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重难点突破 06 开放探究与新定义问题
目 录
题型01 新定义问题
类型一 新定义问题-数、式、方程
类型二 新定义问题-函数
类型三 新定义问题-图形的性质与变化
题型02 方法迁移题型
题型03 归纳概括问题
题型04 探究实践类问题
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【命题趋势】开放探究与新定义问题是近年中考数学的热点问题．开放探究（阅读理解）问题通常不会单
独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，
又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力． 新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有
学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行
运算、推理、迁移的一种题型．一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新
知识；（3）定义新概念．这类试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时
需要将新定义的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题．
题型 01 新定义问题
类型一 新定义问题-数、式、方程
1．（2022·四川巴中·中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有
两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
1 1 1 1
A．k>− B．k<− C．k>− 且k≠0 D．k≥− 且k≠0
4 4 4 4
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等
式组求解．
【详解】解：∵1※x=k，
∴x2−x=k，
即x2−x−k=0，
∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1) 2−4×(−k)＞0，
1
解得：k＞− ，故A正确．
4
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式Δ＝b2−4ac当Δ
＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
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2．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k⊗−1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为x2−(k−3)x+1−k=0，再利用一元二次方程根的判别式求解
即可．
【详解】解：∵(k−3)⊗x=k−1，
∴x2−(k−3)x=k−1，
∴x2−(k−3)x+1−k=0，
∴Δ=b2−4ac=(k−3) 2−4(1−k)=k2−6k+9−4+4k=(k−1) 2+4>0，
∴方程x2−(k−3)x+1−k=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为
x2−(k−3)x+1−k=0是解题的关键．
1 1
3．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b= + ．若
a b
2x+1
(x+1)⊗x= ，则x的值为 ．
x
1
【答案】− /−0.5
2
2x+1 2x+1 2x+1
【分析】根据新定义可得(x+1)⊗x=
，由此建立方程
=
解方程即可．
x2+x x2+x x
1 1
【详解】解：∵a⊗b= + ，
a b
1 1 x+1+x 2x+1
∴(x+1)⊗x= + = =
，
x+1 x x(x+1) x2+x
2x+1
又∵(x+1)⊗x= ，
x
2x+1 2x+1
=
∴ ，
x2+x x
∴(x2+x)(2x+1)−x(2x+1)=0，
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∴(x2+x−x)(2x+1)=0，
∴x2(2x+1)=0，
2x+1
∵(x+1)⊗x= 即x≠0，
x
∴2x+1=0，
1
解得x=− ，
2
1 2x+1 2x+1
经检验x=− 是方程 = 的解，
2 x2+x x
1
故答案为：− ．
2
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关
键．
4．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=¿，例如：
3※1=3−1=2，5※4=5+4−6=3．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3=___________，(−1)※(−3)=___________；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)x=1，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1）∵4＜3×2，
∴4※3=4+3−6=1，
∵−1＞(−3)×2
∴(−1)※(−3)=−1−(−3)=2；
故答案为：1；2；
（2）若3x+2≥2(x−1)时，即x≥−4时，则
(3x+2)−(x−1)=5，
解得：x=1，
若3x+2＜2(x−1)时，即x＜−4时，则
(3x+2)+(x−1)−6=5，
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5
解得：x= ，不合题意，舍去，
2
∴x=1，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
类型二 新定义问题-函数
5．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点P(x ,y )，当点Q(x ,y )满足
1 1 2 2
2(x +x )= y + y 时，称点Q(x ,y )是点P(x ,y )的“倍增点”，已知点P (1,0)，有下列结论：
1 2 1 2 2 2 1 1 1
①点Q (3,8)，Q (−2,−2)都是点P 的“倍增点”；
1 2 1
②若直线y=x+2上的点A是点P 的“倍增点”，则点A的坐标为(2,4)；
1
③抛物线y=x2−2x−3上存在两个点是点P 的“倍增点”；
1
4√5
④若点B是点P 的“倍增点”，则P B的最小值是 ．
1 1 5
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证Q ,Q 即可；②点A(a,a+2)，根据“倍增点”定义，
1 2
列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点D(t,t2−2t−3)是点P 的“倍增点”，根据“倍增
1
点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点B(m,n)，根据“倍增点”定
义可得2(m+1)=n，根据两点间距离公式可得P B2=(m−1) 2+n2，把n=2(m+1)代入化简并配方，即可
1
16
得出P B2 的最小值为 ，即可判断．
1 5
【详解】解：①∵P (1,0)，Q (3,8)，
1 1
∴2(x +x )=2×(1+3)=8,y + y =0+8=8，
1 2 1 2
∴2(x +x )= y + y ，则Q (3,8)是点P 的“倍增点”；
1 2 1 2 1 1
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∵P (1,0)，Q (−2,−2)，
1 2
∴2(x +x )=2×(1−2)=−2,y + y =0−2=−2，
1 2 1 2
∴2(x +x )= y + y ，则Q (−2,−2)是点P 的“倍增点”；
1 2 1 2 2 1
故①正确，符合题意；
②设点A(a,a+2)，
∵点A是点P 的“倍增点”，
1
∴2×(1+a)=0+a+2，
解得：a=0，
∴A(0,2)，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点D(t,t2−2t−3)是点P 的“倍增点”，
1
∴2(1+t)=t2−2t−3，整理得：t2−4t−5=0，
∵Δ=(−4) 2−4×1×(−5)=36>0，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线y=x2−2x−3上存在两个点是点P 的“倍增点”；
1
故③正确，符合题意；
④设点B(m,n)，
∵点B是点P 的“倍增点”，
1
∴2(m+1)=n，
∵B(m,n)，P (1,0)，
1
∴P B2=(m−1) 2+n2
1
=(m−1) 2+[2(m+1) 2]
=5m2+6m+5
( 3) 2 16
=5 m+ + ，
5 5
∵5>0，
16
∴P B2 的最小值为 ，
1 5
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√16 4√5
∴P B的最小值是 = ，
1
5 5
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题
的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
6．（2023·江苏盐城·中考真题）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴
上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y=x2−1；②y=x2−x，其中，_________为函数y=x−1的轴点函数．（填
序号）
【尝试应用】
（2）函数y=x+c（c为常数，c>0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交
1
点为点B.若OB= OA，求b的值．
4
【拓展延伸】
1
（3）如图，函数y= x+t（t为常数，t>0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上
2
取一点N，使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函
1
数y= x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
2
1
【答案】（1）①；（2）b=5或−3；（3）n=1或n=−1−√2或n=
4
【分析】（1）求出函数y=x−1与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可；
1
（2）求出函数y=x+c与坐标轴的交点，再由OB= OA求出点B坐标，代入二次函数解析式计算即可；
4
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（3）先求出M，C的坐标，再根据y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上分类讨论即可．
【详解】（1）函数y=x−1交x轴于(1,0)，交y轴于(0,−1)，
∵点(1,0)、(0,−1)都在y=x2−1函数图象上
∴①y=x2−1为函数y=x−1的轴点函数；
∵点(0,−1)不在y=x2−x函数图象上
∴②y=x2−x不是函数y=x−1的轴点函数；
故答案为：①；
（2）函数y=x+c交x轴于A(−c,0)，交y轴于(0,c)，
∵函数y=x+c的轴点函数y=ax2+bx+c
∴A(−c,0)和(0,c)都在y=ax2+bx+c上，
∵c>0
∴OA=c
1
∵OB= OA，
4
1
∴OB= c
4
( 1 ) (1 )
∴B − c,0 或B c,0
4 4
( 1 ) ( 1 )
当B − c,0 时，把A(−c,0) B − c,0 代入y=ax2+bx+c得
4 4
¿，解得b=5，
(1 ) (1 )
当B c,0 时，把A(−c,0) B c,0 代入y=ax2+bx+c得
4 4
¿，解得b=−3，
综上，b=5或−3；
1
（3）函数y= x+t交x轴于M(−2t,0)，交y轴于C(0,t)，
2
∵ON=OC，以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE
∴N(t,0)，D(t,2t)，E(−2t,2t),
1
∵函数y= x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t
2
∴M(−2t,0)和C(0,t)在y=mx2+nx+t上
∴0=m(−2t) 2+n(−2t)+t，整理得4mt−2n+1=0
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1
∴n=2mt+
2
( n 4mt−n2 )
∴y=mx2+nx+t的顶点P坐标为 − , ，
2m 4m
∵函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上
∴可以分三种情况讨论：当P与M重合时；当P在ED上时；当P在DN上时；
当P与M重合时，即¿，解得n=1；
当P在ED上时，¿，整理得n2+2n−1=0，解得n=−1±√2
此时二次函数开口向下，则m<0
n
∴−2t<− ON，
5
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂线上，如图所示，
①当S位于点M(0,3)时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，
∵M(0,3)，⊙O的半径为1，且MP为⊙O的切线，
∴OP⊥MP，
∵PJ⊥OM，
∴△MPO∽△POJ，
OP OM 1
∴ = ，即 =3，
OJ OP OJ
1
解得OJ= ，
3
2√2 2
∴根据勾股定理得，PJ=√PO2−OJ2= ，Q J=
3 1 3
2√3 2√6
根据勾股定理，PQ =√Q P2+Q J2= ，同理，PQ =√Q P2+Q J2= ，
1 1 1 3 2 2 2 3
2√3 2√6
∴当S位于点M(0,3)时，PQ 的临界值为 和 ．
1 3 3
②当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，
(6√5 )
∵点M(0,3)，N ,0 ，
5
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9√5
∴MN=√OM2+ON2=
，
5
∴OK=OM×ON÷MN=2，
又∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ=30°，
∴三角形OPQ为等边三角形，
∴在此情况下，PQ=1，PQ=√3，
∴当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，PQ 的临界值为1和√3，
1
2√3 2√6
∴在两种情况下，PQ 的最小值在1≤t≤ 内，最大值在 ≤t≤√3，
❑ 3 3
2√3 2√6
综上所述，t的取值范围为1≤t≤ 或 ≤t≤√3，
3 3
【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形
M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，在点M (1,1)，
1
M (2,2)，M (3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；
2 3
k
(2)点G(2,2)是反比例函数y = 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标
1 x
是___________，直线GH的解析式是y =___________．当y >y 时，x的取值范围是___________．
2 1 2
1 9
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=− x2+x+ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，
2 2
AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)M ，M
1 2
(2)H(−2,−2)，y =x，x<−2或0y 时，x
1 x 1 2
的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出AC，AB，BC，即可
判断△ABC的形状．
【详解】（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，
∴矩形ABCD“梦之点”(x,y)满足−1≤x≤3，−1≤ y≤2，
∴点M (1,1)，M (2,2)是矩形ABCD“梦之点”，点M (3,3)不是矩形ABCD“梦之点”，
1 2 3
故答案为：M ，M ；
1 2
k
（2）∵点G(2,2)是反比例函数y = 图象上的一个“梦之点”，
1 x
k
∴把G(2,2)代入y = 得k=4，
1 x
4
∴y = ，
1 x
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线y=x上，
联立¿，解得¿或¿，
∴H(−2,−2)，
∴直线GH的解析式是y =x，
2
函数图象如图：
由图可得，当y >y 时，x的取值范围是x<−2或08（不符合题意舍去），
1 2
∴CB=CD=10−3√2，
∴四边形EBCD的周长为10+8+2(10−3√2)=38−6√2．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩
形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
12．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点
P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点
P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．
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①在图中画出点Q；
1
②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT= OM;
2
1
(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t( PD），小华把
一根长为28m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点
C，求AP的长．
2
【答案】(1) ，−3
3
(2)x=3
(3)9m
【分析】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键．
（1）利用因式分解法，求解即可；
（2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可；
（3）设AP的长为xm，通过勾股定理用含x的代数式表示出BP、PC，根据绳长列出方程，利用转化的
思想把无理方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵6x3+14x2−12x=0，
∴2x(3x2+7x−6)=0．
∴2x(3x−2)(x+3)=0．
∴2x=0或3x−2=0或x+3=0．
2
∴x =0，x = ，x =−3
1 2 3 3
2
故答案为： ，−3
3
（2）解：方程√2x+3=x，两边平方得2x+3=x2，
∴x2−2x−3=0．
∴(x−3)(x+1)=0．
∴x =3，x =−1．
1 2
经检验，x=3是原方程的根，x=−1不是原方程的根．
所以原方程的解为x=3
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（3）解：设AP的长为xm，则DP的长为(14−x)m．
由题意得：√122+x2+√(14−x) 2+122=28
整理得2√122+x2=x+21
两边平方得4(144+x2)=x2+42x+441，
即3x2−42x+135=0．
整理得x2−14x+45=0．
∴(x−5)(x−9)=0．
∴x =5,x =9
1 2
经检验x =5,x =9是原方程的根．
1 2
由于AP>DP，
∴AP=9m．
15．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程(x2) 2 −13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为
y2−13 y+36=0，经过运算，原方程的解为x =±2，x =±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫
1,2 3,4
做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，显然m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程x4−5x2+6=0的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4−7a2+1=0，2b4−7b2+1=0且a≠b，求a4+b4的值；
(3)拓展应用：
1 1 1
已知实数x，y满足： + =7，n2−n=7且n>0，求 +n2 的值．
m4 m2 m4
【答案】(1)x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3
1 2 3 4
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45 45±7√41
(2) 或
4 4
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
1
（3）令 =a，-n=b，则a2+a-7=0，b2 +b=0，再模仿例题解决问题．
m2
【详解】（1）解：令y=x2，则有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y =2，y =3，
1 2
∴x2=2或3，
∴x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3，
1 2 3 4
故答案为：x =√2，x =−√2，x =√3，x =−√3；
1 2 3 4
（2）解：∵a≠b，
∴a2≠b2或a2=b2(a=−b)
①当a2≠b2时，令a2=m，b2=n，
∴m≠n则2m2−7m+1=0，2n2−7n+1=0，
∴m，n是方程2x2−7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴¿，
45
此时a4+b4=m2+n2=(m+n) 2−2mn=
；
4
7±√41
②当a2=b2(a=−b)时，a2=b2=
，
4
2
此时a4+b4=2a4=2(a2) 2 =2 (7±√41) = 45±7√41 ；
4 4
45 45±7√41
综上：a4+b4=
或
4 4
1
（3）解：令 =a，−n=b，则a2+a−7=0，b2+b−7=0，
m2
∵n>0，
1
∴ ≠−n即a≠b，
m2
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∴a，b是方程x2+x−7=0的两个不相等的实数根，
∴¿，
1
故
+n2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=15．
m4
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关
键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
16．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2−x−6<0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2−x−6=0的两根为x =−2，x =3，可得函数y=x2−x−6的图像与x轴的两个交点横坐
1 2
标为−2、3，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2−x−6<0的解
集．
方法2 不等式x2−x−6<0可变形为x20时，不等式变为x−1< ；当x<0时，不等式变为x−1>
x x
6
．问题转化为研究函数y=x−1与y= 的图像关系…
x
任务：
(1)不等式x2−x−6<0的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
【答案】(1)−20)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺
x
时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知
OA=5．
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
12
【答案】(1)y= (x>0)
x
1 1
(2)tan∠BAM= ，tan∠NAE=
3 2
1
(3)y= x+1
2
【分析】（1）首先求出点B(3,0)，然后设A(a,3a−9)，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出a=4，得到
m
A(4,3)，然后代入y= (x>0)求解即可；
x
（2）首先根据A(4,3)，B(3,0)得到MO=4，BO=3，求出MB=1，AM=3，然后利用正切值的概念求
BM 1
出tan∠BAM= = ，然后证明出四边形NOMA是矩形，得到∠BAM+∠NAE=45°，然后由
AM 3
1 1
tan∠BAM= 即可求出tan∠NAE= ；
3 2
1
（3）首先根据矩形的性质得到AN=OM=4，NO=AM=3，然后利用tan∠NAE= 求出NE=2，进而
2
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得到E(0,1)，然后设直线AE的解析式为y=kx+b，利用待定系数法将E(0,1)和A(4,3)代入求解即可．
【详解】（1）将y=0代入y=3x−9得，x=3，
∴B(3,0)，
m
∵直线y=3x−9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，
x
∴设A(a,3a−9)，
∵AM⊥x，OA=5，
∴在Rt△AOM中，OM2+AM2=AO2，
∴a2+(3a−9) 2=52，
7
∴解得a =4，a = ，
1 2 5
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
7
∴a = 应舍去，
2 5
∴a=4，
∴A(4,3)，
m
∴将A(4,3)代入y= (x>0)，解得m=12；
x
12
∴反比例函数的解析式为y= (x>0)；
x
（2）∵A(4,3)，B(3,0)，
∴MO=4，BO=3，
∴MB=1，AM=3，
∵AM⊥x，
BM 1
∴tan∠BAM= = ，
AM 3
∵AN⊥y，∠NOM=90°，
∴四边形NOMA是矩形，
∴∠NAM=90°，
∵将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，
∴∠BAE=45°，
∴∠BAM+∠NAE=45°，
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1
∵tan∠BAM= ，
3
1
∴tan∠NAE= ；
2
（3）∵四边形NOMA是矩形，
∴AN=OM=4，NO=AM=3，
1
∵AN⊥y，tan∠NAE= ，
2
NE 1 NE 1
∴ = ，即 = ，
AN 2 4 2
∴解得NE=2，
∴OE=ON−NE=1，
∴E(0,1)，
∴设直线AE的解析式为y=kx+b，
∴将E(0,1)和A(4,3)代入得，¿，
∴解得¿，
1
∴直线AE的解析式为y= x+1．
2
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，
解题的关键是正确理解材料的内容．
题型 03 归纳概括问题
18．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
32−12=8×1,52−32=8×2,72−52=8×3,92−72=8×4,⋯
(1)写出192−172的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)8×9
(2)(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n
(3)见解析
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
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（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将(2n+1) 2−(2n−1) 2因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）192−172=8×9；
（2）(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n；
（3）(2n+1) 2−(2n−1) 2
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n×2
=8n．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳
发现其中的变化规律．
19．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
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1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
DN DG 1
∴ = ．∵DG=GC，∴DN=NM= DM．
NM GC 2
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
1
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的
定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
(2)答案不唯一，见解析
(3)平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和，见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；
（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；
（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论．
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【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：
如图即为所求
（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的两条对角线AC与BD长度的和，
证明如下：∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，
1 1
∴EF= AC,GH= AC．
2 2
∴EF+GH=AC．
同理EH+FG=BD．
∴四边形EFGH的周长=EF+GH+EH+FG=AC+BD．
即瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的
关键．
20．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l ∥l ，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
1 2
解：相等．理由如下：
1 1
设l 与l 之间的距离为h，则S = BC⋅h，S = BC⋅h．
1 2 △ABC 2 △DBC 2
∴S =S ．
△ABC △DBC
【探究】
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S h
(1)如图②，当点D在l ，l 之间时，设点A，D到直线l 的距离分别为h，h'，则 △ABC = ．
1 2 2 S h'
△DBC
证明：∵S
△ABC
S AM
(2)如图③，当点D在l ，l 之间时，连接AD并延长交l 于点M，则 △ABC = ．
1 2 2 S DM
△DBC
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
AE AM
∴ = ．
DF DM
S
由【探究】（1）可知 △ABC = ，
S
△DBC
S AM
∴ △ABC = ．
S DM
△DBC
(3)如图④，当点D在l 下方时，连接AD交l 于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，
2 2
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S 的值为 ．
△ABC
S
△DBC
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
7
(3)
3
1 1
【分析】（1）根据三角形的面积公式可得S = BC⋅h,S = BC⋅h' ，由此即可得证；
△ABC 2 △DBC 2
（2）过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，先根据平行线的判定可得
AE AM
AE∥DF，再根据相似三角形的判定可证△AEM∼△DFM，根据相似三角形的性质可得 = ，
DF DM
然后结合【探究】（1）的结论即可得证；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，先根据相似三角形的判定证出
AM AE 7
△AME∼△DNE，再根据相似三角形的性质可得 = = ，然后根据三角形的面积公式可得
DN DE 3
1 1
S = BC⋅AM，S = BC⋅DN，由此即可得出答案．
△ABC 2 △DBC 2
1 1
【详解】（1）证明：∵S = BC⋅h，S = BC⋅h' ，
△ABC 2 △DBC 2
S h
∴ △ABC = ．
S h'
△DBC
（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则
∠AEM=∠DFM=90°，
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∴AE∥DF．
∴△AEM∼△DFM．
AE AM
∴ = ．
DF DM
S AE
由【探究】（1）可知 △ABC = ，
S DF
△DBC
S AM
∴ △ABC = ．
S DM
△DBC
（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，则∠AME=∠DNE=90°，
∴AM∥DN，
∴△AME∼△DNE，
AM AE
∴ = ，
DN DE
∵点A,E,D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，
∴AE=5−1.5=3.5，DE=1.5，
AM 3.5 7
∴ = = ，
DN 1.5 3
1 1
又∵S = BC⋅AM，S = BC⋅DN，
△ABC 2 △DBC 2
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S AM 7
∴ △ABC = = ，
S DN 3
△DBC
7
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三
角形的判定与性质是解题关键．
21．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
a b
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： = ．
sinA sinB
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在RtΔBCD中， CD=asinB
在RtΔACD中，CD=bsinA
∴asinB=bsinA
a b
∴ =
sin A sinB
根据上面的材料解决下列问题：
b c
(1)如图2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： = ；
sinB sinC
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需
美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)
【答案】(1)见解析
(2)1800√3
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt ΔABD中，AD=csinB，
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在Rt ΔACD中，AD=bsinC，
∴ csinB=bsinC，
b c
∴ = ；
sinB sinC
（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC=67°，∠B=53°，
∴∠C=60°，
√3
在Rt ΔACE中，AE=AC⋅sin60°=80× =40√3(m)
2
AC BC
又∵ = ，
sinB sin∠BAC
80 BC
即 = ，
0.8 0.9
∴ BC=90(m)，
1
∴ S = ×90×40√3=1800√3(m2)．
△ABC 2
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问
题的前提．
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题型 04 探究实践类问题
22．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0
