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专题 06 全等、等腰及相似有关解答题的模型构建（6 大类
型）
题型解读｜模型构建｜通关试 练
1.三角形全等的判定及应用
（1）全等三角形的定义：
全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等。
（3）全等三角形的判定：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
（4）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
2. 等腰三角形的性质与判定
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
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（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
3. 等边三角形的性质与判定
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶
角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线
是对称轴．
（3）等边三角形的判定：
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4 三角形相似的判定及综合应用
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5 三角形折叠问题探究
三角形折叠模型（一） 三角形折叠模型（二） 三角形折叠模型（三）
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A
C'
E
2
B F C
∠2=2∠C 1 1
2∠C=∠1+∠2或 ∠C= 2∠C=∠2-∠1或 ∠C= （∠2-∠1）
2 2
（∠1+∠2）
6 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合
经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
（1）手拉手模型：
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，
也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为
“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
（2）半角模型：
1、半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
2、模型特征：等线段，共端点，含半角
3、思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
4、解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，
然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出
现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
模型 01 全等三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的
关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若
已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，
且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。
答｜题｜技｜巧
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解决全等三角形的问题认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段
或角之间的联系。在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当
辅助线构造三角形；最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，
把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．
1．（2025·陕西西安·二模）如图，E是AB上一点，AB=DE，CB=CE，EC平分∠BED，求证：
∠D=∠A．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图；在△ABC中，延长BA到点D，过点D作DE∥AC，连接BE，
AB=DE, AC=DB，求证：EB=BC．
3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，过点A作AD⊥BC，垂足为
D，延长DA至E．使得AE=AC．在边AC上截取AF=AB，连结EF．
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(1)求∠EAF的度数．
(2)求证：EF=BC．
4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD=CD，点E，F分别是AB，
BC上的点，连接DE，DF，EF，且∠ADF=∠CDE．
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)若DE=2AE=4，DE∥BC，求BC的长．
模型 02 等腰三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等腰三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考
试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用
等腰三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等腰三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相
等的重要手段．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的
高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有
时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角
形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
如图，在Rt△ABC中，AC=BC=3√2，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
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连接BE，DE．
(1)求证：△CAD≌△CBE；
(2)若AD=2时，求CE的长；
(3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
1．（2025·陕西西安·一模）如图，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°．求证：
△BAE≌△CAD．
2．（2025·上海松江·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，点
E．AF∥BC，交BE的延长线于点F．
AE CD
(1)求证： = ；
AF AC
(2)求证：2AB⋅AD=BF⋅BC．
3．（2025·上海松江·一模）如图，在△ABC中，∠B=60°，BC=6，S =6√3．
△ABC
(1)求AB的长；
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(2)在BC边上取一点D，使CD=2，连接AD，求∠CAD的正切值．
4．（2025·上海崇明·一模）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB，垂足为D，
点F是线段CD上一点（不与C、D重合），过点B作BE⊥AF交AF的延长线于点E,AE与BC交于点H，
连接CE．
AH BH
(1)求证： = ；
CH EH
(2)当CE∥AB时，求CE的长；
(3)当△CFH是等腰三角形时，求CH的长．
模型 03 等边三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
等边三角形的性质与判定在近年考试中综合性较高，通常与全等三角形、相似三角形相结合 在各类考
试中以解答题为主。解这类问题的关键是掌握等边三角形的性质和判定，选用合适的方法，灵活应用
等边三角形的性质和有关的辅助线问题，利用等边三角形来解决有关三角形的线段和角的问题
答｜题｜技｜巧
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角
性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合
一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角
的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
ABC BC AC BD=CE BE AD
如图，点D、E分别是等边三角形 边 、 上的点，且 ， 与 交于点F．
求证：AD=BE．
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1．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在△ABC中，点E在BA的延长线上，AE=AC，∠BAD=∠EAC，
∠ACB=∠AED．
(1)求证：AB=AD；
(2)若AC平分∠DAE，AB=2，求BD的长．
2．（2023·浙江宁波·一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，
中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、
C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD=40cm．
(1)当∠ADC=120°时，求此时BD的长；
(2)当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（精确到0.1cm，sin80°=0.98，
cos80°=0.17，tan80°=5.67）
3．（2023·贵州黔东南·一模）问题提出：
已知：在△ABC中，BC=a,AC=b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：
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（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=____________；
问题探究：
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=____________；
问题拓展：
（3）如图3，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的
度数．
4．（2024·贵州黔东南·二模）如图， 等边三角形ABC的边长为2，BD是AC边的中线， 点E在线段BD
上， 连接AE，将AE绕点A逆时针旋转 60°得到线段AF， 连接CF．
(1)【动手操作】
在图①中画出线段AF，CF，并写出一对全等的三角形： ；
(2)【问题探究】
如图②，若点E从点 B 运动到点 D，试探究点F的运动路径并求出它的长度；
(3)【拓展延伸】
连接DF，在（2）的条件下，试求 △ADF周长的最小值．
模型 04 相似三角形的性质与判定
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或
者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形
的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三
组边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方
程思想的应用．
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答｜题｜技｜巧
相似三角形在求线段的长度和线段的比中经常使用，解决问题要分清问题中已知的线段和角与所证明
的线段或角之间的联系；在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添
加适当辅助线构造三角形；
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，
∠1=∠ABC．
(1)求证：∠2=∠3；
(2)若∠4=45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC=13，AD=5，求EF的长．
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点
D作DE⊥BD交BC于点E．
(1)求证：△CDE∽△CBD；
(2)若AB=2AD=6，求线段BE的长．
2．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，
过点B作BE⊥AB交AC于点E．
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(1)求证：△ABO∽△BEO；
(2)若AB=10,AC=16，求OE的长．
3（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，
P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．
(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
4．（2024·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材78页的部分内容．
GE GD 1
例 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G．求证： = = ．
CE AD 3
证明 连接ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接ED，
【结论应用】
（1）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，D、E分别是边AB、BC的中点，CD、AE
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5
相交于点G．若GD= ，则BC= ______．
3
（2）如图③，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，CD、AE相交于点G．过点G作
GF∥BC交AB于点F，如果△ABC的面积是9，那么△DFG的面积是_____．
模型 05 三角形的翻折问题
考｜向｜预｜测
三角形的折叠问题在近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大。
三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是
我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和
对应角相等．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到
图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常
设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当
的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未
知数．
【操作观察】
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．
折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C′始终落在AD上，点B的对应点为B′，折痕与AB，CD分别
交于点M，N．
【解决问题】
(1)当点C′与点A重合时，求B′M的长；
(2)设直线B′C′与直线AB相交于点F，当∠AFC′=∠ADC时，求AC′的长．
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1．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落
在点G处，折痕为EF．
(1)求证：△EBC≌△FGC；
(2)若∠ECB=30°，∠A=120°，试判断△ECF的形状，并说明理由．
3
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，tanB= ，点D在边BC上，满足
4
BD=3DC．动点P从点B出发，以每秒5个单位的速度沿折线B−A−C向终点C运动，且不与△ABC的
顶点重合．把△BPD沿PD翻折，得到△B′PD．设点P的运动时间为t(t>0)．
(1)BC的长为______．
(2)求点P到BC的距离（用含t的代数式表示）．
(3)当B′D与等腰△ABC的腰垂直时，求t的值．
(4)当△BPD与△B′PD拼成的图形为三角形时，直接写出t的值．
3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）操作：如图①在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE
折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G，易知FG=GC．
探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF与GC相等吗？请说明理由．
拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3，AD=4，则
△AGD的周长为______．
4．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我
们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正△∧¿三
角形纸片，其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图①、图②.
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填一填，做一做：
(1)图①中阴影部分的周长为 .
(2)图①中， 若∠A′GN=80°， 则∠A′HD= °.
(3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对；
A′N AG
(4)如图②， 点A′落在边AD上， 若 =2，则 =
A′D AH
模型 06 三角形与旋转问题
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，
本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变
与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学
的综合解题能力。
答｜题｜技｜巧
在解决三角形与旋转问题时要找准旋转中心；确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三
角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；同时
还要数形结合进行分析、解答
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中
心，将线段DC顺时针旋转120°得到线DE．
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(1)如图1，当∠ACD=15°时，求∠BDE的度数；
(2)如图2，连接BE，当0°<∠ACD<90°时，∠ABE的大小是否发生变化？如果不变求，∠ABE的度数；
如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转120°得到线段CN，连
接EN，若AC=4，求线段EN的取值范围．
1．（2023·山西大同·模拟预测）综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开
展数学活动．
数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形AOB和等腰直角三角形COD按图1的方式摆放，
∠AOB=∠COD=90°，随后保持△AOB不动，将△COD绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连
接BC,AD，延长BC交AD于点M．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：,
【初步探究】
(1)如图1，直接写出线段BC和AD的关系：______．
(2)如图2，当CD∥BO时，则α= ______．
【深入探究】
(3)如图3，当0°<α<90°时，连接OM，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在△COD旋转
过程中,∠CMO的度数不发生变化，请给出推理过程并求出∠CMO的度数．
【拓展延伸】
(4)如图3，试探究线段AM,BM,OM，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系
式；若不存在，请说明理由．
2．（2025·河南开封·一模）综合与实践在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=1,BC=2．
问题发现
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（1）如图1，将△CAB绕点C按顺时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE之间的数
量关系是___________，AD与BE的位置关系是___________．
类比探究
（2）如图2，将△CAB绕点C按顺时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE之
间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由．
迁移应用
（3）如图3，将△CAB绕点C旋转一定的角度得到△CDE，当点D落到边AB上时，连接BE，求线段BE
的长．
3．（2025·湖北·模拟预测）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合
来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图①，△ABC和
△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC=∠MDN=90°，D为BC的中点，△DMN绕点D旋转，连接AM，
CN．
(1)【观察猜想】在△DMN旋转过程中，AM与CN的数量关系为 ；
(2)【实践发现】如图②，当点M，N在△ABC内且C，M，N三点共线时，求证：CM−AM=√2DM；
(3)【解决问题】若△ABC中，AB=√5，在△DMN旋转过程中，当AM=√3且C，M，N三点共线时，
直接写出DM的长．
4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点D,E分别在
AB,CB上，DB=EB，连接AE,CD，取AE中点F，连接BF．
(1)求证：CD=2BF，CD⊥BF；
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系： ；
②求证：CD=2BF．
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1．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F，BC=DE，AC=AE，
∠ACF+∠AED=180°．求证：AB=AD．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．
求证：AF=CE．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF
，AC=DE，BC=EF．
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．
4．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提
起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意
图如图3，此时测得∠CDB=37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在
同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）
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(1)求AB的长；
(2)求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
5．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再
1
分别以点A，E为圆心，大于 AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的
2
延长线于点H．
(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______
(2)求证：CB=CH
(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．
6．（2023·北京·中考真题）在△ABC中、∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC
上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
(2)如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出
∠AEF的大小，并证明．
7．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
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(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是
______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置
关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
8．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在
△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN=BM．
【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到
MD，连接BD，则MN=DB，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB．
试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，连接
BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值．
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°，再根据旋转的性质可得MA=
9．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线BC上任意一
点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________；
【类比探究】
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（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC=BC=1，CD=2，请直接写出sin∠ECD的值．
10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，
∠ACB=90°,∠BAC=30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E
作EF∥BC，交直线AB于点F．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF，
连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接
写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若AC=6√3，CD=2BD，则EF=______．
1．基础巩固：
（1）如图①，在 和 中， ，求证： ；
尝试应用：
（2）如图②，在 和 中， ， 三点在一条直线上，
与 交于点 ，若 为 中点．
①求 的度数；
②过点 作 于点 ，若 ，求 的面积；
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拓展提高：
（3）如图③，在 和 中， ， 与 交于点 ，
， 的面积为 ，连接 ，补全图形，求 的长．
2．在 中， ， 是斜边 上的高，
(1)求证： ．
(2)若 ， ，则 ______．
3．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学
校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图 ， 和 均为等腰直角三
角形， ， 为 的中点， 绕点 旋转，连接 ， ．
(1)【观察猜想】在 旋转过程中， 与 的数量关系为 ；
(2)【实践发现】如图 ，当点 ， 在 内且 ， ， 三点共线时，求证： ；
(3)【解决问题】若 中， ，在 旋转过程中，当 且 ， ， 三点共线时，
直接写出 的长．
4．材料阅读：小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板
（在 中， ， ； 中， ， ），并提出了相应的问题
发现：
（1）如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段 上时，过点A作 ，
垂足为点M，过点C作 ，垂足为点N，易证 ，若 ， ，则 ；
类比：
（2）如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段 上且顶点A在线段 上时，过点C作
，垂足为点P，猜想 ， ， 的数量关系，并说明理由；
拓展：
（3）如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段 上且顶点B在线段 上时， 过点C作
，交 的延长线于点G，若 ， ，连接 ，补全图形，求 的面积．
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5．（1）如图1，在 中， 于点H，求证： ；
（2）如图2，已知 ，E为 上一点，且 ，若 ，求 的值；
（3）如图3，在四边形 中， ， ，E为边 上一点，且
，求 的值．
6．如图
(1)如图1，在 中， ，在 上取一点D，过点D作 的垂线 交 于点E．若
，求 的值．
(2)如图2，在（1）的条件下，将 绕点A按顺时针方向旋转一定角度（点E在 的内部），连结
，求 的值．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点F，交 于点G，求 的值．
7．已知 中， ， ， ，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A重
合，点F不与点B重合），连接EF，将 沿着直线EF翻折后，点C恰好落在边AB上的点D处，过
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点D作 ，交射线AC于点M．设 ， ．
(1)如图1，当点M与点C重合时，求 的值；
(2)如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)当 时，求AD的长．
8．【提出问题】如图 ，在等腰 中， ，分别以 ， 为边作等边 和等边 ，
与 相交于点 ，连接 ．
【初步探究】
（1）如图 ，连接 ，求证： ≌ ．
【深入探究】
（2）如图 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ， ，类比 的探究方法发现：
结论 ：______≌ ；
结论 ： ．
请证明结论 ．
（3）如图 、在（2）的情况下将线段 沿 翻折得到线段 ，连接 ， ，试判断线段 与
的位置关系．
9．综合与实践
问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1， 中， ， 为 边上的中线，
将 沿射线 的方向平移，得到 ，其中点A，B，D的对应点分别为E、F，G．如图2，当线
段 经过点D时．连接 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．
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数学思考
（1）请回答老师提出的问题；
深入探究
（2）老师将图2中的 绕点F按逆时针方向旋转得到 ，其中点E，G的对应点分别为P，Q，
线段 分别与边 交于点M，N．如图3，当 时，让同学们提出新的问题．
①“勤学小组”提出问题：试猜想线段 和 的数量关系，并证明；
②“善思小组”提出问题：若 中， ，请直接写出此时四边形 的面
积．
请解答上述两个小组提出的问题．
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