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2024年北京市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A B B D D B C
一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）（2024•北京）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，则M∪N＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜4}
【考点】并集及其运算．
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【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，
则M∪N＝{x|﹣3＜x＜4}．
故选：C．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
z
2．（4分）（2024•北京）若复数z满足 =−1−i，则z＝（ ）
i
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【考点】复数的运算．
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【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】结合复数的四则运算，即可求解．
z
【解答】解： =−1−i，
i
则z＝i（﹣1﹣i）＝1﹣i．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3．（4分）（2024•北京）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（ ）
A．√2 B．2 C．3 D．3√2
【考点】圆的一般方程．
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第1页（共50页）【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心（1，﹣3），
|1+3+2|
圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离：d = = 3√2．
√1+1
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
4．（4分）（2024•北京）在(x−√x) 4的展开式中，x3的系数为（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【考点】二项式定理．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】利用二项式定理，求解即可．
r r
【解答】解：(x−√x) 4 的通项公式为：（﹣1）r Cr ⋅x4−r ⋅x2，4−r+
2
=3，可得r＝2，
4
二项展开式中x3的系数：C2•（﹣1）2＝6．
4
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理的应用，是基础题．
→ → → → → → → → → →
5．（4分）（2024•北京）设 a ， b 是向量，则“（ a+b ）•（ a−b ）＝0”是“ a=−b 或 a=b ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件必要条件的判断；平面向量的数量积运算．
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【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．
第2页（共50页）→ → → →
【解答】解：（ a+b ）•（ a−b ）＝0，
→ → → →
则 a2−b2=0 ，即|a|=|b|，
→ → → → → →
|a|=|b|不能推出 a=b 或 a=−b ，充分性不成立，
→ → → → → →
a=b 或 a=−b 能推出|a|=|b|，必要性成立，
→ → → → → → → →
故“（ a+b ）•（ a−b ）＝0”是“ a=b 或 a=−b ”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分性、必要性的判断，属于基础题．
6．（4分）（2024•北京）设函数f（x）＝sin x（ ＞0）．已知f（x ）＝﹣1，f（x ）＝1，且|x ﹣x |的
1 2 1 2
ω ω
π
最小值为 ，则 ＝（ ）
2
ω
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正弦函数的图象．
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【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．
【解答】解：因为f（x）＝sin x，
则f（x
1
）＝﹣1为函数的最小值ω，f（x
2
）＝1为函数的最大值，
π T
又|x −x | = = ，
1 2 min 2 2
所以T＝ ， ＝2．
故选：B．π ω
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
S−1
7．（4分）（2024•北京）生物丰富度指数d= 是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河
lnN
流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物
种类数S没有变化，生物个体总数由N 变为N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
1 2
A．3N ＝2N B．2N ＝3N
2 1 2 1
C．N2=N3 D．N3=N2
2 1 2 1
第3页（共50页）【考点】根据实际问题选择函数类型．
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【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
S−1 S−1
= =
【分析】根据已知条件可得 2.1， 3.15，化简即可求解．
lnN lnN
1 2
【解答】解：根据个体总数由N 变为N 可列式，
1 2
S−1 S−1
= 2.1， = 3.15，
lnN lnN
1 2
所以2.1lnN ＝3.15lnN ，
1 2
约分可得2lnN ＝3lnN ，故lnN2=lnN3，
1 2 1 2
所以N2=N3
．
1 2
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
8．（4分）（2024•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝
4，PC＝PD＝2√2，该棱锥的高为（ ）
A．1 B．2 C．√2 D．√3
【考点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求
解．
【解答】解：由题意知△PAB为正三角形，
因为PC2+PD2＝CD2，
所以PC⊥PD，
分别取AB，CD的中点E，F，
第4页（共50页）连接PE，EF，PF，则PE＝2√3，PF＝2，EF＝4，
则PE2+PF2＝EF2，
所以PE⊥PF，
过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF 平面PEF，且EF∩PF＝F，
所以CD⊥平面PEF．又PG 平面PEF， ⊂
所以CD⊥PG． ⊂
又PG⊥EF，CD，EF 平面ABCD，CD∩EF＝F，
所以PG⊥平面ABCD，⊂
所以PG为四棱锥P﹣ABCD的高，
1 1
因为 PE•PF= EF⋅PC，
2 2
PE⋅PF 2√3×2
所以PG= = =√3．
EF 4
故选：D．
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，考查转化能力，属于难题．
9．（4分）（2024•北京）已知（x ，y ），（x ，y ）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（ ）
1 1 2 2
y + y x +x
A．log 1 2＜ 1 2
2 2 2
y + y x +x
B．log 1 2＞ 1 2
2 2 2
y + y
C．log 1 2＜x +x
2 2 1 2
y + y
D．log 1 2＞x +x
2 2 1 2
【考点】指数函数的图象；指数函数的单调性与最值；对数的运算性质．
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【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．
第5页（共50页）【解答】解：（x ，y ），（x ，y ）是y＝2x上的点，
1 1 2 2
则y =2x 1，y =2x 2，
1 2
2x 1+2x 2≥2√2x 1⋅2x 2=2√2x 1 +x 2，当且仅当x 1 ＝x 2 时，等号成立，
y + y x 1 +x 2
故 1 2＞2 2 ，
2
y + y x +x
两边同时取对数可得，log 1 2＞ 1 2．
2 2 2
故选：B．
【点评】本题主要考查函数与不等式的综合，考查转化能力，属于中档题．
10．（4分）（2024•北京）已知M＝{（x，y）|y＝x+t（x2﹣x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系
中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）
A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C．d=√10，S＜1 D．d=√10，S＞1
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
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【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．
【解答】解：集合{y|y＝x+t（x2﹣x）＝tx2+（1﹣t）x，0≤t≤1，1≤x≤2}，
当t＝0时，y＝x，当t＝1时，y＝x2，
则集合表示的图形如下图阴影部分所示，
1
由图象可知，d=|AB|=√(2−1) 2+(4−1) 2=√10，S＜S = ×(4−2)×(2−1)=1．
△ABC 2
故选：C．
【点评】本题考查如何将函数转化为图象中的理解，涉及了二次函数的图象，考查数形结合思想，属
第6页（共50页）于中档题．
二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）（2024•北京）抛物线y2＝16x的焦点坐标为 （ 4 ， 0 ） ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
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【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据抛物线的标准方程计算可得．
【解答】解：抛物线y2＝16x的焦点坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
12．（5分）（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于原点
α β
π π 1
对称．若α∈[ ， ]，则cos 的最大值为 − ．
6 3 2
β
【考点】两角和与差的三角函数．
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【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出 的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．
【解答】解： 与β 的终边关于原点对称可得，
+ +2k ＝ ，αk Zβ，
αcosπ＝cπos（β + ∈+2k ）＝﹣cos ，
β π πα π π 1 √3α
α∈[ ， ]，cos [ ， ]，
6 3 2 2
α∈
√3 1
所以cos [− ，− ]，
2 2
β∈
π 4π 1
故当 = ， ＝2kπ+ ，k Z时，cos 的最大值为− ．
3 3 2
α β ∈ β
1
故答案为：− ．
2
【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．
x2
13．（5分）（2024•北京）若直线y＝k（x﹣3）与双曲线 −y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为
4
1 1
（或− ） ．
2 2
第7页（共50页）【考点】由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数．
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【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求
解．
{
x2
−y2=1
【解答】解：联立 4 ，化简可得（1﹣4k2）x2+24k2x﹣36k2﹣4＝0，
y=k(x−3)
x2
因为直线y＝k（x﹣3）与双曲线 −y2=1只有一个公共点，
4
故1﹣4k2＝0，或Δ＝（24k2）2+4（1﹣4k2）（36k2+4）＝0，
1
解得k=± 或k无解，
2
1
当k=± 时，符合题意．
2
1 1
故答案为： （或− ）．
2 2
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
14．（5分）（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其
中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为 10的等比数列，
底面直径依次为65mm，325mm，325 mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为 2 3 mm，升
量器的高为 57. 5 mm．（不计量器的厚度）
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．
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【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；立体几何；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．
325 2
【解答】解：斛量器的体积为V ＝ •( ) •230，
3
2
π
1 325 2
则斗量器的体积为V = V ＝ •( ) •23，
2 10 3 2
π
所以斗量器的高为23mm；
1 325 2 65 2
设升量器的高为h，由升量器的体积为V = V ＝ •( ) •2.3＝ •( ) •h，
1 10 2 2 2
π π
第8页（共50页）解得h＝57.5，所以升量器的高为57.5mm；
所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm，23mm．
故答案为：23，57.5．
【点评】本题考查了圆柱的体积计算问题，也考查了等比数列的定义应用问题，是基础题．
15．（5分）（2024•北京）设{a }与{b }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M＝{k|a ＝
n n k
b ，k N*}，给出下列四个结论：
k
①若∈{a
n
}与{b
n
}均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若{a }与{b }均为等比数列，则M中最多有2个元素；
n n
③若{a }为等差数列，{b }为等比数列，则M中最多有3个元素；
n n
④若{a }为递增数列，{b }为递减数列，则M中最多有1个元素．
n n
其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【考点】等差数列的性质．
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【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及
反证法，即可判断③的正误．
【解答】解：对于①，{a }，{b }均为等差数列，M＝{k|a ＝b }，{a }，{b }不为常数列且各项均不相
n n k k n n
同，
故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，
所以M中至多一个元素，故①正确；
对于②，令a =2n−1，b =−(−2) n−1，满足{a }，{b }均为等比数列，
n n n n
但当n为偶数时，a =2n−1=b =−(−2) n−1，此时M中有无穷多个元素，故②错误；
n n
对于③，设b =Aqn (Aq≠0，q≠±1)，a ＝kn+b（k≠0），
n n
若M中至少四个元素，则关于n的方程Aqn＝kn+b至少有4个不同的正数解，
若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aqn＝kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，
当Aqn＝kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n＝kn+b，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，
否则Akln|q|＜0，因为y＝A|q|n，y＝kn+b单调性相反，
方程A|q|n＝kn+b至多一个偶数解，
第9页（共50页）当Aqn＝kn+b有奇数解，此方程即为﹣A|q|n＝kn+b，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时﹣Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，
否则Akln|q|＞0，
因为y＝﹣A|q|n，y＝kn+b单调性相反，
方程A|q|n＝kn+b至多一个奇数解，
因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，
若q＞0，q≠1，
则由y＝Aqn和y＝kn+b的散点图可得关于n的方程Aqn＝kn+b至多有两个不同的解，矛盾；
故Aqn＝kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．
对于④，因为{a }为单调递增，{b }为递减数列，M＝{k|a ＝b }，{a }，{b }不为常数列且各项均不相
n n k k n n
同，
前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，
两者至多一个交点，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查等差、等比的性质，考查转化能力，属于难题．
三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（10分）（2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，
√3
sin2B= bcosB．
7
（1）求∠A；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC
的面积．
条件①：b＝7；
13
条件②：cosB= ；
14
5
条件③：csinA= √3．
2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分．
【考点】解三角形．
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【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解；结构不良题．
第10页（共50页）2π
【答案】（1） ；
3
15√3 15√3
（2）条件①不符合要求；选②， ；选③， ．
4 4
【分析】（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；
（2）分析选条件①不符合要求；
选条件②，由已知结合正弦定理求得b，由sinC＝sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解
即可；
选条件③，由（1）及已知可求得c，结合余弦定理求得b，再由三角形面积公式求解即可；．
√3
【解答】解：（1）因为sin2B= bcosB=2sinBcosB，
7
因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，
√3
所以sinB= b，
14
a b
在△ABC中，由正弦定理得 = ，
sinA sinB
√3
因为a＝7，所以sinA= ，
2
因为A为钝角，
2π
所以A= ．
3
（2）若选条件①，因为b＝7，a＝7，
2π
所以B＝A= ，与A+B+C＝ 矛盾，
3
π
此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；
13 3√3
若选条件②，因为cosB= ，所以sinB=√1−cos2B= ，
14 14
a b
在△ABC中，由正弦定理得 = ，
sinA sinB
7 3√3
a = × =
所以b= •sinB 2π 14 3，
sinA sin
3
√3 13 1 3√3 5√3
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB= × +（− ）× = ，
2 14 2 14 14
1 1 5√3 15√3
所以△ABC的面积为S= absinC= ×7×3× = ；
2 2 14 4
第11页（共50页）2π
若选条件③，由（1）知A= ，
3
5
因为csinA= √3，所以c＝5，
2
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
2π
即72＝b2+52﹣2b×5×cos ，解得b＝3，
3
1 1 2π 15√3
所以△ABC的面积为S= bcsinA= ×3×5×sin = ．
2 2 3 4
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中
档题．
17．（15分）（2024•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，
且PE⊥AD，DE＝PE＝2．
（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．
（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．
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【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设 M 为 PD 的中点，连接 FM，CM，证明四边形 BCMF 为平行四边形，即可得
BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
【解答】（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，
1
因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM= ED，
2
因为AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝3，DE＝PE＝2，
1
所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC= ED，
2
第12页（共50页）所以FM∥BC，且FM＝BC，
即四边形BCMF为平行四边形，
所以BF∥CM，
因为BF 平面PCD，CM 平面PCD，
所以BF⊄∥平面PCD． ⊂
（2）解：因为AB⊥平面PAD，
所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，2），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），
→ → → →
所以 AB=（1，0，0）， AP=（0，1，2）， PC=（1，0，﹣2）， CD=（﹣1，2，0），
→
设平面PAB的一个法向量为 m=（x
1
，y
1
，z
1
），
→ →
{
m⋅AB=x =0
1 →
则
→ →
，取z
1
＝﹣1，则 m=（0，2，﹣1），
m⋅AP= y +2z =0
1 1
→
设平面PCD的一个法向量为 n=（x
2
，y
2
，z
2
），
→ →
{
n⋅PC=x −2z =0
2 2 →
则
→ →
，取z
2
＝1，则 n=（2，1，1），
n⋅CD=−x +2y =0
2 2
设平面PAB与平面PCD夹角为 ，
→ →
θ
m⋅n 2−1 1 √30
则cos = = = = ．
→ → √5×√6 √30 30
|m|⋅|n|
θ
第13页（共50页）【点评】本题考查线面平行的判定定理，向量法求解二面角问题，属于中档题．
18．（15分）（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的
保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险
公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单
毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
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【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．
1
【答案】（1） ；
10
（2）（i）0.122万元；
（ii）E（X）＜E（Y）．
【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；
（2）（i）设 为赔付金额，则 可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期
望，从而可求ξE（X）； ξ
（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．
【解答】解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
60+30+10 1
由题设中的统计数据可得P(A)= = ；
800+100+60+30+10 10
（2）（i）设 为赔付金额，则 可取0，0.8，1.6，2.4，3，
ξ 800 4 ξ 100 1
由题可得P(ξ=0)= = ，P(ξ=0.8)= = ，
1000 5 1000 10
60 3 30 3 10 1
P(ξ=1.6)= = ，P(ξ=2.4)= = ，P(ξ=3)= = ，
1000 50 1000 100 1000 100
4 1 3 3 1
所以E(ξ)=0× +0.8× +1.6× +2.4× +3× =0.278，
5 10 50 100 100
第14页（共50页）因为毛利润是保费与赔偿金额之差，
故E（X）＝0.4﹣0.278＝0.122（万元）；
800 4 4 1
（ii）由（i）知未赔偿的概率为P(ξ=0)= = ，至少赔偿一次的概率为1− = ，
1000 5 5 5
4 1
故保费的变化为0.4× ×(1−4%)+0.4× ×(1+20%)=0.4032，
5 5
设Y为保单下一保险期的毛利润，
故E（Y）＝0.122+0.4032﹣0.4＝0.1252（万元）．
所以E（X）＜E（Y）．
【点评】本题考查用概率的数学期望的知识解决实际应用问题，属于中档题．
x2 y2
19．（15分）（2024•北京）已知椭圆方程E： + =1(a＞b＞0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为
a2 b2
顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞√2）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两
点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．
（1）求椭圆E的方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
【考点】直线与椭圆的综合．
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【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b，c，再结合椭圆的性质，即可求解；
（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．
x2 y2
【解答】解：（1）椭圆方程C： + =1(a＞b＞0)，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，
a2 b2
2
则b=c= =√2，
√2
故a2＝b2+c2＝4，
a=√b2+c2=2，
x2 y2 √2
所以椭圆方程为 + =1，离心率为e= ；
4 2 2
（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，
同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，
第15页（共50页）设AB：y＝kx+t，(t＞√2)，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
{
y=kx+t
联立 x2 y2 ，化简并整理得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，
+ =1
4 2
由题意可知，Δ＝16k2t2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）＝8（4k2+2﹣t2）＞0，即k，t应满足4k2+2﹣t2＞0，
−4kt 2t2−4
由韦达定理可知，x +x = ，x x = ，
1 2 1+2k2 1 2 2k2+1
若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（﹣x ，y ），
2 2
y −y
故AD：y= 1 2 (x−x )+ y ，令x＝0，
x +x 1 1
1 2
x y +x y x (kx +t)+x (kx +t) 2kx x +t(x +x ) 4k(t2−2) 2
则 y = 1 2 2 1= 1 2 2 1 = 1 2 1 2 = +t= =1，解得 t
C x +x x +x x +x −4kt t
1 2 1 2 1 2
＝2，
{ k≠0 √2 √2
此时k满足 ，解得k＞ 或k＜− ，
4k2+2−t2=4k2−2＞0 2 2
√2 √2
综上所述，t＝2满足题意，此时k的取值范围为{k|k＜− 或k＞ }．
2 2
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
20．（15分）（2024•北京）设函数f（x）＝x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y＝f（x）在点（t，f
（t））（t＞0）处的切线．
（1）当k＝﹣1，求f（x）单调区间；
（2）证明：l不经过（0，0）；
（3）当k＝1时，设点A（t，f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，
S△ACO 与S△ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S△ACO ＝15S△ABO 成立？若存在，
第16页（共50页）这样的点A有几个？
（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接代入k＝﹣1，再利用导数研究其单调性即可；
k
（ 2 ） 写 出 切 线 方 程 y−f(t)=(1+ )(x−t)(t＞0)， 将 （ 0 ， 0 ） 代 入 再 设 新 函 数
1+t
t
F(t)=ln(1+t)− ，利用导数研究其零点即可；
1+t
t
（3）分别写出面积表达式，代入2S△ACO ＝15S△ABO 得到13ln(1+t)−2t−15
1+t
=0，再设新函数
15t
ℎ(t)=13ln(1+t)−2t− (t＞0)研究其零点即可．
1+t
1 x
【解答】解：（1）f（x）＝x﹣ln（1+x），f ′(x)=1− = (x＞−1)，
1+x 1+x
当x （﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，0）上单调递减，
当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则f（∈x）的单调递减区间为（﹣1，0），单调递增区间为（0，+∞）．
k k
（2）f ′(x)=1+ ，l的斜率为1+ ，
1+x 1+t
k
故切线方程为y−f(t)=(1+ )(x−t)(t＞0)，
1+t
k k
代入（0，0），−f(t)=−t(1+ )，f(t)=t(1+ )，
1+t 1+t
k t t
t+kln(1+t)=t+t ，则ln(1+t)= ，ln(1+t)− =0，
1+t 1+t 1+t
t
令F(t)=ln(1+t)− ，
1+t
若l过（0，0），则F（t）在t （0，+∞）存在零点．
1 1+t−t t
F′(t)= − = ∈ ＞0，
1+t (1+t) 2 (1+t) 2
故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）＝0，
不满足假设，故l不过（0，0）．
第17页（共50页）（3）k＝1，f（x）＝x+ln（1+x），
1 x+2
f ′(x)=1+ = ＞0，
1+x 1+x
1
S = tf(t)，设l与y轴交点B为（0，q），
△ACO 2
t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．
由（2）知q≠0，
1
∴q＞0，则切线l的方程为y−t−ln(t+1)=(1+ )(x−t)，
1+t
t
令x＝0，则y=q=ln(1+t)− ，
t+1
t
∵2S△ACO ＝15S△ABO ，则2tf(t)=15t[ln(1+t)−
t+1
]，
t 15t
∴13ln(1+t)−2t−15× =0，记ℎ(t)=13ln(1+t)−2t− (t＞0)，
1+t 1+t
∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点．
13 15 13t+13−2(t2+2t+1)−15 −2t2+9t−4 (−2t+1)(t−4)
h′（t）= −2− = = = ，
1+t (t+1) 2 (t+1) 2 (t+1) 2 (t+1) 2
1
t∈(0， )时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；
2
1
t∈( ，4)时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；
2
t （4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；
∈ 1
∵h（0）＝0，h（ ）＜0，h（4）＝13ln5﹣20＞13×1.6﹣20＝0.8＞0，
2
15×24 72 72
ℎ(24)=13ln25−48− =26ln5−48− ＜26×1.61−48− =−20.54＜0，
25 5 5
1
∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在( ，4)上必有一个零点，在（4，24）上必有一个
2
零点．
综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ＝15S 的A有两个．
ACO ABO
第18页（共50页）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查运
算求解能力，属于难题．
21．（15分）（2024•北京）已知集合M＝{（i，j，k，w）|i {1，2}，j {3，4}，k {5，6}，w {7，
8}，且i+j+k+w为偶数}．给定数列A：a ，a ，…，a 和序列∈ ：T ，T∈，…，T，∈其中T＝（i∈，j，
1 2 8 1 2 s t t t
k，w） M（t＝1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将ΩA的第i ，j ，k ，w 项均加1，其余项
t t 1 1 1 1
不变，得∈到的数列记作T （A）；将T （A）的第i ，j ，k ，w 项均加1，其余项不变，得到的数列记
1 1 2 2 2 2
作T
2
T
1
（A）；……；以此类推，得到数列T s⋯T
2
T
1
（A），简记为 （A）．
（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列 ：（1，3，5，Ω7），（2，4，6，8），（1，3，
5，7），写出 （A）； Ω
（2）是否存在Ω序列 ，使得 （A）为a
1
+2，a
2
+6，a
3
+4，a
4
+2，a
5
+8，a
6
+2，a
7
+4，a
8
+4？若存在，
写出一个 ，若不存Ω在，请说Ω明理由；
（3）若数Ω列A的各项均为正整数，且a
1
+a
3
+a
5
+a
7
为偶数，求证：“存在序列 ，使得 （A）的各项
都相等”的充要条件为“a +a ＝a +a ＝a +a ＝a +a ”． Ω Ω
1 2 3 4 5 6 7 8
【考点】数列的应用．
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【专题】对应思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；直观想象；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接按照 （A）的定义写出 （A）即可；
（2）利用反证法，假设存Ω在符合条件的 ，Ω由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；
（3）分充分性和必要性两方面论证． Ω
【解答】解：（1） （A）：3，4，4，5，8，4，3，10；
（2）假设存在符合Ω条件的 ，
可知 （A）的第1，2项之Ω和为a
1
+a
2
+s，第3，4项之和为a
3
+a
4
+s，
Ω
第19页（共50页）{(a +2)+(a +6)=a +a +s
1 2 1 2
则 ，
(a +4)+(a +2)=a +a +s
3 4 3 4
而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件的 ；
（3）证明：设序列TΩk ...T 2 T 1 （A）为{a k，n }（1≤n≤8），特别规定a 0，n ＝a n （1≤n≤8）．
必要性：若存在序列 ： ， ，…， ，使得 （A）为常数列．
1 2 s
则a s，1 ＝a s，2 ＝a s，3 ＝Ωa s，4 ω＝a s，ω 5 ＝a s，6 ＝ωa s，7 ＝a s，Ω 8 ，
所以a s，1 +a s，2 ＝a s，3 +a s，4 ＝a s，5 +a s，6 ＝a s，7 +a s，8 ，
根据T k …T 2 T 1 （A）的定义，显然有a k，2j﹣1 +a k，2j ＝a k﹣1，2j﹣1 +a k﹣1，2j ，j＝1，2，3，4；k＝1，2，…，
不断使用该式可以得到：a +a ＝a +a ＝a +a ＝a +a ，必要性成立．
1 2 3 4 5 6 7 8
充分性：若a +a ＝a +a ＝a +a ＝a +a ．
1 2 3 4 5 6 7 8
由已知，a +a +a +a 为偶数，而a +a ＝a +a ＝a +a ＝a +a ，
1 3 5 7 1 2 3 4 5 6 7 8
所以a +a +a +a ＝4（a +a ）﹣（a +a +a +a ）也是偶数．
2 4 6 8 1 2 1 3 5 7
设T...T T （A）是通过合法的序列 的变换能得到的所有可能的数列 （A）中，
s 2 1
使得|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |+|a s，5 ﹣Ωa s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |最小的一个． Ω
上面已经证明a k，2j﹣1 +a k，2j ＝a k﹣1，2j﹣1 +a k﹣1，2j ，j＝1，2，3，4，k＝1，2，…，
从而由a 1 +a 2 ＝a 3 +a 4 ＝a 5 +a 6 ＝a 7 +a 8 ，可得a s，1 +a s，2 ＝a s，3 +a s，4 ＝a s，5 +a s，6 ＝a s，7 +a s，8 ，
由于i +j +S +t 总是偶数，
k k k k
所以a k，1 +a k，3 +a k，5 +a k，7 和a k，2 +a k，4 +a k，6 +a k，8 的奇偶性保持不变，
从而a s，1 +a s，3 +a s，5 +a s，7 和a s，2 +a s，4 +a s，6 +a s，8 都是偶数．
下面证明不存在j＝1，2，3，4使得|a
s，2j﹣1
﹣a
s，2j
|≥2，
假设存在，根据对称性，不妨设j＝1，a
s，2j﹣1
﹣a
s，2j
≥2，
即a
s，1
﹣a
s，2
≥2．
情况1：若|a s，3 ﹣a s，4 |+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |＝0，
则由a s，1 +a s，3 +a s，5 +a s，7 和a s，2 +a s，4 +a s，6 +a s，8 都是偶数，知a s，1 ﹣a s，2 ≥4．
对该数列连续作四次变换（2，3，5，8），（2，4，6，8），（2，3，6，7），（2，4，5，7）后，
新的|a s+4，1 ﹣a s+4，2 |+|a s+4，3 ﹣a s+4，4 |+|a s+4，5 ﹣a s+4，6 |+|a s+4，7 ﹣a s+4，8 |相比原来的|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |
+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |减少4，
这与|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |的最小性矛盾；
情况2：若|a s，3 ﹣a s，4 |+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |＞0，不妨设|a s，3 ﹣a s，4 |＞0，
第20页（共50页）情况2﹣1：如果a
s，3
﹣a
s，4
≥1，则对该数列连续作两次变换（2，4，s，7），（2，4，6，8）后，
新的|a s+2，1 ﹣a s+2，2 |+|a s+2，3 ﹣a s+2，4 |+|a s+2，5 ﹣a s+2，6 |+|a s+2，7 ﹣a s+2，8 |相比原来的|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |
+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |至少减少2，
这与|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |的最小性矛盾；
情况2﹣2：如果a
s，4
﹣a
s，3
≥1，则对该数列连续作两次变换（2，3，s，8），（2，3，6，7）后，
新的|a s+2，1 ﹣a s+2，2 |+|a s+2，3 ﹣a s+2，4 |+|a s+2，5 ﹣a s+2，6 |+|a s+2，7 ﹣a s﹣2，8 |相比原来的|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |
+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |＝至少减少2，
这与|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |的最小性矛盾．
因此无论如何都会导致矛盾，
所以对任意的j＝1，2，3，4都有|a
s，2j﹣1
﹣a
s，2j
|≤1，
假设存在j＝1，2，3，4使得|a s，2j﹣1 ﹣a s，2j |＝1，则a s，2j﹣1 +a s，2j 是奇数，
所以a s，1 +a s，2 ＝a s，3 +a s，4 ＝a s，5 +a s，6 ＝a s，7 +a s，8 都是奇数，设为2N+1．
则此时对任意j＝1，2，3，4，由|a
5，2j﹣1
﹣a
5，2j
|≤1可知必有{a
5，2j﹣1
，a
5，2j
}＝{N，N+1}，
而a s，1 +a s，3 +a s，5 +a s，7 和a s，2 +a s，4 +a s，6 +a s，8 都是偶数，
故集合{m|a
s，m
＝N}中的四个元素i，j，s，t之和为偶数，对该数列进行一次变换（i，j，s，t），
则该数列成为常数列，新的|a s+1，1 ﹣a s+1，2 |+|a s+1，3 ﹣a s+1，4 |+|a s+1，5 ﹣a s+1，6 |+|a s+1，7 ﹣a s+1，8 |等于零，
比原来的|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |更小，
这与|a s，1 ﹣a s，2 |+|a s，3 ﹣a s，4 |+|a s，5 ﹣a s，6 |+|a s，7 ﹣a s，8 |的最小性矛盾．
综上，只可能|a
s，2j﹣1
﹣a
s，2j
|＝0（j＝1，2，3，4），
而a s，1 +a s，2 ＝a s，3 +a s，4 ＝a s，5 +a s，6 ＝a s，7 +a s，8 ，
故{a
s，n
}＝ （A）是常数列，充分性成立．
【点评】本Ω题属于新概念题，考查了对数列的变化、反证法的应用，关键点是对新定义的理解，以及
对其本质的分析，属于难题．
第21页（共50页）考点卡片
1．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x A或x B}．
∈ ∈
图形语言： ．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算性质：
①A∪B＝B∪A．②A∪ ＝A．③A∪A＝A．④A∪B A，A∪B B．⑤A∪B＝B A B．⑥A∪B＝
，两个集合都是空集．⑦∅ A∪（ A）＝U．⑧ （A∪⊇B）＝（C⊇UA）∩（CUB）．⇔ ⊆
U U
∅ ∁ ∁
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”
混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函
数的定义域，值域联合命题．
2．充分条件必要条件的判断
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，⇒则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立
的充要条件，记作“p q”⇒．p与q互为充要⇒条件．
⇔
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一
不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，
学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
第22页（共50页）判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断⇒命题p与命题q所⇒表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p与命题q
的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内
容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．二元一次不等式（组）与平面区域
【知识点的认识】
二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
1、二元一次不等式表示的平面区域
一般地，直线l：ax+by+c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线l上的点（x，y）的坐标满足 a x + b y + c ＝ 0；
②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＞0；
③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＜0．
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x ，y ），从ax +by +c值的正负，即可判断
0 0 0 0
不等式表示的平面区域．
2、线性规划相关概念
名称 意义
目标函数 欲求最大值或最小值的函数
约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组
可行解 满足约束条件的解（x，y）
可行域 由所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域
的顶点处取得
二元线性规 如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次
划问题 函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题
第23页（共50页）3、线性规划
（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又
可称其为线性约束条件．z＝Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为
目标函数．由于z＝Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
（3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在上述
问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中可行解（x ，y ）和（x ，y ）分别使目标函数取
1 1 2 2
得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而
求最优整数解必须首先要看它们是否在可行．
4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）．
②设z＝0，画出直线l ．
0
③观察、分析，平移直线l ，从而找到最优解．
0
④最后求得目标函数的最大值及最小值．
5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
z z
2．在通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距 取最大值时，z也取
b b
z z z
最大值；截距 取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距 取最大值时，z取最小值；截距 取最小
b b b
值时，z取最大值．
【命题方向】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
4
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+ 分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
3
第24页（共50页）7 3 4 3
A． B． C． D．
3 7 3 4
4 4
分析：画出平面区域，显然点（0， ）在已知的平面区域内，直线系过定点（0， ），结合图形寻找直
3 3
线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
4 4 4
由于直线y＝kx+ 过定点（0， ）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+ 能平分平面区域．
3 3 3
1 5
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（ ， ）．
2 2
4 1 5 5 k 4 7
当y＝kx+ 过点（ ， ）时， = + ，所以k= ．
3 2 2 2 2 3 3
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，
也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件： ，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l ：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
0
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线
l ：x+y＝0，再将直线l 平移，当l 的平行线l 过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l 的平行线l 过点
0 0 0 1 0 2
A时，可使z＝x+y达到最大值．故z ＝2，z ＝7．
min max
第25页（共50页）点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关
系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和
韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位
亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函
数，转化为线性规划问题．
{ x+ y≤50
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知 1.2x+0.9 y≤54
x，y∈N+
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种
第26页（共50页）植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找
出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足 ，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上 的一个动点，则|
→ →
OA+OM
|的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给
定代数式的几何意义来完成．
y 3
解答：（1） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1， ）处取到最大值．
x 2
→ → → →
（2）依题意得， OA+OM=（x+1，y），|OA+OM|=√(x+1) 2+ y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间
的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，
由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|
O → A+O → M|的最小值是 |−1+0−2| = 3√2 ．
√2 2
3 3√2
故答案为：（1） （2） ．
2 2
点评：常见代数式的几何意义有
（1）√x2+ y2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
第27页（共50页）（2）√(x−a) 2+(y−b) 2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
y
（3） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
x
y−b
（4） 表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
x−a
4．指数函数的图象
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 （0，+∞）
性质 过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；
同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
1
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ a x与函数y=( ) x 的图象关于y轴对称．
a
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
第28页（共50页）若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
5．指数函数的单调性与最值
【知识点的认识】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即
a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行
判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减
小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数
的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个
复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，
则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断
增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
6．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①alog a N= N ； ②log a aN＝ N （ a＞0且a≠1）．
M
log （MN）＝log M+log N； log =log M﹣log N；
a a a aN a a
1
log Mn＝nlog M； log √n M= log M．
a a a n a
7．正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
第29页（共50页）图象
定义域 R R k Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] ∈R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：
π π （2k ﹣ ，2k ） π π
（2k − ，2k + ） （k − ，k + ）
2 2 2 2
（k Z）；
π π π
π（k Z）；π π （k Z）π
递减区间：
∈
递减 ∈ 区间： （2k ，2k + ） ∈
π 3π
（2k + ，2k + ） （ π k Z π ） π
2 2
∈
π （k Z）π
最 值 π ∈ x＝2k （k Z）时，y ＝ 无最值
x＝2k + （k Z）时，y max
2 max 1；
π ∈
π
＝1∈ ；
x＝2k + （k Z） 时，
π
x＝2k − （k Z）时， π y πmin ＝ ∈ ﹣1
2
π ∈
y ＝﹣1
min
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（k ，0） π kπ
对称中心：（k + ，0） 对称中心：（ ，0）
（k Z） 2 2
π
π （k Zπ ） （k Z）
对称轴：x＝∈ k + ，k Z
2 对称轴：x＝k ，k Z 无对称轴
∈ ∈
π ∈
周期 2 2 π ∈
8．两角和与差的三角函数 π π π
【知识点的认识】
（1）C（ ﹣ ） ：cos （ ﹣ ）＝ cos cos + sin sin ；
（2）C（ α + β ） ：cos（ +α ）β＝ cos coαs ﹣β sin sαin ；β
（3）S（ α + β ） ：sin（ α+ β）＝ sin α cos β+ cos sαin ；β
（4）S（ α ﹣ β ） ：sin（α ﹣β ）＝ siαn coβs ﹣ cαos βsin ；
α β α β tanαα +taβnβ α β
（5）T（ + ） ：tan（ + ）= 1−tanαtanβ ．
α β
α β
第30页（共50页）tanα−tanβ
（6）T（
﹣ ）
：tan（ ﹣ ）=
1+tanαtanβ
．
α β
α β
9．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是
学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，
看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求
出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这
种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象
可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
k
②反比例函数模型：y= （k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
x
③指数函数模型：y＝a• b x+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值
增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlog x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值
a
增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即 y＝a• x n+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c
（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，
同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
第31页（共50页）【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，
针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的
理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到
10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增
加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参
考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
1
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+log x D．y= x2
7 4000
第32页（共50页）分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x [10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值
不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可． ∈
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x [10，1000]时，
∈ 1
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%= x，
4
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
1
C中，函数y＝l+log x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log 1000＝4﹣lg7＜5，且l+log x≤ x
7 7 7 4
恒成立，故满足公司要求；
1
D中，函数y= x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
4000
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查
k
和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x= （k为常数），如果不搞促销活
t+1
动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生
产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平
均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，
企业的年利润最大．
k
解答：解：（1）由题意：3﹣x= ，
t+1
且当t＝0时，x＝1．
2
所以k＝2，所以3﹣x= ，…（1分）
t+1
第33页（共50页）3 32x+3 t
生产成本为32x+3，每件售价 ( )+ ，…（2分）
2 x 2x
3 32x+3 t
所以，y=[ ( )+ ]x−(32x+3)−t⋯（3分）
2 x 2x
t 3 32 t+1
＝16x− + =− − +50，（t≥50）；…（2分）
2 2 t+1 2
32 t+1 32 t+1
（2）因为 + ≥8当且仅当 = ，即t＝7时取等号，…（4分）
t+1 2 t+1 2
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题
和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
10．等差数列的性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个
常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a ＝a +（n﹣1）d；前n项和
n 1
d n(a +a )
公式为：S ＝na + n（n﹣1）或S = 1 n （n N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a ＝
n 1 2 n 2 m
∈
a +a （p，q，m都为自然数）
p q
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n N+，则a ＝a +（m﹣n）d；
m n
（4）若s，∈t，p，q N*，且s+t＝p+q，则a
s
+a
t
＝a
p
+a
q
，其中a
s
，a
t
，a
p
，a
q
是数列中的项，特别地，当
s+t＝2p时，有 ∈
a+a＝2a ；
s t p
（5）若数列{a }，{b }均是等差数列，则数列{ma +kb }仍为等差数列，其中m，k均为常数．
n n n n
（6）a
n
，a
n﹣1
，a
n﹣2
，…，a
2
，a
1
仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
2a ＝a +a ，
n+1 n n+2
2a n ＝a n﹣m +a n+m ，（n≥m+1，n，m N+）
∈
第34页（共50页）（8）a ，a ，a ，a ，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a ）．
m m+k m+2k m+3k 1
【解题方法点拨】
例：已知等差数列{a }中，a ＜a ＜a ＜…＜a 且a ，a 为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
n 1 2 3 n 3 6
（1）求此数列{a }的通项公式；
n
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a ＝2，a ＝8．
3 6
又∵{a }为等差数列，设首项为a ，公差为d，
n 1
∴a +2d＝2，a +5d＝8，解得a ＝﹣2，d＝2．
1 1 1
∴a ＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n N*）．
n
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n﹣4∈．
（2）令268＝2n﹣4（n N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136∈项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式 a
n
＝a +（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某
1
一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
11．数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
12．利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
第35页（共50页）（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的
情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解
集为（ ） ∈
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（∈x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a R）．
∈
第36页（共50页）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t [1，2]，函数
∈
m
g(x)=x3+x2 [f ′(x)+ ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
2
ln2 ln3 ln4 lnn 1
（Ⅲ）求证： × × ×⋯× ＜ (n≥2，n∈N∗)．
2 3 4 n n
a(1−x)
解：（Ⅰ）f ′(x)= (x＞0)（2分）
x
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
a
（Ⅱ）f ′(2)=− =1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
2
m
∴g(x)=x3+( +2)x2−2x，
2
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
{g′(t)＜0
∴ (8分)
g′(3)＞0
由题意知：对于任意的t [1，2]，g′（t）＜0恒成立，
∈
{g′(1)＜0
37
所以有： g′(2)＜0，∴− ＜m＜−9（10分）
3
g′(3)＞0
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x （1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜∈x﹣1对一切x （1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n N*，则有∈0＜lnn＜n﹣1，
lnn∈ n−1
∴0＜ ＜
n n
ln2 ln3 ln4 lnn 1 2 3 n−1 1
∴ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ＜ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = (n≥2，n∈N∗)
2 3 4 n 2 3 4 n n
13．利用导数研究曲线上某点切线方程
第37页（共50页）【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生
对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备
受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直
线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|
x＝1
＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式
求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
14．平面向量的数量积运算
平面向量的数量积运算
15．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝ 求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理π求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后
利用A+B+C＝ ，求另一角．
3．已知两边和π其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝ 求C，再由正弦定理
或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． π
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝ ，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向π作为起始方向旋转到目标的方向线所成的
角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中
OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
第38页（共50页）7．关于三角形面积问题
1 1 1
①S△ABC =
2
ah
a
=
2
bh
b
=
2
ch
c
（h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；
1 1 1
②S△ABC =
2
absinC =
2
bcsinA =
2
acsinB；
③S△ABC ＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
abc
④S△ABC =
4R
；
1
⑤S△ABC =√s(s−a)(s−b)(s−c)，（s =
2
（a+b+c））；
⑥S△ABC ＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝ A B π C
+ = − ，2A+2B＝2 ﹣2C
2 2 2 2
π
π
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2+c2−a2
cosA=
2bc
b2＝a2+c2﹣2accosB
a2+c2−b2
c2＝a2+b2﹣2abcosC cosB=
2ac
a2+b2−c2
cosC=
2ab
正弦定理 a b c a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝
= = =2R
sinA sinB sinC 2RsinC
a b c
R为△ABC的外接圆半径 sinA= ，sinB= ，sinC=
2R 2R 2R
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
第39页（共50页）面积公式 1 1 1 2S
①S△ =
2
ah
a
=
2
bh
b
=
2
ch
c
sinA=
bc
△
1 1 1 sinB＝
= = =
②S△
2
absinC
2
acsinB
2
bcsinA
2S
△
abc ac
=
③S△
4R
2S
sinC= △
1 ab
④S△ =√s(s−a)(s−b)(s−c)，（s =
2
（a+b+c））；
1
⑤S△ =
2
（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
16．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
17．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
第40页（共50页）3．棱锥的结构特征
{1．底面是多边形
棱锥
2．侧面是三角形
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各
个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
1
V棱锥 =
3
Sh．
18．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
1
V柱 ＝sh， V锥 = 3 Sh．
19．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该
定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
第41页（共50页）圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
{1．有两个底面互相平行，且形状、大小一样的圆
圆柱
2．侧面为曲面，展开为矩形
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
{ V =πr2 ℎ
圆柱
S =2×πr2+2πrℎ =2πr(r+ ℎ)
圆柱
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
第42页（共50页）③圆锥的特征及性质
{1．只有一个顶点，只有一个底面为圆
圆锥
2．侧面为曲面，展开为扇形
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
{ V = 1 πr2 ℎ
圆锥 3
S =πr2+πrl=πr(r+l)
圆锥表面积
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几
何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
第43页（共50页）③圆台的特征及性质
{1．上下底面平行，为半径不等的圆
圆台
2．侧面展开图为一个扇环
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
{ V = 1 πℎ(r2+R2+Rr)
圆台 3 ．
S =πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)
圆台表面积
20．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若
a ，b ，a∥b，则a∥ ．
2⊄、α直线⊂与α平面平行的判定α定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直
线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥ ，a ， ∩ ＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性α质定⊂理β 的α实质β 是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平
行． ⇒
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论⇒是：a∥ ，若b ，则b与a的关系是：异面或平行．即平面 内的直线分成两大类，一类与
a平行有无数条，另α一类与⊂aα异面，也有无数条． α
21．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．棱为AB、面分别为 、 的二面角记作二面角 ﹣AB﹣ ．有时为了方便，也可在 、 内
（棱以外的半平面部分）分别取点αP、βQ，将这个二面角记作αP﹣AB﹣βQ．如果棱记作l，那么这个α二面β角
第44页（共50页）记作二面角 ﹣l﹣ 或P﹣l﹣Q．
α β
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角 ﹣l﹣ 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和
OB，则射α线OAβ和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角α的大β小可以用它的平面角来度量，二
面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平
面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂
直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位
于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面
的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
→ →
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
u v
α β θ
→ → π → →
（1）当0≤＜u ，v＞≤ ， =＜u ， v＞ ，
2
θ
→ →
此时cos ＝cos
＜
→
u
，
→
v＞=
→
u⋅v
→
．
|u||v|
θ
第45页（共50页）π → → → →
（2）当 ＜＜u，
v＞＜
时， ＝
−＜u
，
v＞
，
2
π θ π
→ →
cos ＝﹣cos ＜ → u ，
→
v＞=− →
u⋅v
→ ．
|u||v|
θ
22．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
D E 1
其中圆心坐标为（− ，− ），半径r= √D2+E2−4F．
2 2 2
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
23．直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交 Δ＞0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；
直线与椭圆相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨⇔】
（1）直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；
②借助直线和椭圆的几何性质来判断．
根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难
点所在．
（2）弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
√ 1
则|AB|=√(1+k2 )[(x +x ) 2−4x x ]= (1+ )[(y + y ) 2−4 y y ]（k为直线斜率）
1 2 1 2 k2 1 2 1 2
第46页（共50页）注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
（3）中点弦、弦中点常见问题
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；
②平行弦中点的轨迹；
③过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和
椭圆有两个不同的公共点．
（4）椭圆切线问题
①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；
②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；
③过椭圆上一点只能作一条切线．
（5）最值与范围问题的解决思路
①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．
【命题方向】
1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；
2．由已知条件求直线的方程；
3．中点弦或弦的中点问题；
4．弦长问题；
5．与向量结合求参变量的取值．
24．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
第47页（共50页）25．由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数
【知识点的认识】
根据直线与双曲线的交点数量，推导双曲线的方程或参数．公共点的个数可以帮助确定双曲线的方程．
【解题方法点拨】
1．分析公共点个数：根据交点数量求解双曲线的参数．
2．求解方程：利用交点情况确定方程参数．
【命题方向】
﹣给定交点数量，求解双曲线的标准方程或参数．
﹣分析直线与双曲线的交点数量．
26．离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量 的概率分布
ξ
则称E ＝x p +x p +…+x p +…为 的数学期望，简称期望．
1 1 2 2 n n
数学期ξ望的意义：数学期望离散型ξ随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
第48页（共50页）平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令p ＝p ＝…＝p ，则有p ＝p
1 2 n 1 2
ξ
1 1
＝…＝p = ，E ＝（x +x +…+x ）× ，所以 的数学期望又称为平均数、均值．
n n 1 2 n n
ξ ξ
期望的一个性质：若 ＝a +b，则E（a +b）＝aE +b．
27．二项式定理 η ξ ξ ξ
【知识点的认识】
n
二项式定理又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=∑ Ci an﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多
n
i=0
次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.10 5 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C1 •19×0.01+C2 •18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
10 10
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把(√3i−x) 10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T =C7 ×(√3i) 3 ×(−1) 7=120×3√3i＝360√3i．
8 10
故答案为：360√3i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题
的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
性质
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的二项展开式．其中各项的系数
叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
第49页（共50页）（4）二项式定理通常有如下变形：
① ；
② ；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项 叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展
开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方
面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cr；
n
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（ 1 ） 对 称 性 ： 与 首 末 两 端 “ 等 距 离 ” 的 两 个 二 项 式 系 数 相 等 ， 即
；
n+1
（2）增减性与最大值：当k＜ 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减
2
n
小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项 C2的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的
n
n−1 n+1
两项 C 2 ， C 2 相等，且同时取得最大值．
n n
第50页（共50页）
