文档内容
郧阳中学 2025 级高一年级上学期 10 月第一次考试
数学试卷
命题人：高海霞 审题人：张兴菊
本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分.考试用时120分钟
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在
试卷和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷和答题卡
上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式和一元二次不等式化简集合 ，再根据集合补集和交集的概念求解即可.
【详解】由 可得 ，解得 ，所以 ，
由 解得 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 ，故选：B
2. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案.
【详解】由 ，得到 ，
又因为 ，所以 ，故C正确；
当 时， ，故AD错误；
，故B错误.
故选：C
3. 若函数 在 上为奇函数，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出 ，再根据奇函数定义计算得出 ，计算即可求解.
【详解】函数 在 上为奇函数，所以定义域关于原点对称，
则 ，所以 ，
函数 为奇函数，所以 ，
所以 时， ，
所以 .
故选：A.
4. 函数 的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】A
【解析】
的
【分析】应用分段函数性质结合二次函数 单调性即可判断.
【详解】函数 ，
当 时， 单调递增区间为 ；
当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
所以函数的单调递减区间为 .
故选：A.
5. 已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数，分 ， ， 分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式．【详解】因为 ，
当 时， ，不合题意；
当 时， ，
不等式 可得 ，解得 ，所以 ；
当 时， ，
所以不等式 等价于 ，即得 解得 ，
.
所以
综上可得 .
故选：A
6. 已知命题 ： ；命题 ： ，若 为假命题，
为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别分析命题p和命题q，再根据“p为假命题，q为真命题”的条件确定实数a的取值范围．
【详解】令 ，配方得 ，为二次函数，当 时， 取得最小
值 ，当 时， ，所以当 时， ，
题目中p为假命题，所以 或 ，
将不等式变形为 ，又 ，即 ，令 ，因为函数 、 在 均单调递减，所以 在 上单调递减，因此
在 上的最大值为 ，要使 对所有 恒成立，需 ，即命
题q为真时， ，
结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以 的取值范围为 ．
故选：A．
7. 已知定义在R上的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ；②
，当 时， ．记 ， ， ，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断 的大小，即可判断出答案.
【详解】依题意， ， ， ，
即 ，所以函数 在 上单调递增．
又 ， ，所以函数 是R上的偶函数，
所以 ,则有 ，所以 ，故选：B．
8. 给出定义：若 （其中m为整数），则m叫做距离实数x最近的整数，记作{x}，即
{x}=m，例如：{1.2}=1，{2.8}=3．给出下列关于函数 的四个命题：
② ； ④y=f（x）的定义域是 ，值域是 则正确的命题
的个数是（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先根据定义求出 ， ， ， ，再根据 ，分别求出 ，
， ， ， 由 可 以 得 到 的 定 义 域 是 ， 由
求出 的范围，即得 的值域.
【详解】因为 ， ， ， ，所
以 ， ， ， ，∴ ，①错误；
，②错误；
因为 ， ，所以 ，故③正确；的定义域是 ，因为 ，所以 ，
即 ，∴ 值域是 ，故④错误．
综上，正确的命题个数为1个.
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各选项给出的命题中，不正确的有（ ）
A. 已知 的定义域为 ，则 的定义域为
B. 若 是一次函数，满足 ，则
C. 函数 的值域为
D. “ ”是“不等式 对一切实数x恒成立的充要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】由抽象函数的定义域的求法求解即可判断 A；利用待定系数法求解析式可判断B；将函数变形为
，先求出 的范围即可求出 的范围可判断C；根据不等式，利用分类讨论思想，
建立不等式判断D．
【详解】对于A，因 的定义域为 ，则 ,可得 ，
需满足 ，解得 且 ,
所以 的定义域为： ，故A错误；对于B，因为 是一次函数，设 ，
则 ，
可得 ，
解得 或 ，
所以 或 ，故B错误；
对于C，因 ，
由 可得 ，则 ，
则 ，则 ，故C正确；
对于D，由不等式 恒成立，
等价于 或 ，
即得 ，故D错误.
故选：ABD
10. 下列是真命题的是（ ）．
A. 已知 ，且 ，则 的最大值为5
B. 已知 ， 则 的取值范围为C. 已知 且 恒成立，实数 的最大值是
D. 若 则 的最大值是6．
【答案】BCD
【解析】
【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为 进行
求解可判断C；由基本不等式求解可判断D.
【详解】对于A， 且， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 有最小值 ，故A错误；
对于B，由 ，可得 ，
又因为 ，所以则 的取值范围为 ，故B正确；
对于C，由题意， ， ， ，
所以 转化为 ，
可得 ，即 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以实数 的最大值是 ，故C正确；
对于D，由 可得 ，
两边同乘以 ，
，
又因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
令 ，则有 ，即 ，
解得 ，因此 的最小值为 ，
此时 且满足 ；
的最大值为 ，此时 且满足 ，故D正确．
故选：BCD
11. 函数 在区间 上值域为 ，则称 为 的“k倍增区间”，则（ ）
A. 若 为． 的“1 倍增区间”，则b=1
B. 二次函数 存在“2倍增区间”
C. 函数 存在“1 倍增区间”
D. 若函数 存在“1 倍增区间”，则m的取值范围是
【答案】ABD【解析】
【分析】根据函数“k倍增区间”的定义，对于A，由 求解即可判断，对于B，假设存在“2倍增区
间” ，结合函数单调性得到 求解即可判断，对于C，假设存在“1倍增区间” ，
结合单调性得到 求解即可判断，对于D，假设存在“1倍增区间” ，结合单调性得到
，通过作差得到 ，再通过换元 得到 ，再
结合韦达定理及判别式即可判断．
【详解】对于A，由题意可知， 为 的单调递区间，函数值域为 ，
若 为 的“1 倍增区间”，则 ，则 或 （舍去），故A正确；
对于B，若函数 存在“2倍增区间”，设定义域为 ，值域为 ，
当 时，函数在定义域上单调递增，则 ，
则a，b是方程 的两个不相等的实数根，解得 或 ，
故存在定义域为 使得值域为 ，故B正确；
对于C，函数 中x的取值范围为 ，
若 存在“1倍增区间” ，则必有 或 ，
函数在 ， 递减，则 ，则 ，
解得 或 ，均不符合题意，故C错误；
对于D，因为函数 在 上单调递减，
若存在“1倍增区间” ，
则有 ，即 ，
两式作差得 ，即 ，
又 ，所以 ，故 ，
所以 ，设 ， ，则 ，
即 是 的一个根；
同理 也是 的一个根，
即 在区间 上有两个不相等的实数根，
只需 ，解得 ，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数 ，满足对任意的实数 且 ，都有
，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件判断函数的单调性，根据分段函数的单调性可得关于 的不等式组，解之即可．
【详解】对任意的实数 ，都有 ，即 异号，
故 是 上的减函数；
可得： ，解得 ．
故答案为：
13. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得 ， ，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号
成立的条件.
【详解】解：因为正数 ， 满足 ，
则有 ，即 ，，即 ，
所以 ，
当且仅当 即 ，又 ，
即 ， 时取得最小值，且最小值为 ．
故答案为： ．
14. 记 表示不超过实数 的最大整数．设函数 ，有以下三个结论：
①函数 为单调函数；
②对于任意的 ， 或 ；
③集合 （ 为常数）中有且仅有一个元素；
其中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②
【解析】
【分析】①利用定义法证明单调性；②分 和 两种情况讨论；③求出 和
时 的值域，结合单调性可知，当 取值域未包含的值时，集合为空集.
【详解】 ，且 ，则 ，则
，即 ，
所以函数 为单调函数，故①正确；
当 时， ，有 ， ，
此时 ，
当 时， ， ， ，此时 ，故②正确；
当 时， ，当 时， ，
结合 在 上单调递增可知，当 时，方程 无解，故集合为空集，故③错误；
故答案为：①②
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知二次函数 ，满足当 时， 取得最大值2，且 .
（1）求二次函数 的表达式；
（2）若 ，求函数 的最大值 ；
（3）已知函数 的值域为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，用待定系数法可求得二次函数 的表达式；
（2）讨论已知区间 与函数 的对称轴的关系，分析函数 在 上的单调性，即求
出函数 的最大值 ；
（3）根据函数 的值域为 ，可得 可以取到全部非负实数，由此可得 在 上有解.令 ，可得实数 的取值范围.
【小问1详解】
由已知可得： ，解得： .
所以二次函数 的表达式为： .
【小问2详解】
由题可知： 的对称轴为： .
所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减.
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，所以函数 的最大值为
；
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的最大值为 ；
当 时，函数 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 .
综上所述，函数 的最大值 .
【
小问3详解】
由函数 的值域为 ，可得 可以取到全部非负实数.
所以 在 上有解，即 在 上有解.所以 ，即 .
解得： ，或 .
故实数 的取值范围是 .
16. 设函数
（1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；
（2）若不等式 对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1．
【答案】（1） ，
（2）{1} （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得0和 是方程 的根，且 ，进而结合韦达定理求
解即可；
（2）转化问题为 对于实数 时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可；
（3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
由题意知，0和b是方程 的根，且 ，
所以 ，解得 ，
【
小问2详解】
由 ，即 ，
即 对于实数 时恒成立，则 ，解得 ，则x的取值范围为{1}
【小问3详解】
由 ，则 ，
当 时，不等式可化为 ，即 ，解集为 ，
当 时，不等式可化为 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 ；
③当 时， ，不等式的解集为 ；
综上所述，当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为
17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，（1）求a，b的值
（2）判断 在 上的单调性，并证明．
（3）设 若对任意的 ，总存在 ，使得 成
立，求实数k的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 在 上单调递增，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）由定义在 上的奇函数满足 ，结合 列方程即，可求出实数 的值；
（2）用定义法证明即可；
（3）将问题转化为 ，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可.
【小问1详解】
因为函数 是定义在 上的奇函数，
，即 ，又 ，即 ，
经检验，该函数为奇函数，
故 .
【小问2详解】
在 上单调递增，
证明如下：
任取 ，其中 ，所以 ，
故 在 上单调递增.
【小问3详解】
由（1）知在 上单调递增，则 ，
任意的 ，总存在 ，
使得 成立等价于 ，即 ，
即存在 使得 成立，
令 ，
①当 ，即 时， 的根为 符合题意；
②当 且 时，即 时， 恒成立，不符合题意；
③当 且 时， ；
④当 且 时，即 时，
的对称轴为 ，且存在 使得 成立，
即 ，解得 ，⑤当 且 时，即 时，因为 的对称轴为 ，所以符合题意，
综上所述，实数 的取值范围为： .
18. 设 为实数，已知函数 ．
（1）若 ， 是方程 的两个不等实根，求 的取值范围；
（2）设集合 ．
①若 中恰有一个整数，求 的取值范围；
②设集合 ，若“ ”是“ ”的充分条件，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ，② .
【解析】
【分析】（1）利用根与系数关系可得 ，再将目标式转化为含有 、 的表达式，
进而求范围.
（2）①根据二次函数的性质只需保证 即可求 的取值范围；②由已知可得
，又 只需保证 即可求参数范围.
【小问1详解】
由题设， 且 ，
∴ .
【小问2详解】①由 的开口向上，对称轴为 ，且判别式恒大于等于0，
∴要使 的解集 中恰有一个整数，则 ，
∴ .
②由题设， ，又 ，
∴ ，
，则 ，
∴ .
19. 定义 ， ．
（1）用解析式表示 并求 的最小值；
（2）证明：
（3）设 若对任意 都存在
使得 求实数b的取值范围．
【答案】（1）1 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）按 ， 的大小分类，得到 的解析式；
（2）按 的大小分类证明即可；
（3）令 ， ，由第（2）小问知： ，
，然后把题意转化为 ， 都大于等于2，对任意 恒成立，可得答案.【小问1详解】
设 ， ．
当 或 时， ，故 ；
当 时， ，故 ．
因此， ，
的最小值为1；
【小问2详解】
当 时，
等式右边 ；
当 时， ，
等式右边 ；
【小问3详解】
依题意知： 在[0，4]上的值域是 在 上的值域的子集，
由于 在 上单调递增，值域为 ，
因此，只需满足对任意 ，有 ．
，
，
令 ， ， ，由（2）知： ， ，
要使 对任意 恒成立，
又 对任意 恒成立，
所以只需 对任意 恒成立，
当 时，不成立；当 时， ，故 .
