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专题 17 等腰三角形的核心知识点精讲
1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．
考点1：等腰三角形的性质与判定
1. 等腰三角形的两个底角度数相等
2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简
性质
写成“等腰三角形三线合一”）
3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴
1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形
判定
2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高
考点2：等边三角形的性质与判定
1. 三条边相等
2. 三个内角相等，且每个内角都等于60°
3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
性质
1. 三条边都相等的三角形是等边三角形
2. 三个角相等的三角形是等边三角形
判定
3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形
面积公式 是等边三角形的边长，h是任意边上的高
考点3 ：线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【题型1：等腰三角形的性质和判定】
【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC长为半径画弧，两弧
相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则
△ABD的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
1.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70° B．45° C．35° D．50°
【答案】C
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝ ＝35°，
故选：C．
2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+ +|c﹣3 |＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）CD＝ED，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
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∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【题型2：等边三角形的性质和判定】
【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交
BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C
1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（
）
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A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
2．（2022•张家界）如图，点 O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝ ，则△AOB与
△BOC的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，
∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，
∴△BOD是等边三角形，
∴OD＝OB＝1，
∵OD2+OC2＝12+（ ）2＝4，CD2＝22＝4，
∴OD2+OC2＝CD2，
∴∠DOC＝90°，
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD ＝S△BOD +S△COD ＝ ×12+ ＝ ，
故选：C．
3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若
OM⊥ON，则OC的最大值是 1+ ．
【答案】1+ ．
【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，
∴OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD＝ ＝ ，
∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD＝ AB＝1，
∴OD+CD＝1+ ，即OC的最大值为1+ ．
故答案为：1+ ．
【题型3：线段的垂直平分线】
【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周
长是 1 3 ．
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【答案】13．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．
∴BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝AD+BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，
故答案为：13．
1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 5 5 度．
【答案】55．
【解答】解：∵AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形，
∵分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．
∴AE垂直平分BC，
∴AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝55°．
故答案为：55．
2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若
AB＝4，则DC的长是 4 ．
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】4．
【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于
点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 40 ° ．
【答案】40°．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
一．选择题（共9小题）
1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【答案】C
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
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2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边 AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（
）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居
民小区的距离相等，那么生活超市应建在（ ）
A．AB，AC两边中线的交点处
B．AB，AC两边高线的交点处
C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处
D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，
∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝3．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点
F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
同理可证得DF＝FC，
∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20，
即△AEF的周长为20，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则
BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AC＝10．
∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，
故选：C．
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7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则BC
长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：如图所示，连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠EAB，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠C，
∴EA＝EC，
∴EC＝EB，
∴BC＝BE+CE＝2BE＝6，
故选：B．
8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝
140°，则∠EAF的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝140°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，
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∴∠BAE+∠FAC＝40°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°，
故选：B．
9．如图，P是等边△ABC的边 AC 的中点，E为BC 边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为
（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，
∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，
∴∠PBC＝30°，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠E＝30°，
∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC
于点E，则∠EBC的度数是 1 8 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线
∴AE＝BE
∵∠C＝90°，∠A＝36°
∴∠EBA＝∠A＝36°
∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．
11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC
＝7，BC＝4，则BD的长为 ．
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【答案】 ．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BC＝CE＝4，BD＝DE，
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AC＝7，BC＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝3，
∴BE＝AE＝3，
∴BD＝ BE＝ ，
故答案为： ．
12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝ 3 0 °．
【答案】30．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；
故答案为30．
13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则
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PE+PF的长度和为 2 ．
【答案】2 ．
【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，
则S△ABC ＝S△ABP +S△ACP ，
即 AB•CD＝ AB•PE+ AC•PF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴CD＝PE+PF，
∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为
．
【答案】 ．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴DB＝DA＝5，
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∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4，
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝3，
∴S△ABD ＝ ×5×3＝ ．
故答案为： ．
15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝
CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝ AC，
∵AC＝4，
∴DE＝ ．
故答案为：2．
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三．解答题（共3小题）
16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求
∠CDE的度数．
【答案】30°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵D是边AC的中点，
∴ ，
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC，
∴∠E＝30°，
∵∠BCD＝60°，
∴∠CDE＝∠BCD﹣∠E＝30°．
17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢
慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM
＝PN，CM＝CN．
（1）求证：PC垂直平分MN；
（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．
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【答案】（1）见解析；
（2）60cm．
【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，
，
∴△CMP≌△CNP（SSS），
∴∠MPB＝∠NPB，
∵PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∴PB⊥MN，BM＝BN，
∴PC垂直平分MN；
（2）解：∵CN＝PN＝60cm，
∴当伞收紧时，点P与点A重合，
∴AC＝CN+PN＝120cm，
当∠CPN＝60°时，
∵CN＝PN，
∴△CPN是等边三角形，
∴PC＝PN＝60cm，
∴AP＝AC﹣PC＝60cm．
18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，
连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
【答案】（1）见解析；
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（2） ．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∵AC＝7cm，
∴AB+BC＝13cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+EC＝DC，
∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm
∴ ．
一．选择题（共5小题）
1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度
数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
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∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被
覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图：DG交AB于M，交AC于L，EF交AB于N，AC于K，
∵DG∥BC，边AB被DG、EF三等分，
∴△AML∽△ANK，△ABC∽△ANK，
∴BP＝ ， ，
∴ ， ，
设S△ABC ＝9a，
则S△AML ＝a，S△ANK ＝4a，
∴S四边形MNKL ＝4a﹣a＝3a，
∴未被覆盖的面积为：9a﹣3a＝6a，△ABC 被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积
，
故选：A．
3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，
点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运
动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动
则CM＝2t，BM＝10﹣2t，BN＝2t，
当∠BMN＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BN＝2BM，即2t＝2×（10﹣2t），
解得： ，
当∠BNM＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BM＝2BN，即2×2t＝（10﹣2t），
解得： ，
综上所述，t的值为 或 时，△BMN是一个直角三角形．
故选：D．
4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接
DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，
∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，
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∴∠BED＝∠EFC，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DB＝EC＝1，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．
故选：C．
5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（
）
A．0.8cm2 B．1cm2 C．1.2cm2 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP ＝S△EBP ，S△ACP ＝S△ECP ，
∴S△PBC ＝ S△ABC ＝ ×2＝1（cm2），
故选：B．
二．填空题（共4小题）
6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为 12
cm．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，
∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形，
∴阴影部分的周长为3×4＝12cm，
故答案为12．
7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，
若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：过E点作EH⊥BF，
设DE＝x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵BD＝4，
∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，
在Rt△CHE中，
∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，
∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
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∴ ，
∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，
∵EB＝EF，
∴△EBF是等腰三角形，
∵EH⊥BF，BF＝8，
∴BH＝FH＝4，
∴2+x＝4，
∴x＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交
AB于O，则：
①DB＝AE；
②∠AMC＝∠DNC；
③△MCE是等腰三角形；
④△MCN是等边三角形；
⑤∠AOD＝60°．
其中，正确的有 ①②④⑤ ．
【答案】①②④⑤．
【解答】解：△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°＝∠BCE＝∠CBE＝∠CEB，
∴∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB＝120°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，故①符合题意；
∴∠AOD＝∠ACD＝60°，故⑤符合题意；
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在△ACM和△DCN中，
，
△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，CM＝CN，∠AMC＝∠DNC，
∴△MCN是等腰三角形；△MCN是等边三角形；故②④符合题意，
综上：①②④⑤都符合题意．
故答案为：①②④⑤．
9．如图，四边形 ABCD，AD＝1， ，BC＝3，点 E 为 AB 的中点，连接 DE、CE，使得
∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为 ．
【答案】 ## ．
【解答】【详解】
解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，
由翻折可知：∠AED＝∠MED，∠BEC＝∠NEC，AD＝MD＝1，BC＝NC＝3，
∵E是AB中点， ，
∴ ，
∵∠DEA+∠CEB＝60°，
∴∠AEM+∠BEN＝120°，
∴∠MEN＝60°，
∴△EMN是等边三角形，
∴ ，
∴CD≤DM+MN+CN，
当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为 ，
故答案为： ．
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三．解答题（共2小题）
10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解
答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长
为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
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，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀
速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是 1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点 P的运动时间为 t
（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】（1）△BPQ是等边三角形；
（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
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当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形；
（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝ BP，即t＝ ，
解得：t＝2；
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝ BQ，
即6﹣t＝ t，解得：t＝4，
答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作
弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的
长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【答案】C
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【解答】解：由已知可得，
MN是线段AC的垂直平分线，
设AC与MN的交点为E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴AD＝ AB，
∴点D为AB的中点，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD＝ AB＝1.5，
故选：C．
2．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F
沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
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∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC
于点E，则∠EBC＝ 10 ° ．
【答案】10°．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：10°．
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