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专题 02 函数及其性质
目 录
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
题型02 坐标与图形变化
题型03 求自变量的值或函数值
题型04 函数的图象
类型一 从函数的图象获取信息
类型二 判断动态问题的函数图象
类型三 用描点法画函数图象
题型05 利用待定系数法求函数解析式
题型06 一次函数的图象与性质
题型07 反比例函数的图象与性质
题型08 反比例系数k的几何意义
题型09 二次函数的图象与性质
题型10 二次函数图象与各项系数的关系
题型11 与二次函数有关的最值问题
题型12 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断
题型13 函数与方程（组）、不等式综合
题型14 与函数图象有关的平移、旋转和对称问题
题型15 函数与几何图形综合
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题型 01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
1．（2023·浙江杭州·统考二模）点M(m,n)在y轴上，则点M的坐标可能为（ ）
A．(−4,−4) B．(4,4) C．(−2,0) D．(0,2)
【答案】D
【分析】根据y轴上点的横坐标为0求出m的值，即可得到答案．
【详解】∵点M(m,n)在y轴上，
∴m=0，
∴点M的坐标可能为(0,2)．
故选：D．
【点睛】本题考查点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）已知点P(−2+a，2a−7)在第四象限，且点P到两坐标
轴的距离相等，则a的值为( )
A．3 B．5 C．1 D．-3
【答案】A
【分析】根据点P在第四象限且到两坐标轴的距离相等，可得方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵点P(−2+a，2a−7)在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴−2+a+(2a−7)=0，
解得a=3，
此时P(1，−1)符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标、解一元一次方程，利用所在象限和到两坐标轴的距离相等得出方程是解题
的关键．
3．（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）若点P(−m，m−3)关于原点对称的点在第二象限，则m
的取值范围为（ ）
A． m>3 B．03
【答案】C
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【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点P(−m，m−3)关于原点的对称点为(m，3−m)，
∵(m，3−m)在第二象限，
∴¿，
解得m<0，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它
们的坐标符号相反．
4．（2023·广东东莞·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将点A（a，1﹣a）先向左平移3个单位得点
A，再将A 向上平移1个单位得点A，若点A 落在第三象限，则a的取值范围是（ ）
1 1 2 2
A．2＜a＜3 B．a＜3 C．a＞2 D．a＜2或a＞3
【答案】A
【分析】先根据平移规律表示出A 的坐标，然后再根据点A 落在第三象限列不等式组即可确定A点坐标．
2 2
【详解】解：点A（a，1﹣a）先向左平移3个单位得点A，再将A 向上平移1个单位得点A（a﹣3，1﹣
1 1 2
a+1），
∵点A′位于第三象限，
∴¿，
解得：2＜a＜3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的平移、解一元一次不等式组等知识点，根据题意列出关于a的不等式组是解
答本题的关键．
题型 02 坐标与图形变化
5．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A(−1，4)的
对应点C(1，2)，则点B(2，1)的对应点D的坐标为（ ）
A．(4，−1) B．(0，3) C．(4，1) D．(−4，1)
【答案】A
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：∵点A(−1，4)的对应点C的坐标为(1，2)，
∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，
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∴B(2，1)的对应点D的坐标为(4，−1)．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减．
6．（2023·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）在平面直角坐标系中，将点P(−3,a2+1)向右平移
4个单位后得到点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】向右平移，横坐标加，纵坐标不变；另a2≥0，故在第一象限．
【详解】P(−3,a2+1)向右平移4个单位后得到点坐标为(1,a2+1)，
∵a2+1>0
∴新点在第一象限．
故选：A
【点睛】本题考查点平移的坐标变化，直角坐标系各象限点的坐标符号，掌握点平移与坐标的联系是解题
的关键．
7．（2021·广东广州·统考一模）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
【答案】B
【分析】根据点坐标的平移、旋转、轴对称的变换规律逐项判断即可得．
【详解】A、点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B(−2−4,3+3)，即
为B(−6,6)，则此项说法错误，不符题意；
B、绕原点按顺时针方向旋转90°的点坐标变换规律：横、纵坐标互换，且纵坐标变为相反数，
则点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B(3,2)，此项说法正确，符合题意；
C、点坐标关于原点对称的变换规律：横、纵坐标均变为相反数，
则点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B(2,−3)，此项说法错误，不符题意；
D、点坐标关于x轴对称的变换规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数，
则点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B(−2,−3)，此项说法错误，不符题意；
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故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的平移、旋转、轴对称的变换规律，熟练掌握各变换规律是解题关键．
8．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，若点E坐标为(m,n)，则(m+1,n−1)对
应的点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C． C点 D．D点
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中点坐标的平移特征进行分析求解即可．
【详解】解：∵点E坐标为(m,n)，
∴(m+1,n−1)对应的点，可表示为将点E向右平移1个单位，再向下平移1个单位，
∴(m+1,n−1)对应的点可能是C点，
故选：C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点坐标的平移，理解平面直角坐标系的基本定义，熟悉在坐标系内平
移变化的性质是解题关键．
9．（2023·广东广州·统考一模）已知平面直角坐标系中，点O(0,0)，C(2,2)，将线段OC向正南方向平移
2个单位得到线段O C ，将线段O C 绕点O 按顺时针方向旋转90°后得到线段O C ，则点C 的坐标是
1 1 1 1 1 1 2 2
．
【答案】(2,−4)
【分析】由题意可知，向正南方向平移2个单位后得到C (2,0)，O (0,−2)，随后C (2,0)即绕O (0,−2)，
1 1 1 1
顺时针旋转90°，即可解答．
【详解】解：由题意可知，向正南方向平移2个单位后得到C (2,0)，O (0,−2)线段O C 绕点O 按顺时
1 1 1 1 1
针方向旋转90°后得到线段O C ，可得C (2,−4)，
1 2 2
故答案为：(2,−4)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，绕某点旋转90°后点的坐标，熟练掌握该内容是解题的
关键．
10．（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点M(x,y)，已知x，y满足
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，则点M关于 轴对称的点N在第 象限．
√4x+3+(5 y−2) 2=0 y
【答案】一
3 2
【分析】根据√4x+3+(5 y−2) 2=0得到x=− ,y= ，确定M的位置，后确定对称点的坐标，解答即
4 5
可．
【详解】∵√4x+3+(5 y−2) 2=0，
3 2
∴x=− ,y= ，
4 5
( 3 2)
∴M − , ，
4 5
(3 2)
∴N , ，
4 5
故点N在第一象限，
故答案为：一．
【点睛】本题考查了实数的非负性，关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变相反数，熟练掌握对称点的确定
是解题的关键．
11．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）以下对一次函数y=−x+2的图像进行变化的方案中正
确的是 （只填序号）．
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=−x−2的图像；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=−x−2的图像；
③绕原点旋转90°得到一次函数y=x−2的图像；
④先沿x轴对称，再沿y轴对称得到一次函数y=−x−2的图像．
【答案】①②④
【分析】根据一次函数的平移，判断①②，根据旋转的性质以及轴对称的性质，分别画出图形判断③④即
可求解．
【详解】解：一次函数y=−x+2
①向下平移4个单位长度得到一次函数y=−x+2−4，即y=−x−2的图像，故①正确，符合题意；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y=−(x+4)+2，即y=−x−2的图像，故②正确，符合题意；
③如图所示，绕原点旋转90°得到一次函数y=x−2或y=x+2的图像；故③不正确，不符合题意；
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④如图所示，先沿x轴对称得到y=x−2，再沿y轴对称得到一次函数y=−x−2的图像，故④正确，符合
题意；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，轴对称与旋转的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）已知坐标平面上有一等边△ABC，其坐标分别为A(0,0)，B(2,0)，
将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°，如图所示.则旋转后C点的坐标为（ ）
A．(2+√3,1) B．(2+√3,√3) C．(3,1) D．(3,√3)
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【答案】D
【分析】如图，设旋转后C点对应的点为D，过D作DE⊥x轴于E，首先利用旋转的性质和等边三角形的
性质可以得到AB=BC=CD=DB=2，∠ABD=120°，然后利用含30度直角三角形的性质和勾股定理
即可求解．
【详解】解：如图，设旋转后C点对应的点为D，过D作DE⊥x轴于E，
∵△ABC为等边三角形，A(0,0)，B(2,0)，
又将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°，
∴AB=BC=CD=DB=2，∠ABD=120°，
∴∠DBE=60°，
1
∴BE= BD=1，DE=√3，
2
∴AE=AB+BE=3，
∴旋转后C点的坐标为(3,√3) .
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化−旋转，同时也利用了等边三角形的性质及含30度直角三角形的
性质和勾股定理，有一定的综合性．
题型 03 求自变量的值或函数值
√2x−1
13．（2023·江苏南通·统考模拟预测）函数 y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−1
1 1 1 1
A．x≤ 且x≠1 B．x≥ 且x≠1 C． x> 且x≠1 D． x< 且x≠1
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据二次根
式中被开方数大于等于零和分母不等于零列出不等式求解即可．
【详解】解：由题知，2x−1≥8且x−1≠0，
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3
解得x≥ 且x≠1，
2
故选：B．
14．（2023·贵州贵阳·统考二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
1
A．y=x+1 B．y=−2x C．y=x2−1 D．y=
x
【答案】B
【分析】将(0,0)代入各选项进行判断即可．
【详解】解：A、当x=0时，y=1，不经过原点，故本选项不符合题意；
B、当x=0时，y=0，经过原点，故本选项符合题意；
C、当x=0时，y=−1，不经过原点，故本选项不符合题意．
1
D、y= 中x≠0，故不经过原点，故本选项不符合题意；
x
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般．
15．（2020·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）根据如图所示的计算程序计算函数y的值，若输入
m=−1,n=2时，则输出y的值是3，若输入m=4,n=3时，则输出y的值是（ ）
A．－5 B．－1 C．1 D．13
【答案】B
m+b
【分析】将m=-1，n=2，y=3代入y= 中求出b=7，再将m=4，n=3代入y=2n-b中即可求解.
2
【详解】∵输入m=-1，n=2时，输出y的值是3，
-1+b
∴ =3
2
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解得b=7，
∵m=4，n=3
∴y=2n-b=2×3-7=-1.
故选: B.
【点睛】本题考查函数值：熟练掌握函数值的求法是解题的关键.
题型 04 函数的图象
类型一 从函数的图象获取信息
16．（2022·重庆·重庆巴蜀中学校考一模）荡秋千时，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系
如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．变量h不是关于t的函数 B．当t=0.7s时，秋千距离地面0.5m
C．h随着t的增大而减小 D．秋千静止时离地面的高度是1m
【答案】B
【分析】根据函数图象逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 变量h是关于t的函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当t=0.7s时，秋千距离地面0.5m，故该选项正确，符合题意；
C. 根据图像，最高点随着t的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
D. 秋千静止时离地面的高度是0.5m，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象，从图象获取信息是解题的关键．
17．（2022·重庆·重庆八中校考一模）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市某天气温（℃）如何
随时间的变化而变化．下列从图象中得到的信息正确的是（ ）
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A．当日6时的气温最低
B．当日最高气温为26℃
C．从6时至14时，气温随时间的推移而上升
D．从14时至24时，气温随时间的推移而下降
【答案】C
【分析】根据题目中所给函数图象依次判断四个选项即可．
【详解】解：A选项，当日气温最低的时间在6时以前，故A选项不符合题意；
B选项，当日最高气温未达到26℃，故B选项不符合题意；
C选项，从6时至14时，气温随时间的推移而上升，故C选项符合题意；
D选项，从14时至24时，气温随时间的推移先上升然后下降，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查从函数图象中获取信息，正确理解函数图象是解题关键．
18．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）甲乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车从A地匀
速驶向B地，乙车从B地匀速驶向A地．两车之间的距离y（单位：km）与两车行驶的时间x（单位：h）
之间的关系如图所示，已知甲车的速度比乙车快20km/h．下列说法错误的是（ ）
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A．A、B两地相距360km B．甲车的速度为100km/h
18
C．点E的横坐标为 D．当甲车到B地时，甲乙两车相距280km
5
【答案】D
【分析】由函数图像可知：A、B两地相距360km，故A正确；设乙车的速度为xkm/h，则甲车的速度为
(x+20)km/h，根据函数图像可求出乙车的速度为80km/h，则甲车的速度为100km/h，故B正确；
360 18
点E所对的横坐标是甲车到达B地的时间，点E横坐标为 = 故C正确；
100 5
8 8
相遇之后，甲走的路程为：100× =160km，乙走的路程为：80× =128km，当甲车到B地时，甲乙
5 5
两车相距288km．故D错误；
【详解】解：由函数图像可知：A、B两地相距360km，
故A正确；
设乙车的速度为xkm/h，则甲车的速度为(x+20)km/h，
由函数图像可知：经过2小时，甲乙相遇，
∴2(x+20+x)=360，解得：x=80，
∴乙车的速度为80km/h，则甲车的速度为100km/h，
故B正确；
分析可知点E所对的横坐标是甲车到达B地的时间，
360 18
∴点E横坐标为 = ，
100 5
故C正确；
甲乙相遇时，甲走的路程为：100×2=200km，乙走的路程为：80×2=160km，
160 8
相遇之后，甲还需要再走160km才能到达B地，故还需用时 = ，
100 5
8 8
此时甲走的路程为：100× =160km，乙走的路程为：80× =128km，
5 5
∴当甲车到B地时，甲乙两车相距288km．
故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用：行程问题，一元一次方程的实际应用，解题的关键是结合函数图
象获取信息．
19．（2024·福建南平·统考一模）水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离s与时间t的函数关
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系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大
【答案】A
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，二次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：由函数图象可知，当t=6时，滑行的距离最大，
∴小球滑行6秒停止，故A说法正确，B说法错误；
由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，故C、D说法
错误，
故选A．
20．（2023·江西上饶·校联考二模）如图，这是某区域海水盐度随着纬度的变化情况，下列说法中不正确
的是（ ）
A．北纬0°的海水盐度为3.50%
B．从北纬0°到北纬30°，海水盐度不断升高
C．北纬30°的海水盐度最高
D．此区域海水最高盐度与最低盐度之差为2.08%
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【答案】B
【分析】观察图象的变化情况以及最高点和最低点，即可求解．
【详解】解：观察图象，
A、北纬0°的海水盐度为3.50%，说法正确，本选项不符合题意；
B、从北纬0°到北纬30°，海水盐度先下降再升高，原说法错误，本选项符合题意；
C、图象的最高点为30°所对的的海水盐度，说法正确，本选项不符合题意；
D、此区域海水最高盐度为3.58%，最低盐度为1.50%，相差为2.08%，说法正确，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图象的识别能力，观察图象的变化情况以及最高点和最低点，即可求解．
类型二 判断动态问题的函数图象
21．（2023·广东肇庆·统考二模）如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到
点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则
BC的长为（ ）
A．4.4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根
据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化
的关系图象，通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图1，过A点作AE⊥BC于E，连接AC，
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根据图2知：当点P与点B重合时，AP=AB=3，
当P与E重合时，AB+BP=4.8，
∴BP=BE=1.8，
12
∴AE=√AB2−BE2=√32−1.82=
，
5
当点P到达点C时，AP=AC=4，
∴EC＝EC=√AC2−AE2=
√
42−
(12) 2
=
16
，
5 5
16
∴BC=BE+EC=1.8+ =5．
5
故选：C．
22．（2023·江苏南通·统考二模）如图，△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8，点D为AB的中点，点E
是边AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE,DF交边BC于点F．设AE的长为x，△≝¿的面积为
y,s= y−6，则s与x的函数图象大致为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象；二次函数的图象与性质，解直角三角形；先求出AB=10，
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4 3
则AD=BD=5，sin A= ，sinB= ，过点点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，延长ED到
5 5
4x 3a
H，使ED=DH，连接BH，FH，则EM= ，S =2x，设BF=a，则CF=8−a，FN= ，
5 △ADE 5
S
3a ，证△AED和△BHD全等得AE=BH=x，再利用勾股定理得FH2=a2+x2，
△≝¿= ¿
2
FE2=(6−x) 2+(8−a) 2，再证FH=FE，进而求得a ，S
△≝¿¿
根据y=S −(S +S 列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答
△ABC △ADE △≝¿+S )¿
△CEF
案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=10，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=5，
BC 8 4 AC 6 3
又sinA= = = ，sinB= = = ，
AB 10 5 AB 10 5
过点点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，如
图：
EM
在Rt△AEM中，AE=x，sinA= ，
AE
4x
∴ EM=AE⋅sinA= ，
5
1 1 4x
∴ S = AD⋅EM= ×5× =2x，
△ADE 2 2 5
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设BF=a，则CF=BC−BF=8−a，
FN
在Rt△BFN中，AF=a，sinB= ，
BF
3a
∴ FN=BF⋅sinB= ，
5
1 1 3a 3a
∴ S = BD⋅FN= ×5× = ，
△DBF 2 2 5 2
在△AED和△BHD中，
¿，
∴△AED≌△BHD(SAS)，
∴AE=BH=x，
在Rt△BFH中，BF=a，BH=x，
由勾股定理得：FH2=BF2+BH2=a2+x2，
在Rt△CEF中，CE=AC−AE=6−x，CF=8−a，
由勾股定理的：FE2=CE2+CF2=(6−x) 2+(8−a) 2，
∵ED=DH，DF⊥DE，
∴DF为线段EH的垂直平分线，
∴FH=FE，
∴ a2+x2=(6−x) 2+(8−a) 2，
25−3x
∴ a= ，
4
3a 75−9x
∴ S = = ，
△DBF 2 8
75−9x 75+7x
∴ S +S =2x+ = ，
△ADE △DBF 8 8
25−3x 3x+7
∴ CF=8−a=8− = ，
4 4
1 1 3x+7 1
∴ S = CE⋅CF= (6−x)× = (−3x2+11x+42)，
△CEF 2 2 4 8
1 1
而S = AC×BC= ×6×8=24，
△ABC 2 2
∴ y=S −(S +S ，
△ABC △ADE △≝¿+S )¿
△CEF
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75+7x 1
即：y=24− − (−3x2+11x+42)，
8 8
3 9 75
整理得：y= x2− x+ ，
8 4 8
∵s= y−6，
3 8 75 3 9 27 3
∴ s= x2− x+ −6= x2− x+ = (x−3) 2 ，
8 4 8 8 4 8 8
27 27
当x=0时，s= ，当x=6时，s= ，顶点坐标为(3，0)；
8 8
27 27
∴该函数与y轴交于点(0， )，顶点为(3，0)，且过点(6， )．
8 8
故选：A．
23．（2023·河南濮阳·统考二模）如图（1），正方形ABCD的对角线相交于点O，点P为OC的中点，点
M为边BC上的一个动点，连接OM，过点O作OM的垂线交CD于点N，点M从点B出发匀速运动到点
C，设BM=x，PN= y，y随x变化的图象如图（2）所示，图中m的值为（ ）
√2
A． B．1 C．√2 D．2
2
【答案】B
【分析】当点M与点B重合时，可得m=PN=CP；当点M与点C重合时，可得PN=PD=√5 ．在
Rt△POD中，求解CP即可．
【详解】解：当点M与点B重合时，如图：
∵四边形ABCD是正方形
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∴AC⊥BD
此时，点N与点C重合
∴m=PN=CP
当点M与点C重合时，如图：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,OD=OC
此时，点N与点D重合
结合图2可知：PN=PD=√5
设OD=OC=a
∵点P为OC的中点
1
∴OP=CP= a
2
在Rt△POD中，PD2=OP2+OD2,(√5) 2= (1 a ) 2 +a2
2
解得：a =2,a =−2（舍去）
1 2
∴CP=1，即m=1
故选：B
【点睛】本题考查了正方形的性质、函数图象．由动点的特殊位置入手是解题关键．
24．（2022·安徽·模拟预测）如图，在四边形ABDC中，CD∥AB,DB⊥AB，矩形EFGH的边EH与
AB同在直线l上，且点A,E重合，已知EH=4,AB=13,CD=4,EF=BD=6．将矩形EFGH沿直线l向
右平移，当点E,B重合时停止．设点E平移的距离为x，矩形EFGH与四边形ABDC重合部分的面积为y，
则y关于x的函数图象大致为( )
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的图像，熟练掌握函数的图像是解题的关键．根据题意进行分类讨论即可．
【详解】解：过点C作CM⊥AB于点M．当0≤x<4时，如图1,AE=x，即
PE AE
∵ =
CM AM
PE x 2
∴ = ，PE= x；
6 9 3
1 2 1
∴y= x⋅ x= x2 ；
2 3 3
当4≤x<9时，如图2，AH=x−4，
AH HQ
∵ = ，
AM CM
x−4 HQ
∴ = ，
9 6
2
HQ= (x−4)，
3
x PE
∴ = ，
9 6
AE PE 2
∵ = ,即PE= x，
AM CM 3
1[2 2 ] 8 16
∴y= (x−4)+ x ×4= x− ；
2 3 3 3 3
当9≤x≤13时，如图3，
AH HQ
∵ = ，
AM CM
x−4 HQ 2
∴ = ，即HQ= (x−4)，
9 6 3
2 2
∴GQ=6− (x−4)=− (x−13)，CG=4−(x−9)=−x+13，
3 3
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1 [ 2 ] 1
∴y=4×6− (−x+13)⋅ − (x−13) =− (x−13) 2+24．
2 3 3
综上所述，D项正确．
故选：D．
类型三 用描点法画函数图象
25．（2022·湖北荆州·统考三模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分
12
析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数y=−
的图象与性质．
x2+2
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
2 12 12 2
y … − − −2 −4 a −4 −2 − − …
3 11 11 3
a=
(1)列表，写出表中a的值： ______．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
(2)观察函数图象，回答下列问题：
①函数有最______值，是______；
②当自变量x的取值范围是______时，函数y的值随自变量x的增大而增大．
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2 10 12 2 10
(3)已知函数y=− x− 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式− ≤− x− 的解集
3 3 x2+2 3 3
是______．
【答案】(1)−6，补全函数图象见解析
(2)①小，−6；②x>0
(3)x<−4或−20时，y随x的增大而增大；
故答案为：x>0；
12 2 10 12 2 10
（3）不等式− <− x− 表现在图象上面即函数y=− 的图象比函数y=− x− 的图象低，
x2+2 3 3 x2+2 3 3
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12 2 10
因此观察图象，即可得到− <− x− 的解集为：x<−4或−2y 时，x的取值范围；
1 2
(3)在平面内存在一点P，且∠APB=90°，请直接写出OP的最小值．
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2
【答案】(1)y = ，y =x+1
2 x 1
(2)−21
(3)√2
【分析】（1）可先把A代入反比例函数解析式，求得m的值，进而求得n的值，把A，B两点分别代入一
次函数解析式即可；
（2）根据函数图象即可得到结论；
（3）根据圆周角定理确定点P的运动轨迹，设AB的中点为Q，当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同
√2
侧时OP有最小值，由勾股定理求出AB和PQ的长，由AB的中点为Q，求得OQ= ，即可求出OP的长．
2
k
【详解】（1）解：A(1，2)在反比例函数y = 的图象上，
2 x
∴k=1×2=2，
2
∴反比例函数的解析式为为y = ，
2 x
2
∵B(−2，m)在反比例函数y = 的图象上，
2 x
2
∴m= =−1，
−2
∴B(−2，−1)，
把A(1，2)，B(−2，−1)代入y =ax+b得¿，
1
解得¿，
∴一次函数解析式为y =x+1；
1
（2）由函数图象可知：y >y 时，−21；
1 2
（3）∵∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
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设AB的中点为Q，
当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值，
∵A(1，2)，B(−2，−1)，
∴AB=√(1+2) 2+(2+1) 2=3√2，
1 3√2
∴PQ= AB= ，
2 2
∵AB的中点为Q，
( 1 1)
∴Q − , ，
2 2
√2
∴OQ= ，
2
∴OP=PQ−OQ=√2，
故OP的最小值为√2．
【点睛】本题是反比例函数的综合题以及圆周角定理，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数
法求一次函数解析式、函数图象，勾股定理和圆周角定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待
定系数法求出一次函数解析式；（2）由两函数图象的上下位置关系，找出结论，（3）根据直径所对的圆
周角是直角确定点P的运动轨迹．
c
29．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，已知反比例函数y = (c≠0)和一次函数y =kx+b(k≠0)的图
1 x 2
象相交于点A(−2,3)，B(3,a)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)将一次函数y 向下平移5个单位长度后得到直线y ，当y >y >y 时，求x的取值范围．
2 3 2 1 3
6
【答案】(1)y =− ，y =−x+1
1 x 2
(2)−2−√10y >y 时，x的取值范围是：−2−√10−3 B．a>−7 C．a<−7 D．a<−3
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是出x=2时一次函数y=2x+1的值．
求出x=2时一次函数y=2x+1的值，可得2−a>5，解不等式即可求解．
【详解】解：x=2时一次函数y=2x+1=5，
∵点P(2，2−a)在一次函数y=2x+1图象的上方，
∴2−a>5，解得a<−3，
故选：D．
33．（2023·广东河源·统考二模）从−2，4，5这3个数中，任取两个数作为k，b，则直线y=kx+b在第
一、三、四象限的概率为 ．
1
【答案】
3
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果，然后根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中直线y=kx+b在第一、三、四象限（k>0，b<0）的结果有2种，
2 1
∴直线y=kx+b在第一、三、四象限的概率为 = ，
6 3
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1
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率和点的坐标特征，通过列表法或树状图法列举出所有可能的
结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率是解题的关键．
34．（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥−2
【分析】分类讨论：①当k=0，函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点；②当k≠0，函数
y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，即方程kx2−8x−8=0有实数根，由此即可求解．
【详解】分类两种情况讨论：
①当k=0，函数y=kx2−8x−8=−8x−8，该函数的图象和x轴必有有交点；
②当k≠0，函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，
即方程kx2−8x−8=0有实数根，
则Δ=(−8) 2−4k×(−8)≥0
∴k≥−2
∴k≥−2且k≠0
综上所述，k的取值范围是k≥−2．
故答案为：k≥−2
【点睛】本题考查了函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，运用分类讨论是解题的关键．
35．（2023·江苏扬州·校考模拟预测）一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）中的x与y的部分对应值
如下表：
A B
x ﹣1 3
y n ﹣3
下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．
①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0n＜0；③当S =9时，n=−5或n=9；④
△AOB
3n+6
当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC= ．
4
【答案】①
【分析】将点A、B代入y=kx+b，求出¿；①中，由n>0可得k<0，所以正确；②中，由k>0可得n<−3，
所以不正确；③中，分两种情况n>0和n<0分别求ΔABO的面积，则有当n>0时，
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1 −3+3n 1 3 3
S = × ×(n+3)=9，当n<0时，S = ×( − n)×4=9，分别求出n的值为−5或7，
ΔAOB 2 3+n ΔAOB 2 4 4
3 3 3 3
所以不正确；④与y轴的交点为y=b=− + n，所以OC=|− + n|，所以不正确．
4 4 4 4
【详解】解：由表可知，一次函数y=kx+b经过点A(−1,n)，B(3,−3)，
将点A、B代入y=kx+b，
得¿，
解¿，
3 1
①当n>0时，− − n<0，
4 4
∴k<0，
∴①正确；
②当y的值随x值的增大而增大时，k>0，
3 1
∴− − n>0，
4 4
∴n<−3，
∴②不正确；
b −3+3n 3 3
③y=kx+b与x轴的交点为x=− = ，与y轴的交点为y=b=− + n，
k 3+n 4 4
1 −3+3n
当n>0时，S = × ×(n+3)=9，
ΔAOB 2 3+n
解得n=7；
1 3 3
当n<0时，S = ×( − n)×4=9，
ΔAOB 2 4 4
∴n=−5；
综上所述，当S =9时，n=−5或n=7；
ΔAOB
故③不正确；
④∵k<0，
3 1
∴− − n<0，
4 4
∴n>−3，
3 3
∵与y轴的交点为y=b=− + n，
4 4
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3 3
∴− + n>−3，
4 4
3 3
∴OC=|− + n|，
4 4
故④不正确；
故答案为：①．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的性质，会求函数图象上两点与原点围成三
角形面积是解题的关键．
题型 07 反比例函数的图象与性质
5 3
36．（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y= (x>0)和函数y=− (x<0)在同一平面直角坐标系的图象如
x x
图所示，则坐标系的纵轴是（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
【答案】B
【分析】根据反比例函数k的取值分析即可得到答案．
【详解】解：∵5>0，−3<0，
5 3
∴ y= (x>0)的图象在第一象限，y=− (x<0)的图象在第二象限，
x x
∵5>|−3|，
3
∴函数y=− (x<0)的图象更靠近坐标轴，
x
∴坐标系的纵轴是：y ，
2
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
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37．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（ ）
1 1 1 1
A．y= B．|y|= C．y=− D．|y|=−
|x| x |x| x
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．
【详解】解：根据反比例函数的图象可得：
1 1
第一象限所对应的关系式为：y= ，第四象限所对应的关系式为：y=− ，
x x
1
∴ y与x的关系式为：|y|= ．
x
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．
k
38．（2023·河南南阳·统考二模）已知双曲线y= 经过点(1,−2)，则下面说法错误的是（ ）
x
2
A．该双曲线的解析式为y=− B．点(−1,2)在该双曲线上
x
C．该双曲线在第二、四象限 D．当x<0时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可．
k 2
【详解】解：双曲线y= 经过点(1,−2)，可得−2=k，即y=− ，A选项正确，不符合题意；
x x
将x=−1代入得，y=2，B选项正确，不符合题意；
∵k=−2<0
∴该双曲线在第二、四象限，C选项正确，不符合题意；
当当x<0时，y随x增大而增大，D选项错误，符合题意；
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故选：D
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．
k
39．（2022·河南·校联考三模）已知当x<0时，反比例函数y= (x≠0)的函数值随自变量的增大而减小，
x
则关于x的一元二次方程x2−2x+1−k=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．与k的取值有关
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，准确理解反比例函数的性质，灵
活运用根的判别式是解题的关键．先判定k>0，再证明Δ>0，判断选择即可．
k
【详解】解：∵当x<0时，反比例函数y= (x≠0)的函数值随自变量的增大而减小，
x
∴ k>0，
∵ x2−2x+1−k=0的判别式为：Δ=(−2) 2−4(1−k)=4k>0，
∴方程x2−2x+1−k=0有两个不相等的实数根，故A正确．
故选：A．
题型 08 反比例系数 k 的几何意义
40．（2023·山东临沂·统考二模）如图，▱OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4,3)在对角线OB上，
k 28
反比例函数y= (k>0,x>0)的图象经过C、D两点．已知▱OABC的面积是 ，则点B的坐标为（ ）
x 3
( 15) ( 9) (26 21) (16 )
A． 5, B． 6, C． , D． ,4
4 2 5 5 3
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数解析式、平
行四边形的性质、熟练掌握待定系数法求函数的解析式和平行四边形的性质是解题的关键．过D作
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3
DE⊥x轴于E，延长BC交y轴于F，首先由D(4,3)可得k=12，直线OD的解析式为y= x，进而可设
4
4 4 28
B(4x,3x)，则点C( ,3x)，由此得BC=4x− ，最后通过 ▱OABC的面积是 可求出x，即可求出
x x 3
点B坐标．
【详解】解：过D作DE⊥x轴于E，延长BC交y轴于F，
k
∵反比例函数y= (k>0,x>0)经过C、D两点，D(4,3)，
x
∴k=4×3=12，
12
∴y= ，
x
设直线OD的解析式为：y=ax，
3
将点D(4,3)代入y=ax，得：a= ，
4
3
∴直线OD的解析式为y= x，
4
4
∴可设点B(4x,3x)，则点C( ,3x)，
x
4
∴ BC=4x− ，
x
28
∵▱OABC的面积是 ，
3
4 28
∴ (4x− )⋅3x= ，
x 3
4 4
解得x = ，x =− （不合题意，舍去），
1 3 2 3
16
∴点B的坐标为( ,4)．
3
故选：D．
41．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶
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k
点B，D是反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上两点．若点D的坐标是(a,b)，则a−b的值为（ ）
x
A．3 B．−3 C．2 D．−2
【答案】D
【分析】由几何意义得S =S ，进而得S =S ，证明出AF=AM，再由正方
矩形DEOM 矩形BFON 矩形ADEF 矩形ABNM
形ABCD的面积为4，求出a−b即可．
【详解】解：如图，延长CD、BA交y轴于点E、F，延长DA、CB交x轴于点M、N，
由k的几何意义得，S =S ，
矩形DEOM 矩形BFON
∴S =S ，
矩形ADEF 矩形ABNM
∵AB=AD，
∴AF=AM，
∵点D的坐标是(a,b)，
∴OM=a=AF=AM，DM=b=BF，
∴DA=BA=b−a，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴(b−a) 2=4， 而a0)与函数y= 的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于B，
x
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则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．k D．k2
【答案】A
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积
1
S是个定值，S =2S = |k|.
△ABC △AOB 2
【详解】解：如图：
设点A的坐标为(x,y)，则xy=1，
1 1
故△ABO的面积为 xy= ，
2 2
∵△ABO与△CBO同底等高，
∴S =2S =1，
△ABC △ABO
故选：A．
k
【点睛】主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩
x
形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何
意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即
1
S= |k|．
2
43．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，P (−1,4)、P (−2,2)、P (−4,1)是双曲线上的三点，过这
1 2 3
三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形△P A O、△P A O、△P A O、设它们的面积分别是S 、S 、
1 1 2 2 3 3 1 2
S ，则S 、S 、S 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
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A．S =S =S B．S =S S >S D．无法确定
1 2 3 1 3 2 2 3 1
【答案】A
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案．
【详解】∵P ,P ,P 是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P A O、P A O、
1 2 3 1 1 2 2
P A O，
3 3
|k|
∴S =S =S = ，
1 2 3 2
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解题的
关键．
a
44．（2024·河南平顶山·统考一模）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y= (a＞0)的图像于
x
A，B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连接CD，若S =5，则a的值为 .
△BCD
【答案】10
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，连接OB，利用平行线间的距离处处相等，得
|a|
S =S =5，结合S =5= ，计算即可．
△BCD △BOD △BOD 2
【详解】连接OB，
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∵BD⊥y轴，
∴BD∥OC，
根据平行线间的距离处处相等，
∴S =S =5，
△BCD △BOD
|a|
∴S =5= ，
△BOD 2
解得|a|=10，
由反比例函数图像可知a>0，
故a=10．
故答案为：10．
12
45．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，A，B是函数y= 上两点，P为一动点，作PA∥x轴，
x
PB∥y轴，若S =4，则S = ．
△BOP △PAB
【答案】8
【分析】延长AP交y轴于E，延长BP交x轴于D，作AF⊥x轴于F，连接AD，根据反比例函数系数k的
几何意义求出S =2，S =4，S =12，S =8，得出BP与DP的比，再根据BP与
△DOP 矩形PDOE 矩形AEOF 矩形APDF
DP的比求出三角形ABP的面积．
【详解】解：延长AP交y轴于E，延长BP交x轴于D，作AF⊥x轴于F，连接AD，
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∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴BD⊥x轴，AE⊥y轴，
∵k=12，
|k|
∴S = =6，
△BOD 2
∵S =4，
△BOP
∴S =2，
△DOP
∴BP ：DP=2：1，
∴S =2×2=4，
矩形PDOE
∵S =|k|=12，
矩形AEOF
∴S =12−4=8，
矩形APDF
1
∴S = ×8=4，
△APD 2
∵BP ：DP=2：1，
∴S =2S =2×4=8．
△ABP △APD
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质、三角形的面积比的性质，正确作出辅助
线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．
题型 09 二次函数的图象与性质
1
46．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数y=− x2+2x+1的性质，下列叙述正确的
2
是（ ）
A．当x>0时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线y=x+2有两个交点
1
C．当x=2时，y有最小值3 D．与抛物线y=− x2 形状相同
2
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【答案】D
1
【分析】将该抛物线表达式化为顶点式，记录判断A、C；联立y=x+2和y=− x2+2x+1，得到方程
2
1
0=− x2+x−1，各级一元二次函数根的判别式，即可判断B；根据二次函数平移的性质，即可判断D．
2
1 1
【详解】解：∵y=− x2+2x+1=− (x−2) 2+3，
2 2
∴该二次函数的对称轴为直线x=2，
1
∵a=− <0，函数开口向下，
2
∴当x>2时，y随x增大而减小，故A错误，不符合题意；
1
B、当y=x+2时，x+2=− x2+2x+1，
2
1
整理得：0=− x2+x−1
2
∴Δ=b2−4ac=12−4× ( − 1) ×(−1)=−1<0，
2
1
∴方程x+2=− x2+2x+1无实数根，则抛物线与直线y=x+2没有交点，故B错误，不符合题意；
2
1 1
C、∵y=− (x−2) 2+3，a=− <0，函数开口向下，
2 2
∴当x=2时，y有最大值3，故C错误，不符合题意；
1 1
D、∵y=− (x−2) 2+3可由y=− x2 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到，
2 2
1 1
∴y=− x2+2x+1与抛物线y=− x2 形状相同，故D正确，符合题意；
2 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握y=(x−h) 2+k的对称轴为x=h，顶点坐
标为(h,k)；a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大
而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减
小．
47．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1，3)，下列
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说法错误的是（ ）
A．abc>0 B．4ac−b2<0
C．抛物线向下平移c个单位后，一定不经过(−2，0) D．a=−1
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，图像上点的坐标特征，平移的规律结合图像，逐一判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵顶点坐标为(−1，3)，即对称轴为x=−1，
b
∴x=− =−1,即b=2a<0，
2a
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc>0，故A正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故B正确；
∵抛物线与y轴的交点为(0，2)，
∴c=2，抛物线向下平移2个单位后，经过原点(0,0)，
∵对称轴为直线x=−1，
∴此时，一定经过点(−2,0)，故C错误；
∵设抛物线为y=a(x+1) 2+3，点(0,2)代入得，a(0+1) 2+3=2，解得a=−1，故D正确；
故选：C．
【点睛】主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像与几何变换，待定系
数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，数形结合是解题的关键．
48．（2024·四川凉山·统考模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的坐标如下表，下列说法错误
的是（ ）
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－
x … －2 －1 0 1 …
3
－ －
y … －2 －3 －11 …
3 6
A．对称轴是直线x=−2 B．抛物线开口向下
C．当x>−2时，y随x的增大而减小 D．当x=−4时，y=−11
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．通过描
点连线，即知抛物线开口向下，通过找对称点(−3，−3)，(−1，−3)，即知对称轴及其增减性，由轴
对称性，即知对称点的纵坐标相等，由此即可判断结果．
−3−1
【详解】选项A，由表格中的点(−3，−3)，(−1，−3)，知抛物线的对称轴是直线x= =−2，
2
正确，但不符合题意；
选项B，由表格中的点在坐标系中描点，即知抛物线开口向下，正确，但不符合题意；
选项C，因为抛物线开口向下，所以当x>−2时，y随x的增大而减小，正确，但不符合题意；
选项D，由对称性知，x=−4与x=0的函数值相同，即x=−4时，y=−6，所以错误，符合题意；
故选：D．
49．（2023·广东肇庆·统考三模）在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线
y=x2−2mx−2x+m2+3m+2的顶点一定在下列哪条直线上（ ）
A．y=x B．y=−x C．y=x+1 D．y=x−1
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质．将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】解：∵y=x2−2mx−2x+m2+3m+2
=x2−2(m+1)x+m2+3m+2
=(x−m−1) 2+m+1，
∴抛物线顶点坐标为(m+1，m+1)，
∴抛物线顶点在直线y=x上，
故选：A．
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题型 10 二次函数图象与各项系数的关系
50．（2024·四川广元·统考一模）如图，二次函数．y=ax²+bx+c=0(a≠0)的图象经过点(1,2)，且与x轴
交点的横坐标分别为x ,x ，其中−10；②2a+b<0；③4a+2b+c<0；④4ac+b2>8a；⑤a≤−1；其中，结论正确的个数有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y
轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y
轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c>0，
b
∵0<− <1，
2a
又∵a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故①错误；
b
∵− <1，
2a
∴b<−2a，
∴2a+b<0，故②正确；
∵x=2,y<0，
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∴4a+2b+c<0，故③正确；
若4ac+b2>8a，即b2>4a(2−c)，
∵10，相矛盾，故④错误；
当x=1时，a+b+c=2①．
∵a−b+c<0②，4a+2b+c<0③，
由①+②得到2a+2c<2，
由③−①×2得到2a−c<−4，即4a−2c<−8，
上面两个相加得到6a<−6，
∴a<−1，故⑤错误；
故选：A．
51．（2023·四川成都·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）与x轴的一个交
点为A(x ，0)，−20；②8a+c<0；③
1 1
5a+b+2c>0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，顶点坐标，对称轴，增减性与系
数符号的关系是解题的关键．
根据对称轴可得b=−2a>0，可判定结论①；根据x=−2时，y<0可判定结论②；根据x=−1时，y>0，
及对称轴等知识可判定结论③；由此即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）与x轴的一个交点为A(x ，0)，
1
−20，
b
∵对称轴直线x=− =1，
2a
∴b=−2a>0，
∴bc>0，故①正确；
∵当x=−2时，y=4a−2b+c<0，b=−2a，
∴4a+4a+c<0，即8a+c<0，故②正确；
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∵b=−2a，
∴5a+b+2c=5a−2a+2c=3a+2c=a+2a+c+c=a−b+c+c，
∵当x=−1时，y=a−b+c>0，c>0，
∴a−b+c+c>0，故③正确；
故选：D．
1
52．（2023·辽宁阜新·校联考一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是x= ，下面四条信息
3
的判断：①c<0，②abc<0，③a−b+c>0，④2a+3b=0．你认为其中正确的是（ ）．
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据抛物线与y轴的交点位置得c<0，可对①进行判断，由抛物线开口方向得a>0，利用抛物线
b 1 2a
的对称轴方程得到− = ，则b=− <0则可对②进行判断，由于x=−1时，y>0，则可对③进行判
2a 3 3
2a
断，通过变形b=− 可对④进行判断．
3
【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，所以①正确，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b 1
∵抛物线的对称轴为直线x=− = ，
2a 3
2a
∴b=− <0，
3
∴abc>0，所以②错误，
∵x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，所以③正确，
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2a
∵b=− ，
3
∴2a+3b=0，所以④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0时，抛物线向
上开口，当a<0时，抛物线向下开口，一次项系数b和二次项系数a共同决定，对称轴的位置：当a与b同
号时即(ab>0)对称轴在y轴左，当a与b异号时即（ab<0)，对称轴在y轴右，常数项c决定抛物线与y轴
交点(0,c)．
53．（2023·四川南充·统考三模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(1,2)且与x轴交
点的横坐标分别为x ，x 其中−18a⑤a≤−1 其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛
物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线x=1之间，
b
∵0<− <1，
2a
又∵a<0，
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∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
b
∵− <1，
2a
∴b<−2a，
∴2a+b<0，故②正确；
∵当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故③正确；
∵抛物线顶点纵坐标大于2，
4ac−b2
∵ >2，
4a
∴4ac−b2<8a，故④错误；
当x=1时，a+b+c=2，
∴−b=a+c−2,
∵当x=−1时，y<0，当x=2时，y<0,
∴a−b+c<0，4a+2b+c<0，
∴a+a+c−2+c<0，4a+2(2−a−c)+c<0,
∴a+c<1，2a−c<−4，
∴3a<−3，
∴a<−1，故⑤错误；
综上，①②③正确，共3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物
线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和
大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
54．（2023·陕西西安·校考三模）如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴，则
下列结论：①abc>0；②b+2a=0；③3a+c>0；④4a+2b+c>0，正确的是（ ）
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A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可
判断结论①；由对称轴x=1及对称轴公式可判断结论②；抛物线的对称轴直线x=1，由x=−1时，y<0，
即可判断结论③；由x=2时，y>0，即可判断结论④．
【详解】解：①∵开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，
b
∴− >0，
2a
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故结论错误；
②∵对称轴为直线x=1，
b
∴− =1．
2a
∴2a+b=0．
故结论正确；
③∵2a+b=0，
∴b=−2a，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴a−(−2a)+c=3a+c<0，故结论不正确；
④当x=2时，4a+2b+c>0，故结论正确；
综上所述，正确的结论是②④．
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故选：B．
55．（2023·山东青岛·统考三模）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−1，其图象如图所示．
下列结论：
①abc<0；
②c=−3a；
③(4a+c) 2<(2b) 2；
④若(x ，y )和(x ，y )是抛物线上的两点，则当|x +1|>|x +1|时，y 0，可得(4a−2b+c)(4a+2b+c)<0，即可得出结论；④由抛物线
开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大；⑤由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断．
【详解】解：①∵抛物线图象开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确．
②∵对称轴是直线x=−1，
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b
∴− =−1，
2a
∴b=2a，
∵x=−3时，y=0，
∴9a−3b+c=0，
∴9a−6a+c=0，
∴c=−3a，故②正确．
③∵抛物线图象开口向上，对称轴是直线x=−1，图象过点(−3,0)，
∴图象过点(1,0)，
∴当x=−2时，y<0，当x=2时，y>0，
∴4a−2b+c<0，4a+2b+c>0
∴(4a−2b+c)(4a+2b+c)<0，
∴(4a+c) 2−(2b) 2<0，
∴(4a+c) 2<(2b) 2，
故③正确．
④|x +1|=|x −(−1)|，|x +1|=|x −(−1)|，
1 1 2 2
∵|x +1|>|x +1|，
1 2
∴点(x ，y )到对称轴的距离大于点(x ，y )到对称轴的距离，
1 1 2 2
∴y >y ，
1 2
故④错误．
b a
⑤由cx2+bx+a=0可得方程的解x +x =− ，x x = ，
1 2 c 1 2 c
∵的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−3,0)，(1,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为−3，1，
b c
∴− =−2， =−3，
a a
∵b=2a，
b 2a 2 a 1
∴− =− = ， =− ，
c c 3 c 3
1
而若方程cx2+bx+a=0的两个根为x =−1，x = ，
1 2 3
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b 1 2 a 1
则− =−1+ =− ， =− ，故⑤错误．
c 3 3 c 3
所以正确的有：①②③．
故答案为：①②③．
题型 11 与二次函数有关的最值问题
56．（2023·安徽·校联考二模）安安同学在正三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH（两个正方形不
重叠），使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上．下列说法正确的是（ ）
9
A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3
2
C．两个正方形面积和的最小值为49+27√3 D．两个正方形面积和的最大值为99−54√3
【答案】D
【分析】连接NE、EP、PN，设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为a、b(a≥b)，求得面积
9 1
和的表达式为：S= + (a−b) 2 ，再结合（2）的结论，即可求出这两个正方形面积和的最大值和最小值
2 2
了．
【详解】解：如图，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为a、b(a≥b)，它们的面积和为S，则NE=√2a，
PE=√2b，
∴PN2=N E2+PE2=2a2+2b2=2(a2+b2)，
1
∴S=a2+b2= PN2
．
2
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND，
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在Rt△PGN中，由勾股定理，PN2=PG2+GN2=(a+b) 2+(a−b) 2．
√3 √3
∵AD+DE+EF+BF=AB，即 a+a+b+ b=√3+3，
3 3
∴√3a+3a+3b+√3b=3√3+9，
∴(3+√3)a+(3+√3)b=3(3+√3)，
∴a+b=3，故选项A、B不正确；
1 9 1
∴S= [32+(a−b) 2]= + (a−b) 2 ．
2 2 2
①当(a−b) 2=0时，即a=b时，S最小．
1 9
∴S = ×32= ；故选项C不正确；
最小 2 2
②当(a−b) 2最大时，S最大．
即当a最大且b最小时，S最大．
∵a+b=3，
由（2）知，a =3√3−3，b =3−a =6−3√3．
最大 最小 最大
1
∴S = ¿
最大 2
1
= ×[9+(3√3−3−6+3√3) 2]
2
1
= ×[9+(6√3−9) 2]
2
=99−54√3．故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，二次函数的性质等知识，
解题关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
57．（2023·四川广安·统考一模）已知二次函数y=x2−2tx+3的图象上两点A(m,h)，B(n,h)，且满足
1
−8≤m+n≤−6．当−4≤x≤−2时，该函数的最大值为2t+ ，则t的值为 ．
2
13
【答案】−
4
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【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据二次函数的对称性以及对称轴
−2t m+n m+n
方程得到− = ，即t= ，由−8≤m+n≤−6得到−4≤t≤−3，根据题意x=−2时，函数有
2×1 2 2
1
最大值4+4t+3，则4+4t+3=2t+ ，解方程即可．
2
【详解】解：∵二次函数y=x2−2tx+3的图象上两点A(m,h)，B(n,h)，
−2t m+n
∴− = ，
2×1 2
m+n
∴t= ，
2
∵−8≤m+n≤−6，
∴−4≤t≤−3，
1
∵当−4≤x≤−2时，该函数的最大值为2t+ ，
2
1
∴x=−2时，函数有最大值4+4t+3=2t+ ，
2
13
解得t=− ．
4
13
故答案为：− ．
4
3
58．（2024·四川凉山·统考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2+ m−1=0有两个实数根．
2
(1)求m的取值范围；
(2)设x ，x 是方程的两个实数根，当m为何值时，x2+x2有最小值？并求这个最小值．
1 2 1 2
2
【答案】(1)m≤
3
2 8
(2)当m= 时，x2+x2有最小值，最小值是
3 1 2 9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，求二次函数最值问题；
（1）由方程有两个实数根得Δ=b2−4ac，代入解不等式，即可求解；
3
（2）由根于系数的关系得x +x =2m，x ⋅x =m2+ m−1，代入x2+x2，利用二次函数性质求解即可；
1 2 1 2 2 1 2
掌握根的判别式“Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，
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方程有无的实数根．”及根与系数的关系： ¿是解题的关键．
3
【详解】（1）解：∵一元二次方程x2−2mx+m2+ m−1=0有两个实数根，
2
∴Δ=b2−4ac
=(−2m) 2−4× ( m2+ 3 m−1 )
2
=−6m+4≥0，
∴ −6m+4≥0，
2
∴m≤ ，
3
2
∴实数m的取值范围为m≤ ；
3
（2）解：∵x +x =2m，
1 2
3
x ⋅x =m2+ m−1，
1 2 2
∴x2+x2
1 2
=(x +x ) 2−2x x
1 2 1 2
=(2m) 2−2× ( m2+ 3 m−1 )
2
=2m2−3m+2=2 ( m− 3) 2 + 7
4 8
2 2 3
∵ m≤ ， < ，
3 3 4
2
∴当m= 时，
3
x2+x2
1 2
(2 3) 2 7
=2 − +
3 4 8
8
= ，
9
2 8
∴当m= 时，x2+x2 有最小值，最小值是 ．
3 1 2 9
59．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线y=x2−2x+c与x轴正半轴交于点A，与y轴负半轴交于点
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B，且OA=OB，与直线y=kx+1(k≠0)交于C,D两点．
(1)求点B的坐标；
(2)当k=1时，求△BCD的面积；
(3)k取何值时△BCD的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)点B的坐标为(0,−3)
(2)10
(3)k=−2时，△BCD的面积最小，最小面积是8
【分析】（1）由题意得点B的坐标为(0,c)，根据OA=OB，得出点A的坐标为(−c,0)，把点A的坐标代
入抛物线的解析式即可得出答案；
（2）当k=1时，直线CD的函数表达式为y=x+1，设直线CD与y轴交于点E，求出点E的坐标为(0,1)，
得出BE=4，令x2−2x−3=x+1，解得x =−1,x =4，根据三角形面积公式求出结果即可；
1 2
k+2±√(k+2) 2+16
（3）令x2−2x−3=kx+1，解得x= ，得出|x −x |=√(k+2) 2+16，表示出S
2 C D △BCD
1
与k之间的函数关系式为：S = ×4⋅√(k+2) 2+16=2√(k+2) 2+16，最后求出结果即可．
△BCD 2
【详解】（1）解：由题意得点B的坐标为(0,c)，
∵OA=OB，
∴点A的坐标为(−c,0)，
∴c2+2c+c=0，
解得c=−3或c=0（舍去），
∴点B的坐标为(0,−3)．
（2）解：抛物线的函数表达式为y=x2−2x−3，
当k=1时，直线CD的函数表达式为y=x+1，
设直线CD与y轴交于点E，把x=0代入y=x+1得：y=1，
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∴点E的坐标为(0,1)，
∴BE=1−(−3)=4，
由x2−2x−3=x+1，得x =−1,x =4，
1 2
1 1
∴S = ×4×[4−(−1)]= ×4×5=10．
△BCD 2 2
（3）解：同（2）可得BE=4，当x2−2x−3=kx+1时，
即x2−(k+2)x−4=0，
k+2±√(k+2) 2+16
解得x= ，
2
∴|x −x |=√(k+2) 2+16，
C D
1
∴S 与k之间的函数关系式为：S = ×4⋅√(k+2) 2+16=2√(k+2) 2+16．
△BCD △BCD 2
当k=−2时，S 有最小值为8．
△BCD
故k=−2时，△BCD的面积最小，最小面积是8．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的面积问题，三角形面积的
计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
题型 12 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断
60．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则一次函数
4a+2b+c
y=ax+b2−4ac与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
x
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，确定二次函数y=ax2+bx+c中系数的符号，由此即可求解．
b
【详解】解：根据题意得，二次函数y=ax2+bx+c中，a<0,c>0，对称轴−20，
∴4a0，
从图像可知x=2时，二次函数y=4a+2b+c<0，
4a+2b+c
∴一次函数y=ax+b2−4ac的图像经过第一、二、四象限，反比例函数y= 的图像经过第二、
x
四象限，
∴A选项，一次函数图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
B选项，一次函数图像经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
C选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
D选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数，反比例函数图像的综合，掌握二次函数图像、一次函数图像、
反比例函数图像与系数的关系是解题的关键．
k
61．（2023·山东滨州·统考一模）若函数y= 与y=ax2+bx−c的图象如图所示，则函数y=kx+c的大致
x
图象为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
k
【分析】观察函数y= 与y=ax2+bx−c的图象，双曲线所在的象限可以得出k<0，抛物线与y轴交于正
x
半轴可得−c>0，再利用一次函数的图象及性质判定即可．
【详解】解：观察图象可得：双曲线分布在第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，
∴k<0，−c>0，
即k<0，c<0，
∴一次函数y=kx+c的图象满足从左到右下降，与y轴交于负半轴，符合条件的是选项B．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的识别，反比例函数和二次函数的图象及性质，掌握观察图象的方法：
看图象的趋势，看图象经过的象限，看图象与坐标轴的交点位置等，熟知一次函数、反比例函数和二次函
数的图象及性质是解题的关键．
k
62．（2022·湖北恩施·统考二模）在同一直角坐标系中，函数y＝kx-k与y= （k≠0）的大致图象是（ ）
|x|
A． B．
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C． D．
【答案】B
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特
点进行选择正确答案．
【详解】解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
k
函数y= （k≠0）的图象在一、二象限，
|x|
观察各选项，没有选项符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
k
函数y= （k≠0）的图象经过三、四象限，
|x|
只有选项B的图象符合要求．
故选：B．
【点睛】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
k
63．（2022·江西赣州·统考一模）已知在同一直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝ 的图象
x
a
如图所示，则一次函数y＝ x﹣kb的图象可能是（ ）
k
62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【答案】A
k
【分析】根据反比例函数y= 的函数图象在二、四象限，得到k<0，根二次函数y=ax2+bx开口向下，
x
b
对称轴在y轴右侧，得到a<0，− >0，则b>0，由此即可得到答案．
2a
k
【详解】解：∵反比例函数y= 的函数图象在二、四象限，
x
∴k<0，
∵二次函数y=ax2+bx开口向下，对称轴在y轴右侧，
b
∴a<0，− >0，
2a
∴b>0，
a
∴ >0，−kb>0
k
a
∴一次函数y= x−kb经过一、二、三象限，
k
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合，正确理解函数图象与系
数之间的关系式解题的关键．
1 k2−1
64．（2021·山东德州·统考二模）若式子 有意义，则函数y＝kx+1和y＝ 的图象可能是（ ）
√−k x
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先可求得k的取值范围，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答案．
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1
【详解】解：∵式子 有意义，
√−k
∴k<0，
当k<0时，一次函数y＝kx+1的图象经过第一、二、四象限，
k2−1
当-10，反比例函数y＝ 的图象在第一、三象限，
x
四个选项中只有B符合，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式成立的条件，二次根式成立的条件，一次函数的图象，反比例函数，对k的讨论
是解决本题的关键．
65．（2024·山西朔州·校联考一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图
象如图所示，则二次函数y=ax2+bx−c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质．由已知二次函数的图象可知a的正负，
由一次函数的图象可知b、c的正负，进而可得出答案．
【详解】∵二次函数y=ax2的开口向上
∴a>0
∵一次函数y=bx+c图象中y随x的增大而减小，与y轴的交点在y轴的正半轴
∴b<0，c>0
b
∴二次函数y=ax2+bx−c的图象开口向上，对称轴x=− >0在y轴右侧，与y轴的交点(0,−c)中
2a
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−c<0在y轴的负半轴
∴C符合题意．
故选：C．
1
66．（2022·四川绵阳·统考三模）抛物线y＝ （x-h）2＋k与y =a(x+3) 2−1交于点A，分别交y轴于点
1 2 2
P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是：
1 5
①a= ；②点（√2，m）、（√33，n）及（ ，p）都在y 上，则p＜n＜m；③y≥y，则x≤1；④PQ＝
2 2 1 1 2
13
．
4
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
【答案】A
1
【分析】根据题意得：抛物线y＝ （x-h）2＋k与y =a(x+3) 2−1的对称轴分别为直线x=h和x=−3，
1 2 2
设直线x=h和x=−3分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得
1 5 1 5
得到y = (x−2) 2+ ，进而得到点A（1，3），继而得到a= ，故①错误；根据点（ ，P）关于对称轴
1 2 2 4 2
x=2的对称点为 (3 ,p ) ，且√2<√33< 3 <2，可得P＜n＜m，故②正确；根据y≥y，可得x≤1或x≥13，故
2 2 1 2
( 9) ( 5) 9 5 13
③错误；分别求出点P 0, ,Q 0, ，可得PQ= − = ，故④正确；即可求解．
2 4 2 4 4
1
【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y＝ （x-h）2＋k与y =a(x+3) 2−1的对称轴分别为直线x=h和
1 2 2
x=−3，
如图，设直线x=h和x=−3分别交BC于点M、N，则MN=h+3，
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∴AM=BM，AN=CN，
1
∴MN=AN+AM= BC，
2
∵BC=10，
∴MN=5，
∴h+3=5，
∴h=2，
∵点B（3，3），
1 5
∴3＝ （3-2）2＋k，解得： k= ，
2 2
1 5
∴y = (x−2) 2+ ，
1 2 2
∵BC∥x轴，
∴点A、C的纵坐标为3，
1 5
令y =3，则 (x−2) 2+ =3，
1 2 2
解得：x =1,x =3，
1 2
∴点A（1，3），
把点A（1，3）代入y =a(x+3) 2−1，得：
2
1
3=a(1+3) 2−1，解得： a= ，故①错误；
4
1 5
∵y = (x−2) 2+ ，且对称轴为直线x=2，
1 2 2
∴当x＞2时，y 随x的增大而增大；当x＜2时，y 随x的增大而减小，
1 1
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∵(√2) 6=8,(√33) 6 =9, (3) 6 = 729 ，
2 64
3
∴√2<√33< <2，
2
5 (3 )
∵点（ ，p）关于对称轴x=2的对称点为 ,p ，
2 2
∴p＜n＜m，故②正确；
1
∵a= ，
4
1
∴y = (x+3) 2−1，
2 4
∵y≥y，
1 2
1 5 1
∴ (x−2) 2+ ≥ (x+3) 2−1，
2 2 4
整理得：x2−14x+13≥0，
解得：x≤1或x≥13，故③错误；
1 5 1 9 1 1 3 5
∵y = (x−2) 2+ = x2−2x+ ，y = (x+3) 2−1= x2+ x+ ，
1 2 2 2 2 2 4 4 2 4
9 5
当x=0时，y = ，y = ，
1 2 2 4
( 9) ( 5)
∴点P 0, ,Q 0, ，
2 4
9 5 13
∴PQ= − = ，故④正确；
2 4 4
∴正确的有②④．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想
解答是解题的关键．
题型 13 函数与方程（组）、不等式综合
67．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知y关于x的函数：kx−y+1+2k=0 (k为常数)交x轴负半轴于
点A，交y轴正半轴于点B．
(1)求k的取值范围；
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(2)O为坐标原点，设△AOB的面积为4，求直线l的函数解析式．
【答案】(1)k>0
1
(2)y= x+2
2
【分析】本题考查了求一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题；
（1）根据一次函数的图象与系数的关系求解；
（2）根据三角形的面积列方程求解．
【详解】（1）解：函数可化为：y=kx+2k+1，
∵函数交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，
∴k>0；
（2）∵函数交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，
当y=0时，kx+2k+1=0，
1 1
解得：x=−2− ，则OA=2+
k k
当x=0时，y=2k+1，则OB=2k+1
1( 1)
∴ 2+ (2k+1)=4，
2 k
1
解得： k= ，
2
1
∴直线l的函数解析式为：y= x+2．
2
4 8 k
68．（2023·湖北孝感·统考二模）如图，一次函数y = x+ 与反比例函数y = 的图象交于A(m,4)，
1 3 3 2 x
B(−3,n)两点．
(1)求m，n的值及反比例函数的解析式；
(2)当y >y 时，结合图象直接写出x的取值范围；
1 2
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(3)求△AOB的面积．
4 4
【答案】(1)m=1，n=− ，y =
3 2 x
(2)−31
16
(3)
3
【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）求得一次函数的图象与x轴的交点C的坐标，然后根据S =S +S 求得即可．
△AOB △AOC △BOC
4 8
【详解】（1）解：∵一次函数y = x+ 的图象过A(m,4)，B(−3,n)两点，
1 3 3
4 8 4 8
∴4= m+ ，n= ×(−3)+ ，
3 3 3 3
4
∴m=1，n=− ，
3
4
∴A(1,4)，B(−3，− )，
3
k k
将点A的坐标代入y = 得4= ，
2 x 1
解得k=4，
4
故反比例函数的表达式为：y = ；
2 x
（2）解：观察函数图象可知，当y >y 时，x的取值范围：−31；
1 2
4 8 4 8
（3）解：把y=0代入y = x+ 得， x+ =0，
1 3 3 3 3
解得x=−2，
∴C(−2,0)，
∴OC=2，
1 1 4 16
∴S =S +S = ×2×4+ ×2× = ．
△AOB △AOC △BOC 2 2 3 3
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求
反比例函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
69．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例
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m
函数y= (m≠0)的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，与y轴交于D点；点A的坐标为(1,6)，点C的
x
坐标为(−2,0)．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)连接OA，OB，求△AOB的面积．
m
(4)请直接写出 1
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点A和点C坐标代入一次函数解
析式中求出一次函数解析式即可；
（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式求出点B坐标即可；
（3）根据S =S +S 进行求解即可；
△AOB △AOC △BOC
（4）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把A(1,6)代入反比例函数解析式中得m=1×6=6，
6
∴反比例函数解析式为y= ；
x
把A(1,6)，C(−2,0)代入一次函数解析式中得¿，
∴¿，
∴一次函数解析式为y=2x+4；
（2）解：联立¿，解得¿或¿，
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∴B(−3，−2)；
（3）解：∵点C的坐标为(−2,0)，
∴OC=2，
∴S =S +S
△AOB △AOC △BOC
1 1
= OC⋅y + OC⋅(−y )
2 A 2 B
1 1
= ×2×6+ ×2×2
2 2
=8；
（4）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量的取值范围为−31，
m
∴满足 1．
x
70．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知二次函数y=(m−1)x2−2mx+m+1．
(1)求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
(2)当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=2或3
【分析】
（1）根据函数表达式，求出Δ，再对Δ的值进行判断即可．
（2）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答．
【详解】（1）
解：证明：令y=0，
则Δ=(−2m) 2−4(m−1)(m+1)=4>0，
∴该二次函数图象与x轴有两个交点．
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（2）
函数与x轴相交，交点的纵坐标为0，
m+1 2
当y=0时，根据求根公式可得方程的解为：x = =1+ ，x =1，
1 m−1 m−1 2
若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数，
则方程函数(m−1)x2−2mx+m+1=0的解都是正整数．
2 2
∴1+ 为正整数，即 是正整数，
m−1 m−1
∴m−1=1或2，
解得m=2或3，
∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点坐标及二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问
题是关键．
71．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，抛物线y =ax2+bx+c与直线y =mx+n相交于点A(3,0)和
1 2
B(0,3)，抛物线还经过C(1,0)，
(1)求：抛物线和直线的解析式；
(2)若y >y ，则x的取值范围是______．
1 2
【答案】(1)y =x2−4x+3，y =−x+3
1 2
(2)x<0或x>3
【分析】（1）将A(3,0)、B(0,3)、C(1,0)代入y =ax2+bx+c，将A(3,0)、B(0,3)代入y =mx+n，即
1 2
可求解；
（2）根据在上方的函数图象对应的函数值较大，结合图象即可求解．
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【详解】（1）解：由题意得
¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式y =x2−4x+3；
1
¿，
解得：¿，
∴直线的解析式y =−x+3；
2
（2）解：由图得
y 的图象在y 的图象上方所对应x的取值范围：
1 2
x<0或x>3
故答案：x<0或x>3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，根据交点求不等式的解集，掌握解法是解
题的关键．
题型 14 与函数图象有关的平移、旋转和对称问题
72．（2023·江苏泰州·统考二模）将一次函数y=2x−3的图象进行如下几何变换：①向左平移1个单位长
度；②向上平移2个单位长度；③沿直线x=4翻折；④沿直线y=4翻折，其中变换后的函数图象经过点
(3,5)的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象的平移与翻折问题，根据图形变换求出对应点的坐标，进而求得几何变
换后的直线解析式是解题关键．
【详解】解：①将一次函数y=2x−3的图象向左平移1个单位长度，得到一次函数为
y=2(x+1)−3=2x−1，
∵x=3时，y=2×3−1=5，
∴将一次函数y=2x−3的图象向左平移1个单位长度后经过点(3,5)；
②将一次函数y=2x−3的图象向上平移2个单位长度，得到一次函数为y=2x−3+2=2x−1，
∵x=3时，y=2×3−1=5，
∴将一次函数y=2x−3的图象向上平移2个单位长度后经过点(3,5)；
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③∵x=4时，函数y=2x−3=5，
x=0时，函数y=2x−3=−3，
∴一次函数y=2x−3的图象沿直线x=4翻折后经过点(4,5)和(8,−3)，
∴¿，
解得¿，
∴将一次函数y=2x−3的图象沿直线x=4翻折，得到一次函数为y=−2x+13，
∵x=3时，y=−2×3+13=7≠5，
∴将一次函数y=2x−3的图象沿直线x=4翻折后不经过点(3,5)；
7
④∵y=4时，则4=2x−3，解得x= ，
2
7
∴一次函数y=2x−3的图象沿直线y=4翻折后经过点( ,4)和(0,11)，
2
∴¿，
解得¿，
∴将一次函数y=2x−3的图象沿直线y=4翻折，得到一次函数为y=−2x+11，
∵x=3时，y=−2×3+11=5，
∴将一次函数y=2x−3的图象沿直线y=4翻折后经过点(3,5)；
综上，将一次函数y=2x−3的图象进行几何变换后的函数图象经过点(3,5)的是①②④，
故选：D
73．（2023·广东河源·统考一模）抛物线y=2x2−4x−5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单
位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
【答案】y=−2（x+2）2−3
【分析】易得抛物线y=2x2−4x−5的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物
线的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即
可解答．
【详解】解：y=2x2−4x−5=2(x−1) 2−7
所以原抛物线的顶点为(1,−7)，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为
(−2,−3)；
可设新抛物线的解析式为y=2（x−h）2+k，
代入得：y=2（x+2）2−3，
把抛物线绕顶点旋转180°，
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可得新抛物线的解析式的二次项的系数为−2，顶点不变，
所以，所求的抛物线解析式为：y=−2（x+2）2−3，
故答案为：y=−2（x+2）2−3．
74．（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，
(3−m,m)，直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C的横坐标为 ．
【答案】2.5
【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，可得一次项系数，联立两个函数解析式得到一个一元二次方
程，根据中点公式与根与系数的关系直接求解即可．
【详解】∵二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，
m+1+3−m b
∴对称轴x= =2=− ，
2 2
解得b=−4，则y=x2−4x+c，
∵直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，
∴¿，得x2−5x+c−3=0，
∵取AB中点C，
−5
−
∴C的横坐标为x +x 1 ．
1 2= =2.5
2 2
故答案为：2.5
【点睛】此题考查二次函数的性质和中点坐标公式以及一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是先通
过对称性求出对称轴，然后通过联立两函数解析式求交点坐标，最终通过中点公式求出中点横坐标．
75．（2023·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，将拋物线y=x2先向下平移1个单位，再向右平移
(m−1)个单位．
(1)写出平移后的抛物线的函数表达式；
(2)当x≤1时，y随着x的增大而减小，求m的最小值；
(3)已知横坐标分别为3和5的两点A，B均在x轴上，若平移后的抛物线与线段AB只有一个交点，求m的
取值范围．
【答案】(1)y=(x−m+1) 2−1
(2)m的最小值为2
(3)3≤m≤7，且m≠5
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，二次函数的性质及应用；
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（1）由二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解；
（2）由解析式可求对称轴为直线x=m−1，由当x≤1时，y随着x的增大而减小，可得m−1≥1，即可求
解；
（3）分别求出当拋物线y=(x−m+1) 2−1经过点A(3,0)、B(5,0)时，求出m的值， 由抛物线与线段AB
只有一个交点，即可求解；
掌握二次函数平移的规律和性质，找到只有一个交点的条件是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
y=[x−(m−1)] 2 −1
=(x−m+1) 2−1；
（2）解：由抛物线y=(x−m+1) 2−1得
对称轴为直线x=m−1，
∵当x≤1时，y随着x的增大而减小，
∴m−1≥1，
解得：m≥2，
∴m的最小值为2；
（3）解：由题意得
A(3,0)， B(5,0)，
当拋物线y=(x−m+1) 2−1经过点A(3,0)时，
解得m=3或m=5，
当拋物线y=(x−m+1) 2−1经过点B(5,0)时，
解得m=7或m=5．
当m=5时，拋物线y=(x−m+1) 2−1同时经过点A和点B，不合题意，
∴m≠5，
综上所述，若平移后的抛物线与线段AB只有一个交点，
则m的取值范围是3≤m≤7，且m≠5．
76．（2021·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）抛物线y=x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为
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(−1,0)，与y轴的交点坐标为(0,−3)．
(1)求b、c的值；
(2)若将抛物线向右平移m个单位（m>0），使新抛物线经过坐标原点O，求m的值；
(3)记原抛物线与y轴的交点坐标为A，新抛物线与x轴的另一个交点为B，点C为线段AB上的点，且横坐
标为a，过点C作y轴的平行线，交新抛物线于点P，若h=AC+PC，求h关于a的函数关系式，并求出
h的最大值．
【答案】(1)b=−2,c=−3
(2)m=1
(3)h=−a2+6a−3；当a=3时，h有最大值6
【分析】（1）将(−1,0)、(0,−3)代入y=x2+bx+c即可求解；
（2）平移后抛物线的解析式为y=(x−m−1) 2−4，将(0,0)代入即可求解；
（3）先求直线AB的解析式，从而可确定点C的坐标，进一步确定点P的坐标，即可表示出AC,PC．
【详解】（1）解：将(−1,0)、(0,−3)代入y=x2+bx+c得：
¿，解得：
¿
（2）解：由（1）得：y=x2−2x−3=(x−1) 2−4
将抛物线向右平移m个单位后的解析式为：y=(x−m−1) 2−4
∵新抛物线经过坐标原点O
∴0=(0−m−1) 2−4，即(m+1) 2=4
解得：m =1，m =−3（舍去）
1 2
∴m=1
（3）解：由（2）得：新抛物的解析式为：y=(x−2) 2−4
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令y=0，则(x−2) 2=4
解得：x =0,x =4
1 2
∴B(4,0)
设直线AB的解析式为：y=mx+n
将A(0,−3),B(4,0)代入可得：
¿
解得：¿
3
∴直线AB的解析式为：y= x−3
4
∵点C为线段AB上的点，且横坐标为a，
( 3 )
∴C a, a−3 (0≤a≤4)
4
则AC= √ (a−0) 2+ (3 a−3+3 ) 2 = 5 a
4 4
∵CP∥y轴且点P在新抛物线上
∴P(a,(a−2) 2−4)即P(a,a2−4a)
3 19
∴CP= a−3−(a2−4a)=−a2+ a−3
4 4
∴h=AC+PC=CP= 5 a+ ( −a2+ 19 a−3 ) =−a2+6a−3=−(a−3) 2+6
4 4
∴当a=3时，h有最大值6
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解、抛物线的平移、二次函数与线段问题．掌握二次函数的相关
性质是解题关键．
77．（2023·北京大兴·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,1)在抛物线y=ax2+bx+1(a>0)上．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)已知点A(x ,m)，点B(3,n)在抛物线上，若对于t≤x ≤t+1，都有m0)，得到b=−2a，即可求得抛物线的对称轴；
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（2）根据抛物线对称性可得点B关于对称轴的对称点坐标为(−1,n)，根据抛物线的性质可得−10)
得：4a+2b+1=1
整理得：b=−2a
b −2a
∴对称轴为：x=− =− =1
2a 2a
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
（2）解：∵B(3,n)
∴点B关于对称轴的对称点坐标为(−1,n)，
∵a>0
∴抛物线开口向上，
∵点A(x ,m)，B(3,n)在抛物线上，且m0,x>0)图象上，若直线BC的函数表达式为y= x−4，则k的值为 ．
x 2
【答案】24
【分析】根据一次函数求得B(8,0)，G(0,−4)，得到OB=8，OG=4，过A作AE⊥x轴于E，过C作
CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，可证明△AEB≌△BFC(AAS)，根据
全等三角形的性质得到AE=BF，BE=CF，进而证明△OBG∽△FBC，根据相似三角形的性质得到
CF OG 1
= = ，设CF=a，BF=2a，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论．
BF OB 2
1
【详解】解：在y= x−4中，令y=0，则x=8，令x=0，则y=−4，
2
∴ B(8,0)，G(0,−4)，
∴ OB=8，OG=4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠ABC=90°，
∴ ∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF，
∴ ∠EAB=∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
¿，
∴ △AEB≌△BFC(AAS)，
∴ AE=BF，BE=CF，
∵ ∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG=∠FBC，
∴ △OBG∽△FBC，
CF OG 1
∴ = = ，
BF OB 2
∴设CF=a，BF=2a，
∴ AE=2a，BE=a，
∴ A(8−a,2a)，C(8+2a,a)，
k
∵点A，点C在反比例函数y= (k>0,x>0)图像上，
x
∴ 2a(8−a)=a(8+2a)，
∴ a=2，a=0（不合题意舍去），
∴ A(6,4)，
k=4×6=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三
角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
k k
81．（2023·安徽·模拟预测）如图，等腰△ABC的顶点分别在反比例函数y = 1(k >0)和y = 2(k >0)
1 x 1 2 x 2
√5
的图象上，AC=BC= AB．若AB∥y轴，点B的横坐标为3，则k +k = ．
2 1 2
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【答案】9
【分析】本题考查反比例函数的图象与几何综合，勾股定理，以及等腰三角形的性质，过点C作CD⊥AB
于点D．设AB=2a，则AC=BC=√5a，AD=a，CD=2a．设点B的纵坐标为n，表示出A,B,C,D的坐
标，根据反比例函数关系式，推出k ，k 含a的表达式，再求其和，即可解题．
1 2
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D．
设AB=2a，则AC=BC=√5a，AD=a，
∴CD=√AC2−AD2=2a．
设点B的纵坐标为n，
∴B(3,n)，D(3,n+a)，A(3,n+2a)，C(3−2a,n+a)．
k
∵点B，C都在y = 2的图象上，
2 x
∴k =3n=(3−2a)(n+a)，
2
3
∴n= −a，
2
9
∴k =3n= −3a．
2 2
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k
∵点A在y = 1的图象上，
1 x
9 9
∴k =3(n+2a)=3n+6a= −3a+6a= +3a，
1 2 2
9 9
∴k +k = +3a+ −3a=9．
1 2 2 2
故答案为：9．
82．（2024·陕西西安·高新一中校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x
轴分别交于A，B两点，点A的坐标是(−4,0)，点B的坐标是(1,0)，与y轴交于点C，P是抛物线上一动
点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接OP，是否存在点P，使得∠OPD=2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理
由．
1 3
【答案】(1)抛物线的解析式为y=− x2− x+2；
2 2
−3−√73
(2)点P的横坐标为 ．
4
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母
的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明∠H=∠CAO，则tanH=tan∠CAO，由PH=OP，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a(x+4)(x−1)=a(x2+3x−4)，
则−4a=2，
1
解得：a=− ，
2
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1 3
∴抛物线的解析式为y=− x2− x+2；
2 2
（2）解：设存在点P，使得∠OPD=2∠CAO，理由如下：
延长DP到H，设PH=OP，连接OH，如图：
∵PH=OP，
∴∠H=∠POH，
∴∠OPD=∠H+∠POH=2∠H，
∵∠OPD=2∠CAO，
∴∠H=∠CAO，
∴tanH=tan∠CAO，
OD CO 2 1
∴ = = = ，
DH OA 4 2
∴DH=2OD，
设P ( t,− 1 t2− 3 t+2 ) ，则OD=−t，PD=− 1 t2− 3 t+2，
2 2 2 2
∴DH=2OD=−2t，
∴PH=DH−PD=−2t− ( − 1 t2− 3 t+2 ) = 1 t2− 1 t−2，
2 2 2 2
∵PH=OP，
∴ 1 t2− 1 t−2= √ t2+ (1 t2+ 3 t−2 ) 2 ，
2 2 2 2
∴(t2+t−4)(−2t)=t2，
−3+√73 −3−√73
解得t=0（舍去）或 （舍去）或 ，
4 4
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−3−√73
∴点P的横坐标为 ．
4
1
83．（2023·山东泰安·统考三模）如图，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线
2
1
y=− x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，已知动点D在直线AB上方的抛物线上，动点
2
P在线段AB上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是直线AB上方抛物线上的一动点，求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；
(3)连接DP、DB，请直接写出当△BDP为等腰直角三角形时点P的坐标．
1 3
【答案】(1)y=− x2− x+2
2 2
4√5
(2)当点D的坐标为D(−2,3)时，点D到AB的距离取得最大值为
5
( 14 11) ( 28 4)
(3)点P的坐标为 − , 或 − ,
9 9 9 9
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作PN⊥AC于点N，交AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，根据勾股定理求得AB=2√5，
2√5
易证△DFH∽△ABO，根据相似三角形的性质可得DH= DF，因此当DF有最大值时，DH有最大
5
值，设点D ( t,− 1 t2− 3 t+2 ) ，则F ( t, 1 t+2 ) ，于是可得DF=− 1 t2−2t=− 1 (t+2) 2+2，根据二次
2 2 2 2 2
函数的性质即可得当t=−2时，DF取得最大值2，求出此时点D的坐标和DH的长度即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当BP=DP时，过点P作PG⊥y轴于点G，过点D作DH∥y轴，交GP的延
( 1 )
长线于点H，易证△DHP≌△PGB(AAS)，得到DH=PG，PH=BG，设P m, m+2 ，则
2
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1 1 3 1
PG=DH=−m，OG= m+2，分别可求出PH=BG=− m，HG=− m，OG+DH=− m+2，进
2 2 2 2
(3 1 )
而得到D m,− m+2 ，将D的坐标代入抛物线的解析式中，求出m的值即可得出点P的坐标；②当
2 2
BD⊥PD时，过点D作DK⊥y轴于点K，过点P作PQ⊥KD的延长线于点Q，同理①可证：△PQD≌
△DKB(AAS)，得到PQ=DK，DQ=BK，设D ( n,− 1 n2− 3 +2 ) ，则DK=PQ=−n，
2 2
1 3 1 3 1 5
OK=− n2− n+2，分别求出DQ=BK=− n2− n，QK=− n2− n，
2 2 2 2 2 2
OK−PQ=− 1 n2− 1 n+2，于是P (1 n2+ 5 n,− 1 n2− 1 n+2 ) ，将点P的坐标代入直线AB的解析式中，
2 2 2 2 2 2
求出n的值即可得出点P的坐标．
1
【详解】（1）解：∵直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
2
∴A(−4,0)，B(0,2)，
1
∵抛物线y=− x2+bx+c经过A、B两点，
2
∴¿，
解得：¿，
1 3
∴抛物线的解析式为y=− x2− x+2；
2 2
（2）解：如图，过点P作PN⊥AC于点N，交AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，
∵A(−4,0)，B(0,2)，
∴OA=4，OB=2，
在Rt△AOB中，AB=√OA2+OB2=√42+22=2√5，
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∵DN⊥AC，OB⊥AC，
∴DF∥BC，
∴∠AFN=∠ABO，
∵∠AFN=∠DFH，
∴∠DFH=∠ABO，
∵DH⊥AB，
∴∠DHF=∠AOB=90°，
∴△DFH∽△ABO，
DF DH DF DH
∴ = ，即 = ，
AB AO 2√5 4
2√5
∴DH= DF，
5
∴当DF有最大值时，DH有最大值，
设点D ( t,− 1 t2− 3 t+2 ) ，则F ( t, 1 t+2 ) ，
2 2 2
∴DF=− 1 t2− 3 t+2− (1 t+2 ) =− 1 t2−2t=− 1 (t+2) 2+2，
2 2 2 2 2
∴当t=−2时，DF取得最大值2，
2√5 4√5
此时，D(−2,3)，DH= DF= ，
5 5
4√5
∴当点D的坐标为D(−2,3)时，点D到AB的距离取得最大值为 ；
5
（3）解：①当BP=DP时，如图，过点P作PG⊥y轴于点G，过点D作DH∥y轴，交GP的延长线于
点H，
则∠DHP=∠BGP=90°，
∵△BDP为等腰直角三角形，
∴∠DPB=90°，DP=BP，
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∴∠DPH+∠BPG=90°，
∵∠PBG+∠BPG=90°，
∴∠DPH=∠PBG，
在△DHP和△PGB，
¿，
∴△DHP≌△PGB(AAS)，
∴DH=PG，PH=BG，
( 1 ) 1
设P m, m+2 ，则PG=DH=−m，OG= m+2，
2 2
(1 ) 1
∴PH=BG=OB−OG=2− m+2 =− m，
2 2
1 3
∴HG=PH+PG=− m−m=− m，
2 2
1 1
OG+DH= m+2−m=− m+2，
2 2
(3 1 )
∴D m,− m+2 ，
2 2
将D (3 m,− 1 m+2 ) ，代入y=− 1 x2− 3 x+2中，得− 1 m+2=− 1 ⋅ 9 m2− 3 ⋅ 3 m+2，
2 2 2 2 2 2 4 2 2
14
解得：m =0(不合题意，舍去)，m =− ，
1 2 9
( 14 11)
∴P − , ；
9 9
②当BD⊥PD时，如图，过点D作DK⊥y轴于点K，过点P作PQ⊥KD的延长线于点Q，
用理①可证：△PQD≌△DKB(AAS)，
∴PQ=DK，DQ=BK，
设D ( n,− 1 n2− 3 +2 ) ，则DK=PQ=−n，OK=− 1 n2− 3 n+2，
2 2 2 2
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1 3 1 3
∴DQ=BK=OK−OB=− n2− n+2−2=− n2− n，
2 2 2 2
1 3 1 5
∴QK=DQ+DK=− n2− n−n=− n2− n，
2 2 2 2
1 3 1 1
OK−PQ=− n2− n+2−(−n)=− n2− n+2，
2 2 2 2
∴P (1 n2+ 5 n,− 1 n2− 1 n+2 ) ，
2 2 2 2
将点P (1 n2+ 5 n,− 1 n2− 1 n+2 ) 代入y= 1 x+2中，
2 2 2 2 2
得− 1 n2− 1 n+2= 1(1 n2+ 5 n ) +2，
2 2 2 2 2
7
解得：n =0(不合题意，舍去)，n =− ，
1 2 3
( 28 4)
∴P − , ．
9 9
( 14 11) ( 28 4)
综上，当△BDP为等腰直角三角形时，点P的坐标为 − , 或 − , ．
9 9 9 9
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、
相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合和分类讨论思想解决问题．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2023·河南信阳·校考三模）美美在研究物体吸热与放热知识时，用相同的电加热器分别对质量为
0.2kg的水和0.3kg的另一种液体进行加热，得到实验数据如图所示．下列说法错误的是（ ）
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A．加热前，水温度是10℃
B．在相同时间内，另一种液体温差变化比水的温差变化大
C．水在16min内吸收的热量为3.36×104J
15
D．可以用一次函数y= x+20(x≥0)表示另一种液体温度与时间之间的关系
4
【答案】C
【分析】根据函数图象逐项判断即可．
【详解】解：A、由图象可得，加热前，水温度是10℃，故A选项正确，不符合题意；
B、由图象可得，另一种液体的图象的坡度明显比水的图象坡度要陡，所以在相同时间内，另一种液体温
差变化比水的温差变化大，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象知，16min时，水的温度是40℃，依据Q =cmΔt=4.2×103×0.2×(40−10)=2.52×104J，
吸
故C选项错误，符合题意；
D、设一种液体温度与时间之间的关系式为：y=kx+b，
由图象可知，图象经过(0，20)，(8，50)，
∴¿，
解得：¿，
15
∴另一种液体温度与时间的函数关系式为：y= x+20，故D选项正确，不符合题意；
4
故选：C．
【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，能从函
数图象中获取有用的信息．
2．（2023·山西忻州·统考模拟预测）导体中的电流I(A)、导体的电阻R(Ω)与导体两端的电压U(V)之间满
足关系式U=IR．当U=220V时，下列说法错误的是（ ）
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A．I是R的反比例函数 B．I与R的函数图象是双曲线的一支
C．当R越来越大时，I也越来越大 D．当R为40Ω时，I为5.5A
【答案】C
220
【分析】根据题意求得I= ，根据反比例函数的性质即可得到结论．
R
【详解】解∶∵在等式U=IR中的U=220V为定值，
220
∴I= ，
R
∴I是R的反比例函数；I与R的函数图象是双曲线的一支；
当R越来越大时，I也越来越小；
当R为40Ω时，I为5.5A，
故A，B，D选项正确，C选项错误，
故选∶C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
3．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与
滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得的一些如下数据（如表），为观察s与t之间的关系，建立坐标
系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
4. 28.
滑行距离s/m 0 14 48
5 5
根据以上信息，可知s与t的函数关系式是（不考虑取值范围）（ ）
3 3 5 5
A．s= t2+3t B．s= t2−3t C．s= t2−2t D．s= t2+2t
2 2 2 2
【答案】D
【分析】利用待定系数法求解即可．
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【详解】观察函数图象，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s关于t的函数关系式为s=at2+bt，
将(1,4.5)，(2,14)代入s=at2+bt，得
¿，
解得：¿，
5
∴近似地表示s关于t的函数关系式为s= t2+2t．
2
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）对于P=x+3，Q=x2−x，有以下两个结论：
①当x>3时，Q>P；②当x<−1时，PP时，x>3；④P>Q时，−10时Q>P，并判断当y<0、y>0时的x的
取值范围，即可得出答案．
【详解】解∶令y=Q−P，则y=(x2−x)−(x+3)=x2−2x−3，
∴y=x2−2x−3=(x−3)(x+1)，
∵令y=0，解得x =−1，x =3，
1 2
∴y=(x−3)(x+1)的图象开口向上，与x轴的交点的横坐标为−1和3，如图：
∴当y<0时，即Q0时，即Q>P时，x<−1或x>3，
∴①②④正确，
故选：D．
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【点睛】本题考查了利用二次函数的图象判断一元二次不等式的解集的问题，令y=Q−P，并根据二次函
数的图象判断当y<0、y>0时的x的取值范围是解答本题的关键．
5．（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线y =x2−2经过平移后得到抛物线y =x2−4，若抛物线y 上任
1 2 1
意一点M坐标是(m,n)，则其对应点M'坐标一定是（ ）
A．(m,n−2) B．(m−2,n) C．(m+2,n) D．(m,n+2)
【答案】A
【分析】根据题意求得抛物线y =x2−2向下平移2个单位后得到抛物线y =x2−4，故抛物线y 上任意一
1 2 1
点M向下平移2个单位得到其对应点的坐标．
【详解】解：∵抛物线y =x2−2经过平移后得到抛物线y =x2−4，
1 2
∴抛物线y =x2−2向下平移2个单位后得到抛物线y =x2−4，
1 2
∴抛物线y 上任意一点M坐标是(m,n)，则其对应点M'坐标为(m,n−2)．
1
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，解题的关键是根据题意推得抛物线y =x2−2向下平移2个
1
单位后得到抛物线y =x2−4．
2
6．（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=−(x−m) 2+1，已知m>3，当−1≤x≤3时，有下列
说法：
①若y的最大值为−8，则m=4；
②若y的最小值为−8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为−3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【答案】C
【分析】根据二次函数y=−(x−m) 2+1可得对称轴为直线x=m，由a=−1<0，可得抛物线开口向下，再
由m>3，所以当−1≤x≤3时，抛物线单调递增，从而可得x=3时，y有最大值，x=−1时，y有最小值，
把x=3、y=−8和x=−1、y=−8分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；
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把x=3、m=5，代入解析式求得y的最大值即可判断③．
【详解】解：二次函数y=−(x−m) 2+1图象的对称轴为直线x=m，
∵a=−1<0，
∴抛物线开口向下，
因为m>3，所以当−1≤x≤3时，函数y=−(x−m) 2+1单调递增，
若y的最大值为−8，则−(3−m) 2+1=−8，解得m=6或m=0（舍去），故①错误；
若y的最小值为−8，则−(−1−m) 2+1=−8，解得m=2或m=−4，此时不存在m，故②错误；
若m=5，则y=−(x−5) 2+1，所以y的最大值为−(3−5) 2+1=−3，故③正确，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6
7．（2023·河北沧州·模拟预测）双曲线L：y= (x>0)如图所示，小李设计了一个程序：对于数对(a,b)
x
ab
表示输入两个正数a，b，可得双曲线L'：y= (x>0)，直线l：y=2分别与双曲线L，L'交于点A，B
x
（点B与点A不重合），连接OA，OB，若S <2.5，则下列说法不正确的是（ ）
△AOB
( 1)
A． 4, 满足条件 B．00)，直线l：y=2，y= (x>0)
x x
6 ab
∴2= ，2=
x x
ab
解得：x=3，x= ，
2
ab
∴点A(3,2)，B( ,2)，
2
∵S <2.5，
△AOB
ab 1 1
∴S =S −S <2.5即 ×2× −3×2× <2.5，
△AOB △EOB △AOE 2 2 2
ab ab ab
解得： <5.5，即00)得y= ，此时S =S −S =3−2=1<2.5，故A选项不符合题意，
2 x x △AOB △EOB △AOE
故选B．
【点睛】题目主要考查反比例函数的几何意义，理解题意，结合图象进行求解是解题关键．
8．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，点D从点C出发沿CB方问以
lcm/s向点匀速运动，过点D作DE⊥BC于点D．以DE所在直线为对称轴，将△CDE折叠，点C的对应
点为C'，移动过程中△EDC'与△ABC重叠部分的面积为S(cm2)，运动时间为t(s)，则S与t之间函数关系
的图象大致是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：①当0≤x≤2时，S=S ，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像；②
△EDC
当20，x>0)，在直角坐标系中A点坐标为(4，√3)，若反比例函数与直角三角形的边有公共点，则k
的取值范围为 ．
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25√3
【答案】√3≤k≤
4
【分析】由Rt△ABC中的关系式AC=2AB=6可求得点B、点C的坐标，由此可求得直线AC的解析式．
k
Rt△ABC的边与反比例函数y= 有公共点，则先可求出点B与反比例函数图像有公共点时的最小k值，
x
再设反比例函数与线段AC相交于点(x，−√3x+5√3)时k值最大，则
k=x(−√3x+5√3)=−√3x2+5√3x=−√3 ( x− 5) 2 + 25√3 ，由1≤x≤4知当x= 5 时，k值最大，最大
2 4 2
25√3
值为 ．由此确定了k的取值范围．
4
【详解】如图．
解：∵AC=2AB=6，∠B=90°
∴AB=3，
∴BC=√AC2−AB2=√62−32=3√3，
∴B(1，√3)，C(1，4√3)，
设直线AC的解析式为y=ax+b，
则¿，解得¿，
∴直线AC为y=−√3x+5√3，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点B相交时，k=1×√3=√3最小，
设反比例函数与线段AC相交于点(x，−√3x+5√3)时k值最大，
则k=x(−√3x+5√3)=−√3x2+5√3x=−√3 ( x− 5) 2 + 25√3 ，
2 4
∵1≤x≤4，
5
∴当x= 时，k值最大，
2
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25√3
因此，k的取值范围是√3≤k≤ ．
4
25√3
故答案为：√3≤k≤ ．
4
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数等知识点，解题的关键是熟练运用这些函数的性质．
10．（2023·浙江·一模）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，请写一个反比例
函数的表达式，使它的图象在第一象限与正方形OABC的边有交点，你写的函数的表达式为 ．
2
【答案】y= （答案不唯一）
x
【分析】根据题意，得出B(2,2)，则反比例函数的比例系数满足，0x>x2 的值，那x
x x
可能是 .
1
【答案】 （答案不唯一，只要是0x>x2
，联立函数求出交点即可得到答案；
x
【详解】解：由图像可得，
1
在三个函数图像交点下方与原点之间满足
>x>x2
，
x
联立函数得，
¿，解得：x =0，x =1，
1 2
1
故答案为： （答案不唯一，只要是00；
④抛物线上有A(x ,y )，B(x +4,y )，当y >0时，y <0．
1 1 1 2 1 2
其中结论正确的是 ．（填写序号）．
【答案】②④
b
【分析】根据2a+b=0得出b=−2a，即可判断①；求出对称轴为直线x=− =1，根据该抛物线交x轴
2a
于点(−1,0)，即可求出与x轴的另一个交点，即可判断②；将点(−1,0)，(3,0)代入，得出两个式子，将两
式相加得出a和c之间的关系式，即可判断③；画出草图可知−10，
则①不正确，不符合题意；
b
∵该抛物线交x轴于点(−1,0)，对称轴为直线x=− =1，
2a
∴该抛物线与x轴另一个交点为(3,0)，
故②正确，符合题意；
∵该抛物线经过点(−1,0)，(3,0)，
∴¿，
①+②得：10a+2b+2c=0，
∵b=−2a，
∴6a+2c=0，则c=−3a，
∴8a+c=8a−3a=5a<0，
故③不正确，不符合题意；
④∵该抛物线经过点(−1,0)，(3,0)，且y >0，
1
∴由图可知：−10)
是平面直角坐标系上的两点，一次函数y=kx+b的图象过点A且与S交于P(x ,y ),Q(x ,y )两点，PC垂
1 1 2 2
直于S的对称轴，垂足为C．
(1)用x ,x 表示线段BC的长；
1 2
(2)求证：∠ABP=∠ABQ；
(3)若a=1，是否存在直线PQ，使得∠PBQ=60°？如果存在，求出PQ的解析式，如果不存在，说明理
由．
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【答案】(1)x2−x x −x +x
1 1 2 1 2
(2)见解析
(3)不存在，理由
【分析】（1）联立可得x2−(2+k)x+1−b=0①，从而得到x +x =2+k,x ⋅x =1−b，再由k+b=a，
1 2 1 2
可得BC= y −y = y +ax2−2x +1+k+b，即可；
1 B 1 1 1
（2）过点Q作对称轴的垂线，垂足为点D，由（1）得：BC=x2−x x −x +x =(x −x )(x −1)，
1 1 2 1 2 1 2 1
BC 1−x PC
DB=(x −x )(x −1)，从而得到 = 1= ，可证得△PCB∽△QDB，即可；
2 1 2 DB x −1 DQ
2
（3）假设存在直线PQ，使得∠PBQ=60°，则∠ABP=∠ABQ=30°，设PC=m,DQ=n，可得
BC=√3m,BD=√3n，从而得到AC=√3m−2,AD=2−√3n，再根据△PCD∽△QDA，可得
m+n=√3mn，然后由（2）得：x +x =2+k,x ⋅x =1−b，k+b=a=1，从而得到
1 2 1 2
mn=(1−x )(x −1)==x +x −x x −1=k+b=1，继而得到m，n为一元二次方程x2−√3x+1=0的两
1 2 1 2 1 2
个根，即可求解．
【详解】（1）解：由¿得：x2−(2+k)x+1−b=0①，
∵一次函数y=kx+b的图象过点A且与S交于P(x ,y ),Q(x ,y )两点，
1 1 2 2
∴x +x =2+k,x ⋅x =1−b，
1 2 1 2
∵一次函数y=kx+b的图象过点A(1,a)，
∴k+b=a，
∴BC= y −y =x2−2x +1−(−a)
1 B 1 1
=x2−2x +1+k+b
1 1
=x2−2x +1+k+(1−x x )
1 1 1 2
=x2−2x −x x +(k+2)
1 1 1 2
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=x2−2x −x x +x +x
1 1 1 2 1 2
=x2−x x −x +x ；
1 1 2 1 2
（2）解：如图，过点Q作对称轴的垂线，垂足为点D，
由（1）得：BC=x2−x x −x +x =(x −x )(x −1)，
1 1 2 1 2 1 2 1
同理DB=(x −x )(x −1)，
2 1 2
BC 1−x PC
∴ = 1= ，
DB x −1 DQ
2
∵∠PCB=∠BDQ=90°，
∴△PCB∽△QDB，
∴∠ABP=∠ABQ；
（3）解：不存在，理由如下：
假设存在直线PQ，使得∠PBQ=60°，则∠ABP=∠ABQ=30°，
设PC=m,DQ=n，
∴BC=√3m,BD=√3n，
∵a=1，
∴点A(1,1)，B(1,−1)，
∴AC=√3m−2,AD=2−√3n，
∵PC⊥BD,DQ⊥BD，
∴PC∥DQ，
∴△PCD∽△QDA，
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AC PC
∴ = ，
AD DQ
√3m−2 m
∴ = ，
2−√3n n
∴m+n=√3mn，
由（2）得：x +x =2+k,x ⋅x =1−b，k+b=a=1，
1 2 1 2
∴mn=(1−x )(x −1)=x +x −x x −1=k+b=1，
1 2 1 2 1 2
∴m，n为一元二次方程x2−√3x+1=0的两个根，
此时Δ=(√3) 2 −4×1<0，
∴此方程无解，
即满足条件的直线不存在．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
109
