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专题 09 几何动态与函数图象问题
题型解读｜模型构建｜通关试练
学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；
其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力.函数的学习需要学生
真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型.本专题主要对函数与几何图形结合的相关题
型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型.
几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际
问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据
函数性质判断函数图象.题目难度中等，属于中考热点题型．
模型01 动点问题
动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题.在几何中的
动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变
量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及
其性质解决简单的实际问题.
模型02 线动问题
线动问题的函数图象题，该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变
化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③
自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数
量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互
的数量关系发生改变的地方.
模型03 函数图象判断
函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值
不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化
函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．
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模型01 动点问题
考｜向｜预｜测
动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是解本题的关键.这
类问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想.本题型主要是以选择、
填空为主，具有一定的难度，是学生主要的失分题型之一.
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据运动判断图象，关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的
节点；
第二步： 找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；
第三步： 根据选项做出选择；
例1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在 中， ， 于点 ．动点 从
点出发，沿折线 方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与
的函数图象如图2，则 的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
例2．（2023•北京）如图是一种轨道示意图，其中 和 均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直
线上，且 ．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度
匀速移动，其路线分别为 和 ．若移动时间为x，两个机器人
之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
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A． B．
C． D．
模型02 线动问题
考｜向｜预｜测
线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转
折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.该题型一般以
选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识.
答｜题｜技｜巧
第一步： 找准变量；
第二步： 抓住图象中点转折点和拐点，几何图中的转折点往往是函数图中的拐点；
第三步： 数据分析，结合几何与函数图形的数据得出相应结论；
第四步： 根据题意解答；
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例1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在 中， ， ，点 从点 出发运动到点
时停止，过点 作 ，交直角边AC（或BC）于点Q，设点 运动的路程为 ， 的面积为
y，y与 之间的函数关系图象如图2所示，当 时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023•海南）如图， 中， ， ， ，点 在折线 上运动，过点
作 的垂线，垂足为 ．设 ， ，则 关于 的函数图象大致是( )
A． B．
C． D．
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模型03 函数图象判断
考｜向｜预｜测
函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值
不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化
函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．
答｜题｜技｜巧
第一步： 一变一不变，图象是直线；
第二步： 两个都变图象是曲线；
第三步： 同增同减口向上；
第四步： 一增一减口向下；
例1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形 中， ， ，E为矩形 的边
上一点， ，点P从点B出发沿折线 运动到点D停止，点Q从点B出发沿 运动到点C
停止，它们的运动速度都是 ，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s）， 的面积为
，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
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C． D．
例2．（2023•吉林）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C
都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E，
设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023•湖北）如图，在 中，点 为 边中点，动点 从点 出发，沿着 的路径
以每秒1个单位长度的速度运动到 点，在此过程中线段 的长度 随着运动时间 的函数关系如图2所
示，则 的长为( )．
A． B． C． D．
2．（2023•山东）如图（1）， 中， ， 是中线，点 从点 出发，沿 的
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方向以 的速度运动到点 ．图（2）是点 运动时， 的面积 随时间 变化的图象，则
的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023•广西）如图 ，点 从四条边都相等的 的顶点 出发，沿 以 的速度
匀速运动到点 ，图 是点 运动时， 的面积 随时间 变化的关系图象，则 的值为（
）
A． B． C． D．
4．（2023•江苏）如图①，在正方形 中，点M是 的中点，设 ， ．已知y与x
之间的函数图象如图②所示，点 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
5．（2023•贵州）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片 如图1放置（点 与点 重合），若
将 绕点 在平面内旋转， 分别交边 于点 （点 均不与点 重合）．设
，在旋转过程中， 与 的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（
）
A． B．
C． D．
6．（2023•北京）如图， 中， ， ， ．点 从点 出发沿折线 运动
到点 停止，过点 作 ，垂足为 ．设点 运动的路径长为 ， 的面积为 ，若 与 的
对应关系如图所示，则 的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
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7．（2023•上海）如图， 中， ， ， ，点P是斜边AB上任意一点，过
点P作 ，垂足为P，交边 或边 于点Q，设 ， 的面积为y，则y与x之间的
函数图象大致是
A． B． C． D．
8．（2023•广西）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重
合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C 处；作∠BPC 的平分线交AB于点E．设BP=x，
1 1
BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
A． B．
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C． D．
9．（2023•内蒙古）如图1，点P从等边三角形 的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从
该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x， ，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数
关系图象，则等边三角形 的边长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
10．（2023•杭州）如图1，点P从等边三角形 的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该
点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x， ，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则
等边三角形 的边长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
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1．（2024·河南·一模）如图1，在 中， ，直线l经过点A且垂直于 ． 现将直线l以
的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边 交于点M，与边 （或 ）交于
点N． 设直线l移动的时间是 ， 的面积为． ，若y关于x的函数图象如图2所示，则
的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南安阳·一模）如图 ， 中，点 从点 出发，沿折线 匀速运动，连接 ，
设点 的运动距离为 ， 的长为 ， 关于 的函数图象如图 所示，则当点 为 的中点时，
的长为（ ）
A． B． C． D．5
3．（2024·四川广元·二模）如图，在梯形 中， ， ， ， ，点 ，
分别为对角线 和边 上的动点，连接 点 在 上以每秒 个单位长度的速度从点
运动到点 ，在这个过程中始终保持 设 的面积为 ，则 与点 的运动时间 的函
数关系图象大致可以表示为（ ）
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A． B．
C． D．
4．（2024·河南信阳·一模）如图1，已知 的边长 为 ， ， 于点E．现将
沿 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的 与 重叠部分的面积S与运动时间
t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广西）如图，在 中， ， ， ， ，垂足为点 ，
动点 从点 出发沿 方向以 的速度匀速运动到点 ，同时动点 从点 出发沿射线 方向以
的速度匀速运动．当点 停止运动时，点 也随之停止，连接 ，设运动时间为 ， 的面
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积为 ，则下列图象能大致反映 与 之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·辽宁）如图，矩形 中， ， ， 与 交于点 ， 是 的中点．
、 两点沿着 方向分别从点 、点 同时出发，并都以 的速度运动，当点 到达 点
时，两点同时停止运动．在 、 两点运动的过程中，与 的面积随时间 变化的图象最接近的是（
）
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A． B．
C． D．
7．（2024·山东淄博·一模）如图1，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 ，图 是
点 运动时，线段 的长度 随时间 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形， 为最低点，则
的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东）如图，在 中， cm， ， ，过点 向 作垂线，
垂足为 ．直线 垂直于 ，直线 分别与 相交于点 ，直线 分别与 相交于点
P、Q．直线m从点A出发，沿 方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n
从点B出发，沿 方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及
围成的多边形 的面积是 ，直线m的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的
图象大致是（ ）
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A． B． C． D．
10．（2024·山东聊城·一模）如图，在 中， ， ， ，点 为线段 上的动点，
以每秒 个单位长度的速度从点 向点 移动，到达点 时停止．过点 作 于点 ，作
于点 ，连结 ，线段 的长度 与点 的运动时间 (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点
的坐标为 ．
11．如图①，在菱形 中， ，点 是 的中点，点 是对角线 上一动点，设 的长
度为 ， 与 的长度之和为 ，图②是 关于 的函数图象，则图象上最低点 的坐标为
．
12．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在 中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示
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线段 的长，y表示线段 的长，y与x之间的关系如图2所示，则 ．
13．如图1，在平行四边形 中， ， ，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度
沿线段 运动到点 停止，同时动点 从点 出发，以每秒4个单位的速度沿折线 运动到点
停止．图2是点 运动时， 的面积 与运动时间 函数关系的图象，则 的值是
．
14．（2024·福建福州一模）如图（1），点D为等边三角形 的边 的延长线上一点，且 ，点
E在线段 上运动，点F在 的延长线上运动，连接 恒为 ，设 的长为x，
的长为y，且y与x之间的函数关系的图象如图（2）所示（当点E与点C重合时，不妨设 ），已知点
Q为该图象的最高点，则a的值为 ．
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15．（2023·江苏连云港·二模）如图①，动点P从矩形 的顶点A出发，以 的速度沿折线
向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发以 的速度沿 向终点C运动，当一个点到达终点时，另一
个点也停止运动．点E为 的中点，连接 , ，记 的面积为S，其函数图象为折线 和
曲线 （图②），已知 ， ，点G的坐标为 ．
(1)点P与点Q的速度之比 的值为 ； 的值为 ；
(2)如果 ．
①求线段 所在直线的函数表达式；
②求 所在曲线的函数表达式；
③是否存在某个时刻t，使得 ？若存在，请说明理由．
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