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专题 10 三角形压轴
目 录
题型01 与三角形有关的多结论问题（选/填）
题型02 与三角形有关的平移问题
题型03 与三角形有关的翻折问题
题型04 与三角形有关的旋转问题
题型05 与三角形有关的全等/相似问题
题型06 与三角形有关的最值问题
题型07 与三角形有关的动点问题
题型08 与三角形有关的新定义问题
题型09 与三角形有关的阅读理解问题
题型10 与三角形有关的存在性问题
题型11 三角形与几何图形综合
题型12 三角形与函数综合
（时间：60分钟）
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题型 01 与三角形有关的多结论问题（选/填）
1．（2023·陕西宝鸡·一模）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设
△ACD，△BCE，△ABC的面积分别是S ,S ,S 现有如下结论：①S :S =AC2:BC2 ；②连接AE，BD，
1 2 3 1 2
3
则△BCD≌△ECA；③若AC⊥BC，则S ⋅S = S2 ，其中正确结论的序号是（ ）
1 2 4 3
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
2．（2023·浙江湖州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D，E分别是边AB和
BC上的两点，连结DE，将△BDE沿DE折叠，点B恰好落在AC的中点M处，BM与DE交于点F．下列
11√3
三个结论：①DF=EF；②DM⊥AM；③tan∠CME= 其中正确的是 ．（写出正确结论的
12
序号）
3．（2023·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
1
AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF=BC；②2cos∠DEB= ，③
2
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AF+BF
AE−CE=√2ED，④若∠CAE=30°，则 =1，正确的是 ．（填写序号）．
AC
题型 02 与三角形有关的平移问题
4．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．若
AB=5，BC=3，则CD的长为 ；
【操作一】如图，②，将图①中的，△ACD沿AC翻折得到△ACE，则四边形AECD的周长为 ；
【操作二】如图③，将图②中的△ACE沿射线AB方向平移，使点A与点D重合，得到△DGF，点E的对
应点为点F．
（1）求证：四边形ADFE是菱形；
（2）直接写出四边形ADGF的周长．
5．（2023·山东青岛·三模）已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为
AB、AC、BC中点，连接DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点C重合；将△ADE向下
平移，使点A与点C重合，如图②．
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(1)设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为S 、S 、S ，则S +S +S _______√3（用“<、=、>”填
1 2 3 1 2 3
空）
(2)已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△FEO、△CDO
的面积分别为S 、S 、S ；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可
1 2 3
利用图④进行探究）
6．（2023·辽宁沈阳·三模）在平面直角坐标系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，
DO=DE=3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B(4，2)，点C在x轴的正半
轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D'O'E'，点D，O，E的对应点分别为
D'，O'，E'．
(1)如图1，当E'O'经过点A时，求直线O'A的函数表达式；
(2)设OO'=t，△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分的面积为S；
①如图②，当△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D'E'与AB相交于点M，E'O'分别与AB，
BC交于点N，P，用含有t的式子表示S ；直接写出t的取值范围 ；
7
②请直接写出满足S= 的所有t的值 ．
2
题型 03 与三角形有关的翻折问题
7．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，点E、F分别在
直线AC、边BC上，连接EF，将△CEF沿着EF翻折，点C落在边AB上的点D处.过点D作DM⊥AB，
交直线AC于M．
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(1)AC= ，BC= ；
(2)当CF=CE时，求证：△EMD≌△FBD；
CM 1
(3)当 = 时，求AD的值；
CE 2
(4)连接CD交EF于点P，当AP+BP取最小值= 时，EF的值为 ．
8．（2023·重庆·模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过B点作BE⊥AC于点E，点D为线段AC
的中点，连接BD．
(1)如图1，AB=2，AC=6，求ED的长度；
(2)如图2，将线段DB绕着点D逆时针旋转45°得到线段DG，此时DG⊥AC，连接BG，点F为BG的中
点，连接EF，求证：BC=2EF；
(3)如图3，∠ACB=30°，AB=3，点P是线段BD上一点，连接AP，将△APB沿AP翻折到同一平面内
得到△APB'，连接CB'，将线段绕点CB'顺时针旋转60°得线段CQ，连接BQ，当BQ最小时，直接写出
△BCQ的面积．
9．（2023·重庆渝北·二模）等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC．
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(1)如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE，若D点在AB边上，且
1
DC=√5，tan∠ACD= ，求BE的长度．
2
(2)如图2，若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D
的运动过程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB−BD=AC，猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，
并证明你的猜想．
(3)如图3，将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在的平面内得到△BD'C，M点在AB边上，且
1
AM= AB，将MA绕点A逆时针旋转120°得到线段AN，点H是直线AC上一动点，将△MNH沿直线
4
MH翻折至△MNH所在平面内得到△M N'H，在点D、H运动过程中，当N'D'最小时，若AB=4，请直
接写出△DN'H的面积．
题型 04 与三角形有关的旋转问题
10．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将斜边AC绕点A逆时
针旋转一定角度得到线段AD，AD交BC于点G，过点C作CF⊥AD于点F．
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(1)如图1，当旋转22.5°时，若BG=1，求AC的长；
(2)如图2，当旋转30°时，连接BD，CD，延长CF交BD于点E，连接EG，求证：AG=CE+EG；
(3)如图3，点M是AC边上一动点，在线段BM上存在一点N，使NB+NA+NC的值最小时，若NA=2，
请直接写出△CNM的面积．
11．（2023·贵州贵阳·二模）在△ABC中，∠CAB=90°，在△ADE中，∠EAD=90°，已知Rt△ABC
和Rt△ADE有公共顶点A，连接BD和CE．
(1)如图①，若AB=AC，AD=AE，当△ABC绕点A旋转α(0°<α<360°)，BD和CE的数量关系是
______，位置关系是______；
(2)如图②，若AD:AE=AB:AC=1:√3，当Rt△ABC绕点A旋转α(0°<α<360°)，（1）中BD和CE的
数量关系与位置关系是否依然成立，判断并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若AD=2√3，AB=√3，在旋转过程中，当C，B，D三点共线时，请直接写出CE
的长度．
12．（2023·广东云浮·三模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，
∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE的长．
小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性
质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得
FE（即DE）的长．
(1)请回答：在图2中，∠FCE= ，DE= ；
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(2)参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
①已知：如图3，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接
MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，则该三角形的形状是 ．
②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD．猜想线段BE、EF、DF之间的数量关系并说明理由．
2
题型 05 与三角形有关的全等/相似问题
13．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）【问题探究】
（1）如图1，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，则PA的
长为______ ；
（2）如图2，∠MON=120°，点P是∠MON平分线上的一个定点，点A、B分别在射线OM、ON上，
且∠APB=60° ，求证：四边形OAPB的面积是定值；
【拓展运用】
（3）如图3，某创业青年小李租用一块形如四边形ABCD的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中AD∥BC，
∠B=90°，AB=120米，AD=60米，BC=110米，点E为入口，点E在AB上，且AE=AD，小李计划
过点E修一条垂直于CD的笔直小路EF，将田地分为两部分，四边形AEFD区域为蜂巢区，四边形BCFE
区域为蜂源植物生长区，在点F处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿AF修一条笔直的小路AF，直接
写出小路AF的长（小路的宽度忽略不计，结果保留根号）
14．（2023·安徽合肥·一模）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC,AB上，且CD=AE，
BD与CE相交于点P．
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(1)求证：△ACE≌△CBD；
(2)如图2，将△CPD沿直线CP翻折得到对应的△CPM，过C作CG∥AB，交射线PM于点G，PG与BC
相交于点F，连接BG．
①试判断四边形ABGC的形状，并说明理由；
②若四边形ABGC的面积为6√3，PF=1，求CE的长．
15．（2023·重庆万州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，过点C作CD∥AB交过
点B的直线于点D，∠ABD=30°，直线BD交AC于H．
(1)如图1，若AB=2，求BD的长；
(2)如图2，过点A作AG⊥BD交BD于点G，交BC的延长线于E，取线段AB的中点F，连接GF，求证：
GF+√3GH=BH．
(3)在（2）的条件下，过点D作DP⊥AB交AB于点P，若点M是线段GF上任一点，连接BM，将
√3
△BGM沿BM折叠，折叠后的三角形记为△BG'M，当 AG'+DG'取得最小时，直接写出
2
tan∠PDG'的值．
题型 06 与三角形有关的最值问题
16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】
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（1）如图①，AB为⊙O的一条弦，圆心O到弦AB的距离为4，若⊙O的半径为7，则⊙O上的点到弦
AB的距离最大值为______；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC=60°,AD为BC边上的高，若AD=6，求△ABC面积的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D，点P为BC上一点，
BD=80√2米，∠CDP=45°．则四边形ABPD的面积的最小值为______．
17．（2023·河南周口·二模）已知在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，连接AD．分别以A、B为
1
圆心，大于 AB的长为半径画弧，在AB的两侧分别交于点M、N，连接MN，MN交AB于点E，交AD
2
于点F，连接ED、FC．
ED
(1)如图1，若△ABC为正三角形，则∠DEC=__________； =__________．
FC
ED
(2)如图2，若AD=BC=2，EF的延长线交AC于点P，求 的值和FP的长．
FC
ED
(3)如图3，若AD=BC=2，把图2中的△AEF绕着点A旋转，直接写出 的值，以及BF的最小值和最
FC
大值．
18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，∠B=60°，点D，E分别是BC，AC上的动点，
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连接AD，DE．
(1)如图1，若AB>BC，且BD=DE，AD平分∠BAC，求∠CED的度数．
(2)如图2，若AB=BC，在平面内将线段AD绕点D顺时针方向旋转60度得到线段DF，连接BF，过点F
做FG⊥AB，垂足为点G，在点D运动过程中，猜想线段BD，BA，AG之间存在的数量关系，并证明你
的猜想．
(3)如图3，若点H为AC下方一点，连接AH，CH，△ACH为等边三角形，将△ACH沿直线AH翻折得
到△AHP．M是线段PB上一点，将△PMH沿直线HM翻折得到△HMN，连接PN，当线段PB取得最小
8√3
值，且tan∠PHN= 时，请求出PN:AC的值．
13
题型 07 与三角形有关的动点问题
19．（2023·吉林长春·二模）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点D是边BC上的一点，且
BD=2.动点P从点B出发，沿折线BA−AC以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连结PD，作点B关于直
线PD的对称点B'，连结B'P、B'D.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)线段CD的长为______ ．
(2)用含t的代数式表示线段AP(AP>0)的长．
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(3)连结AB'，求AB'的最小值．
(4)当DB'∥AC时，直接写出t的值．
20．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4，动点F从点
A出发沿折线AC−CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒√3个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单
位长度．当点F不与点C重合时，以CF为边在点C的右上方作等边△CFQ，设点F的运动时间为t（秒），
点F到AB的距离为h．
(1)AC=______；
(2)求h与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
2
(3)当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为 h，求t的值；
3
(4)作点Q关于直线AB的对称点为Q'，当以C,F,Q'为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出h的取值范
围．
21．（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=∠B=30°，AC=2cm，CD⊥AB于点D．
动点P从点A出发．以√3cm/s的速度沿边AB向点B匀速运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作
PQ⊥AB交折线AC−CB于点Q，将线段PQ绕点Q逆时针旋转60°得到线段QM，连接PM，设点P的运
动时间为x(s)，回答下列问题．
(1)直接写出AB=______cm；
(2)当点Q在边AC上时，CQ的长为______cm（用含x的代数式表示）；
(3)当点M落在边CD上时，求x的值；
(4)在点P运动的过程中，作点M关于直线AB的对称点N，连接PN、MN，设四边形PQMN与△ABC重
叠部分图形的面积为ycm2，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
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题型 08 与三角形有关的新定义问题
22．（2023·四川遂宁·一模）定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、
NH，满足∠1=∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；
定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上，若RP和QP关于
BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称
△PQR为△ABC的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，△≝¿三个顶点D、E、F分别在BC、AC、AB上．
(1)如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；
(2)如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．证明：△≝¿为
△ABC的光线三角形．
23．（2023·浙江宁波·二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相
似三角形为叠似三角形．
1
(1)如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+ ∠BAD=180°，求证：△ACB和
2
△ADC为叠似三角形；
(2)如图2，△ACB和△ADC为叠似三角形，若AB∥CD，AD=4，AC=6，求四边形ABCD的周长；
(3)如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE=DC，F为AC中点，且
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EF
∠BEC=∠AEF，若BC=9，AE=4，求 的值．
BE
24．（2023·山东青岛·一模）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角
形．如图①，AD是△ABC的中线，F是AD的中点，则△FBC是中原三角形．
(1)求中原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）．
(2)如图②，AD是△ABC的中线，E是边AC上的点，AC=3AE，BE与AD相交于点F，连接CF．求证：
△FBC是中原三角形．
(3)如图③，在（2）的条件下，延长CF交AB于点M，连接ME，求△FEM与△ABC的面积之比．
题型 09 与三角形有关的阅读理解问题
25．（2023·河南新乡·二模）阅读下列材料并并完成任务：
数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．如图1，已知在∠AOB中，点M、N
分别在射线OA、OB上，且OM＝ON，点P在线段OB上，求作直线PQ，使PQ∥MN．
小琦的作图方
法：如图2，连接MP，作∠QNP＝∠PMQ，NQ交OA于点Q，作直线PQ，则PQ∥MN．
（1）①通过师生讨论，小琦的解法得到赞同，下面是小琦不完整的证明过程请补充完成．
∵∠PMO=∠QNP，OM＝ON，∠O＝∠O，
∴ ，
∴ ，
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1
∴∠OPQ= (180°−∠O)，
2
1
∵∠ONM= (180°−∠O)，
2
∴ ，
∴
小颖：我认为小琦的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，作∠OMN的角平分线MC交OB
于点P，作MP的垂直平分线EG交OM于点Q，则PQ∥MN．…
任务：
(1)小琦得出△PMO≌△QNO的依据是 （填序号）．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA
(2)小颖的作法正确吗？若正确，请加以证明；
(3)如图4，已知∠AOB＝30°，点M、N分别在射线OA、OB上，且OM＝ON，点P在线段OB上，
点Q是射线 上的一动点，当 时，请直接写出S 的值．
OA ∠PMQ=∠QNP=45° △OPQ
S
△PQM
26．（2023·河南南阳·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务．
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．
所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长-部分与中线相等，以便构造全等三角
形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．
如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=3，AC=5，求AD的长的取值范围．
解题思路：如图①，延长AD到点E，使DE=DA，连接CE，则可证得△ECD≌△ABD（依据），得出
EC=AB=3，在△ACE中，AE=2AD，AC=5，CE=3，即可得到AE的取值范围，进一步得到AD的
取值范围．
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任务：
(1)上述解题思路中的“依据”是___________（填序号）
①SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL
(2)如图②，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB=5，AC=3，AD=2，求BC的长．
BF 1
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=4√6，点E是CD边的中点，连接AE，点F在直线BC上，且 = ，
CF 2
若∠FAE=∠DAE，请直接写出CF的长．
27．（2023·山西忻州·模拟预测）阅读与思考
如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．
平面直角坐标系与直角三角形
x年×月ⅹ日星期三
原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论
口诀：“两线一圆”
作图：举例如下：已知A(3，0)、B(0，4)，在直线x=1上求点C，使得△ABC为直角三角形．以下分
三种情况讨论：
情况一：当A为直角顶点时，过点A作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C．如图①，有
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C 一个点；
1
情况二：当B为直角顶点时，过点B作AB的垂线l交直线x=1于点C，则交点即为所求点C．如图②，有
C 一个点；
2
情况三：当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，则该圆与直线x=1的交点即为所求点C．如图③，有C ，
3
C 两个点；
4
方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似；
二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；
三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点．
任务：
(1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．转化思想
(2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中C 的坐标．
1
(3)直接写出“情况二”中C 的坐标 ；
2
(4)请你写出在“情况三”中，确定C 、C 的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出
3 4
一个即可）．
题型 10 与三角形有关的存在性问题
28．（2023·浙江金华·三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点D为AC的中点，点E
为折线A−B−C上一动点，连接DE，以DE为边作正方形DEFG（点F为点D绕点E顺时针旋转90°得
到），直线FG与直线BC，AC的交点分别为M，N．
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(1)当点E在线段AB上时，
①若AE=ED，求此时AE的长；
②若直线FG过点C，求此时正方形DEFG的面积；
(2)是否存在点E，使得△CMN是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长，若不存在，请说明理由．
29．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，
AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；
3
【类比迁移】（2）如图2，点A(−3,a)在反比例函数y= 图象上，连接OA，将OA绕点O逆时针旋转
x
k k
90°到OB，若反比例函数y= 经过点B．求反比例函数y= 的解析式；
x x
【拓展延伸】（3）如图3抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
C点，已知点Q(0,−1)，连接AQ，抛物线上是否存在点M，便得∠MAQ=45°，若存在，求出点M的横
坐标．
题型 11 三角形与几何图形综合
30．（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，在△OAB中，OB=3，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得OA'B'，连接BB'，则BB'=
________．
【问题探究】
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（2）如图2，已知△ABC是边长为4√3的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，
连接AP，BP，CP，将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得△DQC，求PA+PB+PC的最小值；
【实际应用】
（3）如图3，在长方形ABCD中，边AB=10，AD=20，P是BC边上一动点，Q为△ADP内的任意一
点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长，若不存在，
请说明理由．
31．（2023·广西·三模）知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题
得以解决．
实践操作
如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你延长AF交BC延长线于点M，我们易证
△ADF≌△MCF（自行补充图形）．
数学发现
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的
中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？ （用字母及符
号表示） ．
证明猜想
请结合“实践操作”完成猜想的证明．
已知：
求证：
证明：
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实际应用
如图，在 ▱ABCD中，AB=5，BC=8，E是边BC的中点，F是 ▱ABCD内一点，且∠BFC=90°. 连
接AF并延长，交CD于点G，若EF∥AB，求DG的长．
32．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与我们所学过的全等三角形等等数学知识相结合来解决问题，
有时我们还能从中探索学习一些新知．小苗在研究三角形旋转过程中，进行如下探究：如图，已知正方形
ABCD和正方形AEFG．
观察猜想：
GD
（1）在图1中，点E，F，G分别在边AB，AC，AD上，直接写出 = ；
FC
实践发现：
（2）将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图2所示位置，连接DG，FC，请问（1）中的结论是否发生变
化？并加以证明：
联系旧知：
（3）如果正方形ABCD的边长为5，正方形AEFG的边长为3．将正方形AEFG绕点A顺时针旋转至图3
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√2
所示位置，连接EG交AB于点M，交AC于点N，若NG= ，直接写出EM的长 ；
2
探求新知：
（4）在（3）的条件下，当正方形AEFG绕点A顺时针旋转至点E，F，B三点共线时，直接写出CG的长
．
题型 12 三角形与函数综合
33．（2023·宁夏银川·二模）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面
积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面
积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，
解题过程简便快捷．
请用等面积法的思想解决下列问题：
(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为______．
6
(2)如图1，反比例函数y=− (x>0)的图像上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则△PAB的面
x
积为______．
(3)如图2，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为
1
h ，h ，h ，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知 a(h +h +h )=S =3S ，可得
1 2 3 2 1 2 3 △ABC △OAB
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√3
h +h +h = a；如图3，若P是边长为4的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各
1 2 3 2
边距离分别为h ，h ，h ，h ，h ，参照上面的探索过程，求h +h +h +h +h 的值．（参考数据：
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
2 3
tan36°≈ ，tan54°≈ ）
3 2
(4)如图4，已知⊙O的半径为1，点A为⊙O外一点，OA=2，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接
AC，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
(5)我国数学家祖暅，提出了一个祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在
所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱
垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半
圆．用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等
于与帐篷同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部
1
分的面积），因此该帐篷的体积为______．（正棱锥的体积V = 底面积×高）
3
34．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点
A的坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,−3)，直线CD:y=2x−3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，
过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理
由；
(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，
请直接写出点M的坐标．
35．（2023·西藏日喀则·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于
A(−1，0),B(4，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
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(1)求这条抛物线的解析式：
(2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直
接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△PBC面积的最大
值．
36．（2023·山东济南·二模）如图，点B坐标为(−1,0)，点A在x轴的正半轴上，四边形BDEA是平行四
k
边形，DF⊥x轴于点F，BD=3√5,tan∠DBA=2，反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象经过
x
AC 1
点D，与AE交于点C，且 = ．
CE 2
(1)求反比例函数解析式及C点坐标；
(2)若线段BD上一点P，使得∠DCP=∠BDF，求点P的坐标；
(3)过点C作CG∥y轴，交DE于点G，点M为直线CG上的一个动点，H为反比例函数上的动点，是否存
在这样的点H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出所有满足条件的M点
坐标；若不存在，请说明理由．
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（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形ABC中，D是边BC上的中点，DE∥AB．将△CDE绕
点C顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到△CD'E'，连接AD'，AE'，当AE'=√3CD时，α的大小是
（ ）
A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150°
2．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD=CE，CD与AE交
于点F．延长CD到点P，使∠BPD=30°，若AF=a，CF=b，则下列结论错误的是（ ）
√3
A．∠AFD=60° B．BF的长度的最小值等于 AB
3
1
C．PC的长度为a+√3b D．△ACF的面积的最大值是△ABC的面积的
3
3．（2024·河南信阳·一模）如图1，已知 ▱ABCD的边长AB为4√3，∠B=30°，AE⊥BC于点E．现
将△ABE沿BC方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的△ABE与 ▱ABCD重叠部分的面积S与运动
时间t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（ ）
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8√3 9√3
A． B．3√3 C． D．5√3
3 2
4．（2024·河北衡水·一模）如图，在△ABC中，∠B=∠C=65°，将△MNC沿MN折叠得△MNC'，若
MC'与△ABC的边平行，则∠C'MN的度数为（ ）
A．57.5° B．25° C．57.5°或25° D．115°或25°
5．（2024·安徽·一模）如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，AB=BC，CD=DE，
∠ABC=∠CDE=90°，点A，C，E共线，点F和点G分别是BD和AE的中点，AE=4，连接
AF，CF，FG，EF，下列结论错误的是（ ）
A．CF+FG的最小值是2 B．S 的最大值为1
△BCD
C．S +S 的最小值为2√2 D．AF+EF的最小值为2√5
△ABC △CDE
二、填空题
6．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，AB=4，点D在边AC上由C向
A运动，点E在边BC上由B向C运动，且CD=BE，连接BD、AE交于点P，将边AC绕着点C顺时针旋
1
转90°得到CM，在射线CM上截取线段CF，使CF=√3AC，在D、E的运动过程中，求 PC+PF的最
2
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小值 ．
7．（2023·浙江金华·三模）如图是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条
AB=BC=28cm，CD=24cm，相连两根支撑条可绕交点转动，活动条EF，GH一端分别与支撑条BC，
CD中点连接，并且可绕固定支点E与支点G转动，通过转动活动条，将末端点F与点H分别卡入支撑条
AB及BC上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条GH=16cm．将电脑支架调节到如图2所示，底
部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条EF，使得∠ABC=30°，调节活动条GH使得GH⊥CD，此时
活动条末端点H到桌面的距离为 ，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即MP=NP，将其放
置到上述状态电脑支架上，使点M与点C重合，此时点P恰好与点D重合，开合电脑显示屏，点N到桌面
的最大高度是 ．
三、解答题
8．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】
如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P旋转，旋
转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．
探索线段DE、DF、AD之间的数量关系．
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【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段DE、DF、AD之
间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他条件不变，请你
帮小悦得出此时线段DE、DF、AD之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF
旋转至DF=1时，DE的长度为 ．
9．（2024·江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，
BC=10．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上
运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
问题提出：如图2．
（1）当OC=5时，点A的坐标为__________；
（2）在运动过程中，求OA的最大值；
问题探究：（3）如图3，点P为线段AD上一点，AP=2．
①在运动过程中，tan∠POC的值是否会发生改变，如果不变，请求出其值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．
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10．（2024·辽宁大连·一模）【概念感知】
两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”．
【概念理解】
1 3
如图1，二次函数y=− x2+ x+2的图象C 交x轴于点A,B，交y轴于点C，点D为线段BC的中点，二
2 2 1
1 3
次函数y=ax2+bx+c与y=− x2+ x+2是“异b族二次函数”，其图象C 经过点D．
2 2 2
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
【拓展应用】
（2）如图2，直线EF∥BC，交抛物线C 于E,F，当四边形CDEF为平行四边形时，求直线EF的解析
1
式；
（3）如图3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线C ,C 于点M，N，连接MC,NC，当
1 2
△MNC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
28
