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专题 19 三角形的概念和性质【十六大题型】
【题型1 画三角形的高、中线、角平分线】.........................................................................................................2
【题型2 等面积法求三角形的高】..........................................................................................................................4
【题型3 利用网格求三角形的面积】......................................................................................................................5
【题型4 根据三角形的中线求解】..........................................................................................................................6
【题型5 与垂心性质有关的计算】..........................................................................................................................8
【题型6 利用三角形的三边关系求解】..................................................................................................................9
【题型7 利用三角形内角和定理求解】..................................................................................................................9
【题型8 三角形内角和与平行线的综合应用】...................................................................................................10
【题型9 三角形内角和与角平分线的综合应用】...............................................................................................12
【题型10 利用三角形内角和定理解决三角板问题】...........................................................................................13
【题型11 利用三角形内角和定理探究角的数量关系】.......................................................................................15
【题型13 利用三角形外角的性质求角度】.........................................................................................................17
【题型14 三角形的外角性质与平行线的综合】...................................................................................................18
【题型15 利用三角形的外角性质解决折叠问题】...............................................................................................20
【题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合】...............................................................................................21
【知识点 三角形】
1.三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
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(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
(4)三角形的高.中线.角平分线
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形
的角平分线。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形
的高）。
(5)三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应
用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(6)三角形的角
①三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角。
三角形的外角和等于360°。
(7)三角形的面积
1
2
三角形的面积= ×底×高
【题型1 画三角形的高、中线、角平分线】
【例1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，
折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）
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A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【变式1-1】（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△ABC的中线BD．
(2)在图②中作△ABC的高BE．
(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．
【变式1-2】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他
打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线
C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【变式1-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC的顶点
均在小正方形的顶点上．
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(1)在图1中画出△ABC中BC边上的高AD，垂足为D；
(2)在图2中画出△ABC中AB边上的中线CE；
(3)直接写出图2中三角形ACE的面积．
【题型2 等面积法求三角形的高】
【例2】（2023·陕西西安·校考三模）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均
为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高的长度是（ ）
7√5 7√17 14√17
A． B．7√13 C． D．
10 17 17
【变式2-1】（2023·江苏苏州·统考三模）数学活动课上，小敏、小颖分别画了 ABC和 DEF，数据如图，
如果把小敏画的三角形面积记作S ABC，小颖画的三角形面积记作S DEF，那△么你认为△( )
△ △
A．S ABC >S DEF B．S ABC 1)称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A=36°,则它的优美比k为
（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【变式12-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这
个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=√3，则AB的长为
．
【变式12-3】（2023·江苏苏州·统考一模）【阅读理解】
如果三角形的两个内角α与β满足2a+β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
【基础巩固】
（1）若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°，则∠B=_______°；
【尝试应用】
7
（2）如图①，在△ABC中，∠ACB>90°，AC=5，BC= ，且BC边上的高AD=4．求证：△ABC是
3
“奇妙互余三角形”；
【灵活运用】
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，试问在边BC上是否存在点E，使得△ABE是
“奇妙互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
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【题型13 利用三角形外角的性质求角度】
【例13】（2023·湖北·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与
AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD= ．
【变式13-1】（2023·山东·统考中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时
针方向旋转90°得到△CBF．若∠ABE=55°，则∠EGC= 度．
【变式13-2】（2023·北京延庆·统考一模）如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P．若∠A=48°，
∠APD=80°，则∠B= °．
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【变式13-3】（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长
度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点F，若∠CFB=α，则
∠ABE等于（ ）
A．180°−α B．180°−2α C．90°+α D．90°+2α
【题型14 三角形的外角性质与平行线的综合】
【例14】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画
出了直线a，b，c．如果∠1=70°，则∠2的度数为（ ）．
A．110° B．70° C．40° D．30°
【变式14-1】（2023·广东深圳·统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠≝=120°，DE与地面
平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
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A．70° B．65° C．60° D．50°
【变式14-2】（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
若∠1=44°，则∠2的度数为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【变式14-3】（2023·浙江·校联考三模）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的
动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD
交于点G．
(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠B=60°，∠ACB=40°，则∠EGC=__________°；
②若∠A=90°，求∠EGC的度数；
(2)若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系．
【题型15 利用三角形的外角性质解决折叠问题】
【例15】（2023·辽宁丹东·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=114°，D，F为BC边上的
点，将△ABD沿AD折叠到△ADE，连结EF.若∠DAF=57°，那么当∠BAD= 时，△≝¿为
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直角三角形.
【变式15-1】（2023·山东·统考中考真题）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在ΔABC
处的A'处，折痕为DE.如果∠A=α，∠CEA'=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180∘−α−β
【变式15-2】（2023·河北·中考真题）如图，将 ▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若
∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
【变式15-3】（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿
MN与PQ是否平行，把纸片沿着AC折叠（如图1），并用量角器测出∠1、∠2的度数．
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(1)若∠1=∠2，则MN∥PQ．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在PQ边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接AD并折叠纸片使得射
线AB与射线AD重合，折痕交PQ于点E，过E作EF⊥AC于点F，设∠AEF=α，∠ADP=β．
①当点D在点C、B之间时，若β=120°，求α的度数；
②当点D在PQ上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合】
【例16】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，AD,BD,CD分别平分
∠EAC,∠ABC,∠ACF，以下结论不一定成立的是（ ）
1
A．AD=CD B．AD∥BC C．∠BDC= ∠BAC D．∠ADC=90°−∠ABD
2
【变式16-1】（2023·浙江温州·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BE平分
∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D．
(1)求∠AEB的度数；
(2)求证：△ADE是等腰三角形．
【变式16-2】（2023·广东江门·统考一模）已知锐角∠AOB=30°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取
一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH，
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交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）．
A．25° B．35° C．45° D．55°
【变式16-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，
∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠C= 度．
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