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专题 08 锐角三角形及其应用
目 录
题型01 锐角三角函数与三角形综合
题型02 锐角三角函数与四边形综合
题型03 锐角三角函数与圆综合
题型04 锐角三角函数与圆及四边形综合
题型05 锐角三角函数与圆及三角形综合
题型06 锐角三角函数与函数综合
题型07 12345模型
题型08 锐角三角形应用-仰角俯角问题
题型09 锐角三角形应用-方位角问题
题型10 锐角三角形应用-坡度坡角问题
题型11 锐角三角形应用-与不易测量相关问题
题型12 锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题
（时间：60分钟）
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题型 01 锐角三角函数与三角形综合
1．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在锐角三角形ABC中，tanA=√3,BC=√5，线段BD､CE分别
是AC､AB边上的高线，连接DE，则三角形ADE面积的最大值是 ．
2．（2023·河南南阳·三模）小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小
不等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究：
(1)将两块三角板的直角顶点重合，如图1，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，
DC=CE，当点D在线段AB上时（点D不与点A，B重合），
①由题意可得△ACD≌△BCE，其依据是：___________；
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
②直接写出AD与BE的数量关系___________．
(2)将两块三角板的锐角顶点重合，如图2，在△ACB和△DCE中，∠CAB=∠CDE=90°，AC=AB，
CD=DE，点A与线段DE不在同一直线上，（1）中AD与BE的数量关系是否仍然成立？若不成立，请
求出新的数量关系；
(3)将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3，在△ACB和△EDC中，
∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC=4，CD=ED．将△EDC绕点C在平面内旋转，当点D落在边AB上
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√5
时，满足sin∠BCE= ，请直接写出AD的长．
5
3．（2023·重庆沙坪坝·二模）等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC．
(1)如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CE，连接BE．若D点在AB边上，且
1
DC=√5，tan∠ACD= ，求BE的长度；
2
(2)如图2，若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D
的运动过程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB−BD=AC，猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，
并证明你的猜想；
1
(3)如图3，将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在平面内得到△BD'C，M点在AB边上，且AM= AB，
4
将MA绕点A逆时针方向旋转120°得到线段AN，点H是直线AC上一动点，将△MNH沿直线MH翻折至
△MNH所在平面内得到△M N'H，在点D，H运动过程中，当N'D'最小时，若AB=4，请直接写出
DN'H的面积．
题型 02 锐角三角函数与四边形综合
4．（2023·山东青岛·一模）【阅读与思考】
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图 1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个
1
平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 的值叫做这个平行四边形的变形度．
sinα
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【探究与应用】
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是______；
1
(2)若矩形的面积为S ，其变形后的平行四边形面积为，试猜想S ，S ， 之间的数量关系，并说明理
1 1 2 sinα
由；
(3)如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2=AE⋅AD，这个矩形发生变形后为
▱A B C D ，E 为E的对应点，连接B E ，B D ，若矩形ABCD的面积为√2m(m>0)的
1 1 1 1 1 1 1 1 1
▱A B C D 面积为√m(m>0)，求∠A E B +∠A D B 的大小．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5．（2023·吉林长春·模拟预测）【实践操作】如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，E
为边AB上一点，把△ADE沿着DE折叠得到△A'DE，作射线EA'交射线DC于点F.过点F作FH⊥AB
于点H．
(1)求证：△A'DF≌△HFE；
(2)当AE=2cm时，CF= ______ cm；
(3)【问题解决】如图②，在正方形纸片ABCD中，取边AB中点E，AD=3cm，将△ADE沿着DE折叠得
到△A'DE，作射线DA'交边BC于点G，点F为CD边中点，P是边BC上一动点，将△CFP沿着FP折叠
得到△C'FP，当点C'落在线段A'D上时，tan∠CFP= ______ ．
6．（2023·吉林长春·模拟预测）【操作一】如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，MN∥BC
交CD于点N．点E是AB边上的一点，连结CE，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点B'落在
MN上．求∠CB'N的大小．
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以下是小明同学的部分解答过程，请你补充完整．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD．
∵MN∥BC，
∴MB=NC，∠MNC=∠D=90°
∵M是AB的中点，
1 1
∴MB= AB=NC= BC
2 2
由折叠，得CB=CB'
1
∴CN= ______
2
在Rt△B'CN中，
NC 1
sin∠CB'N= = ．
CB' 2
∴∠CB'N= ______ 度．
【操作二】在图①的基础上继续折叠，如图②，点F是CE边上的一点，连结AF，将正方形纸片沿AF所
在直线折叠，点D的对应点D'落在MN上．求证：△BCE≌△DAF．
【应用】在图②的基础上，如图③，G、H分别是CE、AF的中点，顺次连接B'、G、D'、H，若
AB=2，直接写出点H、G之间的距离．
7．（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上与点B不重合的任意一点，EF=AE，
∠AEF=90°，点G是射线BC上一点，求证：∠FCG=45°．
证明思路：在AB上截取BK=BE，因为AB=BC，所以AK=CE，请完成接下去的证明；
【尝试应用】
EF
（2）如图2，在矩形ABCD中，点E是边BC上与B不重合的任意一点，tan∠FCG= =2，
AE
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AB
∠AEF=90°，点G是射线BC上一点，求 的值；
BC
【拓展提高】
（3）如图3，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连结BE，作∠EFG=∠EBF，使点F，G分别落
1
在边BC，CD．上．若2BE=5BF，且tan∠CFG= ，求sin∠EFC的值．
3
题型 03 锐角三角函数与圆综合
8．（2023·广西梧州·二模）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC
相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
4
(2)若AB=10，sin∠ABC= ，求AD的长．
5
3
9．（2023·广东深圳·模拟预测）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且tan∠A= ，M为线段AB
4
的中点，作DM⊥AB，点P在线段CB上，点Q在线段AC上，以PQ为直径的圆始终过点M，且PQ交
线段DM于点E．
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(1)求线段DM的长度；
(2)求tan∠PQM的值；
(3)当△MPE是等腰三角形时，求出线段AQ的长．
10．（2023·浙江杭州·三模）如图1，三角形ABC内接于圆O，点D在圆O上，连接AD和CD，CD交AB
于点E，∠ADE+∠CAB=90°
(1)求证：AB是直径；
(2)如图2，点F在线段BE上，AC=AF，∠DCF=45°
①求证：DE=DA；
②若AB=kAD，用含k的表达式表示cosB．
题型 04 锐角三角函数与圆及四边形综合
11．（2023·湖南永州·二模）如图1，在正方形ABCD中，AC为对角线，点F，H分别在边AD，AB上，
CF=CH，连结FH交AC于点E．
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(1)求证：AC平分∠FCH；
KH AK
(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K，求证： = ；
CH AC
(3)在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求cos∠HCF的值．
12．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，点E是边AD上一点，且
AE=3，点F在边AB上，过点B、F、E作圆O，交边BC或其延长线于G，连接BE，GE，GF，设
BF=x(00) x
1
A(−2,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L 对应的函数表达式；
1
(2)如图1，点D为直线AC下方抛物线上的一动点，DM⊥AC于点M,DN∥y轴交AC于点N．求线段
DM的最大值和此时点D的坐标；
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(3)如图2，将抛物线 沿着 轴向左平移后得到抛物线 ，若点 是抛物线 与 在
L :y=ax2+x+c(a>0) x L P L L
1 2 1 2
1
x轴下方的交点且tan∠ACP= ，求抛物线L 对应的函数表达式．
3 2
18．（2023·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b(a≠0)与反比例函数
k
y= (k≠0且x>0)交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，连接OA、OB.若OA=2√13；
x
2√13
sin∠AOC= ，点B的坐标为(m,−8)
13
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接OB，若点P是y轴上一点，且△BOP是以OB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
19．（2023·山东济南·二模）如图，点B坐标为(−1,0)，点A在x轴的正半轴上，四边形BDEA是平行四
k
边形，DF⊥x轴于点F，BD=3√5,tan∠DBA=2，反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象经过
x
AC 1
点D，与AE交于点C，且 = ．
CE 2
(1)求反比例函数解析式及C点坐标；
(2)若线段BD上一点P，使得∠DCP=∠BDF，求点P的坐标；
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(3)过点C作CG∥y轴，交DE于点G，点M为直线CG上的一个动点，H为反比例函数上的动点，是否存
在这样的点H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出所有满足条件的M点
坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023·江苏宿迁·二模）阅读下列材料：
在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数： 中 的符号决
y=a(x−k) 2+h a
定图像的开口方向，|a|决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图
1，抛物线上任意一点（A）（异于顶点O）到对称轴的垂线段的长度（AB的长度）叫做这个点的“勾
距”，记作m；垂足（B）到抛物线的顶点（O）的距离（BO）叫这个点的“股高”，记作h；点（A）
到顶点（O）的距离（AO的长度）叫这个点的“弦长”，记作l；过这个点（A）和顶点（O）的直线（
AO）与对称轴（BO）相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作α．
由图1可得，对于函数y=ax2(a≠0)：
（1）当勾距m为定值时
① ；股高和弦长均随 增大而增大；
h=|am2|、l=m√(1+a2m2) |a|
| 1 |
②tanα= ；偏角随|a|增大而减小；
am
| 1 | √3
（如：函数y=√3x2中，当m=1时，h=|am2|=√3、l=m√(1+a2m2)=2；tanα= = ,α=30°）
am 3
（2）当偏角α为定值时
m= | 1 | 、h= | 1 | 、l= |cosα |，勾距、股高和弦长均随
|a|
增大而减小；
atanα a(tanα) 2 a(sinα) 2
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（如：函数 y=x2 中，当 α=45° 时， m= | 1 | =1、h= | 1 | =1 、 l= |cosα | =√2 ）
atanα a(tanα) 2 a(sinα) 2
利用以上结论，完成下列任务：
1
如图2：已知以A为顶点的抛物线y = (x−2) 2与y轴相交于点B，若抛物线y =a(x−b) 2的顶点也是A，
1 2 2
并与直线AB相交于点C，与y轴相交于点D．
(1)函数y=2x2中，①当m=1时，h=________，②当α=60°时，l=________；
1
(2)如图2：以A(2,0)为顶点作抛物线：y = (x−2) 2和y =a(x−b) 2,y 与y轴相交于点B,y 与直线AB相
1 2 2 1 2
交于点C，与y轴相交于点D：
1
①当a> 时，设S=AC⋅OD，随a的取值不同，S的值是否发生改变，如果不变，请求出S的值，如果发
2
生改变，请直接写出S的取值范围；
②若点M在抛物线y 上，直线AM与y 的另一个交点为N，记△BAM的面积为S ，△CAN的面积为S ，
1 2 1 2
若4S =9S ，请求出a的值
1 2
题型 07 12345 模型
21．（2023·广东深圳·二模）如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接
BD交AC于点E，连接EF．给出4个结论：①BF=EF；②∠ABE=∠CEF；③tan∠AED=2；④
CA⋅CE=10．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
22．（2023·河南郑州·三模）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、
1
y轴上，连接OB将纸片沿OB折叠，使A落在A'的位置，OB=√5,tan∠BOC= ，则点A'的坐标为
2
（ ）
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A．( 3 4) B．( 4 3) C． D．( √5 )
− , − , (−1,2) − ,√5
5 5 5 5 5
23．（2022·江苏无锡·一模）如图所示的网格是正方形网格，则tan∠PAB+tan∠PBA= ，
∠PAB+∠PBA= °（点A，B，P是网格线交点）．
24．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的解析式为y=−x+m分
别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C(2,0)．
（1）当直线AB经过点C时，m= ；
（2）设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是 ．
题型 08 锐角三角形应用-仰角俯角问题
25．（2024·江苏南京·模拟预测）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，
小李从B点出发，沿坡度i=5:12的山坡BA走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点
水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的
正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为45°，亮亮在C处测得E点的仰角为60°，
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（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃
圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为430±5米，请你帮他们计算一
下说明书写的烟花燃放高度（图中DE）是否属实？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
26．（2024·江苏南京·一模）如图，山顶有一塔AB，在塔的正下方沿直线CD有一条穿山隧道EF，从与E
点相距80m的C处测得A，B的仰角分别为27°，22°．从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．
若隧道EF的长为323m，求塔AB的高．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）
27．（2024·陕西商洛·一模）数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼AB的高度
测量方案示意图
测得数据 CD=4.7m，∠ACG=22°，∠BCG=13°
说明 图上所有点均在同一平面内
sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40
参考数据 ，
sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23
请你依据此方案，求教学楼AB的高度．（结果保留整数）
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28．（2024·陕西西安·三模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无
人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼
AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点
E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD
之间的距离AC的长．（结果精确到1m，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，
√3≈1.73)
题型 09 锐角三角形应用-方位角问题
29．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选
定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走100米至观测点D，测得A在D 的
正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离（精确度到1米）．参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， tan53°≈1.33
30．（2023·重庆·模拟预测）如图，四边形ABCD是某公园内的休闲步道．经测量，点B在点A的正东方
向，AB=100米，点C在点B的正北方向，点D在点A的西北方向，AD=200√2米，点D在点C的南偏
西60°方向上．（参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）
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(1)求步道BC的长度；（精确到个位）
(2)甲以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，同时乙骑自行车以300米/分的速度沿
A→B→C→D的方向行驶．两人能否在3分钟内相遇？请说明理由．
31．（2023·重庆·模拟预测）如图，一艘巡逻船以每小时50海里的速度从正北向正南方向进行巡逻，在点
A处测得码头C在其南偏东60°方向上，继续向正南方向航行2小时到达点B处，测得码头C在其北偏东
30°方向上．
(1)求此时巡逻船所在点B处与码头C的距离；（结果保留根号）
(2)巡逻船在点B处发现其南偏东75°方向上的点D处有一只正在非法捕鱼的渔船，于是立即调整方向以原
速朝着点D处行驶，同时，巡逻船与停靠在码头C的海监船取得联系，渔船在码头C的南偏东15°方向上，
海监船得到命令后整理装备用时10分钟，然后以每小时80海里的速度朝渔船行驶．求海监船从码头C到
达渔船所在的点D处的时间；并据此判断海监船能否比巡逻船提前到达D处．（结果精确到百分位，参考
数据：√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45）
32．（2024·重庆·一模）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车
站B的正东方向．现有一辆客车从车站 B出发，沿北偏东45°方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东
60°方向，D在C的北偏西30°方向．
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(1)求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）
(2)客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C
出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿AD
方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：
√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45）
题型 10 锐角三角形应用-坡度坡角问题
33．（2024·河南周口·一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，
某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山AB的山腰CN上有一个平台CD长为
45m，从点C看山顶A的仰角为63°，山坡DE的坡度为i=1:2.4，该地准备利用斜坡DE建设一个滑雪场，
且DE的长度为390m，若点D到地面BE的垂线段与BN构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一
个平面内，求小山AB的高度．（精确到整数，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，
tan63°≈1.96）
34．（2024·广东江门·一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度
（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即 ）．同时，乙从东边山脚C处出发，
i =1:√3 tanB=1:√3
1
东面山坡的坡度i =3:4，坡面AC=1000米．
2
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(1)求甲、乙两人出发时的水平距离BC．
(2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度．
35．（2024·四川达州·模拟预测）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即
将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，
AB宽度为9m，坡面的坡角为30°．√3≈1.73，结果精确到 0.1米．
(1)根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD；
(2)图2中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该
车库停车？
36．（2023·山东青岛·模拟预测）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库
大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到173米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程
的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角
∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到1米．参考数据：
sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50， √3≈1.73）．
题型 11 锐角三角形应用-与不易测量相关问题
37．（2024·安徽合肥·一模）如图，为了测量湖泊东西方向的距离AB，测绘员在湖泊正东方向的D处
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（B，A，D在同一直线上）利用无人机升空测量，当无人机恰好在点D的正上方C处时，测得湖泊东岸A
的俯角∠ECA为65°，测得湖泊西岸B的俯角∠ECB为22°，此时无人机距离地面的高度CD为200m，求
湖 泊 东 西 方 向 的 距 离 AB ． （ sin65°≈0.91， cos65°≈0.42， tan65°≈2.14， sin22°≈0.37，
cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，结果保留1位小数）
38．（2024·浙江温州·一模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利
用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角
7 3
∠ADG的正切值为 ，斜坡CD的坡比为 ，两观测点CD的距离为15m．
9 4
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D两点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
2
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为 ；
5
1
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为 ．
9
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（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．
39．（2023·海南海口·二模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．
如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100√3米后
到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，点A、B、C、D在同一平
面内．
(1)填空：∠BAC=________°，∠ADC=________°；
(2)求点D到点A的距离；
(3)求隧道AB的长．（结果保留根号）
题型 12 锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题
40．（2024·辽宁盘锦·一模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B−A−O表示固定支架，
AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终
垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.4cm，CD=8cm，AB=40cm，BC=45cm．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)
(1)如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO=_____°；
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②投影探头的端点D到桌面OE的距离为_____cm．
(2)如图3，将（1）中的BC向下旋转，当∠ABC=30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
41．（2023·四川成都·模拟预测）桌面上的某创意可折叠台灯的实物图如图①所示，将其抽象成图②，经
测量∠BCD=70°，∠CDE=155°，灯杆CD的长为30cm，灯管DE的长为20cm，底座AB的厚度为
3cm．不考虑其它的因素，求台灯的高（点E到桌面的距离）．（结果精确到1cm；参考数据：√2≈1.41，
sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
42．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习） 有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平
面示意图，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB=BE=ED=CD=18cm，经多次调试发现当点
B，E都在CD的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳．
(1)求放置最平稳时灯座CD与灯杆DE的夹角的大小；
(2)当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm−43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若
台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：
sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27，√3=1.73）
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）点P(sin30°,tan45°)关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为
M，则M的坐标为（ ）
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(1 ) ( 1 )
A． ,−1 B． − ,1
2 2
( 1 )
C． − ,−1 D．以上答案都不对
2
2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，飞行员在空中观察地面的区域是一个圆，当观察角度为50°，飞机
的飞行高度为1000米时，观察区域的半径是（ ）米．
1000
A．1000tan25° B． C．1000tan50° D．1000sin25°
tan25°
3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面
示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD=20cm,AB=160cm，连杆AB与底坐BC的夹角为60°，
则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（ ）
A． B． C． D．
80√2cm 80√3cm (80√2+20)cm (80√3+10)cm
4．（2023·安徽·模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕
折叠B´C交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM>AM），则sin∠BCM的值为（
）
√5−1 √5+1 √5−1 1
A． B． C． D．
2 2 4 2
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5．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AD=5，tanB=2，E是AB上一点，将菱形
ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B'、C'，当∠BEB'=90°时，则点C'到BC的距离是（ ）
A．5+√5 B．2√5+2 C．6 D．3√5
6．（2023·浙江杭州·二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=θ(0<θ<60°)，BC=6，点P为
△ABC的重心，当点A到BC的距离最大时，线段PO的长为（ ）
1 2 2 1
A． − B． −
tanθ sinθ tanθ sinθ
C． tanθ−2sinθ D．2tanθ−sinθ
7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三点
在一条直线上，连接CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连接CM．设∠APM=α，
∠BCM=β．若点Q、B、F三点共线，tanα=ntanβ，则n的值为（ ）
2 3 6 12
A． B． C． D．
3 5 7 13
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二、填空题
8．（2024·浙江温州·一模）如图，⊙O的内接四边形ABCD，AD∥BC，⊙O的直径AE与BC交于点
2
F，连接BD．若AE∥CD，sin∠DBC= ，EF=2，则AE的长为 ．
3
9．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，点E是四边形外一点，连接CE交AD
于点F，O在CE上，连接OA、OB、AE，OA=OB=AE=BC=CD，∠AOB=90°
（1）若∠E=25°，则∠BCE= °
（2）若OA=13，OC=10，则 tan∠OAD=
10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，若点E，F分别在边AC和边BC
上，沿直线EF将△CEF翻折，使点C落于△ABC所在平面内，记为点D．直线CD交AB于点G．
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AG
（1）若CF落在边AB上，则 = ；
GB
AG
（2）若 =λ，则tan∠CEF= （用含的代数式表示）
GB
m
11．（2024·江西·一模）如图，已知过点A(−2√3,0)的直线y=kx+2与反比例函数y= (x>0)的图象交
x
于点 ，连接 ，将 绕着点 顺时针旋转后， 的顶点依然在该反比例函数的图象上，
B(√3,3) OB △AOB O △AOB
则旋转的角度为 ．
三、解答题
12．（2023·重庆万州·模拟预测）万州二中教育集团数学爱好者小艺为测量教学楼对面的大楼AB的高度，
她先到达教学楼FH顶部的休闲区点C的位置，看到对面大楼AB顶端的视线与水平线的夹角为38.7°，然
后沿长5米、坡度为3：4的斜坡CD到达斜坡顶端，再向前走2米到达教学最边缘的观测点E处，看到对面
大楼AB底端的视线与水平线的夹角为45°，已知大楼底部和教学楼底部在同一水平面上，目高1.5米，教
学楼FH高为9米．（参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）
(1)求教学楼FH与对面大楼AB的水平距离BF的长；
(2)求对面大楼AB的高．
13．（2023·浙江衢州·模拟预测）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在射线BC上，连接AE，点B
关于直线AE的对称点为B'，连接AB'，B'E．
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(1)如图1，当B'E经过点D时，求证：AD=DE．
(2)如图2，当E为BC的中点，连结B'C，求tan∠B'CE．
1
(3)当CE= BC时，求△AB'E与矩形ABCD重合部分的面积．
3
14．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=6，AB=8，BD为四边形
2
ABCD的对角线，sin∠BDC= ．
5
(1)求点B到DC的距离；
(2)如图2，点E在AD边上，且AE=4．以B为圆心，BC长为半径作⊙B，点F为⊙B上一点，连接EF交
4
AB于P．tanC= ．
3
①当EF与⊙B相切时，求EF的长；
②当EF∥AB时，直接写出EF的长．
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