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专题 13 二次函数性质压轴
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点 二次函数性质压轴
题型01 待定系数法求二次函数解析式
题型02 二次函数的图象与性质
题型03 二次函数图象与各项系数的关系
题型04 根据二次函数的对称性求解
题型05 利用二次函数的性质求最值
题型06 二次函数与坐标轴交点问题
题型07 二次函数与不等式
题型08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
题型09 函数图象判断综合
题型10 二次函数与实际问题
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形
式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背
景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、
二次函数性质压轴
几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相
关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己
的计算不要有失误。
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考点 二次函数性质压轴
题型01 待定系数法求二次函数解析式
求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次
函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求
出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-x)，再将
1 2 1 2 1 2
另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
二次函数的常见表达式：
名称 解析式 前提条件
一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常
数，a≠0），顶点坐标是（h， 用顶点式求其表达式.
k）
交点式 y＝a（x–x）（x–x） (a≠0) 其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，若
1 2 1 2
题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式
求其表达式.
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
1．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
1
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=
2
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25
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0) D．函数y=ax2+bx+c的最大值为
4
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得¿，
解得¿，
∴抛物线解析式为y=−x2+x+6=− ( x− 1) 2 + 25 ，
2 4
1 25
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x= ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法正确，不符合题
2 4
意；
令y=0，则−x2+x+6=0，
解得x=3或x=−2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内
部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
y=(x−2) 2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数
1
y= x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．
4
7 25
【答案】 或−
12 12
【分析】根据题意求得点A(3,0)，B(3,4)，C(0,4)，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由y=(x−2) 2(0≤x≤3)，当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
∵A(3,0)，四边形ABCO是矩形，
∴B(3,4)，
1
①当抛物线经过O，B时，将点(0,0)，B(3,4)代入y= x2+bx+c(0≤x≤3)，
4
∴¿
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7
解得：b=
12
1
②当抛物线经过点A,C时，将点A(3,0),C(0,4)代入y= x2+bx+c(0≤x≤3)，
4
∴¿
25
解得：b=−
12
7 25
综上所述，b= 或b=− ，
12 12
7 25
故答案为： 或− ．
12 12
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
3．（2023·上海·中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分
是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】y=−x2+1（答案不唯一）
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定
b
a<0，对称轴x=− =0，c>0，从而确定答案．
2a
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即a<0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，
b
∴− =0，即b=0，c>0，
2a
∴二次函数的解析式可以是y=−x2+1（答案不唯一）
故答案为：y=−x2+1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的
关键．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y
轴交于点C，顶点为D．
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(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线
b ( b 4ac−b2 )
y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=− ，顶点坐标是 − , ．
2a 2a 4a
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)√5
【分析】（1）根据点A,B的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点C,D的坐标，再利用中点坐标公式可得点P的坐标，然后利用两点之
间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点A(−1,0),B(3,0)代入y=−x2+bx+c得：¿，
解得¿，
则该抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
（2）解：抛物线y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4的顶点坐标为D(1,4)，
当x=0时，y=3，即C(0,3)，
∵P为BD的中点，且B(3,0)，
1+3 4+0
∴P( , )，即P(2,2)，
2 2
∴CP=√(2−0) 2+(2−3) 2=√5，
故答案为：√5．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
题型02 二次函数的图象与性质
1．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数y=(x−a)(x−b)−2，且(a1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
【答案】②③④
【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．
【详解】解：列表，
x ⋯ −2.5 −2 −1 −0.5 0.5 1 2 ⋯
y ⋯ 5.45 3 −1 −3.75 4.25 3 5 ⋯
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描点、连线，图象如下，
根据图象知：
①当x<−1时，x越小，函数值越大，错误；
②当−11时，x越大，函数值越大，正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，
利用图象解决问题，属于中考常考题型．
4．（2023·四川乐山·中考真题）定义：若x，y满足x2=4 y+t,y2=4x+t且x≠ y（t为常数），则称点
M(x,y)为“和谐点”．
（1）若P(3,m)是“和谐点”，则m= ．
k
（2）若双曲线y= (−30 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开
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a<0 开口向下 口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
b=0 坐标轴是y轴
b
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
x轴的上方 4a-2b+c >0
-2 4a-2b+c
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
x轴的上方 a-b+c >0
-1 a-b+c
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
x轴的上方 a+b+c >0
1 a+b+c
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
x轴的上方 4a+2b+c >0
2 4a+2b+c
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
1．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
与 y 轴交于点 C．下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−30；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a−b（m为任意实数）其中正确的个数
是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得a<0，c>0，根据A(−3,0)和点B(1,0)可得抛物
线的对称轴为直线x=−1，即可判断②；推出b=2a<0，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据
当x=−1时，抛物线有最大值a−b+c，即可得到am2+bm≤a−b，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∵抛物线与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
−3+1
∴抛物线对称轴为直线x= =−1，故②正确；
2
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a<0，
∴abc>0，故①错误；
由函数图象可知，当−30，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线x=−1且开口向下，
∴当x>−1时，y随x的增大而减小，即当x>1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x=−1且开口向下，
∴当x=−1时，抛物线有最大值y=a−b+c，
∴am2+bm+c≤a−b+c，
∴am2+bm≤a−b，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是
解题的关键．
2．（2023·四川达州·中考真题）如图，拋物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）关于直线x=1对称．下列
五个结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0．其中正确的有
（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；
b
由抛物线的对称轴为x=1，得到− =1，即可判断②；可知x=2时和x=0时的y值相等可判断③正确；
2a
由图知x=1时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为x=1可得b=−2a，因此
y=ax2−2ax+c，根据图像可判断⑤正确．
【详解】①∵抛物线的开口向上，
∴a>0.
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c<0.
b
由− >0得，b<0，
2a
∴abc>0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为x=1，
b
∴ − =1，
2a
∴ b=−2a，
∴ 2a+b=0，故②正确；
③由抛物线的对称轴为x=1，可知x=2时和x=0时的y值相等．
由图知x=0时，y<0，
∴x=2时，y<0．
即4a+2b+c<0．
故③错误；
④由图知x=1时二次函数有最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∴a+b≤am2+bm，
a+b≤m(ax+b），
故④错误；
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b
⑤由抛物线的对称轴为x=1可得− =1，
2a
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax+c，
当x=−1时，y=a+2a+c=3a+c．
由图知x=−1时y>0,
∴3a+c>0.
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函
数图像的性质及数形结合是解题的关键．
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分与x轴的一个
交点坐标为(3,0)，对称轴为直线x=1，结合图像给出下列结论：
①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
⑤若点(m,y )，(−m+2,y )均在该二次函数图像上，则y = y ．其中正确结论的个数是（ ）
1 2 1 2
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点
(3,0)代入抛物线解析式并结合b=−2a即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否
大于零即可判定④；判定点(m,y )，(−m+2,y )的对称轴为x=1，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
1 2
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ a>0，c<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，即b=−2a<0，即②错误；
2a
∴abc>0，即①正确，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分与x轴的一个交点坐标为(3,0)
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∴9a+3b+c=0
∴9a+3(−2a)+c=0，即3a+c=0，故③正确；
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)，Δ=b2−4a(c+k2)=b2−4ac−4ak2，a>0，c<0，
∴−4ac>0，−4ak2≤0，
∴无法判断b2−4ac−4ak2的正负，即无法确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)的根的
情况，故④错误；
m+(−m+2)
∵ =1
2
∴点(m,y )，(−m+2,y )关于直线x=1对称
1 2
∵点(m,y )，(−m+2,y )均在该二次函数图像上，
1 2
∴y = y ，即⑤正确；
1 2
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的
获取信息是解题的关键．
4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于
A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结
1
论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为x =−3，x =2；④k= a．其
1 2 2
中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a>0，c<0，再结合对称轴x=−1，同时令ax2+bx+c=kx，
从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
b
【详解】解：由图象可得，a>0，c<0，又− =−1，
2a
∴b>0．
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∴abc<0．
∴①正确．
由题意，令ax2+bx+c=kx，
∴ax2+(b−k)x+c=0．
又二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，
点B的横坐标为2，
∴ax2+(b−k)x+c=0的两根之和为−3+2=−1，两根之积为−3×2=−6．
b−k c
∴− =−1， =−6．
a a
∴6a+c=0．
又b=2a，
∴3b+c=0．
∴3b+2c=c<0．
∴②错误，③正确．
b−k
∵− =−1，b=2a，
a
∴k=a．
∴④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
题型04 根据二次函数的对称性求解
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
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图象于x轴对称.
1．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0,m,k是实数)，则（ ）
A．当k=2时，函数y的最小值为−a B．当k=2时，函数y的最小值为−2a
C．当k=4时，函数y的最小值为−a D．当k=4时，函数y的最小值为−2a
【答案】A
【分析】令y=0，则0=a(x−m)(x−m−k)，解得：x =m，x =m+k，从而求得抛物线对称轴为直线
1 2
m+m+k 2m+k
x= = ，再分别求出当k=2或k=4时函数y的最小值即可求解．
2 2
【详解】解：令y=0，则0=a(x−m)(x−m−k)，
解得：x =m，x =m+k，
1 2
m+m+k 2m+k
∴抛物线对称轴为直线x= =
2 2
当k=2时， 抛物线对称轴为直线x=m+1，
把x=m+1代入y=a(x−m)(x−m−2)，得y=−a，
∵a>0
∴当x=m+1，k=2时，y有最小值，最小值为−a．
故A正确，B错误；
当k=4时， 抛物线对称轴为直线x=m+2，
把x=m+2代入y=a(x−m)(x−m−4)，得y=−4a，
∵a>0
∴当x=m+2，k=4时，y有最小值，最小值为−4a，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(3，0)，对称
轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A．abc<0 B．2a+b=0 C．4ac>b2 D．点(−2，0)在函数图象上
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为
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直线x=1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物
线与x轴的一个交点坐标为(3，0)，再结合对称轴为直线x=1，可得出另一个交点坐标．
【详解】解：A、由二次函数的图形可知：a>0，b<0，c<0，所以abc>0．故本选项不符合题意；
b
B、因为二次函数的对称轴是直线x=1，则− =1，即2a+b=0．故本选项符合题意；
2a
C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2−4ac>0，即4ac0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =1，x =2有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于0t，即可求解．
2 2 2 2
【详解】（1）解：∵对于x =1，x =2有y = y ，
1 2 1 2
x +x 3
∴抛物线的对称轴为直线x= 1 2= ，
2 2
∵抛物线的对称轴为x=t．
3
∴t= ；
2
（2）解：∵当00，
1 2
∴(x ,y )离对称轴更近，x t，
2
1
即t≤ ．
2
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
题型05 利用二次函数的性质求最值
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
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b
y 当 x=− 时，二次函
2a
x
a>0 4ac−b2
O 数取得最小值
4a
全体实数
b
y 当 x=− 时，二次函
2a
a<0 4ac−b2
x 数取得最大值
4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y2
y
2
x
4ac−b2
数取得最小值
x O x 4a
1 2
当x=x1时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y1
y
1
x 4ac−b2
x1≤x≤x2 a>0 x x 数取得最小值
1 2 4a
y
2
当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
a<0 自行推导.
1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】把抛物线y=x2−2x−1化为顶点式，得到对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为−2，再分
别求出x=0和x=3时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵y=x2−2x−1=(x−1) 2−2，
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∴对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为−2，
当x=0时，y=x2−2x−1=−1，当x=3时，y=32−2×3−1=2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过
点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
15 15
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4 4
【答案】D
【分析】将(0，6)代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m=3，再利
用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将(0，6)代入二次函数解析式y=x2+mx+m2−m得：6=m2−m，解得：m =3，m =−2，
1 2
b m
∵二次函数y=x2+mx+m2−m，对称轴在y轴左侧，即x=− =− <0，
2a 2
∴m>0，
∴m=3，
∴y=x2+3x+6= ( x+ 3) 2 + 15 ，
2 4
2 15
∴当x=− 时，二次函数有最小值，最小值为 ，
3 4
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数y=−x2+bx+c．
(1)当b=4,c=3时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当−1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①(2,7)；②当−1≤x≤3时，−2≤ y≤7
(2)y=−x2+2x+2
【分析】（1）①将b=4,c=3代入解析式，化为顶点式，即可求解；
②已知顶点(2,7)，根据二次函数的增减性，得出当x=2时，y有最大值7，当x=−1时取得最小值，即可
求解；
b
（2）根据题意x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，得出抛物线的对称轴x= 在y轴的右
2
侧，即b>0，由抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，可知c=2，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出
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b=2，即可得解．
【详解】（1）解：①当b=4,c=3时，y=−x2+4x+3=−(x−2) 2+7，
∴顶点坐标为(2,7)．
②∵顶点坐标为(2,7)．抛物线开口向下，
当−1≤x≤2时，y随x增大而增大，
当2≤x≤3时，y随x增大而减小，
∴当x=2时，y有最大值7．
又2−(−1)>3−2
∴当x=−1时取得最小值，最小值y=−2；
∴当−1≤x≤3时，−2≤ y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，
b
∴抛物线的对称轴x= 在y轴的右侧，
2
∴b>0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c=2，
4×(−1)×c−b2
又∵ =3，
4×(−1)
∴b=±2，
∵b>0，
∴b=2，
∴二次函数的表达式为y=−x2+2x+2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．
4．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数y=x2+bx−3（b为常数）．
(1)该函数图像与x轴交于A、B两点，若点A坐标为(3,0)，
①则b的值是_________，点B的坐标是_________；
②当0t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
(3)当mt总成立，
b2
∴t<−3− ；
4
（3）∵y=x2+bx−3= ( x+ b) 2 −3− b2 ，
2 4
b
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=− ，
2
又当m0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
1．（2023·河北·中考真题）已知二次函数y=−x2+m2x和y=x2−m2（m是常数）的图象与x轴都有两个
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交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2 B．m2 C．4 D．2m2
【答案】A
【分析】
先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
【详解】解：令y=0，则−x2+m2x=0和x2−m2=0，
解得x=0或x=m2或x=−m或x=m，
不妨设m>0，
∵(m，0)和(−m，0)关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴(m2，0)与原点关于点(m，0)对称，
∴2m=m2，
∴m=2或m=0（舍去），
m2
∵抛物线y=x2−m2的对称轴为x=0，抛物线y=−x2+m2x的对称轴为x= =2，
2
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线
1
y=− x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
2
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出c=b−1，求得抛物线解析式，根据抛物线与x轴有交点得出
Δ=b2−4ac≥0，进而得出b=2，则c=1，求得A,B的横坐标，即可求解．
b b
1
x=− =− =b
【详解】解：∵抛物线y=− x2+bx−b2+2c的对称轴为直线 2a ( 1)
2 2× −
2
∵抛物线经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点
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2−3b+4b+c−1
∴ =b，
2
即c=b−1，
1 1
∴y=− x2+bx−b2+2c=− x2+bx−b2+2b−2，
2 2
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ=b2−4ac≥0，
即b2−4× ( − 1) ×(−b2+2b−2)≥0，
2
即b2−4b+4≤0，即(b−2) 2≤0，
∴b=2，c=b−1=2−1=1，
∴2−3b=2−6=−4,4b+c−1=8+1−1=8，
∴AB=4b+c−1−(2−3b)=8−(−4)=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2022·云南·中考真题）已知抛物线y=−x2−√3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k
是抛物线y=−x2−√3x+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=−x2−√3x+c的点，常数m>0，S为
△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
(1)求c的值；
(2)直接写出T的值；
k4
(3)求 的值．
k8+k6+2k4+4k2+16
【答案】(1)2
11
(2)−
4
1
(3)
50
【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；
4 2 2 16 4 2
（3）将函数转化为方程，即可表示出k2+ =(k− ) +4=7，k4+ =(k2+ ) −8=41，带入原式即
k2 k k4 k2
可求解．
【详解】（1）解：∵将点（0，2）带入y=−x2−√3x+c得：
c=2．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为y=−x2−√3x+2，
∵当S=m时恰好有三个点M满足，
∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数．
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−√3 √3 √3 2 √3 11
当x=− =− 时，y=−(− ) −√3×(− )+2= ．
2×(−1) 2 2 2 4
√3 11 11
即此时M（− ， ），则另外两个点的纵坐标为− ．
2 4 4
11 11 11 11
∴T= +(− )+(− )=− ．
4 4 4 4
2
（3）由题可知，−k2−√3k+2=0，则k− =−√3
k
4 2 2 16 4 2
∴k2+ =(k− ) +4=7，k4+ =(k2+ ) −8=41
k2 k k4 k2
k4 1 1
= =
则k8+k6+2k4+4k2+16
k4+k2+2+
4
+
16
(k4+
16
)+(k2+
4
)+2
k2 k4 k4 k2
1 1
= = ．
41+7+2 50
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代
数计算是解题的关键．
4．（2021·江苏南京·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(−2,1),(2,−3)两点．
（1）求b的值．
（2）当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设(m,0)是该函数的图像与x轴的一个公共点，当−1 ．
5
【分析】（1）将点(−2,1),(2,−3)代入求解即可得；
（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；
（3）分a<0和a>0两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：（1）将点(−2,1),(2,−3)代入y=ax2+bx+c得：¿，
两式相减得：−4b=4，
解得b=−1；
（2）由题意得：a≠0，
1 2 1
由（1）得：y=ax2−x+c=a(x− ) +c− ，
2a 4a
1
则此函数的顶点的纵坐标为c− ，
4a
将点(2,−3)代入y=ax2−x+c得：4a−2+c=−3，
解得−4a=c+1，
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1 1
则c− =c+ ，
4a c+1
下面证明对于任意的两个正数x ,y ，都有x + y ≥2√x y ，
0 0 0 0 0 0
∵(√x −√y ) 2=x + y −2√x y ≥0，
0 0 0 0 0 0
∴x + y ≥2√x y （当且仅当x = y 时，等号成立），
0 0 0 0 0 0
当c>−1时，c+1>0，
1 1 √ 1 1
则c+ =c+1+ −1≥2 (c+1)⋅ −1=1（当且仅当c+1= ，即c=0时，等号成立），
c+1 c+1 c+1 c+1
1
即c− ≥1，
4a
故当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；
（3）由4a−2+c=−3得：c=−4a−1，
则二次函数的解析式为y=ax2−x−4a−1(a≠0)，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当a<0时，则当x=−1时，y>0；当x=3时，y<0，
即¿，
解得a<0；
②如图，当a>0时，
∵当x=−1时，y=a+1−4a−1=−3a<0，
∴当x=3时，y=9a−3−4a−1>0，
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4
解得a> ，
5
4
综上，a的取值范围为a<0或a> ．
5
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关
键．
5．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，
设抛物线的对称轴为x=t.
(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x ,m)(x ≠1)在抛物线上，若mt时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,m)，点(3,n)，点
（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，
即可求解．
【详解】（1）解：当c=2时，y=ax2+bx+2，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵m=n，
∴点(1,m),(3,n)关于对称轴x=t对称，
1+3
∴t= =2；
2
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为（2t，c），
∵a>0，
∴当x≤t时，y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，
当点(1,m)，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时， t<1，
∵m （不合题意，舍去），
2
当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n)，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点(x ,m)在对称轴的右侧，
0
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1 ，
2
3
∴ 0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象 y y y
x
x O x
1 2 x x
O x (x ) O
1 2
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 xx2 b 取任意实数
x≠−
2a
的解集情况
ax2＋bx＋c<0 x1y ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
3 4 4 3
A．12
2 3 3 2
【答案】C
【分析】
根据已知条件列出不等式，利用二次函数与x轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
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【详解】解：∵a<0，
∴y=−3a>0，
∵点A，B都在直线y=−3a的上方，且y >y ，
1 2
可列不等式：4am2−8am>−3a，
∵a<0，
可得4m2−8m+3<0，
设抛物线y =4m2−8m+3，直线x =0，
1 1
∴ 4m2−8m+3<0可看作抛物线y =4m2−8m+3在直线y =0下方的取值范围，
1 1
当y =0时，可得0=4m2−8m+3，
1
1 3
解得m = ,m = ，
1 2 2 2
∵4>0，
∴y =4m2−8m+3的开口向上，
1
1 3
∴4m2−8m+3<0的解为 4am2−8am，
∵a<0，
∴可得m2−4m<4m2−8m，
整理得−3m2+4m<0，
设抛物线y =−3m2+4m，直线x =0，
2 2
∴ −3m2+4m<0可看作抛物线y =−3m2+4m在直线y =0下方的取值范围，
2 2
当y =0时，可得0=−3m2+4m，
2
4
解得m =0,m = ，
1 2 3
∵−3<0，
∴抛物线y =−3m2+4m开口向下，
2
4
∴−3m2+4m<0的解为m<0或m> ，
3
4 3
综上所述，可得 0和t<0两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)，(0,−3)，(1,−4)，代入
y=ax2+bx+c得到
¿，
解得¿，
∴二次函数y=ax2+bx+c的表达式为y=x2−2x−3；
（2）如图，连接PR，QR，过点R作RM⊥PQ交PQ的延长线于点M，
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∵点Q的横坐标为m，
∴Q(m,m2−2m−3)，
∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点P与点Q关于直线x=1对称，
设点P(n,m2−2m−3)，
则m−1=1−n，解得n=2−m，
∴点P的坐标为(2−m,m2−2m−3)，
当x=m+√2时，y=x2−2x−3=(m+√2) 2 −2(m+√2)−3=m2+(2√2−2)m−1−2√2，
即R(m+√2,m2+(2√2−2)m−1−2√2)，
则M(m+√2,m2−2m−3)，
∴RM=m2+(2√2−2)m−1−2√2−(m2−2m−3)=2√2m+2−2√2，
PM=m+√2−(2−m)=2m+√2−2，
RM 2√2m+2−2√2 √2(2m+√2−2)
∴tan∠RPQ= = = =√2，
PM 2m+√2−2 2m+√2−2
即tan∠RPQ的值为√2；
（3）由表格可知点A(−1,0)、B(3,0)，
将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A'(0,3)、B'(4,3)，
1 1 4
由题意可得，二次函数y= (x2−2x−3)= (x−1) 2− ，与线段A'B'只有一个交点，
t t t
当t>0时，抛物线y= 1 (x2−2x−3)= 1 (x−1) 2− 4 开口向上，顶点 ( 1,− 4) 在A'B'下方，
t t t t
1
当x=4时， (x2−2x−3)≥ y ，
t ❑B'
−3
即 <3，
t
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5
解得t≤ ，
3
5
∴t≤ ，
3
1 −3
当x=0时， (x2−2x−3)−1，
5
∴00，
∴BP=m+1，
由旋转可得：BD=2BP，
∴BD=2(m+1)，
过点A(1,4)作AE⊥x轴于点E，
∴BE=2，AE=4，
在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2=22+42=20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥ AB，
∴∠BAD=∠BEA=90°，
又∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2=BE⋅BD，
∴4(m+1)=20，
解得m=4；
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②由题可得点A(1,4)与点C关于点P(4,0)成中心对称，
∴C(7,−4)，
∵点M在直线x=4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q(−4,y )代入y=−x2+2x+3，
1
解得：y =−21，
1
∴Q(−4,−21)，
2）、当以BC为边时，平行四边形为BCQM，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q(12,y )代入y=−x2+2x+3，
2
解得：y =−117，
2
∴Q(12,−117)，
3）、当以BC为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q(2,y )代入y=−x2+2x+3，
3
得：y =3，
3
∴Q(2,3)，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为(−4,−21)或(2,3)或(12,−117)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性
问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．
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2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴
下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点
P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+x+2(−10，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限，
当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限，
综上所述，y=ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．
b
2．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数y= (b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和
x
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的
选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
b
【详解】解：∵反比例函数y= (b≠0)的图象在第一和第三象限内，
x
∴b>0，
b
若a<0，则- >0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
2a
b
当a>0，则- <0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，
2a
由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系
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数的关系是解题的关键．
3．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一次函数
c
y=ax+b与反比例函数y=− 在同一坐标系内的大致图像为（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数y=ax+b所经过的象限和反比例函
c
数y=− 所在的象限．
x
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴
负半轴，
b
∴a>0，− <0，c<0，
2a
∴b>0，-c>0，
c
∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、三象限，反比例函数y=− 的图像在第一，三象限，选项C
x
符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关
系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．
题型10 二次函数与实际问题
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
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【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果
顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值
解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点
的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后
利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条
件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设
出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条
件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不
存在．
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，
AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，
BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，
BE= y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
17x( 32)
【答案】(1)y=4− 00)个单位长度，平移后的函数图
象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
1
【答案】（1）y=− x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
4
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
1
（2）把：x =1，代入y=− x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
4
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
1
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：a=− ，
4
1 1
∴二次函数的解析式为：y=− (x-8)x=− x2+2x（0≤x≤8）；
4 4
1 1 7
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=− x2+2x，得y=− ×12+2×1= ＞1.68，
4 4 4
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
1
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y= x2-2x，
4
1
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=- x2+2x，
4
∴新函数表达式为：y=¿，
∵将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，
∴O'（m，0），A'（m+8，0），B'（m+4，-4），如图所示，
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根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大
而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次
函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
3．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，
每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发
现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
3
销售单价x（元/件） … 40 45 …
5
9
每天销售数量y（件） … 80 70 …
0
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法
可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得
销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次
函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：¿，
解得¿，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
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解得x＝50，x＝60，
1 2
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
4．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线
呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现
以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+3，球不能射进球门
12
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】
（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表
达式，再把x=0代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点(0,2.25)代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线解析式为y=a(x−2) 2+3，
把点A(8,0)代入，得36a+3=0，
1
解得a=− ，
12
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1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2+3，
12
8
当x=0时，y= >2.44，
3
∴球不能射进球门；
1
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=− (x−2−m) 2+3，
12
1
把点(0,2.25)代入得2.25=− (−2−m) 2+3，
12
解得m =−5（舍去），m =1，
1 2
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，
熟练掌握待定系数法是解题的关键．
二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
(− ，
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
)
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a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
值
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
性
一、单选题
1．（2023·河南商丘·二模）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2 |2|
A．y=x2 B．y=|x2| C．y= D．y=
x x
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数和反比例函数的图象，中心对称图形与轴对称图形的概念，先画出函数
图象，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【详解】解：A、y=x2的图象如图：
∴y=x2是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、y=|x2|的图象如图：
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∴y=|x2|是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
2
C、y= 的图象如图：
x
2
∴y= 是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
x
|2|
D、y= 的图象如图：
x
|2|
∴y= 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
x
故选：C．
2．（2023·山东青岛·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)与一次函数y=ax+1(a≠0)在同一直角坐
标系中的图像大致是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关
键．利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与 y轴交点的纵坐标；一
次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于
0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可．
【详解】
A．图象中二次函数a<0，与y轴交点为(0,1)，一次函数a<0,，与y轴交点为(0,1)，故选项符合题意．
B．图象中二次函数a>0，与和y轴交点为(0,1)矛盾，故选项不符合题意．
C．图象中二次函数a<0，一次函数a>0，两个图象的交点不是(0,1)，与二次函数和一次函数与y轴交点
为(0,1)矛盾，故C不符合题意．
D．图象中二次函数a>0，，一次函数a<0，矛盾，故选项不符合题意．
故选：A．
k
3．（2023·广东东莞·一模）二次函数y=ax2+bx+c与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象如
x
图所示．已知抛物线的对称轴是直线x=−1，下列结论：
①abc<0，②b>a>0，③4a−2b+c<0，④a−c>k．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特
征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
根据二次函数的图象与系数的关系，以及反比例函数的图象即可求出答案．
【详解】解：由图象可知：a>0，c<0，
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b
∵− <0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
b
由对称轴可知：− =−1，
2a
∴b=2a，
∴b>a>0，故②正确；
当x=−2时，y=4a−2b+c<0，故③正确；
k
∵当x=−1时，ax2+bx+c<
，
x
∴a−b+c<−k，
∵b=2a，
∴−a+c<−k，
∴a−c>k，故④正确；
故选：D．
4．（2023·四川绵阳·一模）二次函数y =ax2+bx+c与一次函数y =mx+c的图像如图所示，则满足
1 2
ax2+bx0 C．x<−3或x>1 D．01时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，
即 y 1时，ax2+bx+c1时，ax2+bx0)过点A(0,1)，B(8,2)，则h的值不可以是
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（ ）
A．−3 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对
应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．把A点和B点坐标分别代入解析式得到方程组，消去k得到
1
可解得a= ，然后利用a>0得到h的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．
64−16h
【详解】
解：把A(0,1)、B(8,2)分别代入y=a(x−h) 2+k(a>0)得¿，
②−①得64a−16ah=1，
1
解得a= >0，
64−16h
所以h<4，
所以h的值不可以是4．
故选：D
6．（2023·四川泸州·一模）当2b−2≤x≤2b+1时，抛物线y=−(x−b) 2+4b−1有最大值2，则b的值为
（ ）
3 3 3
A．1或 B．7或1 C．7或 D．1或−
4 4 4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线y=−(x−b) 2+4b−1的顶点坐标为(b，4b−1)，分
2b−2>b，2b+1b，即b>2时，有−(2b−2−b) 2+4b−1=2，
解得b=1（舍去）或b=7；
当2b+10，y −0=a+b−0=a+b<0
1 2
y −y =9a−3b−(a+b)=8a−4b=12a−4b−4a>0，
1 2
y −y =9a−3b−(14a+4b)=−5a−7b>0，y −y =a+b−(14a+4b)=−13a−3b>0，
1 3 2 3
∴y >y ，y >y ，y >y ，y <0，
1 2 1 3 2 3 1
∴y 0)，
∵点B在二次函数y=x2−3的图象上，
∴2n=n2−3，
解得n =3，n =−1(舍)，
1 2
∴点B的坐标为(3,6)，
∴OC=3，BC=6，
∴S =S =3×6=18．
阴影 矩形BCOE
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次函数图像的性质，求阴影部分的面积，解题的关键是将阴影
部分的面积转化为规则图形的面积．
11．（2023·江苏常州·一模）如图，将抛物线y=2(x+1) 2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线
与直线y=x交于点M，则点M的坐标为 ．
(3√2 3√2)
【答案】 ,
2 2
【分析】
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本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点M、
M'的关系，是本题的突破点．直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0，求得抛物线与y轴的交点M'，
M'绕原点O顺时针旋转45°得到M，由OM=OM'，即可求解．
【详解】
解：直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0，
设抛物线y=2(x+1) 2+1与y轴的交点为M'，
∵抛物线y=2(x+1) 2+1，
∴x=0时，y=3，
∴M'(0,3)，
设点M(m,m)，
由题意得：OM=OM'=3，
∴m2+m2=32，
3√2
∴m= ，
2
(3√2 3√2)
∴点M的坐标为 , .
2 2
(3√2 3√2)
故答案为： , .
2 2
12．（2023·湖北十堰·二模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的
部分对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 …
y … m 0 c t …
以下四个结论：①a−b+c=0；②若m=t，则b−2a=0；（3）若a<0，且25a+5b+c=0，则不等式
ax2+bx+c>0的解集为−10，且0−1时，y随x的增大而增大．其中正确
的结论有 （填序号）．
【答案】①③
【分析】本题考查二次函数的图像和性质．根据表格数据可判断结论①；根据二次函数的对称性可得b=a，
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即可判断结论②；根据二次函数与一元二次方程关系可得y=ax2+bx+c=0的两根为，再根据a<0可得
( 2) 2 1
y=ax2+bx+c=0>0的解集，即可判断③；通过举例说明：例如y= x+ − ，满足条件，但
3 9
2
−10的解集为−10时两种情况即可．
1 2
【详解】解：（1）把x=−2分别代入y 与y 得：
1 2
4m−4m+1=−2m+2，
1
解得m= ．
2
（2）当m<0时，一元二次方程mx2+mx−1=0中，
−1
x +x =−1，x ⋅x = >0,
1 2 1 2 m
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∴x ,x 均为负数，即不存在1≤x≤3范围内的实数根．
1 2
当m>0时，一元二次方程mx2+mx−1=0在1≤x≤3的范围内有实数根，
即拋物线y'=mx2+mx−1与x轴存在一个交点且其横坐标在1≤x≤3的范围内，
∵当x=1时，y'≤0；当x=3时，y'≥0，
即¿
1 1
解得 ≤m≤ ．
12 2
1 1 1
故答案为：① ；② ≤m≤
2 12 2
1 3
14．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+ x+4(0≤x≤8)的图象如图所
4 2
示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），
L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L=6时，W的取值范围是 ．
9 25
【答案】 ≤W≤
4 4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，求出a的取值范围以及y的最值是解题关键．先将
( 25)
抛物线化为顶点式，得到对称轴为x=3，顶点坐标为 3, ，再根据L=6，得到b=a+6，进而得到
4
1
0≤a≤2，6≤a+6≤8，求出a≤x≤a+6时，y的最大值和最小值，得到W = (a+3) 2 ，然后根据二次函
4
数的性质和a的取值范围，求出W的最大值和最小值即可得到答案．
1 3 1 25
【详解】解：根据题意可得：y=− x2+ x+4=− (x−3) 2+ ，
4 2 4 4
( 25)
∴抛物线的对称轴x=3，顶点坐标为 3, ，
4
∵L=6，即b与a的差值为6，
∴b=a+6，
∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a+6≤8，
∴0≤a≤2，则6≤a+6≤8，
∴当a≤x≤3时，y随x增大而增大，当3＜x≤a+6时，y随x的增大而减小，
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25
∴当x=3时，y有最大值，最大值为 ，
4
1 25
当x=a+6时，y有最小值，最小值为− (a+3) 2+ ，
4 4
25 [ 1 25] 1
∴W = − − (a+3) 2+ = (a+3) 2
4 4 4 4
则对称轴a=−3，
∴当0≤a≤2时，W随a的增大而增大，
9
∴当a=0时，W有最小值，最小值为 ，
4
25
当a=2时，W有最大值，最大值为 ，
4
9 25
综上所述： ≤W≤ ；
4 4
9 25
故答案为： ≤W≤ ．
4 4
三、解答题
15．（2023·贵州遵义·一模）已知二次函数y=x2+2ax−4（a为常数）．
(1)若二次函数的图象经过点(1,−5)，求a的值；
(2)在（1）的条件下，当−1≤x≤4时，请求出二次函数的最大值和最小值；
(3)当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5，求a的值．
【答案】(1)−1
(2)最大值为4，最小值为−5
(3)4或−1
【分析】
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象、数形结合，分类讨论思
想是解题的关键．
（1）将点（1,−5）代入y=x2+2ax−4，可得a的值；
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（2）根据抛物线y=x2−2x−4=（x−1）2−5可得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向上，
顶点坐标为（1,−5），所以x=1时，y取得最小值，x=4时，y取得最大值，进而可得出答案；
（3）根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=−a，抛物线经过点（0,−4），分三种情况：①当−a<0
时，②当0≤−a≤1时，③当−a>1时，分情况讨论即可得出结论．
【详解】（1）
解：将点（1,−5）代入y=x2+2ax−4，
得−5=1+2a−4，
解得a=−1；
（2）
解：∵a=−1，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−4=（x−1）2−5．
∴抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向上，顶点坐标为（1,−5），
∴当−1≤x≤4时，二次函数的最小值为−5；
当x=4时，二次函数的最大值为y=（4−1）2−5=4．
∴当−1≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为−5；
（3）
解：∵y=x2+2ax−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−a，抛物线经过点（0,−4），
①当−a<0时，a>0，
∵抛物线的开口向上，当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5，
∴当x=1时，1+2a−4=5，
∴a=4；
②当0≤−a≤1时，−1≤a≤0，
当x=−a时，a2−2a2−4=−5，
∴a=−1或1（舍去）；
③当−a>1时，a<−1，
当x=1时，1+2a−4=−5，
∴a=−1（舍去）；
综上所述，a=4或−1．
16．（2023·广西柳州·模拟预测）如图1，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)，
与y轴交于点C(0,3)，点P是坐标平面内一点，点P坐标(1,−2)．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将抛物线 x 轴上方的图象沿x轴翻折，翻折后的图象和原抛物线图象组成一个新的图象（如图
2实线部分和虚线部分，），记为图象 L．若直线y=−x+n与该新图象L恰好有三个公共点，请求出此时
n 的取值范围．
(3)在（2） 件下的新图象L，连接OP，若点D在新图象L上且 ∠DBO+∠POB=90°，求点D的坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
11
(2)n的值为−1或−
4
( 1 7) ( 3 9)
(3)D − ,− 或D − ,−
2 4 2 4
【分析】
（1）把A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式；
（2）先得出将二次函数y=−x2+2x+3图像x轴上方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为
y=x2−2x−3(−1≤x≤3)，然后进行分类讨论：①当y=−x+n经过点A时，②当y=−x+n不经过点A
时，即可解答；
（3）过点P作PE⊥ y轴于点E，推出∠DBO=∠POE，由图可知，点D在点B左边，进行分类讨论：
①当点D在y=x2−2x−3上时，连接BD，过点D做x轴的垂线，垂足为点F，设D(t,t2−2t−3)，则
DF 1
DF=−t2+2t+3,BF=3−t，根据tan∠DBO= = ，列出方程求出t的值即可； ②当点D在
BF 2
DF 1
y=−x²+2x+3上时，同理可得tan∠DBO= = ，即可解答．
BF 2
【详解】（1）解：把A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax²+bx+c得：
¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
（2）解：将二次函数y=−x2+2x+3图像x轴上方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为
y=x2−2x−3(−1≤x≤3)，
①当y=−x+n经过点A时，
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把A(−1,0)代入y=−x+n得：0=1+n，
解得：n=−1，
∴y=−x−1，
联立y=−x−1和y=−x2+2x+3得：
¿，
则x2−3x−4=0，
解得：x =4,x =−1，，
1 2
∴y=−x−1与y=−x2+2x+3相交于(−1,0),(4,−5)，
联立y=−x−1和y=x2−2x−3得：
¿，
则x2−x−2=0，
解得：x =2,x =−1，
1 2
∴y=−x−1与y=x2−2x−3相交于(2,−3),(−1,0)，
∴当n=−1时，直线y=−x+n与该新图象L恰好有三个公共点；
②当y=−x+n不经过点A时，
由图可知，将y=−x向下平移n个单位长度时，直线y=−x+n与该新图象L恰好有三个公共点
∴y=−x+n与y=x2−2x−3有且只有一个交点，
联立得：¿，
则x2−x−(3+n)=0，
∴Δ=b2−4ac=1−4(3+n)=0，
11
解得：n=− ，
4
11
综上：n的值为−1或− ；
4
（3）解：过点P作PE⊥ y轴于点E，
∵∠DBO+∠POB=90°，∠POE+∠POB=90°，
∴∠DBO=∠POE，
由图可知，点D在点B左边，
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①当点D在y=x2−2x−3上时，连接BD，过点D做x轴的垂线，垂足为点F，
设D(t,t2−2t−3)，则DF=−t2+2t+3,BF=3−t，
∵点P坐标(1,−2)，
∴PE=1,OE=2，
1
∴tan∠POE= ，
2
∵∠DBO=∠POE，
DF 1 −t2+2t+3 1
∴tan∠DBO= = ，即 = ，
BF 2 3−t 2
1
解得：t =− ,t =3（与点B重合，舍去），
1 2 2
( 1 7)
∴D − ,− ，
2 4
②当点D在y=−x2+2x+3上时，
设D(t,−t2+2t+3)，则DF=t2−2t−3,BF=3−t，
DF 1 t2−2t−3 1
同理可得：tan∠DBO= = ，即 = ，
BF 2 3−t 2
3
解得：t =− ,t =3（与点B重合，舍去），
1 2 2
( 3 9)
∴D − ,− ，
2 4
( 1 7) ( 3 9)
综上： D − ,− 或D − ,− ．
2 4 2 4
【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数解析式，解直角三角形，二次函数和一次函数交点问题．
熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，是解题的关键．
71 71
