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专题 13 二次函数性质压轴
目 录
题型01 待定系数法求二次函数解析式
题型02 二次函数的图象与性质
题型03 二次函数图象与各项系数的关系
题型04 根据二次函数的对称性求解
题型05 利用二次函数的性质求最值
题型06 二次函数与坐标轴交点问题
题型07 二次函数与不等式
题型08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
题型09 函数图象判断综合
题型10 二次函数与实际问题
（时间：60分钟）
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题型 01 待定系数法求二次函数解析式
1．（2024·广东佛山·一模）二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点坐标分别是(−1,0)，(6,0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；
(2)若该二次函数的最小值为−4，求b−c的最大值．
5
【答案】(1)y=x2−5x−6，x= ；
2
(2)b−c的最大值是5．
【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的构建二次函数，再
利用二次函数的性质解决问题即可．
（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y 的表达式为y=(x−x )(x−x )，其中x ，x 是抛物线与x
1 1 2 1 2
轴交点的横坐标，从而可得答案；
1
（2）由二次函数的性质可得c= b2−4，再建立b−c与b的函数关系式即可求出其最大值．
4
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c过点(−1,0)、(6,0)，
∴y=(x+1)(x−6)=x2−5x−6，即y=x2−5x−6．
b 5
∴抛物线的对称轴为直线x=− = ．
2a 2
（2）∵y=x2+bx+c，
b 1 1
当x=− 时，函数取最小值．最小值为y= b2− b2+c=−4，
2 4 2
1
∴c= b2−4，
4
∴b−c=b− (1 b2−4 ) =− 1 b2+b+4，
4 4
1
b=− =2
当 ( 1) 时，b−c有最大值，
2× −
4
1
最大值为− ×22+2+4=−1+2+4=5，
4
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∴ b−c的最大值是5．
2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知拋物线， y=x2+bx+c经过原点O，且与x轴交于点
A(4,0)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)若抛物线向上平移m（m>0）个单位长度后，平移后的顶点到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m
的取值范围．
【答案】(1)y=x2−4x，顶点坐标为(2,−4)
(2)1<m<7
【分析】
考查了二次函数综合题，涉及到的知识点比较多：待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与几何变换，
二次函数的性质等．
（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、O两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，再列出不等式求
出m的取值范围．
【详解】（1）∵拋物线y=x2+bx+c经过原点O，且与x轴交于点A(4,0)，
∴将A(4,0)、O(0,0)代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
¿，
解得：¿，
故抛物线的解析式：y=x2−4x=(x−2) 2−4，
∴顶点坐标为(2,−4)；
（2）抛物线向上平移m（m>0）个单位长度后，抛物线的解析式为y=(x−2) 2−4+m，
可得新抛物线的顶点坐标为(2,−4+m)，
∴新抛物线的顶点到x轴距离为|−4+m|，
∵平移后的顶点到x轴距离小于3，
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∴ |−4+m|<3，
解得：1<m<7
1
3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线y=− x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，
2
点G为抛物线的顶点，
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围．
1 3
【答案】(1)抛物线的解析式为 y=− x2+x+ ，G点坐标为(1,2)；
2 2
(2)2≤m≤4．
【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质，图象的交点问题，关键是让线段AC运动起来，找到临界值．
（1）由A、B点坐标(−1，0)和(3，0)，求抛物线的解析式，用配方法求顶点的坐标；
3
（2）找到与抛物线有交点时的临界值，一个是平移后C的纵坐标为 ，一个是A与B重合．
2
1
【详解】（1）解：∵抛物线 y=− x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点,
2
∴¿
∴¿
1 3
∴抛物线的解析式为 y=− x2+x+ .
2 2
1 3 1
∴y=− x2+x+ =− (x−1) 2+2,
2 2 2
∴抛物线顶点G的坐标为(1,2).
3 1 3
（2）解：把 y= 代入 y=− x2+x+ ,
2 2 2
整理得 x²−2x=0,解得x =0,x =2,
1 2
( 3)
∴点C关于抛物线对称轴的对应点D 的坐标为 2, .
2
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如图所示, 过点D作DE∥AC交AB 于点E,过点 B 作 BF∥AC 交 CD的延长线于点F,
当线段AC 向右平移到DE 与FB之间时，AC 与抛物线只有一个交点，
此时CD=2, CF=AB=3−(−1)=4,
∴当线段AC向右水平移动m个单位长度，与抛物线只有一个交点时，m的取值范围是
2≤m≤4
题型 02 二次函数的图象与性质
4．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x ,y )，B(x ,y )是抛物线y=x2−2tx+1上
1 1 2 2
任意两点．
(1)求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
(2)①当x=−1，x =2时，y ≥ y ，求t的取值范围；
2 1 2
②若对于−1<x <0，1<x <2，都有y <y ，则t的取值范围为 ．
1 2 1 2
【答案】(1)t
1
(2)①t≥ ；②t≤0
2
【分析】
本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系.
b
（1）直接利用对称轴x=− 即可求解．
2a
（2）①先分别求出y ，y ，然后根据y ≥ y 即可求出t的取值范围
1 2 1 2
②先分别求出 y ， y ，然后作差得出关于x 和x 的关系式，再根据已知条件得出，x −x <0，
1 2 1 2 1 2
0<x +x <2，即可求解t得取值范围．
1 2
b −2t
【详解】（1）解：对称轴为：直线x=− =− =t；
2a 2×1
（2）①当x =−1时，y =(−1) 2−2t×(−1)+1=2+2t，
1 1
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当x =2时，y =22−2t×2+1=5−4t，
2 2
∵y ≥ y ，
1 2
∴2+2t≥5−4t，
1
解得：t≥ ．
2
②∵点A(x ,y )，B(x ,y )是抛物线y=x2−2tx+1上任意两点，
1 1 2 2
∴y =x 2−2tx +1，y =x 2−2tx +1，
1 1 1 2 2 2
y −y =x 2−2tx +1−(x 2−2tx +1)
1 2 1 1 2 2
=x 2−2tx +1−x 2+2tx −1，
1 1 2 2
=(x 2−x 2)−2t(x −x )
1 2 1 2
=(x −x )(x +x −2t)
1 2 1 2
∵−1<x <0，1<x <2，
1 2
∴x −x <0 ，−1+1<x +x <0+2，
1 2 1 2
∴0<x +x <2，
1 2
∵y <y ，
1 2
∴y −y <0，
1 2
即(x −x )(x +x −2t)<0，
1 2 1 2
∴x +x −2t>0 ，
1 2
即x +x >2t，
1 2
∵0<x +x <2，
1 2
∴2t≤0，
∴t≤0，
故答案为：t≤0．
5．（2023·云南保山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，
抛物线y=ax2+bx−5a经过点A，将点B向右平移6个单位长度，得到点C．
(1)求抛物线的对称轴；
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(2)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求出a的取值范围．
【答案】(1)x=2
2 2 2
(2)a≥ 或a<− 或a=−
7 5 9
【分析】
（1）求得点A的坐标，将A代入抛物线解析式，求解即可；
（2）根据点A以及对称轴，可以求得抛物线与x轴的另一交点，分两种情况，a>0或a<0画出函数图象，
结合位置关系，列式求解即可．
【详解】（1）解：将y=0代入y=2x+2可得2x+2=0，解得x=−1，即A(−1,0)
将A(−1,0)代入y=ax2+bx−5a可得：a−b−5a=0，解得b=−4a
即抛物线解析式为：y=ax2−4ax−5a，
此时对称轴为：x=2；
（2）解：由（2）可得抛物线经过点A(−1,0)，且对称轴为x=2
则抛物线与x轴的另一交点为：(5,0)，
将x=0代入y=2x+2可得，y=2，即B(0,2)，
将点B向右平移6个单位长度，得到点C，则C 点坐标为(6,2)，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
当a>0时，如下，图象开口向上，
x=0时，y=−5a，x=6时，y=36a−24a−5a=7a，
∴¿，
2
解得：a≥ ；
7
2
∴a≥ 时，抛物线与线段BC恰有一个公共点；
7
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当a<0时，如下图，图象开口向下，
x=0时，y=−5a，x=6时，y=36a−24a−5a=7a，
∴¿，
2
∴a<− ，
5
2
∴a<− 时，抛物线与线段BC恰有一个公共点；
5
当抛物线的顶点在线段BC上时，如图，则抛物线顶点为(2,2)，
将点(2,2)代入y=ax2−4ax−5a，得：2=4a−8a−5a，
2
解得：a=− ；
9
2 2 2
综上，当a≥ 或a<− 或a=− 时，抛物线与线段BC恰有一个公共点．
7 5 9
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了一次函数与坐标轴交点，点的平移，二次函数的性质，
解题的关键是熟练掌握相关基础性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
6．（2024·浙江·一模）在二次函数y=−x2+ax+1中(a≠0)，
(1)当a=2时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②当0≤x≤3时，求y的取值范围；
(2)若A(a−2,b)，B(a,c)两点都在这个二次函数的图象上，且b<c，求a的取值范围．
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【答案】(1)①(1,2)；②−2≤ y≤2
(2)0<a<2
【分析】
本题考查了二次函数图像的知识点．
（1）将a代入即可求出顶点，再根据二次函数的特点即可求解；
（2）求出二次函数的对称轴，再分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①把a=2代入得y=−x2+2x+1=−(x−1) 2+2，
∴抛物线的顶点坐标为(1,2)；
②∵当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y有最大值2，
∵当x=0时，y=1；当x=3时，y=−2，
∴当0≤x≤3时，−2≤ y≤2；
1
（2）抛物线的对称轴为直线x= a，
2
1
①当a−2≤ a≤a，即0≤a≤4时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离
2
1 1
∴a− a< a−(a−2)，解得a<2，
2 2
∴0≤a<2，
1
②当 a>a，即a<0时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，
2
1 1
∴ a−a< a−(a−2)成立，
2 2
∴a<0，
③对称轴在点A左侧不合题意，舍去
综上所述，0<a<2．
7．（2024·浙江杭州·模拟预测）顶点为D的二次函数y=ax2+bx+c(a<0)满足以下三个条件的任意两个：
①其与y轴的交点为(0，1)；
②其与x轴的交点为(−1，0)和(3，0)；
③该函数其最大值为12
(1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式；
(2)若存在直线y=−1，二次函数上的存在一个点A，使得AD等于A到直线的距离，求出A点的坐标．
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1 2
【答案】(1)y=− x2+ x+1
3 3
( 7√23 43) ( 7√23 43)
(2) 1+ ， 或 1− ， ．
23 69 23 69
【分析】本题考查的重点是利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握点和直线，两点间距离公式．
（1）选择任意两个条件用待定系数法，就可以求出函数的表达式；
（2）根据函数的表达式，计算出点D的坐标，利用点和直线，两点间距离公式就可以计算出点A的坐标．
【详解】（1）解：选择条件①和②，
∵二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点为(0，1)
∴c=1，
∵二次函数与x轴的交点为(−1，0)和(3，0)；
∴将点(−1，0)和(3，0)代入函数，
¿
∴¿，
1 2
∴函数的表达式y=− x2+ x+1
3 3
1 2
答：函数的表达式为：y=− x2+ x+1；
3 3
（2）解：设点A的坐标为 ( t，− 1 t2+ 2 t+1 ) ，
3 3
1 2
∵点D为函数y=− x2+ x+1的顶点，
3 3
2
3
则对称轴x=− =1，
1
− ×2
3
1 2 4
把x=1代入y=− x2+ x+1，得y= ，
3 3 3
( 4)
∴点D的坐标为 1， ，
3
∵直线y=−1，
| 1 2 | |1 7|
∴点A到直线的距离= − t2+ t+2 = (t−1) 2− ，
3 3 3 3
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∴AD2=(t−1) 2+ ( − 1 t2+ 2 t− 1) 2 =(t−1) 2+ 1 [(t−1) 2] 2 ，
3 3 3 9
设(t−1) 2=m
∵A到直线的距离等于AD，
∴m+
1
m2=
(1
m−
7) 2
9 3 3
49
∴m= ，
23
7√23 7√23
∴t=1+ 或1− ，
23 23
7√23 1 2 1 4 1 49 4 43
把t=1± 代入− t2+ t+1=− (t−1) 2+ ，得− × + =
23 3 3 3 3 3 23 3 69
( 7√23 43) ( 7√23 43)
∴点A 1+ ， ，或 1− ，
23 69 23 69
( 7√23 43) ( 7√23 43)
答：点A的坐标为： 1+ ， 或 1− ， ．
23 69 23 69
题型 03 二次函数图象与各项系数的关系
8．（2023·山东青岛·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，顶点坐标(1，n)，与
2
y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（包含端点），则下列结论：①3a+b>0；②−1≤a≤− ；③对于
3
任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．
其中正确结论为 （只填序号）
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【答案】②③④
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系等知识点，利用抛物线开口方向得到a<0，再由抛物线的对称轴方
程得到b=−2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=−3a可对②进行判断；利用二次
函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n−1有两个交点可对④进行判断，熟
练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
b
而抛物线的对称轴为直线x=− =1，即b=−2a，
2a
∴3a+b=3a−2a=a<0，所以①错误；
把点A(−1，0)带入解析式可得a−b+c=0，
∴c=−3a，
∵2≤c≤3，
∴2≤−3a≤3，
2
∴−1≤a≤− ，所以②正确；
3
∵抛物线的顶点坐标(1，n)，
∴x=1时，二次函数值有最大值n=a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标(1，n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n−1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故答案为②③④．
9．（2023·山东青岛·三模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①
3a+2b+c<0；②3a+c<b2−4ac；③方程2ax2+2bx+2c−4=0没有实数根；④
m(am+b)+b<a(m≠−1)，其中正确结论的是 ．（填序号）
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【答案】①②④
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断，以
及二次函数与方程之间的转换．解题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当
a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴
的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右．
（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．由二次函数的开口方向，
对称轴x=2，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．
【详解】解：①由图象可知，当x=1时，y<0，即a+b+c<0，
∵对称轴x=−1，a<0，
∴b=2a<0，
∴a+2a+c<0，即3a+c<0，
∴3a+2b+c<0，故①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴3a+c<0<b2−4ac，故②正确，符合题意；
③∵2ax2+2bx+2c−4=0，
∴ax2+bx+c=2，
结合图象可知，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2的交点有2个，故③不正确，不符合题意；
④∵当x=m（m≠−1）时，y=am2+bm+c，且当x=−1时，函数y取得最大值，
∴a−b+c>am2+bm+c，
∴m(am+b)+b<a(m≠−1)，故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
10．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：
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； ； ； ； ， 是抛物线上两点（
①abc>0 ②a+c<b ③b2−4ac<0 ④2c<3b ⑤M(x ,y ) N(x ,y )
1 1 2 2
x <x ），若x +x >2，则y >y ；其中正确的结论有 ．
1 2 1 2 1 2
【答案】②④⑤
【详解】
题目主要考查二次函数的图象和性质及与一元二次方程的关系，结合图象及性质依次进行判断即可，熟练
掌握二次函数的基本性质是解题关键．
b
解：①由图象可知a<0，c>0，对称轴x=− =1，
2a
∴b=−2a且b>0，
∴abc<0，故①不正确；
②由图可知当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴a+c<b，故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故③不正确；
④∵b=−2a，a+c<b，
1
∴b>− b+c，
2
∴2c<3b，故④正确．
⑤∵M(x ,y )N(x ,y )是抛物线上两点(x <x )，若x +x >2，
1 1 2 2 1 2 1 2
x +x
∴ 1 2>1，
2
∵函数对称轴是直线x=1，
∴M(x ,y )到对称轴的距离小于N(x ,y )到对称轴的距离，
1 1 2 2
∴y >y ，故⑤正确．
1 2
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故答案为：②④⑤．
11．（2023·山东青岛·二模）如图是抛物线y =ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标
1
A(1,3)，与x轴的一个交点B(4,0)，直线y =mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①
2
2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；④方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数
根；⑤当1<x<4时，有y <y ，其中正确的是 （填序号）
2 1
【答案】①④⑤
【分析】
本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【详解】
b
解：①∵抛物线对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点B(4,0)，
∴另一个交点坐标为(−2,0)，故③错误；
④从图象可以知道，抛物线顶点为(1,3)，
∴抛物线y =ax2+bx+c与直线y=3有且只有一个交点，
1
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当1<x<4时，y >y ，故⑤正确；
1 2
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故答案为：①④⑤
题型 04 根据二次函数的对称性求解
12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐标系xOy中，A(x ,y )，B(x ,y )是抛物线
1 1 2 2
y=ax2+bx+c(a<0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x=m．
(1)若对于x =−1，x =−2，有y = y ，求m的值．
1 2 1 2
(2)若对于−1≤x <0，x =0，都有y ≥ y ，求m的取值范围．
1 2 1 2
3
【答案】(1)m=−
2
1
(2)m≤−
2
【分析】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据对称性得到点(0,y )关于对称轴对称的点为(2m,y )，y ≥ y ，由a<0，抛物线开口向下，得到
2 2 1 2
2m≤x <0，再结合−1≤x <0进行求解，即可解题．
1 1
【详解】（1）解： ∵x =−1，x =−2，有y = y ，
1 2 1 2
x +x −1+(−2) 3
∴m= 1 2= =− ．
2 2 2
（2）解： ∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴点(0,y )关于对称轴对称的点为(2m,y )．
2 2
∵y ≥ y ，a<0，抛物线开口向下，
1 2
∴2m≤x <0，
1
∴2m≤−1，
1
∴m≤− ．
2
1
13．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数y=− x2+bx+c的图象经过原点O和点A(8+t,0)，其中
4
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t≥0．
(1)当t=0时．
①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
②当x=a和x=b时(a≠b)，函数值相等，求a的值．
(2)当t>0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值．
1
【答案】(1)① y=− x2+2x；当x=4时，y有最大值为4；② 6；
4
(2)t=9，x=8．
【分析】（1）①当t=0时，求出点A坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可
求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题；
1 1
②根据x=a和x=b时(a≠b)，函数值相等，列得方程− a2+2a=− ×22+2×2，解方程即可求解；
4 4
1
（2）求出二次函数y=− x2+bx的对称轴x=2b，由二次函数图象经过原点O和点A(8+t,0)，可得
4
8+t 1
2b= =4+ t，分t≤8和t>8两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解；
2 2
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最
值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ①当t=0时，A(8,0)，
1
把A(8,0)、O(0,0)代入y=− x2+bx+c得，
4
¿，
∴¿，
1
∴二次函数为y=− x2+2x，
4
1 1
∵y=− x2+2x=− (x−4) 2+4，
4 4
∴当x=4时，y有最大值，最大值为4；
②∵x=a和x=b时(a≠b)，函数值相等，
1 1
∴− a2+2a=− ×22+2×2，
4 4
整理得，a2−8a+12=0，
解得a=2（不合，舍去）或a=6，
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∴a的值为6；
1
（2）解：∵二次函数y=− x2+bx+c的图象经过原点O，
4
∴c=0，
1
∴二次函数y=− x2+bx，
4
∴对称轴为直线x=2b，
1
∵二次函数y=− x2+bx+c的图象经过原点O和点A(8+t,0)，
4
8+t 1
∴2b= =4+ t，
2 2
当t≤8时，对称轴x=2b≤8，
∵0≤x≤8，
∴x=2b时，y有最大值18，
1
即− ×(2b) 2+b×2b=18，
4
整理得，b2=18，
∴b=−3√2或b=3√2，
∵4<2b≤8
∴2<b≤4，
∴b=−3√2或b=3√2不合，舍去；
当t>8时，对称轴x=2b>8，
1
∵− <0，
4
∴在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大，
∵0≤x≤8，
∴当x=8时，y有最大值18，
1
即− ×82+8b=18，
4
17
解得b= ，
4
1 17
∴4+ t=2× ，
2 4
∴t=9；
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综上，t=9，x=8．
14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b，其中
a−b=4．
(1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函数的表达式．
(2)若(x ,y )、(x ,y )为此二次函数图象上两个不同点，当x +x =2时，y = y ，求a的值．
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)若点(−1,t)在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．
【答案】(1)y=2x2+3x−2
1
(2)a=−
3
(3)−5<t≤−4
【分析】（1） 将(1,3)，a−b=4代入y=ax2+(a+1)x+b即可；
（2）由y = y 可得这两个点关于抛物线的对称轴对称，再利用对称轴公式计算即可；
1 2
（3）由题意可得t=a−5，分a>0和a<0分别求解即可．
【详解】（1）解：将(1,3)，a−b=4代入y=ax2+(a+1)x+b得：3=a+a+1+a−4，
解得：a=2，
∴b=a−4=−2,
∴这个二次函数的表达式为：y=2x2+3x−2；
（2）∵y = y ，
1 2
∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，
b x +x
∴− = 1 2，
2a 2
a+1
∴− =1，
2a
1
∴a=− ；
3
（3）解：点(−1,t)在二次函数图象上，
∴t=a−a−1+a−4=a−5，
∵当x≥−1时y随x的增大而增大，
a+1
当a>0时，有− ≤−1，
2a
∴0<a≤1，
∴−5<t≤−4，
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当a<0时，不符合题意舍去，
∴−5<t≤−4．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与
性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键．
15．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，L:y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交
于点C，且抛物线L的对称轴为直线x=1．
(1)抛物线的表达式；
(2)若抛物线L'与抛物线L关于直线x=m对称，抛物线L'与x轴交于点E，F两点（点E在点F左侧），要使
S =2S ，求所有满足条件的抛物线L'的表达式．
△ABC △EBC
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)y=(x−3) 2−4或y=(x−7) 2−4
【分析】（1）抛物线L：y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)、B两点，对称轴为直线x=1，则点B(3,0)，
即可求解；
（2）S△ABC=2S△EBC，则点E为(1,0)或(5,0)，对应抛物线的对称轴为：x=2或x=7，即可求解．
【详解】（1）抛物线L：y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)、B两点，对称轴为直线x=1，
∴点B(3,0)
∴抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)
即−3a=−3，解得：a=1
故抛物线的表达式为：y=x2−2x−3
（2）S△ABC=2S△EBC，则点E为(1,0)或(5,0)，对应抛物线的对称轴为：x=2或x=7
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故抛物线L'的表达式为：y=(x−3) 2−4或y=(x−7) 2−4．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图像上
点的坐标特征是解题的关键．
题型 05 利用二次函数的性质求最值
16．（2024·安徽芜湖·一模）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；
( 1)
(3)当自变量x满足m≤x≤m+1 m≥ 时，此函数的最大值为p，最小值为q，求w=p+q的最小值，并
2
求出对应的m的值．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)6
1 31
(3)m= 时，w=p+q有最小值为−
2 4
【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质，
（1）根据待定系数法求抛物线的解析式；
（2）求出点C的坐标，再求△ABC的面积即可；
1
（3）分两种情况当 ≤m<1时，当m≥1时讨论即可．
2
【详解】（1）解：已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0),
¿,
解得：¿，
该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
（2）解：x=0时y=−3，
∴C(0,−3)，
∵AB=4，
1
∴S = ×4×3=6；
△ABC 2
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1
（3）解：当 ≤m<1时，
2
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1) 2−2(m+1)−3=m2−4，
x=1时，此函数的最小值为q=1−2−3=−4，
∴w=p+q=m2−4−4=m2−8，
1 31
m= 时，w=p+q的最小值为− ，
2 4
当m≥1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1) 2−2(m+1)−3=m2−4，
x=m时，此函数的最小值为q=m2−2m−3，
∴w=p+q=m2−4+m2−2m−3=2m2−2m−7，
m=1时，w=p+q的最小值为−7，
综上所述：
31
∵− <−7，
4
1 31
m= 时，w=p+q有最小值为− ．
2 4
17．（2024·江苏南京·一模）已知函数y=mx2−(m−2)x−2（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
(2)不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 ．
(3)在−2≤x≤2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值．
【答案】(1)见解析
(2)(0,−2)和(1,0)
(3)0或−4√2−6
【分析】
本题考查的是函数与x轴的交点，函数的性质，解题的关键是分类讨论．
（1）当m=0时，函数变形为y=2x−2，函数为一次函数，图象与x轴总有公共点；当m≠0时，函数为
二次函数，Δ=b2−4ac=(m−2) 2−4m×(−2)=(m+2) 2≥0，即可求解；
（2）由y=mx2−(m−2)x−2=(x2−x)m+2x−2，当x2−x=0，即可求得定点坐标；
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（3）当m=0时，函数化简为y=2x−2，根据题意即可求解；当m≠0时，函数为二次函数，分m＞0或
m＜0讨论即可．
【详解】（1）证明：当m=0时，函数变形为y=2x−2，函数为一次函数，图象与x轴总有公共点；
当m≠0时，函数为二次函数，令y=0，即mx2−(m−2)x−2=0，
Δ=b2−4ac=(m−2) 2−4m×(−2)=(m+2) 2≥0，
∴方程总有实数根，
∴该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）由y=mx2−(m−2)x−2=(x2−x)m+2x−2，当x2−x=0时，即x=0或x=1时，不论m为何值，
该函数的图象经过定点，定点坐标为(0,−2)和(1,0)，
故答案为：(0,−2)和(1,0)；
（3）当m=0时，函数化简为y=2x−2，k=2＞0，y随x的增大而增大，
由∵ −2≤x≤2，
∴当x=2时，y=2×2−2=2，符合题意；
当m≠0时，函数为二次函数，
b −(m−2) 1 1 1
当m＞0时，对称轴为x=− =− = − ＜ ，
2a 2m 2 m 2
∴当x=2时，y的最大值是2，
即4m−2(m−2)−2=2，
解得：m=0，不符合题意；
当m＜0时，
4ac−b2 4m×(−2)−(m−2) 2
此时最高点为顶点，即 = =2，
4a 4m
解得：m=±4√2−6，
b 1 1 1 1
当m=4√2−6时，此时对称轴为x=− = − = − =2+√2＞2，不符合题意，
2a 2 m 2 4√2−6
∴m的值为0或−4√2−6．
18．（2023·贵州遵义·一模）已知二次函数y=x2+2ax−4（a为常数）．
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(1)若二次函数的图象经过点(1,−5)，求a的值；
(2)在（1）的条件下，当−1≤x≤4时，请求出二次函数的最大值和最小值；
(3)当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5，求a的值．
【答案】(1)−1
(2)最大值为4，最小值为−5
(3)4或−1
【分析】
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象、数形结合，分类讨论思
想是解题的关键．
（1）将点（1,−5）代入y=x2+2ax−4，可得a的值；
（2）根据抛物线y=x2−2x−4=（x−1）2−5可得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向上，
顶点坐标为（1,−5），所以x=1时，y取得最小值，x=4时，y取得最大值，进而可得出答案；
（3）根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=−a，抛物线经过点（0,−4），分三种情况：①当−a<0
时，②当0≤−a≤1时，③当−a>1时，分情况讨论即可得出结论．
【详解】（1）
解：将点（1,−5）代入y=x2+2ax−4，
得−5=1+2a−4，
解得a=−1；
（2）
解：∵a=−1，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−4=（x−1）2−5．
∴抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向上，顶点坐标为（1,−5），
∴当−1≤x≤4时，二次函数的最小值为−5；
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当x=4时，二次函数的最大值为y=（4−1）2−5=4．
∴当−1≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为−5；
（3）
解：∵y=x2+2ax−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=−a，抛物线经过点（0,−4），
①当−a<0时，a>0，
∵抛物线的开口向上，当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5，
∴当x=1时，1+2a−4=5，
∴a=4；
②当0≤−a≤1时，−1≤a≤0，
当x=−a时，a2−2a2−4=−5，
∴a=−1或1（舍去）；
③当−a>1时，a<−1，
当x=1时，1+2a−4=−5，
∴a=−1（舍去）；
综上所述，a=4或−1．
19．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐标系中，点(2,y )在抛物线y=x2+bx上．
1
(1)当b<−1时，试说明y <2．
1
(2)若点(1,m)和(−2,n)在该抛物线上，且mn>0，求b的取值范围．
(3)当−1≤x≤4时该抛物线的最小值是−2，求b值．
【答案】(1)见解析
(2)−1<x<2
(3)−2√2或3．
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）由题意可得，y =22+2b=4+2b，由b<−1得到4+2b<2，即可证明结论；
1
（2）由题意得mn=−2(b+1)(b−2)，由mn>0得到−2(b+1)(b−2)>0，令w=−2(b+1)(b−2)，即w是
b的二次函数，根据二次函数的图象和性质即可得到答案；
（3）由 y=x2+bx= ( x+ b) 2 − b2可知，抛物线开口向上，抛物线的顶点为( − b ,− b2 )，对称轴为
2 4 2 4
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b
x=− ，根据对称轴的位置分析即可得到答案．
2
【详解】（1）解：∵点(2,y )在抛物线y=x2+bx上．
1
∴y =22+2b=4+2b，
1
∵b<−1，
∴4+2b<2，
∴y <2；
1
（2）∵点(1,m)和(−2,n)在抛物线y=x2+bx上，
∴m=1+b,n=4−2b，
∴mn=(1+b)(4−2b)=−2b2+2b+4=−2(b2−b−2)=−2(b+1)(b−2)，
∵mn>0，
∴−2(b+1)(b−2)>0，
令w=−2(b+1)(b−2)，即w是b的二次函数，
当w=−2(b+1)(b−2)=0，解得b =−1,b =2，函数图象如图，
1 1
由图象可知，当−1<b<2时，w>0，
∴b的取值范围是−1<x<2．
（3）∵y=x2+bx= ( x+ b) 2 − b2 ，
2 4
( b b2 ) b
∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为 − ,− ，对称轴为x=− ，
2 4 2
b b
当−1≤− ≤4，x=− 时，y的最小值为−2，
2 2
b2
则− =−2，
4
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解得b =2√2,b =−2√2，
1 2
b b
当b =2√2时，− =−√2，不满足−1≤− ≤4，舍去，
1 2 2
b b
当b =−2√2时，− =√2，满足−1≤− ≤4，符合题意，
2 2 2
b
当− >4时，x=4时，y的最小值为−2，
2
则42+4b=−2，
9
解得b=− ，
2
b 9
∵− = <4，
2 4
9 b
∴b=− 不满足− >4，舍去，
2 2
b
当− <−1时，x=−1时，y的最小值为−2，
2
则(−1) 2−b=−2，
解得b=3，
b 3
∵− =− <−1，
2 2
∴b=3满足题意，
综上可知，b的值为−2√2或3．
20．（2023·河南驻马店·二模）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点(0,−3)，(6,−3)．
(1)求b，c的值；
(2)当0≤x≤4时，求y 的最大值；
1
(3)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．
【答案】(1)b=6，c=−3；
(2)6；
(3)3−√2或3+√11．
【分析】（1）本题考查了待定系数法求二次函数系数，把点(0,−3)，(6,−3)代入y=−x2+bx+c求解，
即可解题．
（2）本题考查了二次函数的图象和性质，以及二次函数的最值问题，根据y=−x2+6x−3求出对称轴，
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再根据增减性，即可解题．
（3）本题考查了二次函数的最值问题，以及二次函数的图象和性质，根据题意对m分情况进行讨论，①
当0≤m<3时，②当3≤m≤6时，③当m>6时，用m表示出对应的最大最小值，根据y的最大值与最小值
之和为1，建立等式，即可求解．
【详解】（1）解：把点(0,−3)，(6,−3)代入y=−x2+bx+c得：
¿，解得¿，
∴b=6，c=−3．
（2）解：由（1）可知y=−x2+6x−3，
∴对称轴为直线x=3，
∵a=−1＜0，
∴开口向下，
∴当x=3时，函数值有最大值，
∴当0≤x≤4时，y 的最大值y=−9+18−3=6．
1
（3）解：m的取值为3−√2，理由如下：
①当0≤m<3时，
x=0时，y=−3，
x=m时，y=−m2+6m−3，
根据题意得−m2+6m−3−3=1，
解得m=3−√2或3+√2（舍去），
②当3≤m≤6时，
y的最大值为6，最小值为−3，−3+6=3不合题意，
③当m>6时，
x=3，y=6，
x=m，y=−m2+6m−3，
根据题意得−m2+6m+3=1，
解得m =3−√11（不合题意，舍去），m =3+√11，
1 2
综上，m的取值为3−√2或3+√11．
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题型 06 二次函数与坐标轴交点问题
21．（2023·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+3（a为常数，a≠0）．
(1)若a<0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点．
(2)若a=−1，求证：当−1<x<0时，y>0．
(3)若该函数的图像与x轴有两个公共点(x ,0)，(x ,0)，且−1<x <x <4，则a的取值范围是 ．
1 2 1 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)a>3或a<−1
【分析】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的性质、解不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）计算出Δ=(−2a) 2−4×a×3=4a2+(−12a)，由a<0可得a2>0，−12a>0，从而得出Δ>0，即可
得证；
（2）当a=−1时，y=−x2+2x+3，由抛物线开口方向和对称轴可得当x<1时，y随x增大而增大，当
x>1时，y随x增大而减小，计算出当x=−1时，y=−1−2+3=0，当x=0时，y=3，由此即可得出答案；
（3）求出抛物线的顶点为(1,3−a)，再分两种情况：当a>0时，则有¿；当a<0时，则有¿；分别计算即可
得出答案．
【详解】（1）证明：令y=0，则ax2−2ax+3=0
∵a<0，
∴b2−4ac=(−2a) 2−12a=4a2−12a>0
∴该方程有2个不等实根，即二次函数与x轴有两个交点；
（2）证明：方法一：
当a=−1时，二次函数为：y=−x2+2x+3=−(x−3)(x+1)
抛物线开口向下，与x轴交于(−1,0)，(3,0)；
∴当−1<x<0时，y>0
方法二：
当a=−1时，二次函数为：y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4
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∵−1<x<0，
∴−2<x−1<−1；
∴0<−(x−1) 2+4<3即0<y<3；
∴y>0；
（3）解：y=ax2−2ax+3=a(x−1) 2+3−a，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,3−a)；
①当a>0时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在(−1,0)与(4,0)之间（不包含这两点），
则只需保证顶点在x轴下方，x=−1时y>0，x=4时y>0
则有¿，
解得：a>3；
②当a<0时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在(−1,0)与(4,0)之间（不包含这两点），
则只需保证顶点在x轴上方，x=−1时y<0，x=4时y<0
则有¿，
解得：a<−1；
综上，当a>3或a<−1时，二次函数与x轴两个交点在(−1,0)与(4,0)之间（不包含这两点），
故答案为：a>3或a<−1．
22．（2023·河南郑州·三模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(−3,0)，B(1,0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：直线y=−3x+5与该抛物线没有交点，
(3)若C(m,y )，D(n,y )为抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)上两点(m<n)，M为抛物线上点C和点D之间的
1 2
9
动点（含点C，D），点M的纵坐标的取值范围为− ≤ y ≤3，求m+n的值．
4 M
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)见解析
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3 11
(3) 或−
2 2
【分析】
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式和性质，根的判别式．在解题时要注意二次函数的增
减性，“开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）联立直线与抛物线解析式可得x2−x+2=0，利用根的判别式即可得出答案；
（3）利用M点纵坐标的取值范围，反推出x的值，进而得到m+n的值．
【详解】（1）
解：由题意可知：
¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3；
（2）
证明：联立直线与抛物线解析式可得：
¿，
∴x2−x+2=0，
∵Δ=b2−4ac=1−8=−7，
∴方程无实根，即直线y=−3x+5与该抛物线没有交点；
（3）
9
解：∵点M纵坐标的取值范围为− ≤ y ≤3，
4 M
9 9
∴当y=− 时，−x2−2x+3=− ，
4 4
7 3
解得：x =− ，x = ，
1 2 2 2
( 7 9) (3 9)
得点 − ,− ， ,− ，
2 4 2 4
当y=3时，−x2−2x+3=3，
解得：x =−2，x =0，
3 4
得点(−2,3)，(0,3)，
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如图1，
∵m<n，
3
∴m=0，n= ，
2
3 3
∴m+n=0+ = ，
2 2
如图2，∵m<n，
7
∴m=− ，n=−2，
2
7 11
∴m+n=− −2=− ，
2 2
3 11
综上所述：m+n= 或− ．
2 2
1 3
23．（2024·湖北武汉·一模）已知，抛物线C :y= x2− x−4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
1 4 2
侧），与y轴交于点C．
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(1)直接写出点A，B，C的坐标；
1
(2)如图1，M为抛物线C 上一点，过点M作MN∥AC，交直线BC于点N，若MN= AC，求点M的横
1 2
坐标；
(3)如图2，平移抛物线C 得到抛物线C ，使其顶点Q落在y轴的负半轴上，P为OQ的中点，直线
1 2
y=k x+t经过点P，交抛物线C 于E，F两点，延长FO，EO分别交抛物线C 于C，D两点，设直线CD
1 2 2
的解析式为y=k x+b，试探究k 与k 之间的数量关系．
2 1 2
【答案】(1)A(−2,0),B(8,0),C(0,−4)
(2)点M的横坐标为4±√6，4±√26
(3)k =2k
2 1
【分析】
（1）分别令x,y=0，即可求解；
CO 4 2√5
（2）先证明∠ACB=90°得出cosACO= = = ，设点M的横坐标为m，则
AC 2√5 5
M ( m, 1 m2− 3 m−4 ) ，则T ( m, 1 m−4 ) ，分两种情况讨论，当M在直线BC下方时，如图所示，过点
4 2 2
M作MT∥y轴，交BC于点T,根据cos∠MNT=cos∠ACO，当M在BC上方时，同理得出m的值；
1
（3）设抛物线顶点坐标为(0,2t)，则抛物线C 的解析式为y= x2−2n，设E，F两点的坐标分别为
2 4
( e, 1 e2−2n ) , ( f , 1 f2−2n ) ，得出直线EF的解析式为y= 1 (e+f)x−2n− 1 ef，设直线EO的解析式
4 4 4 4
1
− e2−2n e2−8n ( 8n 16n2 )
为y=k x，则 4 ，联立抛物线得出 x +x = 则D − , −2n ，同理可得
3 y= x D E e e e2
e
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( 8n 16n2 )，进而得出解得： (1 1) e+f 根据 1 ，即可求解．
C − , −2n k =−2n + =−2n k = (e+f)
f f2 2 e f ef 1 4
1 3
【详解】（1）解：当y=0时， x2− x−4=0，
4 2
解得：x =−2,x =8，
1 2
∴A(−2,0),B(8,0)，
当x=0时，y=−4，
∴C(0,−4)
（2）解：∵A(−2,0),C(0,−4)，
设直线AC的解析式为y=kx−4，代入A(−2,0)
∴−2k−4=0
解得：k=−2，
∴直线AC的解析式为y=−2x−4
∵B(8,0),C(0,−4)，
设直线BC的解析式为y=k x−4，代入B(8,0)
1
∴8k−4=0
1
解得：k=
2
1
直线BC的解析式为y= x−4，
2
∵A(−2,0),B(8,0),C(0,−4)
∴AC=2√5,BC=4√5,AB=10
∴AC2+BC2=AB2
CO 4 2√5
∴∠ACB=90°，cos∠ACO= = = ，
AC 2√5 5
∵MN∥AC；
∴MN⊥BC，
当M在直线BC下方时，如图所示，过点M作MT∥y轴，交BC于点T,
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∴∠MNT=∠ACO
∴cos∠MNT=cos∠ACO
1 MN 2√5
∵MN= AC=√5， =
2 TM 5
5
∴TM= ,
2
设点M的横坐标为m，则M ( m, 1 m2− 3 m−4 ) ，则T ( m, 1 m−4 )
4 2 2
∴ 1 m−4− (1 m2− 3 m−4 ) =− 1 m2+2m= 5
2 4 2 4 2
解得：m=4±√6；
当M在BC上方时，如图所示，
同理可得 1 m2− 3 m−4− (1 m−4 ) = 5 ，
4 2 2 2
解得：m=4±√26；
综上所述，点M的横坐标为4±√6，4±√26；
（3）解：∵平移抛物线C 得到抛物线C ，使其顶点Q落在y轴的负半轴上，P为OQ的中点，直线
1 2
y=k x+t经过点P，
1
设抛物线顶点坐标为(0,2t)，
1
∴抛物线C 的解析式为y= x2−2n，
2 4
设E，F两点的坐标分别为 ( e, 1 e2−2n ) , ( f , 1 f2−2n ) ，
4 4
∵直线EF的解析式为y=k x+b
1 1
∴¿，
∴¿，
1 1
∴直线EF的解析式为y= (e+f)x−2n− ef，
4 4
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又∵P在EF上
1
∴−n=−2n− ef，
4
∴ef =−4n，
设直线EO的解析式为y=k x，
3
1
∴ e2−2n=k e
4 3
1
− e2−2n
∴ 4 ，
k =
3 e
1
− e2−2n
∴ 4 ，
y= x
e
联立¿
1
− e2−2n
∴ 4 1 ，
x= x2−2n
e 4
e2−8n
∴x2− x−8n=0，
e
e2−8n
∴x +x = ，
D E e
8n
∴x =− ，
D e
1(−8n) 2 16n2
∴y = −2n= −2n
D 4 e e2
( 8n 16n2 )
∴D − , −2n ，
e e2
( 8n 16n2 )
同理可得C − , −2n ，
f f2
设直线CD的解析式为y =k x+b ，
2 2 2
∴¿，
(1 1) e+f
解得：k =−2n + =−2n ，
2 e f ef
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1 1
∵EF解析式为y= (e+f)x−2n− ef，
4 4
1
∴k = (e+f)，
1 4
又∵ef =−4n，
e+f
∴k = ，
2 2
∴k =2k ．
2 1
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，一次函数与二次函数综合，二次函数线段周长问题，二次函数与
坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
题型 07 二次函数与不等式
24．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=x2−2(m−1)x−2m+m2（m为常数）．
(1)若二次函数经过点(2,−1)，求m的值；
(2)若二次函数经过点(1,y )和点(2m,y )，当y <y 时，求m的取值范围；
1 2 1 2
(3)将抛物线y=x2−2(m−1)x−2m+m2向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线与x轴的两个交
点的距离为4，求k的值．
【答案】(1)m=3；
1
(2)m> ；
2
(3)k=3；
【分析】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的平移：
（1）将点代入求解即可得到答案；
（2）将点代入解析式，结合y <y 列不等式求解即可得到答案；
1 2
（3）根据平移得到新函数，先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与积的式子，再结合与x轴的
两个交点的距离为4列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵二次函数经过点(2,−1)，
∴−1=22−2(m−1)×2−2m+m2，
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解得：m=3；
（2）解：∵二次函数经过点(1,y )和点(2m,y )，
1 2
∴y =12−2(m−1)×1−2m+m2=m2−4m+3，y =(2m) 2−2(m−1)×2m−2m+m2=2m+m2 ，
1 2
∵y <y ，
1 2
∴m2−4m+3<2m+m2，
1
解得：m> ；
2
（3）解：∵抛物线y=x2−2(m−1)x−2m+m2向下平移k个单位，
∴y=x2−2(m−1)x−2m+m2−k，
当y=0时，
x2−2(m−1)x−2m+m2−k=0，
−2(m−1) −2m+m2−k
∴x +x =− =2(m−1)，x x = =−2m+m2−k，
1 2 1 1 2 1
∵新抛物线与x轴的两个交点的距离为4，
∴(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =4(m−1) 2−4×(−2m+m2−k)=4+4k=42 ，
1 2 1 2 1 2
解得：k=3．
25．（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c与x轴交于A，B两点
（点A在点B左侧），点C(3,5)是抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标．
(2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b，请结合图象直接写出不等式kx+b>−x2+2x+c的解集．
(3)平行于x轴的直线l交抛物线于点P(x ,y )，Q(x ,y )，交直线AC于点N(x ,y )，若x <x <x ，求
1 1 2 2 3 3 1 2 3
x +x +x 的取值范围．
1 2 3
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【答案】(1)y=−x2+2x+8，点A的坐标为(−2,0)
(2)x<−2或x>3
(3)5<x +x +x <9
1 2 3
【分析】
本题考查了求出抛物线的解析式和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系
数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把C(3,5)代入抛物线，求出抛物线的解析式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图象求出不等式kx+b>−x2+2x+c的解集即可；
（3）求出抛物线的顶点坐标为(1,9)，对称轴是直线x=1，根据二次函数性质求出x +x =2，由
1 2
x <x <x ，结合图象，可知直线l在点C的上方，抛物线顶点的下方，求出直线AC的函数表达式为
1 2 3
y=x+2，令x+2=9，得出x=7，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点C(3,5)是抛物线上一点，
∴−32+2×3+c=5，
解得c=8，
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+8，
令−x2+2x+8=0，
解得x =−2，x =4．
1 2
∴点A的坐标为(−2,0)．
（2）解：根据函数图象可知，当x<−2或x>3时，一次函数的图象在二次函数图象的上面，
∴不等式kx+b>−x2+2x+c的解集为x<−2或x>3；
（3）解：∵直线l平行于x轴，
∴y = y ，即点P,Q关于对称轴对称，
1 2
∵y=−x2+2x+8=−(x−1) 2+9，
∴抛物线的顶点坐标为(1,9)，对称轴是直线x=1，
∴x +x =2，由x <x <x ，结合图象，可知直线l在点C的上方，抛物线顶点的下方，
1 2 1 2 3
设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A(−2,0)，C(3,5)代入得：
¿，
解得：¿，
∴直线AC的函数表达式为y=x+2，
令x+2=9，
解得x=7，
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∴3<x <7．
3
∴5<x +x +x <9．
1 2 3
26．（2022·湖北荆州·三模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图
12
象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数y=−
的图象与性质．
x2+2
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
2 12 12 2
y … − − −2 −4 a −4 −2 − − …
3 11 11 3
a=
(1)列表，写出表中a的值： ______．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
(2)观察函数图象，回答下列问题：
①函数有最______值，是______；
②当自变量x的取值范围是______时，函数y的值随自变量x的增大而增大．
2 10 12 2 10
(3)已知函数y=− x− 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式− ≤− x− 的解集
3 3 x2+2 3 3
是______．
【答案】(1)−6，补全函数图象见解析
(2)①小，−6；②x>0
(3)x<−4或−2<x<1
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质，函数与不等式，会用描点法画出函数图象，利
用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
（1）把对应的x的值代入即可求出a值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；
（2）观察图象即可判断；
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12 2 10
（3）找出函数y=− 的图象比函数y=− x− 的图象低时对应的x的范围即可．
x2+2 3 3
12
【详解】（1）解：当x=0时，a=− =−6；
2
∴a=−6，
补全函数图象，如图所示．
故答案为：−6．
12
（2）①观察图象可知，当x=0时，函数y=− 有最小值，最小值为−6；
x2+2
故答案为：小，−6；
②观察图象可知，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；
故答案为：x>0；
12 2 10 12 2 10
（3）不等式− <− x− 表现在图象上面即函数y=− 的图象比函数y=− x− 的图象低，
x2+2 3 3 x2+2 3 3
12 2 10
因此观察图象，即可得到− <− x− 的解集为：x<−4或−2<x<1．
x2+2 3 3
故答案为：x<−4或−2<x<1．
题型 08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题
1
27．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y= x2+bx+c交x轴于点
4
A(−2,0)，B(7,0)，与y轴交于点C．
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(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N,MQ∥BC交x轴于点Q，求
3
MN+ BQ的最大值；
2
(3)如图，在y轴上取一点G(0,7)，抛物线沿BG方向平移2√2个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点
E,F，交y轴于点D，点P在线段FD上运动，线段OF关于线段OP的对称线段OF'所在直线交新抛物线
于点H，直线F'P与直线BG所成夹角为45°，直接写出点H的横坐标．
1 5 7
【答案】(1)y= x2− x−
4 4 2
49
(2)
4
−13+√601
(3)−2或
6
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点 B 作BE∥MN交MQ于点 E，证明四边形MNBE为平行四边形，得出BE=MN，根据
1
MQ∥BC，得出tan∠BQE=tan∠OBC= ，证明BQ=2BE=2MN，求出直线BC的解析式为：
2
y= 1 x− 7 ， 设 M ( m, 1 m2− 5 m− 7) ， N ( m, 1 m− 7) ， 得 出
2 2 4 4 2 2 2
MN= 1 m− 7 − 1 m2+ 5 m+ 7 =− 1 m2+ 7 m，求出MN+ 3 BQ=− ( m− 7) 2 + 49 ，得出最大值即可；
2 2 4 4 2 4 4 2 2 4
1 1
（3）连接F'P并延长交x轴于点K，交BG于点L，求出新的抛物线解析式为y= x2− x−3，求出
4 4
OD 3
D(0,−3)，F(4,0)，得出tan∠OFD= = ，分两种情况：当P'F⊥x轴时，当F'P⊥y轴时，分别
OF 4
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画出图形，求出结果即可．
1
【详解】（1）解：把A(−2,0)，B(7,0)代入y= x2+bx+c得：
4
¿，
解得：¿，
1 5 7
∴抛物线的函数表达式为y= x2− x− ；
4 4 2
（2）解：过点B作BE∥MN交MQ于点E，如图所示：
∵MQ∥BC，
∴四边形MNBE为平行四边形，
∴BE=MN，
∵MN∥y轴，
∴BE∥y轴，
∴∠EBQ=∠COB=90°，
∴△EBQ为直角三角形，
1 5 7 7
把x=0代入y= x2− x− 得出y=− ，
4 4 2 2
( 7)
∴C 0,− ，
2
7
∴OC= ，
2
∵OB=7，
7
∴ 2 1，
tan∠OBC= =
7 2
∵MQ∥BC，
1
∴tan∠BQE=tan∠OBC= ，
2
∴BQ=2BE=2MN，
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7
设直线BC的解析式为：y=kx− ，
2
7
把B(7,0)代入得：0=7k− ，
2
1
解得：k= ，
2
1 7
∴直线BC的解析式为：y= x− ，
2 2
设M ( m, 1 m2− 5 m− 7) ，N ( m, 1 m− 7) ，
4 4 2 2 2
1 7 1 5 7 1 7
∴MN= m− − m2+ m+ =− m2+ m，
2 2 4 4 2 4 4
3 3
∴MN+ BQ=MN+ ×2MN
2 2
=4MN
=4× ( − 1 m2+ 7 m )
4 4
=−m2+7m
( 7) 2 49
=− m− + ，
2 4
∵−1<0，
7 3 49
∴当m= 时，MN+ BQ有最大值，且最大值为 ；
2 2 4
（3）解：∵B(7,0)，G(0,7)，
∴OB=OG，
∵∠BOG=90°，
1
∴∠OBG=∠OGB= ×90°=45°，
2
2√2
∴抛物线沿BG方向平移2√2个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为： =2个单位，
√2
∵抛物线y=
1
x2−
5
x−
7
=
1(
x−
5) 2
−
81
，
4 4 2 4 2 16
∴抛物线沿BG方向平移2√2个单位后新抛物线的解析式为：
1( 5 ) 2 81
y= x− +2 − +2
4 2 16
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1( 1) 2 49
= x− −
4 2 16
1 1
= x2− x−3，
4 4
1 1
把x=0代入y= x2− x−3得：y=−3，
4 4
1 1 1 1
把y=0代入y= x2− x−3得：0= x2− x−3，
4 4 4 4
解得：x =−3，x =4，
1 2
∴D(0,−3)，F(4,0)，
∴OD=3，OF=4，
OD 3
∴tan∠OFD= = ，
OF 4
当P'F⊥x轴时，连接F'P并延长交x轴于点K，交BG于点L，如图所示：
∴∠LKB=180°−45°−45°=90°，
∴F'P⊥x轴，
∴∠LKB=90°，
∵∠OBG=45°，
∴∠KLB=45°，
∴此时直线F'P与直线BG所成夹角为45°，符合题意，
根据折叠可知，∠OF'P=∠OFP，
3
∴tan∠OF'K=tan∠OFD=
，
4
∴设OK=3a(a>0)，则F'K=4a，
∴F'(3a,−4a)，
设直线OF'的解析式为：y=k'x，
把F'(3a,−4a)代入y=k'x得：−4a=3a⋅k'，
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4
解得：k'=−
，
3
4
∴直线OF'的解析式为：y=− x，
3
4 1 1
令− x= x2− x−3，
3 4 4
−13+√601 −13−√601
解得：x = ，x = （舍去），
1 6 2 6
−13+√601
∴点H的横坐标为 ；
6
当F'P⊥y轴时，连接F'P并延长交y轴于点K，交BG于点L，如图所示：
∵∠GKL=90°，∠BGO=45°，
∴∠F'LG=90°−45°=45°，
∴此时直线F'P与直线BG所成夹角为45°，符合题意，
根据折叠可知，∠OF'P=∠OFP，
3
∴tan∠OF'K=tan∠OFD=
，
4
∴设OK=3a(a<0)，则F'K=4a，
∴F'(4a,3a)，
设直线OF'的解析式为：y=k″x，
把F'(4a,3a)代入y=k″x得：3a=4a⋅k″，
3
解得：k″=
，
4
3
∴此时直线OF'的解析式为：y= x，
4
3 1 1
令 x= x2− x−3，
4 4 4
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解得：x =−2，x =6（舍去），
1 2
∴此时点H的横坐标为−2；
−13+√601
综上分析可知，点H的横坐标为−2或 ．
6
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，二次函数解析式，求一次函数解析式，
折叠问题，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨
论，准确计算．
28．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点
A(−1,0)，点B(3,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AC，BC，过点C作射线CM交x轴的正半轴于点M，点M与点A关于原点对称，点P是
第四象限抛物线上一动点，过点P作BC的垂线交CM于点G，求线段PG长度的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，把点C向上平移1个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度
α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中边A'Q'交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得
∠Q'=∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
25√2 (5 7)
(2)GP = ，此时P − ；
max 16 2 4
( 4√5 2√5) ( 2√5 4√5) (4√5 2√5) (2√5 4√5)
(3) − ,− − , , ,− ．
5 5 5 5 5 5 5 5
【分析】
(1)利用待定系数法求解即可；
(2)延长PG交y轴于点D，过G ¿⊥y轴于点E，过P作PF⊥y轴于点F，求出MC解析式为y=3x−3，
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证明△DEG和△DFP是等腰直角三角形，推导 GP=DP−DG=√2(DF−DE)=√2EF，点 P 为
(t，t2−2t−3)，则FP=DF=t，D(0,t2−t−3)，求出直线DP的解析式为：y=−x+t2−t−3，继而求
(t2−t 3t2−3t−12) √2( 5) 2 25√2
出G , ，GP=√2EF=√2(y −y )=− t− + 继而得解；
4 4 G P 4 2 16
(3) 由 旋 转 性 质 可 知 ， Rt△AOQ≌△Rt△A'OQ'， ∠Q'=∠QOG， 得 出
AO Q'T
sin∠Q'=sin∠AQO=sin∠Q'OG,即 = ，最后代入求值即可；
AQ OQ'
本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）
把点A(−1,0)，点B(3,0)代入抛物线y=x2+bx+c,
得¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
（2）
延长PG交y轴于点D，过G作¿⊥y轴于点E，过P作PF⊥y轴于点F，
∵点M与点A关于原点对称，A(−1，0)
∴点M(1,0)，
由y=x2−2x−3得C(0,−3)，
∴OB=OC=3，
∴设MC解析式为y=mx+n，
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则¿，解得：¿，
∴MC解析式为y=3x−3，
同理直线BC解析式为y=x−3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵PG⊥BC，
∴△DEG和△DFP是等腰直角三角形，FP=DF，EG=DE，
∴DP=√2DF，DG=√2DE，
∴GP=DP−DG=√2(DF−DE)=√2EF，
设点P为(t，t2−2t−3)，则FP=DF=t，
∴F(0,t2−2t−3)，D(0,t2−t−3)，
则同理用待定系数法可知直线DP的解析式为：y=−x+t2−t−3，
将直线DP的解析式与MC解析式联立得：
¿
解得：¿，
(t2−t 3t2−3t−12)
即G ,
4 4
√2( 5) 2 25√2
∴GP=√2EF=√2(y −y )=− t− + ，
G P 4 2 16
∴当t=
5
时，GP =
25√2
，此时点P的纵坐标为t2−2t−3=−
7
，即P
(5
−
7)
．
2 max 16 4 2 4
（3）
存在，①过点Q'作Q'T⊥y轴交y轴于点T，
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由旋转性质可知，Rt△AOQ≌△Rt△A'OQ'，∠Q'=∠QOG，
AO Q'T
∴sin∠A'Q'O=sin∠AQO=sin∠Q'OG，即 = ，
AQ OQ'
∵AO=1，OQ=2，
∴ AQ=√5，
1 Q'T
∴ =
√5 2
2√5 4√5
∴Q'T= ，OT= ，
5 5
∴Q'(
−
2√5
,
4√5)
，
5 5
②如图，
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同①理：Q'(4√5
,
2√5)
；
5 5
③如图，
同理：Q'(2√5
,−
4√5)
；
5 5
④如图，
同①理：Q'(
−
4√5
,−
2√5)
，
5 5
( 4√5 2√5) ( 2√5 4√5) (4√5 2√5) (2√5 4√5)
综上，满足条件的点Q的坐标为： − ,− − , , ,− ．
5 5 5 5 5 5 5 5
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29．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点
B(−6,0)和点C(2,0)，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
(1)求抛物线表达式；
( 7)
(2)点Q 1， ，点M在x轴上，点E在平面内，且四边形ANEM是平行四边形．
3
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP H ，
1 1
求BP +√2OH 的最小值．
1 1
1 4
【答案】(1)y=− x2− x+4
3 3
(2)①E(−2,−2)；②6√2
【分析】
（1）将点B、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由Q坐标求出BQ解析式，然后根据四边形ANEM是平行四边形和△BME≌△AOM得出
BM=OA=4，再分类讨论求得M和E的坐标；
②求出AM解析式，交点为P，再求出H坐标，然后由两点间距离公式求出BP和BH长度，因为旋转不改
变长度，所以BP 长度不变，当H旋转到x轴上时，此时OH 最短，所以此时OH 等于BO−BH，然后
1 1 1
代入计算即可．
【详解】（1）
解：①抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B(−6,0)和点C(2,0)，
∴ ¿，
解得：¿
1 4
∴ y=− x2− x+4；
3 3
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（2）
1 4
解：∵ y=− x2− x+4
3 3
∴OA=4，
设直线BQ的解析式为y=kx+b1，
( 7)
∵B(−6,0)，Q 1，
3
∴ ¿，
解得¿，
1
∴直线BQ的解析式为y= x+2，
3
∵N为BQ与y轴交点，
∴N(0,2)，
∴AN=2，
∵四边形ANEM是平行四边形，
∴ AN∥EM且EM=AN=2，且点E在点M下方，
∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，
∴BM=OA=4，
∵B(−6,0)，
∴M(−2,0)或(−10,0)，
若M为(−2,0)，
∵∠BME=∠AOM=90°，
故E(−2,−2)，
若M为(−10,0)，
∵OM=ME=2，此时OM=10，(矛盾，舍去)，
综上，点E的坐标为(−2,−2)；
②如图，设AM的解析式为y=kx+b,
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∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，
∴点A的坐标为(0，4)，
将点A(0,4)、M(−2,0)的坐标代入y=kx+b得：
¿，
解得¿，
∴AM的解析式为y=2x+4，
AM与BQ相交于点P，
∴ ¿，
解得¿，
( 6 8)
所以点P的坐标为 − , ，
5 5
设直线BE的解析式为y=mx+n，
将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得：
¿，
解得¿，
1
所以直线BE的解析式为y=− x−3，
2
BE与AM相交于点H，
∴ ¿，
解得¿，
( 14 8)
∴点H的坐标为 − ,− ，
5 5
√ ( 6 ) 2 (8) 2 8√10
∴BP= − +6 + =
5 5 5
√ ( 14 ) 2 ( 8) 2 8√5
BH= − +6 + − =
5 5 5
8√10
∴BP =
1 5
当H旋转到x轴上时，此时OH 最短，
1
∴ OH =BO−BH=6
1
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8√10 ( 8√5)
∴BP +√2OH = +√2 6− =6√2.
1 1 5 5
∴ BP +√2OH 的最小值为6√2．
1 1
30．（2024·江西南昌·一模）如图、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C :y=−x2+2x+3与x轴交于点A，
1
点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为抛物线C 的顶点，连接PB，将抛物线C 绕点O旋转
1 1
180°得到抛物线C ．
2
(1)求抛物线C 的解析式．
2
(2)连接AC，BC，求sin∠ACB的值．
(3)连接CP，Q是抛物线C 上的点，若满足∠QCO=∠PBC，求点Q的坐标．
2
【答案】(1)y=x2+2x−3
2
(2)sin∠ACB= √5
5
(3)点Q的坐标为(−2,−3)或(1,0)
【分析】
本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算：
（1）由C :y=−x2+2x+3求出与x轴的交点A(−1,0)，B(3,0)，顶点坐标P(1,4)，设C 的解析式为
1 2
y=a(x+1) 2−4，将点A关于原点对称的点的坐标(1，0)代入，求出a=1，即可得C 的解析式；
2
（2）过点B作BE⊥AC于点E，由两点间距离公式求出BC=3√2,AB=4,AC=√10，由三角形面积公
6√10 2
式求出BE= ，从而可求出sin∠ACB= √5；
5 5
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1
（3）证明△BPC是直角三角形且tan∠PBC= ，分点 Q 在 y轴左侧和右侧两种情况，根据
3
1
∠QCO=∠PBC即tan∠QCO=tan∠PBC= 讨论求解即可．
3
【详解】（1）解：对于C :y=−x2+2x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，−x2+2x+3=0，
1
解得，x =−1,x =3，
1 2
∴C(0,3),A(−1,0),B(3,0)，
又C :y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
1
∴抛物线的顶点P的坐标为(1，4)，
设点A关于原点对称的点A'的坐标为(1,0)，
由旋转知，C 的顶点坐标为(−1,−4)，且过点A'(1,0)，
2
∴设C 的解析式为y=a(x+1) 2−4，
2
把A'(1,0)代入得，4a−4=0,
解得，a=1，
∴C 的解析式为y=(x+1) 2−4=x2+2x−3；
2
（2）解：∵C(0,3),A(−1,0),B(3,0)，
∴AB=|3−(−1)|=4, AC=√(−1−0) 2+(0−3) 2=√10, BC=√(3−0) 2+(0−3) 2=3√2, OC=3,
1 1
∴S = AB×OC= ×4×3=6，
△ABC 2 2
过点B作BE⊥AC于点E，如图，
，
1 1
则S = AC×BE= ×√10×BE=6，
△ABC 2 2
12 12 6
∴BE= = = √10，
AC √10 5
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6√10
∴ BE 5 2
sin∠ACB= = = √5
BC 3√2 5
（3）解：∵P(1,4),B(3,0),C(0,3),
∴PB2=(1−3) 2+(4−0) 2=20,BC2=(3−0) 2+(0−3) 2=18, PC2=(1−0) 2+(4−3) 2=2，
∴PC2+BC2=PB2，
∴△PBC是直角三角形，
PC √2 1
∴tan∠PBC= = = ；
BC 3√2 3
分两种情况：
（i）当点Q在y轴左侧时，如图，过点Q作QF⊥y轴于点F，
∵∠QCO=∠PBC，
1
∴tan∠QCO=tan∠PBC= ，
3
设点Q的坐标为(m,m2+2m−3)，则：QF=−m，CF=3−m2−2m+3，
−m 1
=
∴ ，
3−m2−2m+3 3
解得，m =−2,m =3，
1 2
经检验，m =−2,m =3是原方程的根，
1 2
又m<0，
∴m=−2，
此时，点Q的坐标为(−2,−3)；
（ii）当点Q在y轴右侧时，如图，
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∵点A关于原点对称的点A'的坐标为(1，0)，
∴OA'=1，
OA' 1
连接C A'，则有：tan∠A'CO= = ，
OC 3
∴tan∠A'CO=tan∠PBC,
∴点Q与点A'重合，
∴Q(1,0)，
综上，点Q的坐标为(−2,−3)或(1,0)
31．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，二次函数y=ax2+bx−√3(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，连接AC、BC，点A的坐标为(−3,0)．已知当x=−5和x=3时，二次函数的值相等．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点M，N同时从点B出发，均以每秒一个单位长度的速度分别沿线段BA、BC运动，其中一个点到达
终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在
AC边上的点P处，求t的值及点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形
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与△ABC相似？如果存在，请直接写出点Q的坐标：如果不存在，请说明理由．
√3 2√3
【答案】(1)y= x2+ x−√3；
3 3
4 ( 2√3)
(2)t的值为 ，点P的坐标为 −1,− ；
3 3
( 2√3)
(3)存在， −1, ．
3
【分析】
本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，二次函数综合问题；
（1）根据对称性得出二次函数图象的对称轴为直线x=−1，可得b=2a，进而将点A(−3,0)代入解析式，
待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先证明△BMN为等边三角形，根据将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在AC边上的点P处，得出
2√3 ( 2√3)
∠CBP=30°，在Rt△BCP中，求得CP= ，从而得出点P的坐标为 −1,− ，在Rt△PCN中，
3 3
1
求得CN= BN，进而即可求解．
2
（3）存在一种情况，在图2中，过点B作QB⊥BC，交二次函数图象的对称轴于点Q，连接QN，设二次
函数图象的对称性与x轴交于点F，根据相似三角形的性质得出
【详解】（1）解：∵当x=−5和x=3时，二次函数的值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=−1，
∴b=2a①，
又∵点A(−3,0)在二次函数y=ax2+bx−√3(a≠0)的图象上，
∴0=9a−3b−√3②．
联立①②成方程组，¿，
解得：¿
√3 2√3
∴二次函数的表达式为y= x2+ x−√3．
3 3
√3 2√3
（2）当x=0时，y= x2+ x−√3=−√3，
3 3
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∴点C的坐标为(0,−√3)，
√3 2√3
当y=0时，有 x2+ x−√3=0，
3 3
解得：x =−3，x =1，
1 2
∴点B的坐标为(1,0)．
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，BO=1，CO=√3，
∴BC=√BO2+CO2=2=2BO，
∴∠BCO=30°，∠CBO=60°．
∵BM=BN，
∴△BMN为等边三角形．
在图1中，连接BP，过点P作PE⊥x轴于点E．
∵将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在AC边上的点P处，
∴BP⊥MN，
∴BP平分∠MBN，
∴∠CBP=30°．
∵点A(−3,0)，C(0,−√3)，
∴∠OAC=30°，∠OCA=60°，
∴∠BCP=∠BCO+∠OCA=90°，
在Rt△BCP中，BC=2，∠CBP=30°，∠BCP=90°，
2√3
∴CP=
3
∵BP平分∠MBN，
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2√3
∴EP=CP= ，BE=BC=2，
3
( 2√3)
∴点P的坐标为 −1,−
3
在Rt△PCN中，∠PCN=90°，∠PNC=180°−60°−60°=60°，
1 1
∴CN= PN= BN，
2 2
2 4
∴BN= BC= ，
3 3
4 ( 2√3)
∴t的值为 ，点P的坐标为 −1,− ．
3 3
（3）存在一种情况，在图2中，过点B作QB⊥BC，交二次函数图象的对称轴于点Q，连接QN，设二次
函数图象的对称性与x轴交于点F．
∵∠QBN=90°，∠OBC=60°，
∴∠QBF=30°，
∵BF=1−(−1)=2，
2 4√3
∴QB= = 2 2√3 ( 2√3)
√3 3 ，QF= = ，则Q的坐标为 −1, ．
√3 3 3
2
4
∵∠QBN=90°，BN= ，
3
QB
∴tan∠QNB= =√3，
NB
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∴∠BNQ=60°=∠CBA．
又∵∠QBN=∠ACB=90°，
∴△QBN∽△ACB．
( 2√3)
∴存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似，点Q的坐标为 −1, ．
3
题型 09 函数图象判断综合
k
32．（2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数y= (k≠0)在第二象限内的图像与一次函数y=ax+b的图像
x
如图所示，则函数y=ax2−bx−k+1的图像可能为（ ）
A B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数y=ax+b的图象经过第一、
k
二、三象限，且与y轴交于正半轴，则a<0，b>0，反比例函数y= (k≠0)的图象经过第二、四象限，
x
−b
则k<0，从而函数y=ax2−bx−k+1的图象开口向下，对称轴为直线x=− <0，−k+1>0，从而排
2a
除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则a<0，b>0，
k
反比例函数y= (k≠0)的图象经过第二、四象限，则k<0，
x
−b b
∴函数y=ax2−bx−k+1的图象开口向下，对称轴为直线x=− = <0，−k+1>0．
2a 2a
∴综上，可得B正确．
故选：B．
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k
33．（2024·安徽·一模）已知反比例函数y= (k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=x+b的图象如图
x
所示，则函数y=x2+bx−k+1的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了反比例函数和一次函数综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．根据反比
例函数和一次函数的图象，可得k<0，b>1，进而得到函数y=x2+bx−k+1的图象的对称轴在y轴左侧，
再根据反比例函数与一次函数的交点坐标，得到k+b=1，进而得到函数y=x2+bx−k+1与y轴交点纵坐
标大于1，即可判断图象．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过二、四象限，
x
∴k<0，
∵当x=0时，y=x+b>1，
∴b>1，
∴函数y=x2+bx−k+1的图象的对称轴在y轴左侧，排除B选项；
∵反比例函数与一次函数有两个交点，一个交点横坐标为−1，一个交点纵坐标为1，
∴k+b=1，
∴−k+1=b>1，
∴当x=0时，y=x2+bx−k+1=−k+1>0，即函数y=x2+bx−k+1与y轴交点纵坐标大于1，
∴D选项符合题意，
故选：D．
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a
34．（2024·河南安阳·模拟预测）二次函数y=ax2−a(a≠0)与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中
x
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查反比例函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的图象，熟练掌握反比例函数与二次函数
的性质是解题的关键.先根据各选项中抛物线的位置确定a的符号，再根据a的符号对双曲线的大致位置进
行判断即可．
【详解】
A. 根据抛物线开口向上，可得a>0，则−a<0，抛物线与y轴交于负半轴，矛盾，故选项错误；
B. 根据抛物线开口向下，可得a<0，则−a>0，抛物线与y轴交于正半轴，矛盾，故选项错误；
C. 根据抛物线开口向下，可得a<0，则−a>0，抛物线与y轴交于正半轴，双曲线在第二、四象限，故选
项正确；
D. 根据抛物线开口向下，可得a<0，则−a>0，抛物线与y轴交于正半轴，双曲线应该在第二、四象限，
故选项错误.
故选：C
35．（2024·安徽·一模）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象，则双曲线
4a−2b+c
y= 和直线y=abcx+b的大致图象可能是（ ）
x
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数以及反比例函数的图象与系数的关系；
4a−2b+c
根据x=−2，y>0可得4a−2b+c>0，则双曲线y= 的图象位于一、三象限；根据抛物线的
x
图象判断出a>0，b>0，c<0，可得abc<0，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行判断．
【详解】
解：根据抛物线的图象可得，当x=−2时，y>0，即4a−2b+c>0，
4a−2b+c
∴双曲线y= 的图象位于一、三象限；
x
∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴位于y轴左侧，
b
∴x=− <0，
2a
∴b>0；
∵抛物线与y轴交于原点下方，
∴c<0，
∴abc<0，
∴直线y=abcx+b经过第一、二、四象限，
综上，选项A符合题意，
故选：A．
题型 10 二次函数与实际问题
36．（2024·陕西渭南·一模）王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材．
素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱OA高为4m，抛物线形灯杆的最高点距离地面4.5m，
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且到灯柱OA的水平距离为1m，灯泡到地面的距离为2.5m．（灯泡大小忽略不计）
素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于OA对称（C、D
分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架CD．
小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务：
(1)求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围）
(2)小张同学设计的支架CD长为6m，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架CD的长度是否符合要
求，并说明理由．
1
【答案】(1)y=− (x−1) 2+4.5
2
(2)他设计的景观灯支架CD的长度符合要求，理由见解析
【分析】
本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）由题意得，该抛物线顶点坐标为(1，4.5)，再把抛物线设为顶点式，然后代入A(0，4)进行求解即
可；
1 1
（2）在y=− (x−1) 2+4.5求出当y=− (x−1) 2+4.5=2.5时，x的值，即可求出点D的坐标，进而求
2 2
出点C的坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，该抛物线顶点坐标为(1，4.5)，
设该抛物线解析式为y=a(x−1) 2+4.5，
把A(0，4)代入y=a(x−1) 2+4.5中得：a(0−1) 2+4.5=4，
1
解得a=− ，
2
1
∴该抛物线在第一象限的函数表达式为y=− (x−1) 2+4.5；
2
（2）解：他设计的景观灯支架CD的长度符合要求，理由如下：
1 1
在y=− (x−1) 2+4.5中，当y=− (x−1) 2+4.5=2.5时，
2 2
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解得x=3或x=−1（舍去），
∴D(3，2.5)，
∵灯泡C、D关于OA对称
∴C(−3，2.5)，
∴CD=6m，
∴他设计的景观灯支架CD的长度符合要求．
37．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行
轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮
球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.6m．
(1)求篮球出手位置点A的高度．
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说
明理由．
(3)若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨
迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．
【答案】(1)点A的高度为2.25m
(2)获得成功，理由见解析
(3)篮球出手位置的高度提高了0.074m
【分析】
本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及求二次函数解析式．
（1）根据题意可得两点(3,3.6)和(5,3)，可设抛物线的表达式为：y=a(x−3) 2+3.6，代入即可求得解析
式；
（2）将x=1代入即可求得函数值，再与3比较大小即可；
（3）根据题意求得变化后的函数解析式，结合数据的变化即可求得变化值．
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【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为：(3,3.6)，抛物线过点(5,3)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−3) 2+3.6，
将(5,3)代入上式得：3=a(5−3) 2+3.6，
解得：a=−0.15，
则抛物线的表达式为：y=−0.15(x−3) 2+3.6，
当x=0时，y=−0.15(0−3) 2+3.6=2.25，
即点A的高度为2.25m；
（2）获得成功，理由：
当x=1时，y=−0.15(x−3) 2+3.6=−0.15(1−3) 2+3.6=3<3.12，
故能获得成功；
（3）由题意得，新抛物线的a=−0.15，抛物线过点(5,3)、(1,3.2)，
则设抛物线的表达式为：y=−0.15x2+bx+c，
则¿，解得：¿，
则抛物线的表达式为：y=−0.15x2+0.85x+2.5，
当x=−0.2时，y=−0.15x2+0.85x+2.5=2.324>2.25，
则2.324−2.25=0.074，
故篮球出手位置的高度提高了0.074m．
38．（2024·山东济南·模拟预测）某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获
利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．
(1)求A，B两种商品每件的利润；
(2)已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每
降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)12元，8元
(2)定价为35元时，利润最大，最大为2420元．
【分析】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用；
（1）等量关系式：销售10件A商品的利润+销售20件B商品的利润=280元；销售20件A商品的利润+销售
30件B商品的利润=480元；据此列出方程组，即可求解；
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（2）等量关系式：总利润=销售A商品的单件利润×销售总量，据此列出二次函数，化成顶点式，即可求
解；
找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）
解：设A商品每件的利润为x元，B商品每件的利润为元，
根据题意，得¿，
解得：¿，
答：A商品每件的利润为12元，B商品每件的利润为8元．
（2）
解：设降价a元利润为w元根据题意得：
w=(12−a)(200+20a)
=2400+240a−200a−20a
=−20a2+40a+2400
=−20(a−1) 2+2420；
∵−20<0，
∴当a=1时，w有最大值，最大值为2420，
此时定价24+12−1=35(元)．
答：定价为35元时，利润最大，最大为2420元．
39．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为k米的篱
笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，
活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为0.5米，鸭圈垂直于墙的一边的长为a米．
（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）
设计方案 小成 小韩 小林
a（米) 1.5 2.5 3.5
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CD的长
（ ） （ ） （ ）
（米）
(1)用含k，a的代数式表示鸭圈另一边长CD= 米．
(2)若k=10固定不变．
①若要求鸭圈面积为10平方米，求a的值．
②小成、小韩和小林根据a的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠
谱．
③请通过上述探究，直接写出a的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值．
(3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？
【答案】(1)(k−3a+1)
5 11 121
(2)①a=2或 ；②6.5，3.5，0.5；小成；③a= ； m2
3 6 12
(3)鸭圈面积能达到24平方米
【分析】
本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式和代数式求值：
（1）（1）根据题意和图形，可以用含a的代数式表示出CD的长即可；
（2）①先求出CD=11−3a，再利用矩形面积公式建立方程求解即可；②根据（1）所求代值计算即可；
5 11
③先求出 ≤a< ，再利用矩形面积计算公式用含a的式子表示出矩形面积，再利用二次函数的性质求解
3 3
即可；
（3）令k=16时，则CD=17−3a，再同（2）③求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：CD=k−3a+0.5+0.5=k−3a+1（米)，
故答案为：(k−3a+1)；
（2）解：①由题意得CD=11−3a，
∴10=a⋅CD=a(11−3a)，
5
解得：a=2或 ；
3
②当a=1.5时，CD=11−3a=6.5（米)，
同理可得：a=2.5时，CD=3.5（米)，a=3.5时，CD=0.5（米)，
从上述数据看，小成的方案更为靠谱；
③由题意得：0<CD≤6，即0<11−3a≤6，
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5 11
解得： ≤a< ，
3 3
设鸭圈面积为s平方米，
则s=a(11−3a)=−3a2+11a，
∵−3<0，故s有最大值，
11 121
当a= 时，s的最大值为： m2 ；
6 12
（3）解：当k=16时，CD=17−3a，
设鸭圈面积为s平方米，
则s=a(17−3a)=−3a2+17a，
∵−3<0，
17 289
当a= 时，s的最大值为： >24，
6 12
∴鸭圈面积能达到24平方米．
40．（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产
品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中AB
为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最
大值；
(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上
一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这
种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x>8），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，
简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
160
【答案】(1)当4≤x≤8时的函数解析式为y= ，当8≤x≤28时的函数解析式为y=−x+28；
x
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640
(2)当4≤x≤8时，w=− ，当8≤x≤28时，w=−(x−16) 2−16，
x
当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为−16万元；
(3)画图见解析，11≤x≤21
【分析】
本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分别设出反比例函数解析式和一次函数解析式，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据公式“总利润=单件利润×数量”即可得出解析式，再根据反比例函数和二次函数的性质即可得
出答案；
（3）根据（2）所求列出w关于x的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像
性质即可得出答案．
k
【详解】（1）解：设当4≤x≤8时的函数解析式为y= (k>0)，
x
k k
把A(4，40)代入y= (k>0)中得：40= ，解得k=160，
x 4
160
∴当4≤x≤8时的函数解析式为y= ；
x
设当8≤x≤28时的函数解析式为y=k'x+b，
把B(8，20)，C(28，0)代入y=k'x+b中得：¿，
解得¿，
∴当8≤x≤28时的函数解析式为y=−x+28；
160 640
（2）解：当4≤x≤8时，w=(x−4)⋅ −160=− ，
x x
∵−640<0，
∴w随x增大而增大，
∴当x=8时，W最大，最大为−80万元；
当8≤x≤28时，w=(x−4)(−x+28)−160=−x2+32x−112−160=−(x−16) 2−16，
∵−1<0，
∴当x=16时，w最大，最大为−16万元；
∵−16>−80，
∴当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为−16万元；
（3）
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解：由（2）得第一年的年利润为−16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
∴第二年的年利润w=(x−4)(−x+28)−16=−x2+32x−128，
当w=−x2+32x−128=103时，解得x =11，x =21，
1 2
在坐标系中画函数图象如下：
∴由函数图象可知，当11≤x≤21时，第二年年利润不低于103万元．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过A(0,6)的一次函数y 的图象与
1
经过B(0,2)的一次函数y 的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y= y ⋅y 的大致图象是
2 1 2
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点C(c,3)(c<0)，一次函数
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3 1
y 的解析式为y =k x+6，一次函数y 的解析式为y =k x+2，求出y =− x+6，y = x+2，然后再
1 1 1 2 2 2 1 c 2 c
3
求出y y =− x2+12，最后进行判断即可．
1 2 c2
【详解】解：设点C(c,3)(c<0)，一次函数y 的解析式为y =k x+6，一次函数y 的解析式为y =k x+2，
1 1 1 2 2 2
把C(c,3)分别代入两个函数解析式得：
3=ck +6，3=ck +2，
1 2
3 1
解得：k =− ，k = ，
1 c 2 c
3 1
∴y =− x+6，y = x+2，
1 c 2 c
∴y y = ( − 3 x+6 )(1 x+2 ) =− 3 x2+12，
1 2 c c c2
3
∵− <0，
c2
3
∴y y =− x2+12的图象为开口向下，顶点为(0,12)的抛物线，
1 2 c2
所以C选项符合题意．
故选：C．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于x的二次函数y=(ax+1)(x−a−1)的图象与x轴的一个交点坐标
为(n,0)．若1<n<2，则a的取值范围为（ ）
1
A．0<a<1或−1<a<− B．0<a<1或−2<a<−1
2
1
C．1<a<2或−1<a<− D．1<a<2或−2<a<−1
2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，先求出抛物线与x的交点，再分a>0与a<0两种情况，进
行讨论即可得出答案．
【详解】解： y=0，则(ax+1)(x−a−1)=0，
1
解得：x =− ，x =a+1，
1 a 2
∵关于x的二次函数y=(ax+1)(x−a−1)的图象与x轴的一个交点坐标为(n,0)，且1<n<2，
∴当a>0时，0<a+1<1，
解得：0<a<1，
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1
当a<0时，1<− <2，
a
1
解得：−1<a<− ，
2
1
综上所述，a的取值范围是0<a<1或−1<a<− ，
2
故选：A．
3
3．（2024·陕西榆林·二模）已知二次函数y=ax2−2ax+3(a<0)，当 −1≤x≤ 时，y的最小值是−3，
2
则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线与x轴的两个交点在y轴同侧 B．当x>0时，y随x的增大而减小
C．抛物线与y轴交点的坐标是(0,4) D．该抛物线的顶点坐标是(1,5)
【答案】D
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是根据题意画出草图．根据解析式求出抛物线对称轴，画出
草图，根据条件可以得到当x=−1时，y=−3，从而求出a的值，得到抛物线解析式，根据抛物线的草图
和解析式依次分析判断各选项即可得解．
−2a
【详解】解：二次函数y=ax2−2ax+3(a<0)的对称轴为x=− ，即x=1，
2a
如图画出草图，
∴选项A、B、C错误，
3
∵当 −1≤x≤ 时，y的最小值是−3，
2
∴当x=−1时，y=−3，即a⋅(−1) 2−2a⋅(−1)+3=−3，
∴a=−2，
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∴二次函数解析式为y=−2x2+4x+3，
将x=1代入y=−2x2+4x+3得到y=5，
∴该抛物线的顶点坐标是(1,5)，选项D正确．
故选：D．
4．（2024·浙江·模拟预测）关于二次函数y=a(x−1)(x−3)+2(a<0)的下列说法中，正确的是（ ）
A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过(1,0)和(3,0)这两个定点
B．当x=2时，该二次函数取到最小值
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当x<0或x>2时，y<2
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n(m<n)，则1<m<n<3
【答案】C
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质．先求得该二次函数的图象经过点(1,2)，(3,2)，求得对称轴为直线x=2，
据此逐一判断各选项即可．
【详解】解：当x=1时，y=2，即该二次函数的图象经过点(1,2)，故选项A不正确；
当x=3时，y=2，则该二次函数的图象经过点(3,2)，
1+3
∴该二次函数图象的对称轴为直线x= =2，
2
∵a<0，
∴当x=2时，该二次函数取到最大值，故选项B不正确；
∵该二次函数的图象经过点(1,2)，(3,2)，将该二次函数的图象向左平移1个单位，则经过点(0,2)，(2,2)，
∴则当x<0或x>2时，y<2，故选项C正确；
∵该二次函数的图象经过点(1,2)，(3,2)，开口向下，且二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为
m，n(m<n)，
∴m<1<3<n，故选项D不正确，
故选：C．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知代数式x2−x+1，下列说法正确的有（ ）
1
①无论x取何值，x2−x+1的值总是正数；②x2−x+1的值可正可负也可以是0；③当x= 时，x2−x+1
2
3 1 3
取得最大值，最大值为 ；④当x= 时，x2−x+1取得最小值，最小值为 ．
4 2 4
A．② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
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【分析】
本题考查二次函数最大（小)值的求法．求二次函数的最大（小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，
第二种是配方法，第三种是公式法．
【详解】
1 2 3
解：①、函数y=x2−x+1=(x− ) + ，所以无论x取何值，x2−x+1的值总是正数，正确；
2 4
②、x2−x+1的值可正可负也可以是0，错误；
1 3
③、函数y=x2−x+1有最小值，当x= 时，最小值为 ，x2−x+1取得最大值，错误；
2 4
1 2 3 1 3
④、函数y=x2−x+1可化为y=(x− ) + ，当x= 时，x2−x+1取得最小值，最小值为 ，正确．
2 4 2 4
故选：D．
6．（2024·陕西·二模）抛物线L：y=ax2＋bx＋c经过A(4,3)，B(0,1)两点，且抛物线L不经过第四象
限，则下列点坐标不可能在抛物线L上的是（ ）
A．(2,1) B．(−2,−1) C．(−2,3) D．(−1,1)
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次函数的性质．
由二次函数经过A(4,3)，B(0,1)两点，且不经过第四象限，所以抛物线开口向上，
开口向上，函数和x轴有一个交点或没有交点的情况下，函数图像只过一二象限；
开口向上，函数两根均小于零的情况下，函数只过一二三象限，不过第四象限；
根据题意求将各点坐标带入求出函数解析式 ，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线L：y=ax2＋bx＋c经过A(4,3)，B(0,1)两点，抛物线L不经过第四象限，
当Δ≤0，a>0，函数不过第四象限时，
函数图像只过一二象限，点B(−2,−1)不可能在抛物线上，
b c
当a>0，x +x =− <0，x ⋅x = >0时函数只过一二三象限，不过第四象限，
1 2 a 1 2 a
∴a>0，b>0，c>0，
将点A、B、C、D分别代入解析式中解得，当点B(−2,−1)代入，
解得¿，不符合题意，
∴点B(−2,−1)不可能在抛物线上，
故选B．
1
7．（2024·陕西西安·二模）把抛物线y=ax2−2ax+3(a>0)沿直线y= x+1方向平移√5个单位后，其顶
2
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点仍在原抛物线上，则a是（ ）
1 1 2
A．2 B． C． D．
5 4 5
【答案】C
【分析】
1
本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线y= x+1方向平移的直线分解为水平方向和竖直方
2
向的平移．
根据一次函数解析式，利用勾股定理求出AB=√5，然后求出抛物线的顶点坐标(1,3−a)，可知顶点沿直
1
线y= x+1方向平移√5个单位，当于把顶点向右平移2个单位再向上平移1个单位或者是把顶点向左平
2
移2各单位再向下平移1个单位，得出平移后抛物线的顶点坐标，再根据平移后的顶点原抛物线上，求出
a的值．
1
【详解】解：直线y= x+1
2
令y=0，则x=−2；
令x=0，则y=1，
1
∴直线y= x+1经过点A(−2,0)，B(0,1)，如图所示，
2
∴OA=2，OB=1，
∴AB=√OA2+OB2=√22+12=√5，
∵y=ax2−2ax+3=a(x2−2x)+3=a(x−1) 2+3−a
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∴抛物线的顶点坐标为(1,3−a)，
1
∵把抛物线的顶点(1,3−a)沿直线y= x+1平移√5个单位，相当于把顶点向右平移 2个单位再向上平移
2
1个单位或者是把顶点向左平移2各单位再向下平移1个单位，
∴平移后的顶点坐标为(3,4−a)或(−1,2−a)，
∵平移后的顶点在抛物线上，
把(3,4−a)代入y=ax2−2ax+3(a>0)得：
4−a=9a−6a+3，
1
解得：a= ，
4
把(−1,2−a)代入y=ax2−2ax+3(a>0)得：
2−a=a+2a+3，
1
解得：a=− ，
4
∵a>0，
1
∴a= ，
4
故选：C
二、填空题
8．（2024·山东济南·二模）如图，抛物线C 的解析式为y=−x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到
1
图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为
．
9−√17
【答案】
2
【分析】由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y=x，设直线y=x与抛
物线y=−x2+4在第一象限的交点为M，把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，然后解方程组求出点M坐
标，求出OM即可，
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本题考查二次函数图象与几何变换，关键是通过旋转的性质得出点M坐标．
【详解】解：由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y=x，设直线y=x
与抛物线y=−x2+4在第一象限的交点为M，
∴把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，如图所示：
联立方程组得：¿，解得：¿或¿，
(−1+√17 −1+√17)
∴点M坐标为： , ，
2 2
−1+√17 −√2+√34 −√2+√34
∴OM= ×√2= ，OB=OM= ，
2 2 2
∵对称性，
∴OA=OB，
1 (−√2+√34) 2 9−√17
∴S = × = ，
△OAB 2 2 2
9−√17
故答案为： ．
2
9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，直
线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C的横坐标为 ．
【答案】2.5
【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，可得一次项系数，联立两个函数解析式得到一个一元二次方
程，根据中点公式与根与系数的关系直接求解即可．
【详解】∵二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，
m+1+3−m b
∴对称轴x= =2=− ，
2 2
解得b=−4，则y=x2−4x+c，
∵直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，
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∴¿，得x2−5x+c−3=0，
∵取AB中点C，
−5
−
∴C的横坐标为x +x 1 ．
1 2= =2.5
2 2
故答案为：2.5
【点睛】此题考查二次函数的性质和中点坐标公式以及一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是先通
过对称性求出对称轴，然后通过联立两函数解析式求交点坐标，最终通过中点公式求出中点横坐标．
10．（2023·湖北武汉·二模）函数y=|x2+2x+b|（b为常数）有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是
直线x=−1；②当x=−1时，函数有最小值|b−1|；③若b=−3，点P (x ,y )，P (x ,y )在该函数图像
1 1 1 2 2 2
上，则当x <−3<−1<x <1时，y <y ；④若关于x的方程|x2+2x+b|=m有四个实数根，则这四个根之
1 2 1 2
和一定为−4．其中正确的结论是 （填写序号）
【答案】 /
【分析】①根据④二④次①函数的图象与性质及解一元二次方程的方法进行判断即可．
【详解】解；∵b为常数，对一次函数的对称性不具有影响，
如图，函数y=|x2+2x+b|具有对称性，对称轴是直线x=−1，故①正确，
∵函数y=|x2+2x+b|≥0，
∴函数有最小值0，此时x=−1±√1−b，故②错误；
当b=−3时，函数y=|x2+2x+b|=|x2+2x−3|，如图所示，
当x<−3时，y随x的增大而减小，当−1<x<1时，y随x的增大而减小，
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∴则当x <−3<−1<x <1时，y 和y 的大小不确定，故③错误；
1 2 1 2
∵若关于x的方程|x2+2x+b|=m有四个实数根，
∴当x2+2x+b=m时，解得x =−1+√m−b+1，x =−1−√m−b+1，
1 2
当x2+2x+b=−m时，解得x =−√−m−b+1−1，x =√−m−b+1−1，
3 4
∴x +x +x +x =−4，故④正确，
1 2 3 4
故答案为：①④．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题
11．（2024·贵州·一模）如图，篮圈中心到地面的距离为3.05米，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，
篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度3.5米，沿此抛物线可准确落
入篮圈．
(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度
是多少？
(3)篮球准备投出时，小强发现前方距离他1米处对方的防守运动员准备跳起拦截，为了躲避拦截，小强临
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时调整抛球路线，其表达式为 y=−0.2x2+0.4bx−2b(b<0)，当对方的防守运动员在一个跨步（约0.5
米）的范围内起跳，即−2≤x≤−1时，篮球的高度总大于这名防守运动员的最大摸高3.05米，求b的取值
范围．
【答案】(1)y=−0.2x2+3.5
(2)0.2m
11
(3)b<−
8
【分析】
本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出当x=−2.5时，y的值，再用y的值减去运动员的高度以及减去0.25即可得到答案；
（3）先求出抛物线y=−0.2x2+0.4bx−2b(b<0)对称轴为直线x=b，根据题意可得当−2≤x≤−1时，
函数的最小值要大于3.05，再讨论对称轴的位置，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为y=ax2+3.5，
把(1.5,3.05)代入y=ax2+3.5中得：2.25a+3.5=3.05，
解得a=−0.2，
∴抛物线解析式为y=−0.2x2+3.5
（2）解：在y=−0.2x2+3.5中，当x=−2.5时，y=−0.2×(−2.5) 2+3.5=2.25，
2.25−1.8−0.25=0.2m，
∴球出手时，他跳离地面的高度是0.2m；
0.4b
（3）解：抛物线y=−0.2x2+0.4bx−2b(b<0)的对称轴为直线x=− =b，
−0.2×2
当b<−2时，则当x=−1时的函数值要大于3.05，
∴−0.2−0.4b−2b>3.05，
65
解得b<− ，
48
∴当b<−2时，符合题意；
当−1<b<0时，则当x=−2时的函数值要大于3.05，
∴−0.2×(−2) 2−0.8b−2b>3.05，
11
解得b<− ，此时不符合题意；
8
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65
当−2≤b≤−1.5时，则当x=−1时的函数值要大于3.05，此时得到b<− ，
48
∴−2≤b<−1.5；
11
当−1.5<b≤−1时，则当x=−2时的函数值要大于3.05，此时得到b<− ，
8
11
∴−1.5<b<− ；
8
11
综上所述，b<− ．
8
12．（2024·辽宁辽阳·一模）【问题提出】
如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE=4，动点F以每秒1个单位的速度从点B出发，在折线段
BA−AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形ABCD的边于点G，
连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S．
【初步感知】
如图2，动点F由点B向点A运动的过程中，经探究发现S是关于x的二次函数，如图2所示，抛物线顶点P
的坐标为(3,t)，与y轴的交点N的坐标为(0,16)，与x轴的交点为点M．
（1）求矩形ABCD的边AB和AD的长；
【深入探究】
（2）点F由点A向终点运动的过程中，求S关于x的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程x ，x ，x (x <x <x )，当x −x =x −x 时，3个路程对应的面积S均相等．
1 2 3 1 2 3 3 2 2 1
【答案】（1）AB=8，AD=20；（2）S=−x2+36x−224；（3）存在，理由见解析．
【分析】（1）根据当t=0时，S=16可求出AB=8；过点G作GH⊥BC于点H，证明△FBE∽△EHG得
FB BE
= ，当FB=3时求出EH=6，进而可求出t=25，用待定系数法求出S=−x2+6x+16，然后求出
EH HG
抛物线与x轴的交点为点M的坐标为(8,0)，由此可知，当点F与点A重合时，点G与点D重合，由勾股定
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理求出AE=4√5，然后由由△ABE∽△DEA可求出AD=20；
1
（2）过点F作FH⊥BC于点H，由△FHE∽△ECG求出CG=24−2x，然后根据S= ×DG×DF即可
2
求解；
（3）先求出x +x =6，结合x −x =x −x 可得x =12−3x ，由面积相等得
2 1 3 2 2 1 3 1
x =2x −x =2(x +x )−3x =12−3x ，整理得4x2+21x −24=0，根据根的判别式即可求解．
3 2 1 2 1 1 1 1 1
【详解】解：（1）∵抛物线与y轴的交点N的坐标为(0,16)，
即当t=0时，S=16，
当t=0时，点F与点B重合，此时线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形为△ABG，如图1，
AG=BE=4，
1
S= ×AB×AG=16，
2
∴ AB=8．
如图2，过点G作GH⊥BC于点H，
∵∠BEF+∠GEH=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BFE=∠GEH．
∵∠B=∠GHE=90°，
∴△FBE∽△EHG，
FB BE 3 4
∴ = ，当FB=3时，即 = ，
EH HG EH 8
∴ EH=6，
∴ AG=BH=4+6=10．
1
∴ t= ×(8−3)×10=25，
2
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设抛物线为S=a(x−h) 2+k(a≠0)，
∵抛物线顶点P的坐标为(3,25)，
∴抛物线为S=a(x−3) 2+25，
∵抛物线与y轴的交点N的坐标为(0,16)，
∴ 16=a(0−3) 2+25，∴ a=−1，
∴ S=−(x−3) 2+25=−x2+6x+16．
当S=0时，解得：x =−2，x =8，
1 2
∴抛物线与x轴的交点为点M的坐标为(8,0)，
由此可知，当点F与点A重合时，点G与点D重合（如图3），
在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE2=√82+42=4√5，
BE EA 4 4√5
由△ABE∽△DEA得 = ，即 = ，
EA AD 4√5 AD
∴ AD=20；
（2）如图4，过点F作FH⊥BC于点H，
同理可证△FHE∽△ECG，
FH HE 8 4−(x−8)
∴ = ，即 = ，
EC CG 20−4 CG
∴ CG=24−2x，
∴ DG=8−(24−2x)=2x−16．
1 1
S= ×DG×DF= ×(2x−16)×[20−(x−8)]=−x2+36x−224；
2 2
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（3）由S=−x2+6x+16知，抛物线的对称轴为直线x=3，
∴ x +x =6，
2 1
当x −x =x −x 时，则x =2x −x =2(x +x )−3x =12−3x ，
3 2 2 1 3 2 1 2 1 1 1
∴ −x2+6x +16=−x2+36x −224=−(12−3x ) 2+36(12−3x )−224，
1 1 3 3 1 1
整理，得：4x2+21x −24=0，
1 1
Δ=212−4×4×(−24)=825>0，
所以存在当x −x =x −x 时，3个路程对应的面积S均相等．
3 2 2 1
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，
勾股定理等知识，求出函数解析式是解答本题的关键．
13．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数y=−x2+2tx+3．
(1)若它的图像经过点(1,3)，求该函数的对称轴．
(2)若0≤x≤4时，y的最小值为1，求出t的值．
(3)如果A(m−2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，直线y=2mx+a与该二次函数交于
M(x ,y )，N(x ,y )两点，则x +x 是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由．
1 1 2 2 1 2
1
【答案】(1)对称轴：直线x= ；
2
7
(2)t= ；
4
(3)是，x +x =−2．
1 2
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质．
1
（1）把(1,3)代入解析式求出t= ，再根据对称轴公式求出对称轴；
2
（2）根据抛物线开口向下，以及x=0时，y=3,由函数的性质可知，当x=4时，y的最小值为1，然后求t
即可；
（3） A(m−2,n),C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出 m−t=1,再令
−x2+2tx+3=2mx+a,并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出x₁+x₂=−2．
【详解】（1）解：将点(1,3)代入二次函数y=−x2+2tx+3，得
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3=−1+2t+3，
1
解得：t= ，
2
∴对称轴直线为：
2t 1
x=− =t= ．
−1×2 2
（2）解：当x=0时，y=3，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=t，
∴当x=t时，y有最大值，
∵0≤x≤4时，y的最小值为1，
∴当x=4时，y=−16+8t+3=1，
7
解得：t= ．
4
（3）解：x +x 是定值，理由：
1 2
∵A(m−2,n)，C(m,n)两点都在这个二次函数的图象上，
m−2+m
∴x=t= =m−1，
2
∴m−t=1
令−x2+2x+3=2mx+a，整理得：
x2+2(m−t)x+a−3=0，
∵直线y=2mx+a与该二次函数交于M(x ,y )，N(x ,y )两点，
1 1 2 2
∴x ，x 是方程x2+2(m−t)x+a−3=0的两个根，
1 2
b
∴x +x =− =−2(m−t)=−2是定值．
1 2 a
14．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²+bx+6(a≠0)与x轴交
A(−2√3,0)，B(6√3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
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(2)如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段BC交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接BR，
已知点N为线段BR上一动点，连接MN，将△BMN沿 MN翻折到 △B'MN．
①当MB'的中点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标；
②当△B'MN与△BMR重叠部分（如图中的△MNQ）为直角三角形时，求出此时点B'的坐标．
1 2√3
【答案】(1)y=− x2+ x+6
6 3
(2)
①点G的坐标为(0,6)或(2√3,8)或(4√3,6)
②当B'(2√3,12)或(−2√3,8)或(6√3,8)时，△MNQ为直角三角形
【分析】
（1）将A(−2√3,0)，B(6√3,0)代入y=ax2+bx+6，求出a，b即可；
（2）①设MB的中点是P，依题意，点P关于直线MN对称的点其轨迹在以点M为圆心，以MP为半径的
圆上，设点G ( x ,− 1 x 2+ 2√3 x +6 ) ，根据MG=MP及两点距离公式列关于x 的方程，解这个方程，
0 6 0 3 0 0
从而求得点G的坐标；
②分三种情况讨论：当OM⊥B'M时，△MNQ为直角三角形，K(2√3,0)，R(2√3,12)，直线BC的解
√3
析式为y=− x+6，由边的关系可求∠KRB=30°，∠B'=30°，从而可求B'的坐标；当MN⊥BR时，
3
△MNQ为直角三角形，B'与R重合；当MB'⊥BR时，△MNQ也是直角三角形．
【详解】（1）
解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−2√3,0)，B(6√3,0)两点，
∴ ¿，
解得：¿，
1 2√3
∴抛物线的解析式为：y=− x2+ x+6；
6 3
（2）①如图，设MB的中点是P，依题意，点P关于直线MN对称的点其轨迹在以点M为圆心，以MP为
半径的圆上，
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∵点G在抛物线上，
∴设点G ( x ,− 1 x 2+ 2√3 x +6 ) ，
0 6 0 3 0
√3
由（1）得直线BC的解析式为y=− x+6，
3
∴M(2√3,4)，
(2√3+6√3 4+0)
∴P , ，即P(4√3,2)，
2 2
∴M P2=(2√3−4√3) 2+(4−2) 2=16，
2
∴MG2=(2√3−x ) 2+ ( 4+ 1 x 2− 2√3 x −6 ) =M P2=16，
0 6 0 3 0
整理得x (x −2√3) 2 (x −4√3)=0，
0 0 0
∴x =0或2√3或4√3，
0
1 2√3
将x =0，2√3，4√3分别代入y=− x2+ x+6，
0 6 3
得到y =6，8，6，
0
∴G(0,6)或(2√3,8)或(4√3,6)，
故答案为：点G的坐标为(0,6)或(2√3,8)或(4√3,6)；
②情况1：当OM⊥B'M时，△MNQ为直角三角形，
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对称轴x=2√3，
∴K(2√3,0)，R(2√3,12)，
∴KB=4√3，
√3
直线BC的解析式为y=− x+6，
3
∴M(2√3,4)，
∴MK=4，MB=8，
∴RM=8，
∴MR=KB，
KB 4√3 √3
∵tan∠KRB= = = ，
RK 12 3
∴∠KRB=30°，
∴∠B'=30°，
∴QM=4，B'Q=4√3，
∴RQ=QM=4，
∴B'(−2√3,8)；
情况2：当MN⊥BR时，△MNQ为直角三角形，
∵∠MBN=∠MB'N=30°，∠KRB=30°，
∴B'与R重合，
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∴B'(2√3,12)；
情况3：当MB'⊥BR时，△MNQ也是直角三角形，此时B'(6√3,8)．
综上所述：当B'(2√3,12)或(−2√3,8)或(6√3,8)时，△MNQ为直角三角形．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，翻折变换，直角三角形的性质，两点距离公
式等，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关数学知识分析和解决问题．
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