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第 17 讲 全等三角形
目 录
题型01 利用全等三角形的性质求角度
题型02 利用全等三角形的性质求长度
题型03 根据全等的性质判断正误
题型04 利用全等三角形的性质求解
题型05 添加一个条件使两个三角形全等
题型06 添加一个条件仍不能证明全等
题型07 灵活选用判定方法证明全等
题型08 结合尺规作图的全等问题
题型09 全等三角形模型-一线三等角模型
题型10 全等三角形模型-旋转模型
题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线
题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线
题型13 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
题型14 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
题型15 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
题型16 利用角平分线的性质求长度
题型17 利用角平分线的性质求面积
题型18 角平分线的判定定理
题型19 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法
题型20 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题
题型21 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
题型22 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
题型23 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
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题型 01 利用全等三角形的性质求角度
1．（2022·云南昆明·统考三模）如图，△ABC≌△≝¿，若∠A=80°,∠F=30°，则∠B的度数是
（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
2．（2022·重庆渝中·统考二模）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△≝¿，若∠A=36°，
∠F=24°，则∠DEC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．120°
3．（2022·山东淄博·模拟预测）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC，AB上的点，
ΔADC≅ΔADE≅ΔBDE，则∠B的度数（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
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题型 02 利用全等三角形的性质求长度
4．（2021·江苏扬州·统考二模）如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝
4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 ．
5．（2021·北京海淀·人大附中校考模拟预测）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若
CF=5，AB=13，则EF的长为 ．
6．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图是沙漏示意图（数据如图），上下两部分为全等三角形，将上半部分
填满沙子后，在沙子下落至如图位置时，AB的长为多少？（正在下落的沙子忽略不计）（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
题型 03 根据全等的性质判断正误
7．（2022·云南·统考一模）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
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A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
题型 04 利用全等三角形的性质求解
8．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）如图，△≝¿是由△ABC经过平移得到的，AC分别交DE、EF于
点G、H，若∠B=120°，∠C=30°，则∠DGH的度数为（ ）
A．150° B．140° C．120° D．30°
9．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，将 ABC沿AC所在的直线翻折得到 AB′C，再将 AB′C沿AB′所
在的直线翻折得到 AB′C′，点B，B′，C′在△同一条直线上，∠BAC=α，由此给△出下列说法：△
① ABC≌ AB′C′，△②AC⊥BB′，③∠CB′B=2α．其中正确的说法是（ ）
△ △
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，
点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，
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一个到达终点后另一个点也停止运动，当△BDP与△CPQ全等时，点P运动的时间是（ ）
5 4 5 4
A．t=1s B．t= s C．t= s D．t= s或t= s
3 3 3 3
11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，将边长为√3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB C D 的
1 1 1
位置，则阴影部分的面积是 ．
12．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，点E为线段AB的中点，点
F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
（1）如图1，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
（2）如图2，当PF⊥AC时，求∠BEP的度数．
题型 05 添加一个条件使两个三角形全等
13．（2023·湖南永州·统考二模）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分
别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况）
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14．（2022·北京朝阳·统考二模）如图，OP平分∠MON，过点P的直线与OM，ON分别相交于点A，B，
只需添加一个条件即可证明ΔAOP≅ΔBOP，这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．（2022·北京门头沟·统考一模）如图，点P在直线AB外，点A、B、C、D均在直线AB上，如果
AC=BD，只需添加一个条件即可证明ΔAPC≌ΔBPD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
16．（2022·北京顺义·统考二模）如图，AD，BE是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明
△ADC≌△BEC（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 （写出一个即可）．
题型 06 添加一个条件仍不能证明全等
17．（2022·重庆南岸·统考一模）如图，点F，E在AC上，AD=CB，∠D=∠B．添加一个条件，不一
定能证明△ADE≌△CBF的是（ ）
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A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF
18．（2022·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考一模）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，
AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD=AE B．BE=CD C．∠ADC=∠AEB D．∠DCB=∠EBC
19．（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（
）
A．∠ABC＝∠DCB B．BO＝CO
C．AO＝DO D．∠A＝∠D
20．（2022·重庆·重庆市育才中学校考一模）如图，点E、F分别在菱形ABCD的BC、DC边上，添加以下
条件不能证明△ABE≌△ADF的是（ ）
A．CE＝CF B．∠BAF＝∠DAE C．AE＝AF D．∠AEC＝∠AFC
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题型 07 灵活选用判定方法证明全等
21．（2019·广东揭阳·校联考二模）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左
侧 ABC全等的是（ ）
△
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
22．（2022·广西百色·统考二模）如图，在 ABC和 DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝
OD． △ △
(1)AB＝DC；
(2) ABC≌△DCB．
23．△（2022·贵州铜仁·校联考模拟预测）天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与
BC相交于点O，且AB=CD，AD=BC．求证：△ABO≅△CDO．
24．（2021·江苏苏州·校考一模）如图，AB=AD , BC=DC，点E在AC上．
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（1）求证：AC平分∠BAD；（2）求证：BE=DE．
25．（2019·陕西西安·校联考一模）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，
∠B=∠D,
（1）求证： ABE≌△CDF；
（2）若点E，△G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
题型 08 结合尺规作图的全等问题
26．（2020·吉林·吉林省实验校考二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，
1
BC=3．分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交
2
AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．2√2 B．4 C．3 D．√10
27．（2021·河南焦作·统考二模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取点C，E，分别以点O为
圆心，OC，OE长为半径作弧，交射线OB于点D，F；（2）连接CF，DE交于点P．根据以上作图过程
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及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．CE=DF B．PE=PF
C．若∠AOB=60°，则∠CPD=120° D．点P在∠AOB的平分线上
28．（2021·江苏泰州·统考一模）已知：如图1，△ACD中，AD≠CD．
（1）请你以AC为一边，在AC的同侧构造一个与△ACD全等的三角形△ACE，画出图形；（要求：尺规
作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中①∠ACB+∠CAD=180°；②∠B=∠D；③CD=AB．请在上述三条信息
中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理
由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）
29．（2021·北京·统考一模）已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得
CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
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（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FP，DE．
∵CF=AD，CP=AE，FP=DE．
∴△ADE≌△__________，
∴∠DAE=∠__________，
∴CP//AB（__________）（填推理的依据）．
题型 09 全等三角形模型-一线三等角模型
30．（2023·湖南郴州·校考三模）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在
1
反比例函数y= (x>0)的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
x
31．（2020·河北保定·统考模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板ABC，若测得斜边
AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE．
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（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）若DE=10，AD=7，求BE的长．
32．（2023·陕西·模拟预测）如图，点C在BD上，AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD．求证：
△ABC≌△CDE．
题型 10 全等三角形模型-旋转模型
33．（2022·山东日照·校考二模）在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α，点P为线段CA延长线上一动点，
连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB,DC．
（1）如图，当α=60°时，
①求证：PA=DC；
②求∠DCP的度数：
（2）如图2，当α=120°时，请直接写出PA和DC的数量关系为__________；
（3）当α=120°时，若AB=6，BP=√31时，请直接写出点D到CP的距离为__________．
34．（2020·山东德州·统考二模）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
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（一）猜测探究
在ΔABC中，AB=AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，
得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ，NB与
MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是
否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在ΔA B C 中，A B =8，∠A B C =60∘，∠B A C =75∘，P是B C 上的任意点，连接
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A P，将A P绕点A 按顺时针方向旋转75∘，得到线段A Q，连接B Q．求线段B Q长度的最小值．
1 1 1 1 1 1
35．（2020·重庆·重庆第二外国语学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的
点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F.
（1）求证：∠C=∠BAD
（2）求证：AC=EF
36．（2020·辽宁沈阳·统考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点P在平面内，连接AP，并将线段AP绕
A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
（1）如图，如果点P是BC边上任意一点．则线段BQ和线段PC的数量关系是__________．
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（2）如图，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；
（3）如图，在△≝¿中，DE=8，∠EDF=60°，∠≝=75°，P是线段EF上的任意一点，连接DP，将线
段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ．请直接写出线段EQ长度的最小值．
题型 11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线
37．（2021上·山东日照·八年级统考期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P
作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
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38．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点
D在边CB的延长线上，且ED=EC．
(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；
(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
39．（2019上·安徽合肥·八年级校联考期末） P为等边 ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且
PA＝CQ，连PQ交AC边于D． △
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
题型 12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线
40．（2023上·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知∠MON=90°，
将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内，使点A在∠MON的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边
OM,ON上．
(1)如图1，小明摆放△ABC，恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON，又由于△ABC是等腰直角三角形，
AB＝AC，从而直接可以判断出点A在∠MON的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依
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据是______．
(2)如图2，小宇调整了△ABC的位置，请判断OA平分∠MON是否仍然成立？若成立，请证明，若不成
立，请举出反例．
41．（2022上·湖北武汉·八年级统考期中）定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻
的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，直接写出∠E与∠A的数量关系__________；
(2)如图1所示，连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若己知
DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
题型 13 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
42．（2020·江苏无锡·统考二模）如图，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=1,BC=CD=2,E为AD上的
中点，则BE＝ ．
43．（2019下·上海·八年级上外附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AD于E，点F为
1
边AB中点，AD= CD，∠CEF=40°，则∠AFE=
2
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44．（2024上·辽宁抚顺·九年级统考期末）问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下
问题：在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E，使得DE=AD；再连接BE，把AB，AC，2AD集中在
△ABE中；利用上述方法求出AD的取值范围是2AB，点C在
EB上，∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，延长DC交EF于点M，点P从点A出
发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s：同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．
过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（00)的图象上．
x
点A的坐标为(m,2)．连接OA,OB,AB．若OA=AB,∠OAB=90°，则k的值为 ．
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18．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AC上
一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD= ．
19．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、
△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DF、BC于点M、N，以下说法：①当
AB=AC=BC时，∠AED=30°；②EC=BD；③若AB=3，AC=4，BC=6，则DE=2√3；④当直线
l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有 ．(填序号)
20．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和
△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E到直线AD的距离为 ．
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三、解答题
21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，
使DF=EF，连接BE．
(1)求证：△ADF≌△BEF；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
22．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,AD为△ABC的角平分线．以点A圆
心，AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于点E,F，连接DE,DF．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数．
23．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同
一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学
家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡
营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
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由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
24．（2023·广西·统考中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，
CA上运动，满足AD=BE=CF．
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(1)求证：△ADF≌△BED；
(2)设AD的长为x，△≝¿的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述△≝¿的面积随AD的增大如何变化．
25．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知
角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA
和OB上分别取点C和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的
平分线．
请写出OE平分∠AOB的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料：
我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动
角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明
此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要
在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的
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距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对
应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5,BC=√21．
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写做法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
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