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专题 13 二次函数性质压轴
目 录
题型01 待定系数法求二次函数解析式
题型02 二次函数的图象与性质
题型03 二次函数图象与各项系数的关系
题型04 根据二次函数的对称性求解
题型05 利用二次函数的性质求最值
题型06 二次函数与坐标轴交点问题
题型07 二次函数与不等式
题型08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
题型09 函数图象判断综合
题型10 二次函数与实际问题
（时间：60分钟）
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题型 01 待定系数法求二次函数解析式
1．（2024·广东佛山·一模）二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点坐标分别是(−1,0)，(6,0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；
(2)若该二次函数的最小值为−4，求b−c的最大值．
5
【答案】(1)y=x2−5x−6，x= ；
2
(2)b−c的最大值是5．
【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的构建二次函数，再
利用二次函数的性质解决问题即可．
（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y 的表达式为y=(x−x )(x−x )，其中x ，x 是抛物线与x
1 1 2 1 2
轴交点的横坐标，从而可得答案；
1
（2）由二次函数的性质可得c= b2−4，再建立b−c与b的函数关系式即可求出其最大值．
4
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c过点(−1,0)、(6,0)，
∴y=(x+1)(x−6)=x2−5x−6，即y=x2−5x−6．
b 5
∴抛物线的对称轴为直线x=− = ．
2a 2
（2）∵y=x2+bx+c，
b 1 1
当x=− 时，函数取最小值．最小值为y= b2− b2+c=−4，
2 4 2
1
∴c= b2−4，
4
∴b−c=b− (1 b2−4 ) =− 1 b2+b+4，
4 4
1
b=− =2
当 ( 1) 时，b−c有最大值，
2× −
4
1
最大值为− ×22+2+4=−1+2+4=5，
4
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∴ b−c的最大值是5．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知拋物线， y=x2+bx+c经过原点O，且与x轴交于点
A(4,0)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)若抛物线向上平移m（m>0）个单位长度后，平移后的顶点到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m
的取值范围．
【答案】(1)y=x2−4x，顶点坐标为(2,−4)
(2)10）个单位长度后，抛物线的解析式为y=(x−2) 2−4+m，
可得新抛物线的顶点坐标为(2,−4+m)，
∴新抛物线的顶点到x轴距离为|−4+m|，
∵平移后的顶点到x轴距离小于3，
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∴ |−4+m|<3，
解得：10 ，
1 2
即x +x >2t，
1 2
∵00或a<0画出函数图象，
结合位置关系，列式求解即可．
【详解】（1）解：将y=0代入y=2x+2可得2x+2=0，解得x=−1，即A(−1,0)
将A(−1,0)代入y=ax2+bx−5a可得：a−b−5a=0，解得b=−4a
即抛物线解析式为：y=ax2−4ax−5a，
此时对称轴为：x=2；
（2）解：由（2）可得抛物线经过点A(−1,0)，且对称轴为x=2
则抛物线与x轴的另一交点为：(5,0)，
将x=0代入y=2x+2可得，y=2，即B(0,2)，
将点B向右平移6个单位长度，得到点C，则C 点坐标为(6,2)，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
当a>0时，如下，图象开口向上，
x=0时，y=−5a，x=6时，y=36a−24a−5a=7a，
∴¿，
2
解得：a≥ ；
7
2
∴a≥ 时，抛物线与线段BC恰有一个公共点；
7
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当a<0时，如下图，图象开口向下，
x=0时，y=−5a，x=6时，y=36a−24a−5a=7a，
∴¿，
2
∴a<− ，
5
2
∴a<− 时，抛物线与线段BC恰有一个公共点；
5
当抛物线的顶点在线段BC上时，如图，则抛物线顶点为(2,2)，
将点(2,2)代入y=ax2−4ax−5a，得：2=4a−8a−5a，
2
解得：a=− ；
9
2 2 2
综上，当a≥ 或a<− 或a=− 时，抛物线与线段BC恰有一个公共点．
7 5 9
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了一次函数与坐标轴交点，点的平移，二次函数的性质，
解题的关键是熟练掌握相关基础性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
6．（2024·浙江·一模）在二次函数y=−x2+ax+1中(a≠0)，
(1)当a=2时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②当0≤x≤3时，求y的取值范围；
(2)若A(a−2,b)，B(a,c)两点都在这个二次函数的图象上，且ba，即a<0时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，
2
1 1
∴ a−a< a−(a−2)成立，
2 2
∴a<0，
③对称轴在点A左侧不合题意，舍去
综上所述，00；②−1≤a≤− ；③对于
3
任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．
其中正确结论为 （只填序号）
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【答案】②③④
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系等知识点，利用抛物线开口方向得到a<0，再由抛物线的对称轴方
程得到b=−2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=−3a可对②进行判断；利用二次
函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n−1有两个交点可对④进行判断，熟
练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
b
而抛物线的对称轴为直线x=− =1，即b=−2a，
2a
∴3a+b=3a−2a=a<0，所以①错误；
把点A(−1，0)带入解析式可得a−b+c=0，
∴c=−3a，
∵2≤c≤3，
∴2≤−3a≤3，
2
∴−1≤a≤− ，所以②正确；
3
∵抛物线的顶点坐标(1，n)，
∴x=1时，二次函数值有最大值n=a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标(1，n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n−1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故答案为②③④．
9．（2023·山东青岛·三模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①
3a+2b+c<0；②3a+c0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴
的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右．
（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．由二次函数的开口方向，
对称轴x=2，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．
【详解】解：①由图象可知，当x=1时，y<0，即a+b+c<0，
∵对称轴x=−1，a<0，
∴b=2a<0，
∴a+2a+c<0，即3a+c<0，
∴3a+2b+c<0，故①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴3a+c<0am2+bm+c，
∴m(am+b)+b0 ②a+c2，则y >y ；其中正确的结论有 ．
1 2 1 2 1 2
【答案】②④⑤
【详解】
题目主要考查二次函数的图象和性质及与一元二次方程的关系，结合图象及性质依次进行判断即可，熟练
掌握二次函数的基本性质是解题关键．
b
解：①由图象可知a<0，c>0，对称轴x=− =1，
2a
∴b=−2a且b>0，
∴abc<0，故①不正确；
②由图可知当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴a+c0，故③不正确；
④∵b=−2a，a+c− b+c，
2
∴2c<3b，故④正确．
⑤∵M(x ,y )N(x ,y )是抛物线上两点(x 2，
1 1 2 2 1 2 1 2
x +x
∴ 1 2>1，
2
∵函数对称轴是直线x=1，
∴M(x ,y )到对称轴的距离小于N(x ,y )到对称轴的距离，
1 1 2 2
∴y >y ，故⑤正确．
1 2
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故答案为：②④⑤．
11．（2023·山东青岛·二模）如图是抛物线y =ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标
1
A(1,3)，与x轴的一个交点B(4,0)，直线y =mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①
2
2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；④方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数
根；⑤当10，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点B(4,0)，
∴另一个交点坐标为(−2,0)，故③错误；
④从图象可以知道，抛物线顶点为(1,3)，
∴抛物线y =ax2+bx+c与直线y=3有且只有一个交点，
1
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当1y ，故⑤正确；
1 2
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故答案为：①④⑤
题型 04 根据二次函数的对称性求解
12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐标系xOy中，A(x ,y )，B(x ,y )是抛物线
1 1 2 2
y=ax2+bx+c(a<0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x=m．
(1)若对于x =−1，x =−2，有y = y ，求m的值．
1 2 1 2
(2)若对于−1≤x <0，x =0，都有y ≥ y ，求m的取值范围．
1 2 1 2
3
【答案】(1)m=−
2
1
(2)m≤−
2
【分析】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据对称性得到点(0,y )关于对称轴对称的点为(2m,y )，y ≥ y ，由a<0，抛物线开口向下，得到
2 2 1 2
2m≤x <0，再结合−1≤x <0进行求解，即可解题．
1 1
【详解】（1）解： ∵x =−1，x =−2，有y = y ，
1 2 1 2
x +x −1+(−2) 3
∴m= 1 2= =− ．
2 2 2
（2）解： ∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴点(0,y )关于对称轴对称的点为(2m,y )．
2 2
∵y ≥ y ，a<0，抛物线开口向下，
1 2
∴2m≤x <0，
1
∴2m≤−1，
1
∴m≤− ．
2
1
13．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数y=− x2+bx+c的图象经过原点O和点A(8+t,0)，其中
4
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t≥0．
(1)当t=0时．
①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
②当x=a和x=b时(a≠b)，函数值相等，求a的值．
(2)当t>0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值．
1
【答案】(1)① y=− x2+2x；当x=4时，y有最大值为4；② 6；
4
(2)t=9，x=8．
【分析】（1）①当t=0时，求出点A坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可
求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题；
1 1
②根据x=a和x=b时(a≠b)，函数值相等，列得方程− a2+2a=− ×22+2×2，解方程即可求解；
4 4
1
（2）求出二次函数y=− x2+bx的对称轴x=2b，由二次函数图象经过原点O和点A(8+t,0)，可得
4
8+t 1
2b= =4+ t，分t≤8和t>8两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解；
2 2
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最
值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ①当t=0时，A(8,0)，
1
把A(8,0)、O(0,0)代入y=− x2+bx+c得，
4
¿，
∴¿，
1
∴二次函数为y=− x2+2x，
4
1 1
∵y=− x2+2x=− (x−4) 2+4，
4 4
∴当x=4时，y有最大值，最大值为4；
②∵x=a和x=b时(a≠b)，函数值相等，
1 1
∴− a2+2a=− ×22+2×2，
4 4
整理得，a2−8a+12=0，
解得a=2（不合，舍去）或a=6，
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∴a的值为6；
1
（2）解：∵二次函数y=− x2+bx+c的图象经过原点O，
4
∴c=0，
1
∴二次函数y=− x2+bx，
4
∴对称轴为直线x=2b，
1
∵二次函数y=− x2+bx+c的图象经过原点O和点A(8+t,0)，
4
8+t 1
∴2b= =4+ t，
2 2
当t≤8时，对称轴x=2b≤8，
∵0≤x≤8，
∴x=2b时，y有最大值18，
1
即− ×(2b) 2+b×2b=18，
4
整理得，b2=18，
∴b=−3√2或b=3√2，
∵4<2b≤8
∴28时，对称轴x=2b>8，
1
∵− <0，
4
∴在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大，
∵0≤x≤8，
∴当x=8时，y有最大值18，
1
即− ×82+8b=18，
4
17
解得b= ，
4
1 17
∴4+ t=2× ，
2 4
∴t=9；
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综上，t=9，x=8．
14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b，其中
a−b=4．
(1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函数的表达式．
(2)若(x ,y )、(x ,y )为此二次函数图象上两个不同点，当x +x =2时，y = y ，求a的值．
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)若点(−1,t)在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．
【答案】(1)y=2x2+3x−2
1
(2)a=−
3
(3)−50和a<0分别求解即可．
【详解】（1）解：将(1,3)，a−b=4代入y=ax2+(a+1)x+b得：3=a+a+1+a−4，
解得：a=2，
∴b=a−4=−2,
∴这个二次函数的表达式为：y=2x2+3x−2；
（2）∵y = y ，
1 2
∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，
b x +x
∴− = 1 2，
2a 2
a+1
∴− =1，
2a
1
∴a=− ；
3
（3）解：点(−1,t)在二次函数图象上，
∴t=a−a−1+a−4=a−5，
∵当x≥−1时y随x的增大而增大，
a+1
当a>0时，有− ≤−1，
2a
∴01时，分情况讨论即可得出结论．
【详解】（1）
解：将点（1,−5）代入y=x2+2ax−4，
得−5=1+2a−4，
解得a=−1；
（2）
解：∵a=−1，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−4=（x−1）2−5．
∴抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向上，顶点坐标为（1,−5），
∴当−1≤x≤4时，二次函数的最小值为−5；
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当x=4时，二次函数的最大值为y=（4−1）2−5=4．
∴当−1≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为−5；
（3）
解：∵y=x2+2ax−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−a，抛物线经过点（0,−4），
①当−a<0时，a>0，
∵抛物线的开口向上，当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5，
∴当x=1时，1+2a−4=5，
∴a=4；
②当0≤−a≤1时，−1≤a≤0，
当x=−a时，a2−2a2−4=−5，
∴a=−1或1（舍去）；
③当−a>1时，a<−1，
当x=1时，1+2a−4=−5，
∴a=−1（舍去）；
综上所述，a=4或−1．
19．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐标系中，点(2,y )在抛物线y=x2+bx上．
1
(1)当b<−1时，试说明y <2．
1
(2)若点(1,m)和(−2,n)在该抛物线上，且mn>0，求b的取值范围．
(3)当−1≤x≤4时该抛物线的最小值是−2，求b值．
【答案】(1)见解析
(2)−10得到−2(b+1)(b−2)>0，令w=−2(b+1)(b−2)，即w是
b的二次函数，根据二次函数的图象和性质即可得到答案；
（3）由 y=x2+bx= ( x+ b) 2 − b2可知，抛物线开口向上，抛物线的顶点为( − b ,− b2 )，对称轴为
2 4 2 4
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b
x=− ，根据对称轴的位置分析即可得到答案．
2
【详解】（1）解：∵点(2,y )在抛物线y=x2+bx上．
1
∴y =22+2b=4+2b，
1
∵b<−1，
∴4+2b<2，
∴y <2；
1
（2）∵点(1,m)和(−2,n)在抛物线y=x2+bx上，
∴m=1+b,n=4−2b，
∴mn=(1+b)(4−2b)=−2b2+2b+4=−2(b2−b−2)=−2(b+1)(b−2)，
∵mn>0，
∴−2(b+1)(b−2)>0，
令w=−2(b+1)(b−2)，即w是b的二次函数，
当w=−2(b+1)(b−2)=0，解得b =−1,b =2，函数图象如图，
1 1
由图象可知，当−10，
∴b的取值范围是−14时，x=4时，y的最小值为−2，
2
则42+4b=−2，
9
解得b=− ，
2
b 9
∵− = <4，
2 4
9 b
∴b=− 不满足− >4，舍去，
2 2
b
当− <−1时，x=−1时，y的最小值为−2，
2
则(−1) 2−b=−2，
解得b=3，
b 3
∵− =− <−1，
2 2
∴b=3满足题意，
综上可知，b的值为−2√2或3．
20．（2023·河南驻马店·二模）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点(0,−3)，(6,−3)．
(1)求b，c的值；
(2)当0≤x≤4时，求y 的最大值；
1
(3)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．
【答案】(1)b=6，c=−3；
(2)6；
(3)3−√2或3+√11．
【分析】（1）本题考查了待定系数法求二次函数系数，把点(0,−3)，(6,−3)代入y=−x2+bx+c求解，
即可解题．
（2）本题考查了二次函数的图象和性质，以及二次函数的最值问题，根据y=−x2+6x−3求出对称轴，
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再根据增减性，即可解题．
（3）本题考查了二次函数的最值问题，以及二次函数的图象和性质，根据题意对m分情况进行讨论，①
当0≤m<3时，②当3≤m≤6时，③当m>6时，用m表示出对应的最大最小值，根据y的最大值与最小值
之和为1，建立等式，即可求解．
【详解】（1）解：把点(0,−3)，(6,−3)代入y=−x2+bx+c得：
¿，解得¿，
∴b=6，c=−3．
（2）解：由（1）可知y=−x2+6x−3，
∴对称轴为直线x=3，
∵a=−1＜0，
∴开口向下，
∴当x=3时，函数值有最大值，
∴当0≤x≤4时，y 的最大值y=−9+18−3=6．
1
（3）解：m的取值为3−√2，理由如下：
①当0≤m<3时，
x=0时，y=−3，
x=m时，y=−m2+6m−3，
根据题意得−m2+6m−3−3=1，
解得m=3−√2或3+√2（舍去），
②当3≤m≤6时，
y的最大值为6，最小值为−3，−3+6=3不合题意，
③当m>6时，
x=3，y=6，
x=m，y=−m2+6m−3，
根据题意得−m2+6m+3=1，
解得m =3−√11（不合题意，舍去），m =3+√11，
1 2
综上，m的取值为3−√2或3+√11．
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题型 06 二次函数与坐标轴交点问题
21．（2023·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+3（a为常数，a≠0）．
(1)若a<0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点．
(2)若a=−1，求证：当−10．
(3)若该函数的图像与x轴有两个公共点(x ,0)，(x ,0)，且−13或a<−1
【分析】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的性质、解不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）计算出Δ=(−2a) 2−4×a×3=4a2+(−12a)，由a<0可得a2>0，−12a>0，从而得出Δ>0，即可
得证；
（2）当a=−1时，y=−x2+2x+3，由抛物线开口方向和对称轴可得当x<1时，y随x增大而增大，当
x>1时，y随x增大而减小，计算出当x=−1时，y=−1−2+3=0，当x=0时，y=3，由此即可得出答案；
（3）求出抛物线的顶点为(1,3−a)，再分两种情况：当a>0时，则有¿；当a<0时，则有¿；分别计算即可
得出答案．
【详解】（1）证明：令y=0，则ax2−2ax+3=0
∵a<0，
∴b2−4ac=(−2a) 2−12a=4a2−12a>0
∴该方程有2个不等实根，即二次函数与x轴有两个交点；
（2）证明：方法一：
当a=−1时，二次函数为：y=−x2+2x+3=−(x−3)(x+1)
抛物线开口向下，与x轴交于(−1,0)，(3,0)；
∴当−10
方法二：
当a=−1时，二次函数为：y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4
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∵−10；
（3）解：y=ax2−2ax+3=a(x−1) 2+3−a，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,3−a)；
①当a>0时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在(−1,0)与(4,0)之间（不包含这两点），
则只需保证顶点在x轴下方，x=−1时y>0，x=4时y>0
则有¿，
解得：a>3；
②当a<0时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在(−1,0)与(4,0)之间（不包含这两点），
则只需保证顶点在x轴上方，x=−1时y<0，x=4时y<0
则有¿，
解得：a<−1；
综上，当a>3或a<−1时，二次函数与x轴两个交点在(−1,0)与(4,0)之间（不包含这两点），
故答案为：a>3或a<−1．
22．（2023·河南郑州·三模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(−3,0)，B(1,0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：直线y=−3x+5与该抛物线没有交点，
(3)若C(m,y )，D(n,y )为抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)上两点(m ；
2
(3)k=3；
【分析】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的平移：
（1）将点代入求解即可得到答案；
（2）将点代入解析式，结合y ；
2
（3）解：∵抛物线y=x2−2(m−1)x−2m+m2向下平移k个单位，
∴y=x2−2(m−1)x−2m+m2−k，
当y=0时，
x2−2(m−1)x−2m+m2−k=0，
−2(m−1) −2m+m2−k
∴x +x =− =2(m−1)，x x = =−2m+m2−k，
1 2 1 1 2 1
∵新抛物线与x轴的两个交点的距离为4，
∴(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =4(m−1) 2−4×(−2m+m2−k)=4+4k=42 ，
1 2 1 2 1 2
解得：k=3．
25．（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c与x轴交于A，B两点
（点A在点B左侧），点C(3,5)是抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标．
(2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b，请结合图象直接写出不等式kx+b>−x2+2x+c的解集．
(3)平行于x轴的直线l交抛物线于点P(x ,y )，Q(x ,y )，交直线AC于点N(x ,y )，若x 3
(3)5−x2+2x+c的解集即可；
（3）求出抛物线的顶点坐标为(1,9)，对称轴是直线x=1，根据二次函数性质求出x +x =2，由
1 2
x 3时，一次函数的图象在二次函数图象的上面，
∴不等式kx+b>−x2+2x+c的解集为x<−2或x>3；
（3）解：∵直线l平行于x轴，
∴y = y ，即点P,Q关于对称轴对称，
1 2
∵y=−x2+2x+8=−(x−1) 2+9，
∴抛物线的顶点坐标为(1,9)，对称轴是直线x=1，
∴x +x =2，由x 0
(3)x<−4或−20时，y随x的增大而增大；
故答案为：x>0；
12 2 10 12 2 10
（3）不等式− <− x− 表现在图象上面即函数y=− 的图象比函数y=− x− 的图象低，
x2+2 3 3 x2+2 3 3
12 2 10
因此观察图象，即可得到− <− x− 的解集为：x<−4或−20)，则F'K=4a，
∴F'(3a,−4a)，
设直线OF'的解析式为：y=k'x，
把F'(3a,−4a)代入y=k'x得：−4a=3a⋅k'，
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4
解得：k'=−
，
3
4
∴直线OF'的解析式为：y=− x，
3
4 1 1
令− x= x2− x−3，
3 4 4
−13+√601 −13−√601
解得：x = ，x = （舍去），
1 6 2 6
−13+√601
∴点H的横坐标为 ；
6
当F'P⊥y轴时，连接F'P并延长交y轴于点K，交BG于点L，如图所示：
∵∠GKL=90°，∠BGO=45°，
∴∠F'LG=90°−45°=45°，
∴此时直线F'P与直线BG所成夹角为45°，符合题意，
根据折叠可知，∠OF'P=∠OFP，
3
∴tan∠OF'K=tan∠OFD=
，
4
∴设OK=3a(a<0)，则F'K=4a，
∴F'(4a,3a)，
设直线OF'的解析式为：y=k″x，
把F'(4a,3a)代入y=k″x得：3a=4a⋅k″，
3
解得：k″=
，
4
3
∴此时直线OF'的解析式为：y= x，
4
3 1 1
令 x= x2− x−3，
4 4 4
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解得：x =−2，x =6（舍去），
1 2
∴此时点H的横坐标为−2；
−13+√601
综上分析可知，点H的横坐标为−2或 ．
6
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，二次函数解析式，求一次函数解析式，
折叠问题，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨
论，准确计算．
28．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点
A(−1,0)，点B(3,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AC，BC，过点C作射线CM交x轴的正半轴于点M，点M与点A关于原点对称，点P是
第四象限抛物线上一动点，过点P作BC的垂线交CM于点G，求线段PG长度的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，把点C向上平移1个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度
α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中边A'Q'交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得
∠Q'=∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
25√2 (5 7)
(2)GP = ，此时P − ；
max 16 2 4
( 4√5 2√5) ( 2√5 4√5) (4√5 2√5) (2√5 4√5)
(3) − ,− − , , ,− ．
5 5 5 5 5 5 5 5
【分析】
(1)利用待定系数法求解即可；
(2)延长PG交y轴于点D，过G ¿⊥y轴于点E，过P作PF⊥y轴于点F，求出MC解析式为y=3x−3，
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证明△DEG和△DFP是等腰直角三角形，推导 GP=DP−DG=√2(DF−DE)=√2EF，点 P 为
(t，t2−2t−3)，则FP=DF=t，D(0,t2−t−3)，求出直线DP的解析式为：y=−x+t2−t−3，继而求
(t2−t 3t2−3t−12) √2( 5) 2 25√2
出G , ，GP=√2EF=√2(y −y )=− t− + 继而得解；
4 4 G P 4 2 16
(3) 由 旋 转 性 质 可 知 ， Rt△AOQ≌△Rt△A'OQ'， ∠Q'=∠QOG， 得 出
AO Q'T
sin∠Q'=sin∠AQO=sin∠Q'OG,即 = ，最后代入求值即可；
AQ OQ'
本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）
把点A(−1,0)，点B(3,0)代入抛物线y=x2+bx+c,
得¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
（2）
延长PG交y轴于点D，过G作¿⊥y轴于点E，过P作PF⊥y轴于点F，
∵点M与点A关于原点对称，A(−1，0)
∴点M(1,0)，
由y=x2−2x−3得C(0,−3)，
∴OB=OC=3，
∴设MC解析式为y=mx+n，
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则¿，解得：¿，
∴MC解析式为y=3x−3，
同理直线BC解析式为y=x−3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵PG⊥BC，
∴△DEG和△DFP是等腰直角三角形，FP=DF，EG=DE，
∴DP=√2DF，DG=√2DE，
∴GP=DP−DG=√2(DF−DE)=√2EF，
设点P为(t，t2−2t−3)，则FP=DF=t，
∴F(0,t2−2t−3)，D(0,t2−t−3)，
则同理用待定系数法可知直线DP的解析式为：y=−x+t2−t−3，
将直线DP的解析式与MC解析式联立得：
¿
解得：¿，
(t2−t 3t2−3t−12)
即G ,
4 4
√2( 5) 2 25√2
∴GP=√2EF=√2(y −y )=− t− + ，
G P 4 2 16
∴当t=
5
时，GP =
25√2
，此时点P的纵坐标为t2−2t−3=−
7
，即P
(5
−
7)
．
2 max 16 4 2 4
（3）
存在，①过点Q'作Q'T⊥y轴交y轴于点T，
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由旋转性质可知，Rt△AOQ≌△Rt△A'OQ'，∠Q'=∠QOG，
AO Q'T
∴sin∠A'Q'O=sin∠AQO=sin∠Q'OG，即 = ，
AQ OQ'
∵AO=1，OQ=2，
∴ AQ=√5，
1 Q'T
∴ =
√5 2
2√5 4√5
∴Q'T= ，OT= ，
5 5
∴Q'(
−
2√5
,
4√5)
，
5 5
②如图，
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同①理：Q'(4√5
,
2√5)
；
5 5
③如图，
同理：Q'(2√5
,−
4√5)
；
5 5
④如图，
同①理：Q'(
−
4√5
,−
2√5)
，
5 5
( 4√5 2√5) ( 2√5 4√5) (4√5 2√5) (2√5 4√5)
综上，满足条件的点Q的坐标为： − ,− − , , ,− ．
5 5 5 5 5 5 5 5
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29．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点
B(−6,0)和点C(2,0)，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
(1)求抛物线表达式；
( 7)
(2)点Q 1， ，点M在x轴上，点E在平面内，且四边形ANEM是平行四边形．
3
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP H ，
1 1
求BP +√2OH 的最小值．
1 1
1 4
【答案】(1)y=− x2− x+4
3 3
(2)①E(−2,−2)；②6√2
【分析】
（1）将点B、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由Q坐标求出BQ解析式，然后根据四边形ANEM是平行四边形和△BME≌△AOM得出
BM=OA=4，再分类讨论求得M和E的坐标；
②求出AM解析式，交点为P，再求出H坐标，然后由两点间距离公式求出BP和BH长度，因为旋转不改
变长度，所以BP 长度不变，当H旋转到x轴上时，此时OH 最短，所以此时OH 等于BO−BH，然后
1 1 1
代入计算即可．
【详解】（1）
解：①抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B(−6,0)和点C(2,0)，
∴ ¿，
解得：¿
1 4
∴ y=− x2− x+4；
3 3
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（2）
1 4
解：∵ y=− x2− x+4
3 3
∴OA=4，
设直线BQ的解析式为y=kx+b1，
( 7)
∵B(−6,0)，Q 1，
3
∴ ¿，
解得¿，
1
∴直线BQ的解析式为y= x+2，
3
∵N为BQ与y轴交点，
∴N(0,2)，
∴AN=2，
∵四边形ANEM是平行四边形，
∴ AN∥EM且EM=AN=2，且点E在点M下方，
∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，
∴BM=OA=4，
∵B(−6,0)，
∴M(−2,0)或(−10,0)，
若M为(−2,0)，
∵∠BME=∠AOM=90°，
故E(−2,−2)，
若M为(−10,0)，
∵OM=ME=2，此时OM=10，(矛盾，舍去)，
综上，点E的坐标为(−2,−2)；
②如图，设AM的解析式为y=kx+b,
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∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，
∴点A的坐标为(0，4)，
将点A(0,4)、M(−2,0)的坐标代入y=kx+b得：
¿，
解得¿，
∴AM的解析式为y=2x+4，
AM与BQ相交于点P，
∴ ¿，
解得¿，
( 6 8)
所以点P的坐标为 − , ，
5 5
设直线BE的解析式为y=mx+n，
将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得：
¿，
解得¿，
1
所以直线BE的解析式为y=− x−3，
2
BE与AM相交于点H，
∴ ¿，
解得¿，
( 14 8)
∴点H的坐标为 − ,− ，
5 5
√ ( 6 ) 2 (8) 2 8√10
∴BP= − +6 + =
5 5 5
√ ( 14 ) 2 ( 8) 2 8√5
BH= − +6 + − =
5 5 5
8√10
∴BP =
1 5
当H旋转到x轴上时，此时OH 最短，
1
∴ OH =BO−BH=6
1
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8√10 ( 8√5)
∴BP +√2OH = +√2 6− =6√2.
1 1 5 5
∴ BP +√2OH 的最小值为6√2．
1 1
30．（2024·江西南昌·一模）如图、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C :y=−x2+2x+3与x轴交于点A，
1
点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为抛物线C 的顶点，连接PB，将抛物线C 绕点O旋转
1 1
180°得到抛物线C ．
2
(1)求抛物线C 的解析式．
2
(2)连接AC，BC，求sin∠ACB的值．
(3)连接CP，Q是抛物线C 上的点，若满足∠QCO=∠PBC，求点Q的坐标．
2
【答案】(1)y=x2+2x−3
2
(2)sin∠ACB= √5
5
(3)点Q的坐标为(−2,−3)或(1,0)
【分析】
本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算：
（1）由C :y=−x2+2x+3求出与x轴的交点A(−1,0)，B(3,0)，顶点坐标P(1,4)，设C 的解析式为
1 2
y=a(x+1) 2−4，将点A关于原点对称的点的坐标(1，0)代入，求出a=1，即可得C 的解析式；
2
（2）过点B作BE⊥AC于点E，由两点间距离公式求出BC=3√2,AB=4,AC=√10，由三角形面积公
6√10 2
式求出BE= ，从而可求出sin∠ACB= √5；
5 5
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1
（3）证明△BPC是直角三角形且tan∠PBC= ，分点 Q 在 y轴左侧和右侧两种情况，根据
3
1
∠QCO=∠PBC即tan∠QCO=tan∠PBC= 讨论求解即可．
3
【详解】（1）解：对于C :y=−x2+2x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，−x2+2x+3=0，
1
解得，x =−1,x =3，
1 2
∴C(0,3),A(−1,0),B(3,0)，
又C :y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
1
∴抛物线的顶点P的坐标为(1，4)，
设点A关于原点对称的点A'的坐标为(1,0)，
由旋转知，C 的顶点坐标为(−1,−4)，且过点A'(1,0)，
2
∴设C 的解析式为y=a(x+1) 2−4，
2
把A'(1,0)代入得，4a−4=0,
解得，a=1，
∴C 的解析式为y=(x+1) 2−4=x2+2x−3；
2
（2）解：∵C(0,3),A(−1,0),B(3,0)，
∴AB=|3−(−1)|=4, AC=√(−1−0) 2+(0−3) 2=√10, BC=√(3−0) 2+(0−3) 2=3√2, OC=3,
1 1
∴S = AB×OC= ×4×3=6，
△ABC 2 2
过点B作BE⊥AC于点E，如图，
，
1 1
则S = AC×BE= ×√10×BE=6，
△ABC 2 2
12 12 6
∴BE= = = √10，
AC √10 5
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6√10
∴ BE 5 2
sin∠ACB= = = √5
BC 3√2 5
（3）解：∵P(1,4),B(3,0),C(0,3),
∴PB2=(1−3) 2+(4−0) 2=20,BC2=(3−0) 2+(0−3) 2=18, PC2=(1−0) 2+(4−3) 2=2，
∴PC2+BC2=PB2，
∴△PBC是直角三角形，
PC √2 1
∴tan∠PBC= = = ；
BC 3√2 3
分两种情况：
（i）当点Q在y轴左侧时，如图，过点Q作QF⊥y轴于点F，
∵∠QCO=∠PBC，
1
∴tan∠QCO=tan∠PBC= ，
3
设点Q的坐标为(m,m2+2m−3)，则：QF=−m，CF=3−m2−2m+3，
−m 1
=
∴ ，
3−m2−2m+3 3
解得，m =−2,m =3，
1 2
经检验，m =−2,m =3是原方程的根，
1 2
又m<0，
∴m=−2，
此时，点Q的坐标为(−2,−3)；
（ii）当点Q在y轴右侧时，如图，
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∵点A关于原点对称的点A'的坐标为(1，0)，
∴OA'=1，
OA' 1
连接C A'，则有：tan∠A'CO= = ，
OC 3
∴tan∠A'CO=tan∠PBC,
∴点Q与点A'重合，
∴Q(1,0)，
综上，点Q的坐标为(−2,−3)或(1,0)
31．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，二次函数y=ax2+bx−√3(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，连接AC、BC，点A的坐标为(−3,0)．已知当x=−5和x=3时，二次函数的值相等．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点M，N同时从点B出发，均以每秒一个单位长度的速度分别沿线段BA、BC运动，其中一个点到达
终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在
AC边上的点P处，求t的值及点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形
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与△ABC相似？如果存在，请直接写出点Q的坐标：如果不存在，请说明理由．
√3 2√3
【答案】(1)y= x2+ x−√3；
3 3
4 ( 2√3)
(2)t的值为 ，点P的坐标为 −1,− ；
3 3
( 2√3)
(3)存在， −1, ．
3
【分析】
本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，二次函数综合问题；
（1）根据对称性得出二次函数图象的对称轴为直线x=−1，可得b=2a，进而将点A(−3,0)代入解析式，
待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先证明△BMN为等边三角形，根据将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在AC边上的点P处，得出
2√3 ( 2√3)
∠CBP=30°，在Rt△BCP中，求得CP= ，从而得出点P的坐标为 −1,− ，在Rt△PCN中，
3 3
1
求得CN= BN，进而即可求解．
2
（3）存在一种情况，在图2中，过点B作QB⊥BC，交二次函数图象的对称轴于点Q，连接QN，设二次
函数图象的对称性与x轴交于点F，根据相似三角形的性质得出
【详解】（1）解：∵当x=−5和x=3时，二次函数的值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=−1，
∴b=2a①，
又∵点A(−3,0)在二次函数y=ax2+bx−√3(a≠0)的图象上，
∴0=9a−3b−√3②．
联立①②成方程组，¿，
解得：¿
√3 2√3
∴二次函数的表达式为y= x2+ x−√3．
3 3
√3 2√3
（2）当x=0时，y= x2+ x−√3=−√3，
3 3
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∴点C的坐标为(0,−√3)，
√3 2√3
当y=0时，有 x2+ x−√3=0，
3 3
解得：x =−3，x =1，
1 2
∴点B的坐标为(1,0)．
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，BO=1，CO=√3，
∴BC=√BO2+CO2=2=2BO，
∴∠BCO=30°，∠CBO=60°．
∵BM=BN，
∴△BMN为等边三角形．
在图1中，连接BP，过点P作PE⊥x轴于点E．
∵将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在AC边上的点P处，
∴BP⊥MN，
∴BP平分∠MBN，
∴∠CBP=30°．
∵点A(−3,0)，C(0,−√3)，
∴∠OAC=30°，∠OCA=60°，
∴∠BCP=∠BCO+∠OCA=90°，
在Rt△BCP中，BC=2，∠CBP=30°，∠BCP=90°，
2√3
∴CP=
3
∵BP平分∠MBN，
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2√3
∴EP=CP= ，BE=BC=2，
3
( 2√3)
∴点P的坐标为 −1,−
3
在Rt△PCN中，∠PCN=90°，∠PNC=180°−60°−60°=60°，
1 1
∴CN= PN= BN，
2 2
2 4
∴BN= BC= ，
3 3
4 ( 2√3)
∴t的值为 ，点P的坐标为 −1,− ．
3 3
（3）存在一种情况，在图2中，过点B作QB⊥BC，交二次函数图象的对称轴于点Q，连接QN，设二次
函数图象的对称性与x轴交于点F．
∵∠QBN=90°，∠OBC=60°，
∴∠QBF=30°，
∵BF=1−(−1)=2，
2 4√3
∴QB= = 2 2√3 ( 2√3)
√3 3 ，QF= = ，则Q的坐标为 −1, ．
√3 3 3
2
4
∵∠QBN=90°，BN= ，
3
QB
∴tan∠QNB= =√3，
NB
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∴∠BNQ=60°=∠CBA．
又∵∠QBN=∠ACB=90°，
∴△QBN∽△ACB．
( 2√3)
∴存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似，点Q的坐标为 −1, ．
3
题型 09 函数图象判断综合
k
32．（2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数y= (k≠0)在第二象限内的图像与一次函数y=ax+b的图像
x
如图所示，则函数y=ax2−bx−k+1的图像可能为（ ）
A B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数y=ax+b的图象经过第一、
k
二、三象限，且与y轴交于正半轴，则a<0，b>0，反比例函数y= (k≠0)的图象经过第二、四象限，
x
−b
则k<0，从而函数y=ax2−bx−k+1的图象开口向下，对称轴为直线x=− <0，−k+1>0，从而排
2a
除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则a<0，b>0，
k
反比例函数y= (k≠0)的图象经过第二、四象限，则k<0，
x
−b b
∴函数y=ax2−bx−k+1的图象开口向下，对称轴为直线x=− = <0，−k+1>0．
2a 2a
∴综上，可得B正确．
故选：B．
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k
33．（2024·安徽·一模）已知反比例函数y= (k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=x+b的图象如图
x
所示，则函数y=x2+bx−k+1的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了反比例函数和一次函数综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．根据反比
例函数和一次函数的图象，可得k<0，b>1，进而得到函数y=x2+bx−k+1的图象的对称轴在y轴左侧，
再根据反比例函数与一次函数的交点坐标，得到k+b=1，进而得到函数y=x2+bx−k+1与y轴交点纵坐
标大于1，即可判断图象．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过二、四象限，
x
∴k<0，
∵当x=0时，y=x+b>1，
∴b>1，
∴函数y=x2+bx−k+1的图象的对称轴在y轴左侧，排除B选项；
∵反比例函数与一次函数有两个交点，一个交点横坐标为−1，一个交点纵坐标为1，
∴k+b=1，
∴−k+1=b>1，
∴当x=0时，y=x2+bx−k+1=−k+1>0，即函数y=x2+bx−k+1与y轴交点纵坐标大于1，
∴D选项符合题意，
故选：D．
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a
34．（2024·河南安阳·模拟预测）二次函数y=ax2−a(a≠0)与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中
x
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查反比例函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的图象，熟练掌握反比例函数与二次函数
的性质是解题的关键.先根据各选项中抛物线的位置确定a的符号，再根据a的符号对双曲线的大致位置进
行判断即可．
【详解】
A. 根据抛物线开口向上，可得a>0，则−a<0，抛物线与y轴交于负半轴，矛盾，故选项错误；
B. 根据抛物线开口向下，可得a<0，则−a>0，抛物线与y轴交于正半轴，矛盾，故选项错误；
C. 根据抛物线开口向下，可得a<0，则−a>0，抛物线与y轴交于正半轴，双曲线在第二、四象限，故选
项正确；
D. 根据抛物线开口向下，可得a<0，则−a>0，抛物线与y轴交于正半轴，双曲线应该在第二、四象限，
故选项错误.
故选：C
35．（2024·安徽·一模）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象，则双曲线
4a−2b+c
y= 和直线y=abcx+b的大致图象可能是（ ）
x
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数以及反比例函数的图象与系数的关系；
4a−2b+c
根据x=−2，y>0可得4a−2b+c>0，则双曲线y= 的图象位于一、三象限；根据抛物线的
x
图象判断出a>0，b>0，c<0，可得abc<0，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行判断．
【详解】
解：根据抛物线的图象可得，当x=−2时，y>0，即4a−2b+c>0，
4a−2b+c
∴双曲线y= 的图象位于一、三象限；
x
∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴位于y轴左侧，
b
∴x=− <0，
2a
∴b>0；
∵抛物线与y轴交于原点下方，
∴c<0，
∴abc<0，
∴直线y=abcx+b经过第一、二、四象限，
综上，选项A符合题意，
故选：A．
题型 10 二次函数与实际问题
36．（2024·陕西渭南·一模）王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材．
素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱OA高为4m，抛物线形灯杆的最高点距离地面4.5m，
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且到灯柱OA的水平距离为1m，灯泡到地面的距离为2.5m．（灯泡大小忽略不计）
素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于OA对称（C、D
分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架CD．
小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务：
(1)求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围）
(2)小张同学设计的支架CD长为6m，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架CD的长度是否符合要
求，并说明理由．
1
【答案】(1)y=− (x−1) 2+4.5
2
(2)他设计的景观灯支架CD的长度符合要求，理由见解析
【分析】
本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）由题意得，该抛物线顶点坐标为(1，4.5)，再把抛物线设为顶点式，然后代入A(0，4)进行求解即
可；
1 1
（2）在y=− (x−1) 2+4.5求出当y=− (x−1) 2+4.5=2.5时，x的值，即可求出点D的坐标，进而求
2 2
出点C的坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，该抛物线顶点坐标为(1，4.5)，
设该抛物线解析式为y=a(x−1) 2+4.5，
把A(0，4)代入y=a(x−1) 2+4.5中得：a(0−1) 2+4.5=4，
1
解得a=− ，
2
1
∴该抛物线在第一象限的函数表达式为y=− (x−1) 2+4.5；
2
（2）解：他设计的景观灯支架CD的长度符合要求，理由如下：
1 1
在y=− (x−1) 2+4.5中，当y=− (x−1) 2+4.5=2.5时，
2 2
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解得x=3或x=−1（舍去），
∴D(3，2.5)，
∵灯泡C、D关于OA对称
∴C(−3，2.5)，
∴CD=6m，
∴他设计的景观灯支架CD的长度符合要求．
37．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行
轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮
球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.6m．
(1)求篮球出手位置点A的高度．
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说
明理由．
(3)若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨
迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．
【答案】(1)点A的高度为2.25m
(2)获得成功，理由见解析
(3)篮球出手位置的高度提高了0.074m
【分析】
本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及求二次函数解析式．
（1）根据题意可得两点(3,3.6)和(5,3)，可设抛物线的表达式为：y=a(x−3) 2+3.6，代入即可求得解析
式；
（2）将x=1代入即可求得函数值，再与3比较大小即可；
（3）根据题意求得变化后的函数解析式，结合数据的变化即可求得变化值．
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【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为：(3,3.6)，抛物线过点(5,3)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−3) 2+3.6，
将(5,3)代入上式得：3=a(5−3) 2+3.6，
解得：a=−0.15，
则抛物线的表达式为：y=−0.15(x−3) 2+3.6，
当x=0时，y=−0.15(0−3) 2+3.6=2.25，
即点A的高度为2.25m；
（2）获得成功，理由：
当x=1时，y=−0.15(x−3) 2+3.6=−0.15(1−3) 2+3.6=3<3.12，
故能获得成功；
（3）由题意得，新抛物线的a=−0.15，抛物线过点(5,3)、(1,3.2)，
则设抛物线的表达式为：y=−0.15x2+bx+c，
则¿，解得：¿，
则抛物线的表达式为：y=−0.15x2+0.85x+2.5，
当x=−0.2时，y=−0.15x2+0.85x+2.5=2.324>2.25，
则2.324−2.25=0.074，
故篮球出手位置的高度提高了0.074m．
38．（2024·山东济南·模拟预测）某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获
利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．
(1)求A，B两种商品每件的利润；
(2)已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每
降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)12元，8元
(2)定价为35元时，利润最大，最大为2420元．
【分析】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用；
（1）等量关系式：销售10件A商品的利润+销售20件B商品的利润=280元；销售20件A商品的利润+销售
30件B商品的利润=480元；据此列出方程组，即可求解；
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（2）等量关系式：总利润=销售A商品的单件利润×销售总量，据此列出二次函数，化成顶点式，即可求
解；
找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）
解：设A商品每件的利润为x元，B商品每件的利润为元，
根据题意，得¿，
解得：¿，
答：A商品每件的利润为12元，B商品每件的利润为8元．
（2）
解：设降价a元利润为w元根据题意得：
w=(12−a)(200+20a)
=2400+240a−200a−20a
=−20a2+40a+2400
=−20(a−1) 2+2420；
∵−20<0，
∴当a=1时，w有最大值，最大值为2420，
此时定价24+12−1=35(元)．
答：定价为35元时，利润最大，最大为2420元．
39．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为k米的篱
笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，
活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为0.5米，鸭圈垂直于墙的一边的长为a米．
（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）
设计方案 小成 小韩 小林
a（米) 1.5 2.5 3.5
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CD的长
（ ） （ ） （ ）
（米）
(1)用含k，a的代数式表示鸭圈另一边长CD= 米．
(2)若k=10固定不变．
①若要求鸭圈面积为10平方米，求a的值．
②小成、小韩和小林根据a的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠
谱．
③请通过上述探究，直接写出a的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值．
(3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？
【答案】(1)(k−3a+1)
5 11 121
(2)①a=2或 ；②6.5，3.5，0.5；小成；③a= ； m2
3 6 12
(3)鸭圈面积能达到24平方米
【分析】
本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式和代数式求值：
（1）（1）根据题意和图形，可以用含a的代数式表示出CD的长即可；
（2）①先求出CD=11−3a，再利用矩形面积公式建立方程求解即可；②根据（1）所求代值计算即可；
5 11
③先求出 ≤a< ，再利用矩形面积计算公式用含a的式子表示出矩形面积，再利用二次函数的性质求解
3 3
即可；
（3）令k=16时，则CD=17−3a，再同（2）③求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：CD=k−3a+0.5+0.5=k−3a+1（米)，
故答案为：(k−3a+1)；
（2）解：①由题意得CD=11−3a，
∴10=a⋅CD=a(11−3a)，
5
解得：a=2或 ；
3
②当a=1.5时，CD=11−3a=6.5（米)，
同理可得：a=2.5时，CD=3.5（米)，a=3.5时，CD=0.5（米)，
从上述数据看，小成的方案更为靠谱；
③由题意得：024，
6 12
∴鸭圈面积能达到24平方米．
40．（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产
品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中AB
为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最
大值；
(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上
一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这
种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x>8），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，
简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
160
【答案】(1)当4≤x≤8时的函数解析式为y= ，当8≤x≤28时的函数解析式为y=−x+28；
x
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640
(2)当4≤x≤8时，w=− ，当8≤x≤28时，w=−(x−16) 2−16，
x
当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为−16万元；
(3)画图见解析，11≤x≤21
【分析】
本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分别设出反比例函数解析式和一次函数解析式，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据公式“总利润=单件利润×数量”即可得出解析式，再根据反比例函数和二次函数的性质即可得
出答案；
（3）根据（2）所求列出w关于x的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像
性质即可得出答案．
k
【详解】（1）解：设当4≤x≤8时的函数解析式为y= (k>0)，
x
k k
把A(4，40)代入y= (k>0)中得：40= ，解得k=160，
x 4
160
∴当4≤x≤8时的函数解析式为y= ；
x
设当8≤x≤28时的函数解析式为y=k'x+b，
把B(8，20)，C(28，0)代入y=k'x+b中得：¿，
解得¿，
∴当8≤x≤28时的函数解析式为y=−x+28；
160 640
（2）解：当4≤x≤8时，w=(x−4)⋅ −160=− ，
x x
∵−640<0，
∴w随x增大而增大，
∴当x=8时，W最大，最大为−80万元；
当8≤x≤28时，w=(x−4)(−x+28)−160=−x2+32x−112−160=−(x−16) 2−16，
∵−1<0，
∴当x=16时，w最大，最大为−16万元；
∵−16>−80，
∴当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为−16万元；
（3）
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解：由（2）得第一年的年利润为−16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
∴第二年的年利润w=(x−4)(−x+28)−16=−x2+32x−128，
当w=−x2+32x−128=103时，解得x =11，x =21，
1 2
在坐标系中画函数图象如下：
∴由函数图象可知，当11≤x≤21时，第二年年利润不低于103万元．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过A(0,6)的一次函数y 的图象与
1
经过B(0,2)的一次函数y 的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y= y ⋅y 的大致图象是
2 1 2
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点C(c,3)(c<0)，一次函数
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3 1
y 的解析式为y =k x+6，一次函数y 的解析式为y =k x+2，求出y =− x+6，y = x+2，然后再
1 1 1 2 2 2 1 c 2 c
3
求出y y =− x2+12，最后进行判断即可．
1 2 c2
【详解】解：设点C(c,3)(c<0)，一次函数y 的解析式为y =k x+6，一次函数y 的解析式为y =k x+2，
1 1 1 2 2 2
把C(c,3)分别代入两个函数解析式得：
3=ck +6，3=ck +2，
1 2
3 1
解得：k =− ，k = ，
1 c 2 c
3 1
∴y =− x+6，y = x+2，
1 c 2 c
∴y y = ( − 3 x+6 )(1 x+2 ) =− 3 x2+12，
1 2 c c c2
3
∵− <0，
c2
3
∴y y =− x2+12的图象为开口向下，顶点为(0,12)的抛物线，
1 2 c2
所以C选项符合题意．
故选：C．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于x的二次函数y=(ax+1)(x−a−1)的图象与x轴的一个交点坐标
为(n,0)．若10与a<0两种情况，进
行讨论即可得出答案．
【详解】解： y=0，则(ax+1)(x−a−1)=0，
1
解得：x =− ，x =a+1，
1 a 2
∵关于x的二次函数y=(ax+1)(x−a−1)的图象与x轴的一个交点坐标为(n,0)，且10时，00时，y随x的增大而减小
C．抛物线与y轴交点的坐标是(0,4) D．该抛物线的顶点坐标是(1,5)
【答案】D
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是根据题意画出草图．根据解析式求出抛物线对称轴，画出
草图，根据条件可以得到当x=−1时，y=−3，从而求出a的值，得到抛物线解析式，根据抛物线的草图
和解析式依次分析判断各选项即可得解．
−2a
【详解】解：二次函数y=ax2−2ax+3(a<0)的对称轴为x=− ，即x=1，
2a
如图画出草图，
∴选项A、B、C错误，
3
∵当 −1≤x≤ 时，y的最小值是−3，
2
∴当x=−1时，y=−3，即a⋅(−1) 2−2a⋅(−1)+3=−3，
∴a=−2，
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∴二次函数解析式为y=−2x2+4x+3，
将x=1代入y=−2x2+4x+3得到y=5，
∴该抛物线的顶点坐标是(1,5)，选项D正确．
故选：D．
4．（2024·浙江·模拟预测）关于二次函数y=a(x−1)(x−3)+2(a<0)的下列说法中，正确的是（ ）
A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过(1,0)和(3,0)这两个定点
B．当x=2时，该二次函数取到最小值
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当x<0或x>2时，y<2
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n(m2时，y<2，故选项C正确；
∵该二次函数的图象经过点(1,2)，(3,2)，开口向下，且二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为
m，n(m0，函数不过第四象限时，
函数图像只过一二象限，点B(−2,−1)不可能在抛物线上，
b c
当a>0，x +x =− <0，x ⋅x = >0时函数只过一二三象限，不过第四象限，
1 2 a 1 2 a
∴a>0，b>0，c>0，
将点A、B、C、D分别代入解析式中解得，当点B(−2,−1)代入，
解得¿，不符合题意，
∴点B(−2,−1)不可能在抛物线上，
故选B．
1
7．（2024·陕西西安·二模）把抛物线y=ax2−2ax+3(a>0)沿直线y= x+1方向平移√5个单位后，其顶
2
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点仍在原抛物线上，则a是（ ）
1 1 2
A．2 B． C． D．
5 4 5
【答案】C
【分析】
1
本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线y= x+1方向平移的直线分解为水平方向和竖直方
2
向的平移．
根据一次函数解析式，利用勾股定理求出AB=√5，然后求出抛物线的顶点坐标(1,3−a)，可知顶点沿直
1
线y= x+1方向平移√5个单位，当于把顶点向右平移2个单位再向上平移1个单位或者是把顶点向左平
2
移2各单位再向下平移1个单位，得出平移后抛物线的顶点坐标，再根据平移后的顶点原抛物线上，求出
a的值．
1
【详解】解：直线y= x+1
2
令y=0，则x=−2；
令x=0，则y=1，
1
∴直线y= x+1经过点A(−2,0)，B(0,1)，如图所示，
2
∴OA=2，OB=1，
∴AB=√OA2+OB2=√22+12=√5，
∵y=ax2−2ax+3=a(x2−2x)+3=a(x−1) 2+3−a
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∴抛物线的顶点坐标为(1,3−a)，
1
∵把抛物线的顶点(1,3−a)沿直线y= x+1平移√5个单位，相当于把顶点向右平移 2个单位再向上平移
2
1个单位或者是把顶点向左平移2各单位再向下平移1个单位，
∴平移后的顶点坐标为(3,4−a)或(−1,2−a)，
∵平移后的顶点在抛物线上，
把(3,4−a)代入y=ax2−2ax+3(a>0)得：
4−a=9a−6a+3，
1
解得：a= ，
4
把(−1,2−a)代入y=ax2−2ax+3(a>0)得：
2−a=a+2a+3，
1
解得：a=− ，
4
∵a>0，
1
∴a= ，
4
故选：C
二、填空题
8．（2024·山东济南·二模）如图，抛物线C 的解析式为y=−x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到
1
图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为
．
9−√17
【答案】
2
【分析】由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y=x，设直线y=x与抛
物线y=−x2+4在第一象限的交点为M，把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，然后解方程组求出点M坐
标，求出OM即可，
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本题考查二次函数图象与几何变换，关键是通过旋转的性质得出点M坐标．
【详解】解：由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y=x，设直线y=x
与抛物线y=−x2+4在第一象限的交点为M，
∴把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，如图所示：
联立方程组得：¿，解得：¿或¿，
(−1+√17 −1+√17)
∴点M坐标为： , ，
2 2
−1+√17 −√2+√34 −√2+√34
∴OM= ×√2= ，OB=OM= ，
2 2 2
∵对称性，
∴OA=OB，
1 (−√2+√34) 2 9−√17
∴S = × = ，
△OAB 2 2 2
9−√17
故答案为： ．
2
9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，直
线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C的横坐标为 ．
【答案】2.5
【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，可得一次项系数，联立两个函数解析式得到一个一元二次方
程，根据中点公式与根与系数的关系直接求解即可．
【详解】∵二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，
m+1+3−m b
∴对称轴x= =2=− ，
2 2
解得b=−4，则y=x2−4x+c，
∵直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，
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∴¿，得x2−5x+c−3=0，
∵取AB中点C，
−5
−
∴C的横坐标为x +x 1 ．
1 2= =2.5
2 2
故答案为：2.5
【点睛】此题考查二次函数的性质和中点坐标公式以及一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是先通
过对称性求出对称轴，然后通过联立两函数解析式求交点坐标，最终通过中点公式求出中点横坐标．
10．（2023·湖北武汉·二模）函数y=|x2+2x+b|（b为常数）有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是
直线x=−1；②当x=−1时，函数有最小值|b−1|；③若b=−3，点P (x ,y )，P (x ,y )在该函数图像
1 1 1 2 2 2
上，则当x <−3<−13.05，
65
解得b<− ，
48
∴当b<−2时，符合题意；
当−13.05，
11
解得b<− ，此时不符合题意；
8
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65
当−2≤b≤−1.5时，则当x=−1时的函数值要大于3.05，此时得到b<− ，
48
∴−2≤b<−1.5；
11
当−1.50，
所以存在当x −x =x −x 时，3个路程对应的面积S均相等．
3 2 2 1
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，
勾股定理等知识，求出函数解析式是解答本题的关键．
13．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数y=−x2+2tx+3．
(1)若它的图像经过点(1,3)，求该函数的对称轴．
(2)若0≤x≤4时，y的最小值为1，求出t的值．
(3)如果A(m−2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，直线y=2mx+a与该二次函数交于
M(x ,y )，N(x ,y )两点，则x +x 是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由．
1 1 2 2 1 2
1
【答案】(1)对称轴：直线x= ；
2
7
(2)t= ；
4
(3)是，x +x =−2．
1 2
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质．
1
（1）把(1,3)代入解析式求出t= ，再根据对称轴公式求出对称轴；
2
（2）根据抛物线开口向下，以及x=0时，y=3,由函数的性质可知，当x=4时，y的最小值为1，然后求t
即可；
（3） A(m−2,n),C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出 m−t=1,再令
−x2+2tx+3=2mx+a,并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出x₁+x₂=−2．
【详解】（1）解：将点(1,3)代入二次函数y=−x2+2tx+3，得
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3=−1+2t+3，
1
解得：t= ，
2
∴对称轴直线为：
2t 1
x=− =t= ．
−1×2 2
（2）解：当x=0时，y=3，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=t，
∴当x=t时，y有最大值，
∵0≤x≤4时，y的最小值为1，
∴当x=4时，y=−16+8t+3=1，
7
解得：t= ．
4
（3）解：x +x 是定值，理由：
1 2
∵A(m−2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，
m−2+m
∴x=t= =m−1，
2
∴m−t=1
令−x2+2x+3=2mx+a，整理得：
x2+2(m−t)x+a−3=0，
∵直线y=2mx+a与该二次函数交于M(x ,y )，N(x ,y )两点，
1 1 2 2
∴x ，x 是方程x2+2(m−t)x+a−3=0的两个根，
1 2
b
∴x +x =− =−2(m−t)=−2是定值．
1 2 a
14．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²+bx+6(a≠0)与x轴交
A(−2√3,0)，B(6√3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
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(2)如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段BC交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接BR，
已知点N为线段BR上一动点，连接MN，将△BMN沿 MN翻折到 △B'MN．
①当MB'的中点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标；
②当△B'MN与△BMR重叠部分（如图中的△MNQ）为直角三角形时，求出此时点B'的坐标．
1 2√3
【答案】(1)y=− x2+ x+6
6 3
(2)
①点G的坐标为(0,6)或(2√3,8)或(4√3,6)
②当B'(2√3,12)或(−2√3,8)或(6√3,8)时，△MNQ为直角三角形
【分析】
（1）将A(−2√3,0)，B(6√3,0)代入y=ax2+bx+6，求出a，b即可；
（2）①设MB的中点是P，依题意，点P关于直线MN对称的点其轨迹在以点M为圆心，以MP为半径的
圆上，设点G ( x ,− 1 x 2+ 2√3 x +6 ) ，根据MG=MP及两点距离公式列关于x 的方程，解这个方程，
0 6 0 3 0 0
从而求得点G的坐标；
②分三种情况讨论：当OM⊥B'M时，△MNQ为直角三角形，K(2√3,0)，R(2√3,12)，直线BC的解
√3
析式为y=− x+6，由边的关系可求∠KRB=30°，∠B'=30°，从而可求B'的坐标；当MN⊥BR时，
3
△MNQ为直角三角形，B'与R重合；当MB'⊥BR时，△MNQ也是直角三角形．
【详解】（1）
解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−2√3,0)，B(6√3,0)两点，
∴ ¿，
解得：¿，
1 2√3
∴抛物线的解析式为：y=− x2+ x+6；
6 3
（2）①如图，设MB的中点是P，依题意，点P关于直线MN对称的点其轨迹在以点M为圆心，以MP为
半径的圆上，
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∵点G在抛物线上，
∴设点G ( x ,− 1 x 2+ 2√3 x +6 ) ，
0 6 0 3 0
√3
由（1）得直线BC的解析式为y=− x+6，
3
∴M(2√3,4)，
(2√3+6√3 4+0)
∴P , ，即P(4√3,2)，
2 2
∴M P2=(2√3−4√3) 2+(4−2) 2=16，
2
∴MG2=(2√3−x ) 2+ ( 4+ 1 x 2− 2√3 x −6 ) =M P2=16，
0 6 0 3 0
整理得x (x −2√3) 2 (x −4√3)=0，
0 0 0
∴x =0或2√3或4√3，
0
1 2√3
将x =0，2√3，4√3分别代入y=− x2+ x+6，
0 6 3
得到y =6，8，6，
0
∴G(0,6)或(2√3,8)或(4√3,6)，
故答案为：点G的坐标为(0,6)或(2√3,8)或(4√3,6)；
②情况1：当OM⊥B'M时，△MNQ为直角三角形，
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对称轴x=2√3，
∴K(2√3,0)，R(2√3,12)，
∴KB=4√3，
√3
直线BC的解析式为y=− x+6，
3
∴M(2√3,4)，
∴MK=4，MB=8，
∴RM=8，
∴MR=KB，
KB 4√3 √3
∵tan∠KRB= = = ，
RK 12 3
∴∠KRB=30°，
∴∠B'=30°，
∴QM=4，B'Q=4√3，
∴RQ=QM=4，
∴B'(−2√3,8)；
情况2：当MN⊥BR时，△MNQ为直角三角形，
∵∠MBN=∠MB'N=30°，∠KRB=30°，
∴B'与R重合，
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∴B'(2√3,12)；
情况3：当MB'⊥BR时，△MNQ也是直角三角形，此时B'(6√3,8)．
综上所述：当B'(2√3,12)或(−2√3,8)或(6√3,8)时，△MNQ为直角三角形．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，翻折变换，直角三角形的性质，两点距离公
式等，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关数学知识分析和解决问题．
92 92
