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第 12 讲 反比例函数的图象、性质及应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 反比例函数的相关概念
题型01 用反比例函数描述数量关系
题型02 判断反比例函数
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
考点二 反比例函数的图象与性质
题型01 判断反比例函数图象
题型02 反比例函数点的坐标特征
题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式
题型04 由反比例函数解析式判断其性质
题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值
题型06 判断反比例函数经过象限
题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
题型08 已知反比例函数增减性，求k值
题型09 由反比例函数的性质比较大小
题型10 求反比例函数解析式
题型11 与反比例函数有关的规律探究问题
考点三 反比例系数k的几何意义
题型01 一点一垂线
题型02 一点两垂线
题型03 两点一垂线
题型04 两点两垂线
题型05 两点和原点
题型06 两曲一平行
考点四 反比例函数与一次函数综合
题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合
题型02 一次函数与反比例函数交点问题
题型03 一次函数与反比例函数综合应用
考点五 反比例函数的实际应用
题型01 行程问题
题型02 工程问题
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题型03 物理问题
题型04 分段问题
题型05 几何问题
考点要求 新课标要求 命题预测
反比例函数是非常重要的函数，年年
反比例函数相关 理解与掌握反比例函数相关
都会考，总分值为15分左右，常考考点
概念 概念.
为: 反比例函数图象的性质k的几何意
能画反比例函数的图象，根 义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数
k 与一次函数的交点问题以及反比例函数的
据图象和表达式y= (k≠0)探索并
反比例函数的图 x 应用与综合题等.其中前三个考点多以选
象与性质 理解k>0和k<0时图象的变化情况. 择、填空题的形式出题，后三个考点则是
能根据已知条件确定反比例 基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空
函数的表达式. 题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比
较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规
反比例系数k的 理解与掌握反比例系数k的 则几何图形的性质一起出题,多数题目的技
几何意义 几何意义. 巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴
题中也常以反比例函数为背景，考察一些
反比例函数与一 新定义类问题.
次函数综合 综合反比例函数以上特点，考生在复
习该考点时，需要准备堂握其各性质规
反比例函数的实 能用反比例函数解决简单实 律，并日多注意其与几何图形结合题的思
际应用 际问题 考探究.
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考点一 反比例函数的相关概念
k
反比例函数的概念：一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可
x
以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx−1（k≠0）的形式.
反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数y，等号右边是一个分式；
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②k≠0；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
k
1. 反比例函数y= （k≠0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数.
x
2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.
题型01 用反比例函数描述数量关系
【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠
杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F L =F L ．如图，铁架台左侧钩码的个数与位
1 1 2 2
置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示
意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均
匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注
满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（ ）
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A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．无法确定
题型02 判断反比例函数
【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
3 −3 3
A．y=− B．y= C．y= D．3xy=2
x 2x x−1
【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（ ）
A．y=5x B．y=2x+3
4
C．y= D．y=x2+2x+1
x
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，则m的值
是 ．
k
【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝ 的图象经过点（1，3）、（m，n），则
x
mn的值为 ．
2
【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=− 的图象上，则m=
x
．
k−1
【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y= 的图象经过
x
点(−2,1)，则k的值是（ ）
A．1 B．−2 C．−1 D．3
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考点二 反比例函数的图象与性质
一、反比例函数的图象与性质
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的
两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
图象特征 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为
原点．
表达 k
y= （k为常数，k≠0）
x
式
图象
性
k>0 k<0
质
经过 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
象限
增减 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
性
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;
对称 ②图象关于直线y=x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;
性 ③图象关于直线y=−x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支
上.
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
反 比 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
例 函 k
1）设反比例函数的解析式为y= （k为常数，k≠0）；
x
数 解
析 式 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
的 确 3）解方程求出待定系数k；
定 方 4）将所求的k值代入所设解析式中.
法 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的
坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
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1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”
这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0
时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置
和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象
的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
题型01 判断反比例函数图象
【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数
图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持
∠PAQ=100°．设BP=x，CQ= y（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，
CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF= y，假设x、y能组成
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函数，则y与x的函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
2 2
【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y= 的过程与方法，探究函数y= (x≠2)的
x x−2
图象与性质．
1 3 5 7
x … −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 …
2 2 2 2
2 4 4 2 4 1 2 1
y= … −1 −2 ■ 4 2 1 …
x 3 5 3 7 2 5 3
2 1 2 4 2 1
y= … − − −1 m −2 −4 ■ 4 2 1 …
x−2 2 3 3 3 2
m=
(1) __________________．
2
(2)请画出函数y= (x≠2)的图象；
x−2
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
2 2
②y= 的图象是由y= 的图象向__________平移__________个单位长度而得到的；
x−2 x
③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
题型02 反比例函数点的坐标特征
2
【例2】（2023·广西北海·统考模拟预测）下列各点在反比例函数y= 图象上的是（ ）
x
A．(−1,2) B．(2,−1) C．(1,3) D．(−1,−2)
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k
【变式2-1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y= 的图象上，
x
( 1 )
则不在这个函数图象上的点是（ ）A．(1,6) B． − ,12 ， C．(−2,−3)D．
2
(3 )
,4
2
4
【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，若
x
A(2，m)，则点B的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(−2,−1) C．(−2,−2) D．(−1,−4)
2 6
【变式2-3】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝ （x＞0）、y＝ （x＞0）的图象将第一象限分
x x
成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（ ）
A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）
−2
【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=
x
的图象的一个交点坐标为(1,m)，则另一个交点的坐标为 ．
k
【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线y=2x与双曲线y= 相交于A，B两点．若点
x
A(2,m)，则点B的坐标是 ．
k+6
【变式2-6】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y= 的一个交点的
x
横坐标是2，则另一个交点坐标是 ．
题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式
【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（ ）
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1 1 1 1
A．y= B．|y|= C．y=− D．|y|=−
|x| x |x| x
【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)，若ab>0，则称点P为
“同号点”．若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是 ．
题型04 由反比例函数解析式判断其性质
5
【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数y=− ，则下列描述正确的是（ ）
x
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交
(3 5)
D．图象必经过点 ，−
2 3
k
【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数y= (k≠0)的图象与性质，下列结论中不正确
x
的是（ ）
A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限
C．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点
D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小
题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值
k
【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数y= （k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
x
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A．5 B．12 C．−5 D．−12
k
【变式5-1】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数y= (k≠0)的图象如图所示，
x
则k的值可能是（ ）
A．−2 B．1 C．3 D．5
题型06 判断反比例函数经过象限
k
【例6】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y= （k≠0），当x 2时，反比例函数y= 的图象位于（ ）
x
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
6
【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数y= 的图象的是（ ）
x
A． B． C． D．
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题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
a+3
【例7】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）反比例函数y= 的图象在每个象限内，y随x的增大而
x
增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−3 B．a>−3 C．a≤−3 D．a<−3
3m+1
【变式7-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）在反比例函数y= 图象上有两点A(x ,y )，
x 1 1
B(x ,y )，y <0x ，则有（ ）
2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
A．m≤− B．m>− C．m≥− D．m<−
3 3 3 3
k
【变式7-2】（2023·湖北武汉·统考三模）若点(m−1,y )和(m+1,y )在y= (k>0)的图象上，若y >y ，
1 2 x 1 2
则m的取值范围是（ ）
A．m>1或m<−1 B．−10)，当1≤x≤3时，函数y 的最大值为
1 x 2 x 1
a，函数y 的最小值为a−4，则k＝ ．
2
k
【变式8-1】（2023·陕西咸阳·二模）已知反比例函数y= (k≠0)的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
x
且当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k的值为 ．
k
【变式8-2】已知反比例函数y= (k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k= ．
x
题型09 由反比例函数的性质比较大小
【例9】（2023·广东东莞·校联考一模）若点A(−2,y )、B(−1,y )、C(1,y )都在反比例函数
1 2 3
k2+1
y= （k为常数）的图象上，则y 、y 、y 的大小关系为（ ）
x 1 2 3
A．y |x |，则下列结论一定正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y + y >0 B．y ⋅y >0 C．y + y <0 D．y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2
k
【变式9-3】（2022·河北邯郸·校考三模）已知反比例函数y= 的图象在第一、第三象限内，设函数图象
x
上有两点A(x ,y )、B(x ,y )，若x y B．y 0，则y y >0 B．若x x <0，则y y <0
1 2 2 3 1 2 1 3
C．若x x <0，则y y >0 D．若x x >0，则y y <0
1 3 2 3 1 3 2 3
题型10 求反比例函数解析式
k
【例10】（2023·陕西商洛·统考二模）已知A(−1,p)与B(2,p−3)是反比例函数y= 图象上的两个点，
x
则k的值为 ．
k
【变式10-1】（2022·福建泉州·统考模拟预测）若反比例函数y= 的图象过点(−2,a)、(2,b)，且
x
a−b=−6，则k= ．
k
【变式10-2】（2023·广东广州·校考一模）反比例函数y= 的图象上有一点P(a，b)，且a、b是方程
x
t2−t−2=0的两根，则k= ．
k
【变式10-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数y= (k≠0)的图象经过(a,2)，
x
(a+1,1)、(b,6)三点，则b的值为 ．
【变式10-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比
k
例函数y= (k≠0)的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO=3BO，求反比例函数的解析式．
x
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题型11 与反比例函数有关的规律探究问题
【例11】（2022·河北唐山·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、B
1
k
分别在x轴、y轴上，点P 在反比例函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶
1 x 1 1 1 1 2
点P 落在反比例函数的图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象
2 2 1 2 2 1 2 3 3
上，…，依此规律可得：
（1）点P 的坐标为
2
（2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 19
4
【变式11-1】（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数y= 的图象上有A(2,m)、B
x
1
两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD= AC，点F 是CD的中点，连
2 1
接AF 、BF ，得到△AF B；点F 是DF 的中点，连接AF 、BF ，得到△AF B；……按照此规
1 1 1 2 1 2 2 2
律继续进行下去，则△AF B的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
n
【变式11-2】（2021上·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点
称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整
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点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边
4
整点的个数共有____个，这些边整点落在函数y= 的图象上的概率是 ．
x
【变式11-3】（2020上·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，等边三角形△OD E ，△E D E ，
1 1 1 2 2
△E D E ，⋅⋅⋅的边OE ，E E ，E E ⋅⋅⋅，在x轴上，顶点D ，D ，D ⋅⋅⋅，在反比例函数
2 3 3 1 1 2 2 3 1 2 3
4√3
y= 的图象上．
x
（1）第1个等边三角形△OD E 的周长C = ______；第2个等边三角形△E D E 的周长C = ______；第
1 1 1 1 2 2 2
3个等边三角形△E D E 的周长C =______；⋅⋅⋅；
2 3 3 3
（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△E D E 的周长C = ______；
n−1 n n n
（3）计算：C +C +C +⋅⋅⋅+C ．
1 2 3 10
【变式11-4】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA =A A =A A ，过点
1 1 2 2 3
2
A ，A ，A ，分别作x轴的垂线与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点P ，P ，P ，得△OP A ，
1 2 3 x 1 2 3 1 1
△A P A ，△A P A ，并设其面积分别为S ，S ，S ，以此类推，则S 的值为（ ）
1 2 2 2 3 3 1 2 3 2024
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1 1 1 1
A． B． C． D．
1012 2023 2024 2025
考点三 反比例系数k的几何意义
一、一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面
1
积为 |k|.
2
y y y y
x x x x
O O O O
y y y y
x x x x
O O O O
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC)
y y
y
A A
A
C
C E
E
x x
x
C
O B D O B D O B
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|k|
结论：S
△AOB
=S
△COD
S
△AOE
=S四边形CEBD S
△AOC
=
二、一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为|k|.
y
A
x
O B
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】
y
y y
A
A E A
E D
C
C F
F G
G
x x x
O B D O B D O C E B
S =S S =S S ▱ =|k|
结论： 矩形ABOE 矩形CDOF 矩形AEFG 矩形CGBD ABCD
三、两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|
k|，
y y
A
B A
O x x
B O
C C
结论： S = 2S = |k|
△ABC △ABO
【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分
的两个三角形面积之和．
k
如左图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
x
1 1 1
S =S +S = co•|y |+ co•|y |= co(|y |+|y |)
则 △AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
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y y
A A
C
C x x
O O
B B
k
如右图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
x
1 1 1
S =S +S = co•|x |+ co•|x |= co(|x |+|x |)
则 △AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|
k|
y y y y
x x x x
O O O O
五、两点和原点
y y y
C C
A A C A D
B B B
M
x x x
O D O E F D O F
一 二 方方方
S ＝S －S －S ．
方法一： △AOB △COD △AOC △BOD 【分割】
S ＝S S ＝S
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而 △OAM 四边形MEFB，则 △AOB 直
角梯形AEFB．
S ＝S －S －S
方法三： △AOB 四边形COFD △AOC △BOF. 【补形】
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1
S ＝S －S ＝ OD•（|y |-|y |）
方法四： △AOB △AOD △BOD 2 A B
1
S ＝S －S ＝ OC•（|x |-|x |）
方法五： △AOB △BOC △AOC 2 B A
【拓展】
y
C A D
B
M
x
O E F
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S
四边形OADB
＝m|k|．
方法二：作AE⊥x轴于E，则S
△OAB
＝S
直角梯形AEFB
（类型一）．
六、两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点
围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
y y = k2/x y y = k2/x y y = k2/x
y = k1/x y = k1/x y = k1/x
x x x
O O O
1 1
结论：S
阴影
＝|k1|-|k2| S
阴影
＝
2
|k1|-
2
|k2|
y y = k2/x y y = k2/x
D B
y = k1/x C y = k1/x
F
x x
O O E A
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S
结论：S
阴影
＝|k1|-|k2| S
阴影
＝|k1|-|k2|-
直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
y = k2/x y = k2/x
y = k2/x y y
y
A B A
A B D
y =k1/x y =k1/x
y =k1/x
x x
x
D O C B O C
C O
1
S ＝S ＝ ( S ＝
结论： △AOB △ACB 2 |k1|+|k2|) 阴影 |k1|+|k2|
以下题型均包括两种类型：已知比例系数求特殊图形面积、以及图形面积求比例系数
题型01 一点一垂线
k
【例1】如图，A是反比例函数y= 的图象上一点，AB⊥ y轴于B，点C在x轴上，若△ABC面积为2，
x
则k的值为（ ）
A．−4 B．1 C．2 D．4
【变式1-1】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶
k
点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，△AOB的面积为4，则k的值为（ ）
x
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A．−8 B．8 C．−4 D．4
【变式1-2】（2022上·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考期末）若图中反比例函数的表达式均
4
为y= ，则阴影部分面积为2的是（ ）
x
A． B． C． D．
1
【变式1-3】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在y= 的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴
x
引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积S ，S ，则S 与S 的大小关系是
1 2 1 2
（ ）
A．S >S B．S S >S D．无法确定
1 2 3 1 3 2 2 3 1
2 6
【变式1-5】（2020·吉林四平·统考一模）如图，函数y= （x＞0）和y= （x＞0）的图象将第一象限分
x x
成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则 MON的面积可能是（ ）
△
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A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【变式1-6】（2020下·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一
k
象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y= (x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，
x
若ΔOAB的面积为3，则k的值为 ．
9
【变式1-7】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，A，B是反比例函数y= 图象上的两点，分别过点A，B
x
作x轴的垂线．已知S =3，则阴影部分面积为（ ）
△EOF
A．3 B．7 C．8 D．9
题型02 一点两垂线
【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正
k
半轴上，成C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y= 的图象上，OA=1，OC=6，
x
则正方形ADEF的边长为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
k
【变式2-1】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有点P ,P ,P ，它
x 1 2 3
们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S ,S ．若
1 2
S =3，则S 的值为（ ）
2 1
A．3 B．4 C．5 D．6
题型03 两点一垂线
k
【例3】（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线y=mx与双曲线y= 交于A、B两点．过点A
x
作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若S =2，则k的值是（ ）
△ABM
A．2 B．m−2 C．m D．4
4
【变式3-1】（2023·广西贵港·统考一模）如图，点A(m，1)和B(−2，n)都在反比例函数y= 的图象上，
x
过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S ，
1
△OBA面积记作S ，则（ ）
2
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A．S :S =2:1 B．S :S =1:2
1 2 1 2
C．S :S =4:3 D．S :S =4:5
1 2 1 2
【变式3-2】（2022下·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx（m≠0，m为常数）
k
与双曲线y= （k≠0，k为常数）交于点A，B，若A(−1,a),B(b,−3).，过点A作AM⊥x轴，垂足
x
为M，连接BM,，则ΔABM的面积是（ ）
A．2 B．m−1 C．3 D．6
k
【变式3-3】（2019下·河南南阳·八年级统考期末）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= 的
x
图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC.若△ABC的面积为2.
（1）求k的值；
k
（2）直接写出：①点A坐标____________；点B坐标_____________；②当 ≤2x时，x的取值范围
x
__________________；
（3）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
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题型04 两点两垂线
【例4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数
k
y= (k≠0)的图象上，若▱ABCD的面积是20，则k的值是（ ）
x
A．10 B．15 C．20 D．25
m
【变式4-1】（2021·河南许昌·统考一模）如图，点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，过点A
x
n n
作AB∥x轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点C，连接BC．若
x x
9
△ABC的面积为 ，则m，n的值不可能是（ ）
2
1 10 1 5
A．m＝ ，n＝﹣ B．m＝ ，n＝﹣
9 9 4 4
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
m
【变式4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，A，B是函数y= （m
x
＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
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A．S=m B．S=2m C．m2m
题型05 两点和原点
k
【例5】（2023·辽宁营口·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (x>0)的图象与边长
x
是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．则k的值是( )
A．12 B．10 C．8 D．24
【变式5-1】（2023·福建宁德·统考一模）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数
k
y= (x<0)的图象交于C，D两点，连接OC，OD． 若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是
x
（ ）
A．−2 B．−3 C．−4 D．−6
k
【变式5-2】（2023·广东东莞·校考一模）如图，点A，C为函数y= (x<0)图象上的两点，过A，C分别
x
作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好
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3
为OC的中点．当△AEC的面积为 时，k的值为（ ）
4
A．−1 B．−2 C．−3 D．−4
【变式5-3】（2021·河北唐山·统考一模）下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，平面直角坐标系中，直线CD分别与x轴、y轴分别交于点
k
D、C，点A、B为线段CD的三等分点，且A、B在反比例函数y= (x>0,k>0)的图象上，若△AOD的
x
面积为12，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式5-5】（2023·浙江温州·统考一模）如图，点A，B在x轴的正半轴上，以AB为边向上作矩形ABCD，
k
过点D的反比例函数y= 的图象经过BC的中点E．若△CDE的面积为1，则k的值为（ ）
x
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A．1 B．2 C．3 D．4
k
【变式5-6】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，矩形OABC，双曲线y= (x>0)分别
x
27
交AB、BC于F、E两点，已知OA=4，OC=3，且S = ，则k的值为（ ）
△BEF 8
9
A．2 B． C．3 D．6
4
题型06 两曲一平行
2
【例6】（2023·河南周口·统考二模）如图，过反比例函数y= (x>0)的图象上一点A作AB⊥ y轴交反
x
k
比例函数y= (x<0)的图象于点B，连接OA，OB，若S =4，则k的值为（ ）
x △OAB
A．8 B．6 C．−8 D．−6
6
【变式6-1】（2023·青海西宁·统考二模）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数
x
k
y= 的图象上，点C,D在x轴上．若四边形ABCD是正方形，且面积为9，则k的值为（ ）
x
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A．11 B．15 C．−11 D．−15
【变式6-2】（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y
3 k
轴上，点B在反比例函数y= (x>0)的图象上，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，若平行四边形
x x
OABC的面积是7，则k=（ ）
A．−4 B．−5 C．−6 D．−7
k
【变式6-3】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点P作反比例函数y= 1 (x>0)的图象上，
x
k
PC⊥x轴于点C，交反比例函数y= 2 (x>0)的图象于点A，PD⊥ y轴于点D，交反比例函数
x
k
y= 2 (x>0)的图象于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
x
A．k +k B．k −k C．k k D．k −k
1 2 1 2 1 2 2 1
1
【变式6-4】（2021·贵州铜仁·校考一模）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，过点A作
1 x
k
x轴的平行线，交反比例函数y = （x＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为1，则k的
2 x
值是（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
k
【变式6-5】（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数y = 1（k 是非零常数，
1 x 1
k
x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，
2 x 2
ON．若四边形OMBN的面积为3，则k-k=（ ）
1 2
3 3
A．3 B．-3 C． D．−
2 2
3
【变式6-6】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=− (x<0)和
x
6
y= (x>0)的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（ ）
x
A．(1,3) B．(2,3) C．(2,2) D．(3,2)
3
【变式6-7】（2023·山西临汾·统考二模）如图，点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，点B在反比例
x
k
函数y= (x>0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，BC=2AC，D是x正半轴上一
x
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点，连接AD，BD，则△ABD的面积为（ ）
7 9 5
A．3 B． C． D．
2 2 2
5
【变式6-8】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，点B在反比例函数y=− (x<0)的图象上，点C在反
x
3
比例函数y= (x>0)的图象上，BC∥x轴，且A为x轴上任一点．则△ABC的面积为（ ）
x
A．3.5 B．4 C．5.5 D．6
6
【变式6-9】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是函数y= (x>0)图
x
2
象上的一个动点，过点P作PQ⊥ y轴交函数y=− (x<0)的图象于点Q，点M、N在x轴上(M在N的左
x
侧，且MN=PQ，连接QM、PN，这关于四边形PQMN的面积的结论正确的是（ ）
A．8 B．12
C．24 D．四边形PQMN的面积无法确定
k
【变式6-10】（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，点P是函数y= 1(k >0,x>0)的图象上一点，过点
x 1
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k
P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y= 2(k >0,x>0)的图象于点C、D，连接OC、
x 2
k −k (k −k ) 2
OD、CD、AB，其中k >k ，下列结论：①CD//AB；②S = 1 2；③S = 1 2 ，其中
1 2 △OCD 2 △DCP 2k
1
正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
1
【变式6-11】（2021·全国·九年级专题练习）如图，点C在反比例函数y= 的图象上，CA∥y轴，交反比
x
3 3
例函数y= 的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y= 的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝
x x
2，则△ABO的面积为 ．
4
【变式6-12】（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上，AB//x
x
k
轴，且交y轴于点C，交反比例函数y= 于点B，已知AC=2BC．
x
（1）求直线OA的解析式；
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k
（2）求反比例函数y= 的解析式；
x
k
（3）点D为反比例函数y= 上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
x
考点四 反比例函数与一次函数综合
1.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对 y1>y2时
自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如
x>x x y2时，x的取值范围为 A或 B ；同理，当y10时，y随x的增
x
大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1-2】（2023·湖南邵阳·统考二模）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数
c
y=ax−b与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象为（ ）
x
A． B． C． D．
k−b
【变式1-3】（2023·广东广州·统考二模）已知反比例函数y= (k−b≠0)的函数值在每一象限内y随x
x
的增大而减小，且k=|b|，则一次函数y=kx＋b的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
题型02 一次函数与反比例函数交点问题
1
【例2】（2023·浙江·模拟预测）若函数y=kx(k>0)与函数y= 的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于
x
B，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．k D．k2
3
【变式2-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，函数y= 与y=x+1的图象交于点
x
(m,n)，则代数式(m−n) 2 ⋅
(1
−
1)
的值为( )
n m
1 1
A．3 B．−3 C． D．−
3 3
6
【变式2-2】（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图，函数y=− (x<0)和y=kx−1(k≠0)的图象相交于
x
6
点A(m，3)，则关于x的不等式1− >kx的解集为（ ）
x
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A．x<−2 B．x>3 C．−2−2
( 1)
【变式2-3】（2023·青海海西·校考一模）如图，已知A −4, ,B(−1,2)是一次函数y =kx+b(k≠0)与
2 1
m
反比例函数y = (m≠0,x<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥ y轴于点D，若y >y ，则x
2 x 1 2
的取值范围是（ ）
A．x<−4 B．−4−1 D．x<−1
【变式2-4】（2022上·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，一次函数y=ax+b与反比
k k
例函数y= (k>0)的图象交于点A(1,2),B(m,−1)．则关于x的不等式ax+b> 的解集是（ ）
x x
A．x<−2或01 D．−12
m
【变式2-5】（2023·广东广州·校考一模）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于
x
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A、B两点，点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(n，1)．
(1)求反比例函数与一次函数表达式；
m
(2)结合图象，直接写出不等式
时x的取值范围．
x
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题型03 一次函数与反比例函数综合应用
2
【例3】（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，
x
点A、B的横坐标分别为1，−2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
2
(2)对于反比例函数y= ，当y<−1时，写出x的取值范围；
x
1
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
BDP 2 ODA
△ △
【变式3-1】（2023·广东云浮·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别
k
在坐标轴上，且OA=2，OC=4，连接OB．反比例函数y= 1 (x>0)的图象经过线段OB的中点D，并与
x
AB、BC分别交于点B、F．一次函数y=k x+b的图象经过E、F两点．
2
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
【变式3-2】（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点
k 2
D(4,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上，直线y= x+b经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点
x 3
M，连接AC、AE．
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(1)求k、b的值；
(2)求△ACE的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使PC−PE取得最大值时点P的坐标．
a
【变式3-3】（2023·四川成都·成都七中校考三模）直线l ：y=−x＋4与y轴交于点C，反比例函数y=
1 x
的图象交于点A(m,3)、B．
(1)求a的值及B的坐标；
3
(2)在x轴上存在点D，使S = S ，求点D的坐标；
△ACD 2 △AOC
a
(3)如图2，将反比例函数y= 的图象沿直线l ：y=−x+4翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若
x 1
直线l ：y=kx+4与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．
2
考点五 反比例函数的实际应用
用反比例函数解决实际问题的步骤：
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
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1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
题型01 行程问题
【例1】（2020·浙江杭州·统考一模）某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州
家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题：
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式；
（2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已
知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，
要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围．
【变式1-1】（2020·浙江杭州·统考模拟预测）五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的
容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回．
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式；
（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均
每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，
至少还需加多少油？
题型02 工程问题
【例2】（2022·浙江杭州·统考一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106
立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．
(1)设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
①求y关于t的函数表达式．
②若00)的图象与BC边交于点E．
x
(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
【变式5-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜
k
边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC=30°，BC=4，双曲线y= 经过点A．
x
(1)求k；
3√3
(2)直线AC与双曲线y=− 在第四象限交于点D．求△ABD的面积．
x
k
【变式5-2】（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝ （k＞0）
x
的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
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(1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积；
(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
【变式5-3】（2022·湖南株洲·统考二模）在矩形AOBC中，OB=8,OA=4．分别以OB，OA所在直线为
x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比
k
例函数y= (k>0)的图象与边AC交于点E．
x
(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
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