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查漏补缺 06 二次函数图象性质及其综合应用（8 大题型）
考点一： 二次函数的图象与性质
【题型一】二次函数的图象与性质
二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对
图像特征
称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式
y y y y y
h>0,k>0
图
a>0 k>0
像 h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
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y
y y
y y h<0,k>0
x x
x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
(− ，
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
)
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；
最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
值
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
增
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
减
性 易 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是
错 不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.
【中考真题】
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
（ ）
A．y=(x+1) 2−3 B．y=(x+1) 2−2
C．y=(x−1) 2−3 D．y=(x−1) 2−2
2．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … −4 −2 0 3 5 …
y … −24 −8 0 −3 −15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
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A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
3．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx(a≠0)，满足¿，已知点
(−3,m)，(2,n)，(4,t)在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A．t1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正
确的是 （填写序号）．
7．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x −4 −3 −1 1 5
y 0 5 9 5 −27
下列结论：① abc>0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当−43．其中正确结论的序号为 ．
8．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=−x2+2x的顶
点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点A(x ,y )在抛物线y=−x2+2x上，点B(x +t,y +h)在抛物线y=−x2+bx上．
1 1 1 1
（ⅰ）若h=3t，且x ≥0，t>0，求h的值；
1
（ⅱ）若x =t−1，求h的最大值．
1
9．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(−2,5)，对称轴
1
为直线x=− ．
2
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m（m>0）个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图
象上，求m的值；
9
(3)当−2≤x≤n时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
4
10．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完
美点”．抛物线y=ax2−2ax+2a（a为常数且a>0）与y轴交于点A．
(1)若a=1，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线y=x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
求a的取值范围．
【模拟训练】
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k
1．（2025·安徽淮南·二模）已知反比例函数y= （k≠0）的图象与二次函数y=ax2（a≠0）的图象在第
x
二象限一定有交点，则一次函数y=(k−2)x+a+1的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川成都·一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x=1 B．y的最小值为−4
C．x=−2对应的函数值为y=5 D．当00时，y随x的增大而减小；
y … m 8 6 0 …
丙：m=6；丁：图象开口向下．
针对四人的说法，其中不正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判
1
断新函数y=|x2−3x+2|的图象与一次函数y=− x+1的图象的交点个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数y=−2(x−1) 2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的
函数表达式是 ．
8．（2025·上海·模拟预测）若二次函数y=a(x−m) 2+n(a,m,n≠0)不经过第三象限，且其经过平移后顶
点落在了x轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限．
9．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线y=ax2−2a2x−3(a≠0)．
（1）当a=1时，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点A(3a,y )，B(n,y )为抛物线上两点，若30 开口向上 a的正负决定开口方向，
a的大小决定开口的大小(|a|越大，开
口越小)．
a<0 开口向下
b=0 b
对称轴是y轴，即− =0
2a
b 左同右异中间0
a，b同号 对称轴在y轴左侧，即
b
− ＜0
2a
a，b异号 对称轴在y轴右侧，即
b
− ＞0
2a
c=0 图像过原点
c c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c<0 与y轴负半轴相交
与x轴有两个交点
与x轴有唯一交点 的正负决定抛物线与x轴交点
个数
与x轴没有交点
【中考真题】
1．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象
经过点(−1,0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①abc<0；②a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式
分解为(x+1)(x−5)；④当m>−9a时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根．其中正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
−c
2．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax−b(a≠0)和y= (c≠0)的图象大致
x
如图所示，则函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两实根x =−1，x =3，且abc>0，
1 2
则下列结论中正确的有（ ）
( 4c)
①2a+b=0；②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 1, ；③a<0；④若m(am+b)<4a+2b，则
3
00；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(−6,y ),(5,y )，则
1 2
y >y ；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是 （请填写序
1 2
号）．
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6．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于
A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结
1
论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为x =−3，x =2；④k= a．其
1 2 2
中正确的是 ．（只填写序号）
【模拟训练】
1．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于
( 3 ) 1
点A − ,0 ，对称轴是直线x=− ，下面说法正确的个数是（ ）
2 2
1 1
（1）abc<0；（2）3a+4c=0；（3）am2+bm≤ a− b（m为任意实数）；（4）若点(−1,y )和点
4 2 1
(2,y )都在抛物线上，则y 0,b2−4ac>0)的图象是由函数
y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移2个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③
3．（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，对称轴是直线x=1，下列
结论：①b2−4ac>0；②4a+2b+c>0；③abc<0；④3a+c<0；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·湖北荆州·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于
(m,0)，(n,0)两点，且m0；②4ac−b2>0；③cc．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025·新疆昌吉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =mx+n与抛物线y =ax2+bx−3相交于
1 2
点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当−2y ；②x=3是方程ax2+bx−3=0的一
1 2
个解；③连接BO，△ABO的面积是12.5；④对于抛物线y =ax2+bx−3，当−2a B．无论实数a取什么值，都有y >a
1 1
C．可以找到一个实数a，使得y <0 D．无论实数a取什么值，都有y <0
2 2
2．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴
上，则ac的值为（ ）
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A．−1 B．−2 C．−3 D．−4
3．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点A(x ,y )在直线y=3x+19上，点B(x ,y ),C(x ,y )在抛物线
1 1 2 2 3 3
y=x2+4x−1上，若y = y = y 且x 0，求h的值；
1
（ⅱ）若x =t−1，求h的最大值．
1
5．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数y=(x−a) 2+(x−b) 2（a，b为常数）．设自变量x取x 时，y取
0
得最小值．
(1)若a=−1，b=3，求x 的值；
0
2 1
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)在双曲线y=− 上，且x = ．求点P到y轴的距离；
x 0 2
(3)当a2−2a−2b+3=0，且1≤x <3时，分析并确定整数a的个数．
0
【模拟训练】
1．（2025·广东惠州·一模）如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y=ax2过点
B．若∠AOC=60°，则a为（ ）
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1
A．−1 B．−2 C．− D．1
2
2．（2025·福建泉州·一模）直线l:y=kx+b(k≠0)与抛物线y=(x−2) 2−3交于A，B两点，与抛物线
y=−(x−1) 2+3交于C，D两点，且始终满足AB=CD，则直线l必过的定点为（ ）
( 3) (3 ) (3 )
A． 3, B． ,−1 C． ,0 D．(3,0)
2 2 2
1
3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线y=x2与直线y= x+3围成的封闭图形内部有k个整点
2
（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点A(x ,y )在直线y=−x+3上，点B(x ,y )，C(x ,y )在抛物线
1 1 2 2 3 3
y=−x2+3x上，若y = y = y 且x 6
1 2 3 1 2 3
5．（2025·上海普陀·二模）已知抛物线y=−(x+m) 2+k的顶点为P，A、B、C、D是抛物线上的四点，
且线段AB、CD都垂直于抛物线的对称轴．如果AB=2，CD=3，那么S :S 的值等于 ．
△PAB △PCD
6．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线y=a(x+1)(x−3)交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D
为抛物线的顶点，若△ABD为等腰直角三角形，则a的值为 ．
7．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线C :y =ax2−2x过点(2,0)，抛物线C :y =−(x−t) 2+t2−2t（其
1 1 2 2
中t为常数）．
(1)求a的值和C 的顶点坐标．
1
(2)已知无论t为何值，C 与C 总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
1 2
(3)当t=3时，平移抛物线C ，使其顶点在抛物线C 上．平移后的抛物线与y轴交点记为A，顶点为
1 2
P(m,n)，点O为坐标原点．当00)上任意两点，设抛物线的对称轴是直线x=t．
(1)若对于x =1，x =3，有y = y ，求a的值；
1 2 1 2
(2)若对于00，抛物线开口向上，函数有最小值；当a<0，抛物线开口向下，函数有最大值；
2）函数的最值都是定点坐标的纵坐标.
【中考真题】
1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如4⊗3=(4+2×3)(4−3)，则函
数y=(x+1)⊗2的最小值为（ ）
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A．−21 B．−9 C．−7 D．−5
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点A(x ,y ),B(x ,y )在函数y=x2的图象上，x ）：
x +x ________x +x ； x −x ________x −x ； x +x ________x +x ．
1 2 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4
①(2)若x =1，20时，二次函数y=ax2+(b−2)x+8有最小值，记作m，随着a,b的变化，
m的最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知a−c=3(a−b)=3k，则关于(b−c) 2+4k的最值，下列说法正确的是
（ ）
A．有最小值1 B．有最小值−1 C．有最大值1 D．有最大值−1
4．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数y=x2−2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为
（ ）
A．3 B．−1或3 C．−3或1 D．−3或3
5．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数y=mx2−2mx+3（m为常数，且m≠0），当−1≤x≤2时，
该二次函数有最小值2，则m的值是（ ）
1 1 1
A．1 B． C．1或− D．1或
3 3 3
6．（2025·天津河东·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的顶点为P，且与x轴相交
于A(x ,0),B(x ,0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,O为坐标原点．
1 2
(1)若x ，x 是方程x2−2x−3=0的两个根，c=3，求该抛物线顶点P的坐标；
1 2
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b2 b
(2)若a=−1,b>0,c=4− ，且当 −1≤x≤b+1时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求b的值；
4 2
3√6+3√2
(3)若x +x =−2,x ⋅x =−3，点D是△AOC内的一点，当AD+CD+OD取得最小值 时，求
1 2 1 2 2
a的值．
【题型三】二次函数与x轴交点问题
求二次函数 的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x
的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的交
点的个数，它们的关系如下表：
【中考真题】
1．（2023·河北·中考真题）已知二次函数y=−x2+m2x和y=x2−m2（m是常数）的图象与x轴都有两个
交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2 B．m2 C．4 D．2m2
2．（2023·湖南·中考真题）已知m>n>0，若关于x的方程x2+2x−3−m=0的解为x ,x (x −3a
C．c>m D．关于的方程ax2+bx+c=m+1无实数解
2．（2025·河北保定·二模）已知抛物线y=x2+2x−4与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)，则(a+1)(b+1)的值
为（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．7
3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−1与x轴相交于点A，B，点
C在抛物线上，其坐标为(−2,−1)，若AB=6，则点B的坐标为（ ）
A．(−3,0) B．(3,0) C．(−2,0) D．(2,0)
4．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，若抛物线y=−x2+2x+3与直线y=m（m为正整数）有
两个交点，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
5．（2025·辽宁·一模）一次函数y=2x+5与抛物线y=2x2−4x+3的交点个数为 个．
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3
6．（2025·云南保山·模拟预测）已知二次函数y=x2+bx−10图象的对称轴是x=− ．
2
(1)求二次函数的解析式；
25
(2)设直线y=2x+7与抛物线y=x2+bx−10交点的横坐标为m，求代数式(m+4) 2+
的值．
(m+4) 2
【题型四】二次函数与不等式
二次函数 与一元二次不等式 及
之间的关系如下( ）：
【中考真题】
1．（2023·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为
(1,0)，对称轴为直线x=−1，下列四个结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③3a+c=0；④当−32 D．−1y ，求a的取值范围．
1 2 1 2
6．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)，函数y与自变
量x的部分对应值如表：
x … −1 0 1 2 3 4 …
y … 10 m 2 1 2 5 …
(1)直接写出m的值______；
(2)求出函数表达式；
(3)直接写出关于x的不等式ax2+bx+c>x−1的解集：______．
【题型五】二次函数与实际问题
1）二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点
坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的
模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关
键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
【中考真题】
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t
（单位：s）之间的关系式是h=30t−5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
小球从抛出到落地需要6s； 小球运动中的高度可以是30m； 小球运动2s时的高度小于运动5s时的
①高度．其中，正确结论的个数是②（ ） ③
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F
同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F
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也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(00)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．
x
(1)求m，k的值；
k
(2)点P为反比例函数y= (k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P
x
作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，
并求出此时点P的坐标．
【模拟训练】
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t
（单位：s）之间的关系式是h=30t−5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
小球从抛出到落地需要6s； 小球运动中的高度可以是30m； 小球运动2s时的高度小于运动5s时的
①高度．其中，正确结论的个数是②（ ） ③
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A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F
同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F
也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(00)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．
x
(1)求m，k的值；
k
(2)点P为反比例函数y= (k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P
x
作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，
并求出此时点P的坐标．
【题型二】
1．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，
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是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．
37
按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为y=− x2 ，在正常水位时，水面宽AB=16米，
640
当水位上升2.7米后，水面宽CD等于（ ）
16 8
A． √370米 B． √370米 C．3.7米 D．2.7米
37 37
2．（2025·安徽滁州·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=9，AB=12，D是AC上的一点，
且AD=2CD，E是BC上的一动点，DF⊥DE，交线段AB于点F，连接EF．设CE的长为x，△BEF的
面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南平顶山·一模）如图甲所示电路中，R 为定值电阻，R 为滑动变阻器．图乙是该滑动变阻器
0 1
消耗的电功率与电流关系的图象．则下列判断中正确的是（ ）
A．当电流增大时，R 消耗的电功率也增大
1
B．当I=0.2A时，R 的阻值最小
1
C．当I=0.4A时，R 的阻值为30Ω
1
D．当电流为1.2A时，滑动变阻器的电功率为0
4．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之
地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代
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战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，
1
石块飞行过程中的飞行高度y（m）和水平距离x（m）具有函数关系y=− x2+x+5．当石块飞行高度
100
达到最高时，飞行的水平距离是 m．
5．（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般
来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制
时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数y=ax2+bx+c来表示，其
中x是腌制时间，y是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论：
腌制开始（第0天）时，亚硝酸盐含量为0毫克/千克；
①腌制第8天时，亚硝酸盐含量达到96毫克/千克；
②腌制第12天时，亚硝酸盐含量达到48毫克/千克．
③因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高．
6．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、
E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB=2，BC=10，S =40，则当矩形DEFG
△ABC
GD
的面积最大时， = ．
DE
7．（2025·江西景德镇·一模）在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材．
25
素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱OA的高为 m，立柱左右两侧是关于立
6
柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5m，且最高点到立柱OA的水平距离为1m．
素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的C，E（C，E两点分别在这两条抛物线上）处，分别
修建了高度均为3.5m的支架CD，EF．
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小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：
(1)求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量x的取值范围）．
(2)求CD与EF之间的距离．
(3)若P是第二象限的抛物线上一点，P'是点P关于立柱OA的对称点，且PP'在点A的下方，CE的上方，
过点P，P'分别作PM⊥CE于点M，P'N⊥CE于点N．为迎接春节，在PP'，PM，P'N上悬挂迎新
年的主题彩带，求彩带长(PP'+PM+P'N)的最大值．
8．（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务．
飞行汽车
飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模
背
式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具
景
有潜力．
某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点O，地平
线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线
建
形状，当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B．此时点B距离地面0.3千米，保持这个高度以
模
100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C，切换到直线下降飞行模式降落至地面点D．得到
抛物线y=ax2+2x(a<0)、直线y=0.3和直线y=−0.4x+b．
（1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米，求a和
b的值；
任
务
（2）若飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.4千米．水平飞行了t(0.08≤t≤0.1)
小时到达点C后降落，求b的取值范围．
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9．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离
的关系，通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段
距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间
为0.6秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据
如下表：
车速x（ 15
0 30 45 60 90 105 120
km/h） 0
制动距离 7. 13.0 19. 34. 43.0 52.
0 75
y（m） 8 5 2 2 5 8
探究任务：
(1)已知该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（km/h）之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上
表提供的数据，在坐标系中描出点(x,y)，顺次连接各点，结合图象求出这个函数的解析式并写出自变量
x的取值范围（参考数据：122=144,152=225,452=2025,1052=11025）；
(2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为28.8m，请通过计算估计该
款汽车开始刹车时的速度；
(3)若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方25m处有一辆大货车停在公路上
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挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由，并根据计算结果给司机提出一条建议．
31
