠B+∠C=90°，
∴∠OAC=∠C=2∠OAD，
设∠OAD=x，则∠DAC=x，∠C=2x，
∴∠ADO=3x，
即5x=90°，
∴x=18°，
即∠C=36°，
如图2，∵∠ADC为钝角，
∴∠OAD+2∠AOD=∠B+∠AOB>90°，和不可能为90°，
当2∠OAD+∠AOD=90°时，即∠OAD+∠B=90°，
∵∠OAD+∠B=90°，
∴∠OAD=∠C=∠OAC，
设∠OAD=x，则∠OAC=∠C=x，∠AOD=2x，
即4x=90°，
∴x=22.5°，
即∠C=22.5°，
综合以上可得∠C为36°或22.5°；
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②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF=1，CD=x，若△ABC的面积为△ADE面积的7.5倍，
1 1
∵ S = BC⋅AF，S =S −S = CD⋅(AF−DE)，
△ABC 2 △ADE △ADC △CDE 2
x 1 1
∴ ⋅ = ，
x+2 x+1 7.5
1
解得x =4，x = ，经检验都是原方程的解；
1 2 2
当x=4时，BC=6，AD= √6，
AD √6
∴ = ，
BC 6
1 √10
当x= 时，BC=2.5，AD= ，
2 2
AD √10
∴ = ．
BC 5
AD √6 √10
综合以上得出 的值为 或 ．
BC 6 5
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，新定义倍余
三角形的理解与运用，熟练掌握与三角形有关的性质定理是解题的关键．
题型15 等腰三角形有关的动点问题
【例15】（2023·湖南郴州·统考二模）如图，等腰Rt△ABC中，D是AC上一动点，连接BD．将△BCD
绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接ED．若BC=5，则△AED周长最小值是 ．
【答案】5+5√2/5√2+5
【分析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论.
【详解】∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，
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∴AE=CD,BE=BD,∠DBE=90°,
∴AE+AD=AD+CD=AC,△DBE是等腰直角三角形，
∴当BD取最小值时，DE的值最小，则△AED周长的值最小，当BD⊥ AC时, BD的值最小,
∴DE=√2BD，
∵△ABC是等腰直角三角形,BC=5,
∴DE=5,
∴AC=√2BC=5√2，
1 5
∴BD= AC= √2，
2 2
∴△AED周长最小值是AC+DE=5+5√2,
故答案为： 5+5√2.
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关
键.
【变式15-1】（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点（不于B、C
重合），连接BE，DE，作EF⊥BE交CD或其延长线于F，下列结论：①BE=DE；②△≝¿为等腰三
角形；③AE=CF；④CEDF，
∴四边形ADFE不可能为菱形，故②不正确；
③∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，∠DAB=60°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，
∵AC⊥EF，∠ACB=90°，
∴EF∥AD，
∴EF∥AD，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥ AC，
∴∠AEC=∠CAE=60°，∠AEF=30°，
∴EF=2AF=AB，
∴AD=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
1 1 1
∴AG= AF= AB= AD，
2 4 4
∴AD=4AG，故③正确；
④∵∠BAC=30°，EF⊥ AC，△AEC是等边三角形
∴∠CEH=∠BAC=30°，∠AHF=∠CHE=90°
∴△CHE∽△FHA，
EH CH
∴ = ，
AH HF
∴AH⋅CH=EH⋅HF，故④正确；
综上分析可知，正确的序号为：①③④．
故答案为：①③④．
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【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判
定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握等边三角形的性质及直角三角形的性质是解题
的关键．
【变式7-3】（2023·贵州黔东南·统考一模）在Rt△ABC中，用尺规作图，分别以点A和点B为圆心，以
1
大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点O，分别连接AM、BM、BN、
2
AN、CO．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AM=AN B．CO=AO C．∠MAO=∠NAOD．∠CAN=∠NAO
【答案】D
【分析】根据作图可得MN是AB的垂直平分线，AM=AN，即可判断A选项，根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半判断B选项，根据等腰三角形的性质，即可判断C选项，根据题意，AN不一定
是∠CAO的角平分线，即可判断D选项，即可求解．
【详解】解：根据作图可知MN是AB的垂直平分线，AM=AN，故A选项正确，
∴AO=BO，
∵△ABC是直角三角形，
∴CO=AO，故B选项正确；
∵AM=AN，AO⊥MN，
∴∠MAO=∠NAO，故C选项正确，
∵AN不一定是∠CAO的角平分线，
∴∠CAN=∠NAO不一定正确，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，熟
练掌握以上知识是解题的关键．
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考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理
垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的
中垂线）.
性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
1. 对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
题型01 利用垂直平分线的性质求解
【例1】（2023·吉林长春·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，按下列步骤作图：①分别以点
A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相
交于点D，与边AC相交于点E，连结CD．下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠B=∠BDC B．∠ACD=∠A C．∠BCD+∠A=90° D．BC=2DE
【答案】A
【分析】根据作法得：MN垂直平分AC，再由线段垂直平分线的性质可得CD=AD,CE=AE，
∠AED=∠ACB=90°，然后结合相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据作法得：MN垂直平分AC，
∴CD=AD,CE=AE，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠A，DE∥BC，故B选项正确，不符合题意；
AD AE
∴ = =1，△ADE∽△ABC，∠BCD+∠A=∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
CD CE
DE AE 1
∴ = = ，CD=BD，
BC AC 2
∴BC=2DE，∠B=∠BCD，故A选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意；
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故选：A
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，
熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式1-1】（2023·山东济宁·统考一模）如图，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中
尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
1
A．∠BAQ=40° B．DE= BD
2
C．AF=AC D．∠EQF=25°
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断
即可．
【详解】∵∠BAC=80°，∠ACB=70°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知，AQ平分∠BAC，
1
∴∠BAP=∠CAP= ∠BAC=40°，
2
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
1
∵∠B=30°，∴DE= BD，
2
故选项B正确，不符合题意；
C．∵∠B=30°，∠BAP=40°，∴∠AFC=70°，
∵∠C=70°，∴AF=AC，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，
∴∠EQF=20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
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【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性
质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
1
【变式1-2】（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于 CD
2
为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则
下列结论错误的是（ ）
A．∠BCD=120° B．若AB=3，则BE=4
1 1
C．CE= BC D．S = S
2 △ADE 2 △ABE
【答案】B
【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．
【详解】解：由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
3
当AB=3，则CE=DE= ，
2
∵∠D=60°，
∴AE=√AD2−ED2=
√
32−
(3) 2
=
3√3
，∠DAE=30°，∠BAD=120°
2 2
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE=√AB2+AE2=
√
32+
(3√3) 2
=
3√7
，所以B选项的结论错误，符合题意；
2 2
∵菱形ABCD
1
∴.BC=CD=2CE，即CE= BC，所以C选项的结论正确，不符合题意；
2
∵AB∥CD，AB=2DE，
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1
∴S = S ，所以D选项的结论正确，不符合题意．
△ADE 2 △ABE
故选：B．
【点睛】本题主要考作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运
用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．
【变式1-3】（2022·广东深圳·统考二模）如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD
的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥ AC，则△≝¿周长为 ．
【答案】5+5√3
【分析】知道∠BAC=60°和AD是角平分线，就可以求出∠DAE=30°，AD的垂直平分线交AC于点
F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到
C ．
△≝¿=DE+EF+AF=AE+DE¿
【详解】解：∵ AD的垂直平分线交AC于点F，
∴ DF=AF（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴C
△≝¿=DE+EF+AF=AE+DE¿
∵∠BAC=60°，AD是角平分线
∴∠DAE=30°
∵AD=10
∴DE=5，AE=5√3
∴C
△≝¿=5+5√3¿
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的
性质是解题的关键．
题型02 线段垂直平分线的判定
【例2】（2023·云南昭通·统考二模）如图，AC=BC，AD=BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小
组几名同学探究出关于它的如下结论：①△ACD≌△BCD；②AO=BO；③AB⊥CD；④
∠CAB=∠ABD．其中正确结论的序号是（ ）
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】先通过“SSS”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论．
【详解】解：在ΔACD和ΔBCD中，
¿，
∴ΔACD≅ΔBCD(SSS)，故①正确；
∵AC=BC，AD=BD，
∴CD垂直平分AB，
∴AO=BO，AB⊥CD，故②③正确；
由已知和图形无法判断∠CAB=∠ABD，故④错误；
故选：B．
【点睛】该题考查了 全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关
概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力．
【变式2-1】（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥ AB于
点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．AC=AD B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC
【答案】C
【分析】根据垂径定理及线段垂直平分线的性质可知AC=AD，CE=DE，BC=BD进而即可解答．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥ AB，
∴CE=DE，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，
故A项不符合题意；
∵AB是⊙O的直径，CD⊥ AB，
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∴CE=DE，
故B项不符合题意；
∵AB是⊙O的直径，CD⊥ AB，
∴CE=DE，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴BC=BD，
故D项不符合题意；
无法证明OE和BE的大小关系，
故C项符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，掌握垂径定理是解题的关键．
【变式2-2】（2022·湖北恩施·二模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和
△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线的性质定理和垂直平分线的判定定理，利用角平分线的性质得到DE=DF，
从而得到点D在EF的垂直平分线上，再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，可知AE=AF，得到点A
在EF的垂直平分线上，从而得证，掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥ AB，DF⊥ AC，
∴DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上．
∵DE⊥ AB，DF⊥ AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
¿，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF．
∴点A在EF的垂直平分线上．
又∵点D在EF的垂直平分线上．
∴AD是线段EF的垂直平分线．
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题型03 线段垂直平分线的实际应用
【例3】（2023·湖南长沙·校考三模）《中共中央国务院关促进农民增加收入若干政策的意见》中提出
“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．政策出台后，湖南陆陆续续开
展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规
划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电
桩应该在三条边的 的交点处．
【答案】垂直平分线
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
【详解】解：因为充电桩到三个出口的距离都相等，即点A、B、C的距离相等，
所以充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：垂直平分线．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【变式3-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知△ABC中，AB=AC，请利用尺规作图法，在
BC上求作一点D，使得△ABD与△ACD的周长相等（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】根据中垂线的性质求解作图即可．
【详解】解：如图所示，△ABD的周长为AB+AD+BD，△ACD的周长为AC+AD+CD，且
AB=AC,AD=AD，
∴满足BD=CD即可，
∴点D是BC边的中垂线与BC的交点，
点D为所作．
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【点睛】题目主要考查中垂线的性质及作法，熟练掌握中垂线的性质是解题关键．
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