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2024年北京市高考数学试卷
一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）（2024•北京）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，则M∪N＝（ ）
A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜4}
z
2．（4分）（2024•北京）若复数z满足 =−1−i，则z＝（ ）
i
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
3．（4分）（2024•北京）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（ ）
A．√2 B．2 C．3 D．3√2
4．（4分）（2024•北京）在 的展开式中，x3的系数为（ ）
4
(x−√x)
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
5．（4分）（2024•北京）设→，→是向量，则“（→ →）•（→ →）＝0”是“→ →或→ →”的（
a b a+b a−b a=−b a=b
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（4分）（2024•北京）设函数f（x）＝sin x（ ＞0）．已知f（x ）＝﹣1，f（x ）＝1，且|x ﹣x |的
1 2 1 2
ω ω
π
最小值为 ，则 ＝（ ）
2
ω
A．1 B．2 C．3 D．4
S−1
7．（4分）（2024•北京）生物丰富度指数d= 是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河
lnN
流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物
种类数S没有变化，生物个体总数由N 变为N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
1 2
A．3N ＝2N B．2N ＝3N
2 1 2 1
C． D．
N2=N3 N3=N2
2 1 2 1
8．（4分）（2024•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝
4，PC＝PD＝2√2，该棱锥的高为（ ）
第1页（共5页）A．1 B．2 C．√2 D．√3
9．（4分）（2024•北京）已知（x ，y ），（x ，y ）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（ ）
1 1 2 2
y + y x +x
A．log 1 2＜ 1 2
2 2 2
y + y x +x
B．log 1 2＞ 1 2
2 2 2
y + y
C．log 1 2＜x +x
2 2 1 2
y + y
D．log 1 2＞x +x
2 2 1 2
10．（4分）（2024•北京）已知M＝{（x，y）|y＝x+t（x2﹣x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系
中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）
A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C．d=√10，S＜1 D．d=√10，S＞1
二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）（2024•北京）抛物线y2＝16x的焦点坐标为 ．
12．（5分）（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于原点
α β
π π
对称．若α∈[ ， ]，则cos 的最大值为 ．
6 3
β
x2
13．（5分）（2024•北京）若直线y＝k（x﹣3）与双曲线 −y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为
4
．
14．（5分）（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其
中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为 10的等比数列，
底面直径依次为 65mm，325mm，325 mm，且斛量器的高为 230mm，则斗量器的高为
mm，升量器的高为 mm．（不计量器的厚度）
15．（5分）（2024•北京）设{a }与{b }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M＝{k|a ＝
n n k
b ，k N*}，给出下列四个结论：
k
∈
第2页（共5页）①若{a }与{b }均为等差数列，则M中最多有1个元素；
n n
②若{a }与{b }均为等比数列，则M中最多有2个元素；
n n
③若{a }为等差数列，{b }为等比数列，则M中最多有3个元素；
n n
④若{a }为递增数列，{b }为递减数列，则M中最多有1个元素．
n n
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（10分）（2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，
√3
sin2B= bcosB．
7
（1）求∠A；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC
的面积．
条件①：b＝7；
13
条件②：cosB= ；
14
5
条件③：csinA= √3．
2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分．
17．（15分）（2024•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，
且PE⊥AD，DE＝PE＝2．
（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．
（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
18．（15分）（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的
保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
第3页（共5页）索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险
公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单
毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）
19．（15分）（2024•北京）已知椭圆方程E：x2 y2 ，以椭圆E的焦点和短轴端点为
+ =1(a＞b＞0)
a2 b2
顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞√2）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两
点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．
（1）求椭圆E的方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
20．（15分）（2024•北京）设函数f（x）＝x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y＝f（x）在点（t，f
（t））（t＞0）处的切线．
（1）当k＝﹣1，求f（x）单调区间；
（2）证明：l不经过（0，0）；
（3）当k＝1时，设点A（t，f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，
S△ACO 与S△ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S△ACO ＝15S△ABO 成立？若存在，
这样的点A有几个？
（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）
21．（15分）（2024•北京）已知集合M＝{（i，j，k，w）|i {1，2}，j {3，4}，k {5，6}，w {7，
8}，且i+j+k+w为偶数}．给定数列A：a ，a ，…，a 和序列∈ ：T ，T∈，…，T，∈其中T＝（i∈，j，
1 2 8 1 2 s t t t
k，w） M（t＝1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将ΩA的第i ，j ，k ，w 项均加1，其余项
t t 1 1 1 1
不变，得∈到的数列记作T （A）；将T （A）的第i ，j ，k ，w 项均加1，其余项不变，得到的数列记
1 1 2 2 2 2
作T
2
T
1
（A）；……；以此类推，得到数列T s⋯T
2
T
1
（A），简记为 （A）．
（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列 ：（1，3，5，Ω7），（2，4，6，8），（1，3，
Ω
第4页（共5页）5，7），写出 （A）；
（2）是否存在Ω序列 ，使得 （A）为a
1
+2，a
2
+6，a
3
+4，a
4
+2，a
5
+8，a
6
+2，a
7
+4，a
8
+4？若存在，
写出一个 ，若不存Ω在，请说Ω明理由；
（3）若数Ω列A的各项均为正整数，且a
1
+a
3
+a
5
+a
7
为偶数，求证：“存在序列 ，使得 （A）的各项
都相等”的充要条件为“a +a ＝a +a ＝a +a ＝a +a ”． Ω Ω
1 2 3 4 5 6 7 8
第5页（共5页）
