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专题 06 圆中的相关证明及计算
目 录
题型01 圆中的角度和线段计算问题
题型02 垂径定理的实际应用
题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算
题型04 利用弧长、扇形公式解决实际问题
题型05 求弓形面积或不规则图形面积
题型06 正多边形与圆的相关计算
题型07 与圆有关的位置关系
题型08 切线的判定
题型09 三角形内切圆、外接圆的相关计算
题型10 三角形内切圆与外接圆的综合
题型11 四点共圆
题型12 圆幂定理
题型13 阿基米德折弦定理
题型14 圆与相似综合
题型15 圆与三角函数综合
（时间：60分钟）
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题型 01 圆中的角度和线段计算问题
1．（2024·四川泸州·一模）如图，正三角形 的边长为 ，则它的外接圆 的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，点A，B，C在 上， ，连接 并延长，交 于点 ，
连接 ， 若 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．直线 垂直平分 C． D．
3．（2023·山东青岛·二模）如图， 是 的直径，点 是 外一点，过点 的两条直线分别与圆相
切于点 、 ，点 是圆周上任意一点，连接 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山西大同·一模）如图， 是 的直径， 、 分别切 于点B、C，若 ，
则 的度数是 ；
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题型 02 垂径定理的实际应用
5．（2023·河北石家庄·模拟预测）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具．如图，半径为3m的筒车
按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点A、B、 长为4m，筒车上均匀分布着若干个盛
水筒（用点表示）．若以某个盛水筒（点P）刚浮出水面时开始计算时间．
(1)设点D为盛水筒在运行中的最高点，请在图中画出线段 ，用其长度表示盛水筒到水面的最大距离．
（不说理由），并求最大距离约为多少米（结果保留小数点后一位）；
(2)筒车每秒转 °， °；
(3)浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面多高？（参考数据： ， ）
6．（2023·广东佛山·三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工
具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶
河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱
桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中 ），已知跨度 ，拱高 ，则这条桥主桥拱的
半径是______ ；
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(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽 ，拱顶P（抛物线顶点）距离水面 ，求
桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了 ，求此时两桥的水面宽度．
7．（2023·宁夏中卫·二模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在
图中标明了三个监测点的位置坐标 ， ， ，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒
区域．（单位：海里）
(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东 ，同时在监测点O测得C位于南偏东
，求监测点O到C船的距离．（结果精确到整数，参考数据： ， ， ）
(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
8．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径 是河底线，弦
是水位线， ．已知仪器在A处测得点D的仰角为 ，水深 （点D到河底线 的
距离）．
(1)求 的大小及 的长；
(2)受暴雨影响，水面以平均每小时 的速度升高，若不及时进行开闸泄洪，则经过多长时间水面将淹
没整个桥洞？（参考数据： 取4）
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题型 03 与圆有关的弧长、扇形面积计算
9．（2023·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形 中， ，以 为直径的 恰好经过点 ，
交 于点 ，当点 为 的中点时，下列结论错误的是（ ）
A． 平分 B．
C． D． 的长为
10．（2023·广东东莞·三模）如图， 和 是两个完全重合的直角三角板， ，斜边长为
三角板 绕直角顶点 顺时针旋转，当点 落在 边上时，则点 所转过的路径长为 ．
11．（2023·吉林长春·二模）如图，边长为1的正方形 的顶点A在扇形 的半径 上，点B．C
在 上，点D在 上，若 ，则扇形 的面积为 ．
12．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中， ， ，若
上面圆锥的侧面积为 ，则下面圆锥的侧面积为 ．
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13．（2023·湖南湘西·二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，
并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为 ，圆锥的底面半径为2，则此圆
锥的母线长为 ．
题型 04 利用弧长、扇形公式解决实际问题
14．（2023·河南周口·模拟预测）某中学要把一块长 ，宽 的矩形空地改建为一个如图所示的花园．
花园内的小路（阴影部分）由圆心角为 ，内径为 ，外径为 的圆环形小路和宽为 且垂直于矩形
边的笔直小路组成，则花园内小路的总占地面积为 ．
15．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的
四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的
体积约为 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．
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16．（2024·辽宁沈阳·一模）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门
的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ，两
扇活页门的宽 ，点B固定，当点C在 上左右运动时， 与 的长度不变（所有结果
保留小数点后一位）．（参考数据： ， ， ，π取 ）
(1)若 ，求 的长；
(2)当点C从点A向右运动 时，求点O在此过程中运动的路径长．
17．（2024·河北邯郸·二模）水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建
摩天轮直径为 ，最低点距离地面 ，摩天轮的圆周上均匀地安装了 个座舱（本题中将座舱视为圆
周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______ ；
(2)在小明进座舱后间隔 个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于 ， 两点），求两人所
在座舱在摩天轮上的距离（ 的长）和直线距离（线段 的长）．
18．（2023·吉林松原·三模）圆锥是生活中常见的立体图形，如雪糕筒，漏斗，羽毛球，路障等，赵亮同
学用一个如图①所示的扇形围成如图②所示的圆锥， 为圆锥的高，点D为母线 上的中点，
， 为底面圆半径， ，求图①中 的长度．（参考数据： 取 ，
， ）
解：如图②，因为 ，所以 ，
因为在 中，点D为 边中点， ，
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所以 （__________）（填推理依据），
_________（填“ ”或“ ”）．
如图①，所以 _______（填相应的三角形函数值） ________（ ）（结果精确到
）．
题型 05 求弓形面积或不规则图形面积
19．（2023·山西临汾·二模）如图， 是 的直径， 是弦， ，在直径 上截取 ，
延长 交 于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·山东济南·三模）如图，已知 中， ， ，内切圆 半径为 ，则图中阴
影部分面积和是( )
A． B． C． D．
21．（2023·河南新乡·二模）如图， 是 的直径， ， °，将 沿 翻折， 与
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直径交于点 ，则图中阴影部分面积为
22．（2023·河南周口·二模）如图 所示的是以 为直径的半圆形纸片， ，沿着垂直于 的半径
剪开，将扇形 沿 向右平移至扇形 ，如图 ，其中点 与点 重合，点 与点 重合，则
图中阴影部分的面积为 ．
23．（2023·广东肇庆·三模）如图，在 中， ， ， ，以点C为圆心，
长为半径画弧，交 C于点D，交 于点E，则图中阴影部分的面积是 ．(结果保留π)
题型 06 正多边形与圆的相关计算
24．（2024·安徽阜阳·一模）如图是半径为4的 的内接正六边形 ，则圆心O到边 的距离
是（ ）
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A． B．3 C．2 D．
25．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，P，Q分别是 的内接正五边形的边 ， 上的点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
26．（2023·宁夏·二模）中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的
领先地位．刘微提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，
由此求得圆周率 的近似值．例如：设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，如图，当
时， ，则当 时， ．（结果精确到0.01，参考数据：
， ）
27．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．
（1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．
①机器人从点 走到点 的路程为 ；
②机器人从点 到点 走了两条不同的路线．路线1： ；路线2： ，路线
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1的长记为 ，路线2的长记为 ，则 ；（填“>”“<”或“=”）
（2）如图2，机器人从 出发，沿与半径 夹角为 的方向行走，走到场地边缘 后，再沿与 夹角
为 的方向折向行走至 ，…按照这样的方式，机器人走到 时第一次超过 ，且 ，则
．
题型 07 与圆有关的位置关系
28．（2023·山东泰安·三模）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点A，P是以点 为圆心，2
为半径的圆上的动点， 是线段PA的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
29．（2023·陕西西安·一模）如图， 的半径为4，圆心M的坐标为 ，点P是 上的任意一点，
，且 、 与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当 取最大值时，
点A的坐标为 ．
30．（2023·北京·二模）在平面直角坐标系 中， 的半径为2．对于直线l和线段 ，给出如下定
义：若将线段 关于直线l对称，可以得到 的弦 ( ， 分别是B，C的对应点)，则称线段
是以直线l为轴的 的“关联线段”．例如，图1中线段 是以直线l为轴的 的“关联线段”．
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(1)如图2，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．
① 在线段 ， ， 中，以直线 ： 为轴的 的“关联线段”是 ；
② 在线段 ， ， 中，存在以直线 ： 为轴的 的“关联线段”，求b的值；
(2)已知直线 ： 交x轴于点A．在 中， ， ，若线段 是以直线
为轴的 的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的 的长．
31．（2023·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系 中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意
一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的
“最小距离”，记作 .
已知点 ， ，连接 ．
(1)填空： ______；
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(2) 的半径是r，若 ，直接写出r的取值范围；
(3) 的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转 ，得到点C.
①当 时 ，求此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个不同的 值使得 ，直接写出r的取值范围．
32．（2023·北京房山·二模）在平面直角坐标系 中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点
M、N（点M和N可以重合），满足 ，其中点 是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W的
“对称平衡点”．
(1)如图1所示，已知，点 ，点 ．
①在点 中，是线段 的“对称平衡点”的是___________；
②线段 上是否存在线段 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点”的横坐标
的范围，若不存在，请说明理由；
(2)如图2，以点 为圆心，1为半径作 ．坐标系内的点C满足 ，再以点C为圆心，1为半
径作 ，若 上存在 的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标 的取值范围．
题型 08 切线的判定
33．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，直线l与 相切于点M，点P为直线l上一点，直线 交 于点
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A、B，点C在线段 上，连接BC，且 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
34．（2024·陕西西安·二模）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于
点 ，在 下方作 ，过点 作 ，垂足为点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
35．（2023·广东湛江·三模）如图，在四边形 中， ， ， ，点E、F分
别在线段 上，且 ，
(1)求证： ；
(2)求证：以 为直径的圆与 相切；
(3)若 ， ，求 的面积．
36．（2023·广东江门·一模）如图，矩形 中， ＝13， ＝6，点E是 上的动点，以 为直
径的⊙O与 交于点F，过点F作 于点G．
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(1)当E是 的中点时：tan 的值．
(2)在（1）的条件下，证明： 是圆O的切线．
题型 09 三角形内切圆、外接圆的相关计算
37．（2023·浙江杭州·二模）如图，O为等腰三角形 的外心， ，连接 ，记 ，
，则 满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
38．（2023·陕西西安·一模）问题发现
（1）在 中， ， ，则 面积的最大值为 ；
（2）如图1，在四边形 中， ， ， ，求 的值．
问题解决
（3）有一个直径为 的圆形配件 ，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞 ，
要求 ， ，并使切割出的四边形孔洞 的面积尽可能小．试问，是否存在符合要
求的面积最小的四边形 ？若存在，请求出四边形 面积的最小值及此时 的长；若不存在，
请说明理由．
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39．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在 中，三边分别为 是的内切圆，
切点分别为 ．求 的半径．
思路分析：如图1．连接 ，则存 ， ，
设 ．
于是有 ，
∴ ．（其中S表示 的面积，p表示 的周长的一半）
用语言叙述：三角形的内切圆的半径 ．
若已知 的三边长 ，如何求 的面积 呢？
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若
则秦九韶公式为 ．
例如：在 中，若 ，利用秦九韶公式求 的面积 ．
解： ，
……
任务：
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(1)请完成材料中利用秦九韶公式求 面积的剩余步骤，并求出 的内切圆的半径．
(2)如图2，在 中， 为它的内切圆，则 的长为______．
40．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点I是 的内心， 的延长线与 的外接圆
交于点D，与 交于点E，延长 、 相交于点F， 的平分线交 于点G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
题型 10 三角形内切圆与外接圆的综合
41．（2022·河南信阳·三模）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（ ）
度
A．70 B．135 C．55 D．125
42．（2023·江苏无锡·二模）如图，在 中， ．
(1)在图①中作 的外接圆 ；在图②中作 的内切圆 ．（要求：尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若O、I两点在同一 中，当 ， 时， ______，
______．（如需画草图，请使用图③）
43．（2022·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中， ，
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，点E为AB延长线上一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F，则
的度数为______°；
【问题探究】（2）如图2，在Rt△ABC中， ，点D、E在直线BC上，连接AD、AE，若
， ，求△ADE面积的最小值；
【问题解决】（3）近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的
跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学
习活动．为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC（如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动
中心，在AB的延长线上取一点D，连接DC并延长到点E，连接AE，已知 ， 米，
，为节约修建成本，需使修建后△ADE的面积尽可能小，问△ADE的面积是否存在最小值？
若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由．
44．（2020·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，
0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．
①求线段MN的最大值；
②当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心
Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．
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题型 11 四点共圆
45．（2023·河南南阳·三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边
形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以
让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析
(1)如图1，正方形 中，点 为对角线 上一个动点，连接 ，将射线 绕点 顺时针旋转
的度数，交直线 于点 ．
小明的思考如下：
连接 ，
∵ ， ，
∴ ，（依据1）
∵ ，
∴ ，
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∴点 共圆，
∴ ， ，（依据
2）
∴ ，
∴ ．（依据3）
填空：①依据1应为___________，
②依据2应为___________，
③依据3应为___________；
一般结论探究
(2)将图1中的正方形 改为菱形 ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以
图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
(3)如图2，若 ， ，当 为直角三角形时，请直接写出线段 的长．
46．（2022·河南驻马店·三模）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，
已知 内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂
足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则 （依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
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∴ （依据2）．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴ （依据3）．
∵ ，
∴ （依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：
(1)填空：
①依据1指的的是中点的定义及______；
②依据2指的是______；
③依据3指的是______；
④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是 的中点时， ．请你利用图2证明该结论的正确性．
47．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）在 中， 为 上一动点，连结 ．
将 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，取 中点G．
(1)如图1，点D不与B、C重合，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明；
(2)若 ，且 ，连接 ，当 ， ，依题意补全图2，并直接写出
的值．
48．（2023·吉林长春·二模）（1）【感悟】如图①，把直角三角板的直角顶点 放在破损圆形玻璃镜的圆
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周上，两直角边与圆弧分别交于点 、 ，连接 ，则线段 为圆形玻璃镜的直径．此操作体现的数
学道理是：______．
（2）【应用】
如图②， 、 、 三点在 上且 ，过点 作 垂直 的切线 于点 ，若 ，
．求 的长．
（3）【拓展】
如图③，已知 是等边三角形，以 为底边在 外作等腰 ，点 为 的中点，连接
，请直接写出 的度数．
题型 12 圆幂定理
49．（2023·河南信阳·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，
并写出证明过程．已知：如图①，弦 ， 交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知 是 的直径， 与弦 交于点P，且 于点P，过D作 的切线，交
的延长线于E，D为切点，若 ， 的半径为5，求 的长．
50．（22-23九年级上·山西忻州·期末）阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆
内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相
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应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1， 的两弦 相交于点P．
求证： ．
证明：
如图1，连接 ．
∵ ， ．
∴ ，（根据）
∴ @，
∴ ，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．
根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是 的弦，P是 上一点， ， ，
，求 的半径．
51．（2021·河南新乡·三模）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定
理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到
割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：
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已知；如图①，点 为 外一点，切线 与圆相切于点 ，割线 与圆相交于点 、 ．
求证：
证明：如图③，连接 、 、 、 ，
∵ 切 于点 ，
∴ ，即 ，
……
阅读以上材料，完成下列问题：
（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；
（2）如图②，割线 与圆交于点 、 ，且 ， ，求 的长．
52．（2023·山西吕梁·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项．
证明过程如下：
如图1：已知：点P是 外一点， 是切线，F是切点， 是割线，点A，B是它与 的交点，求
证：
证明：连接 并延长交 于C，连接 ，
∵ 是 的切线， （依据________________________________)
∵ 是 的直径， （依据_______________________________)
又∵ （依据_____________________________________)
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. . . . . .
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．
(2)把证明过程补充完整．
(3)定理应用：
已知 为 的切线，T是切点， 是 的割线，交 于D， 为 的直径，
，求 的长．
53．（2022·河南商丘·二模）读下面材料，并完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
下面是不完整的证明过程，请补充完整．
已知：P为 外一点，PA与 交于A，B两点，PM与 相切于点M．
求证： ．
证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交 于点C，连接BC．
∵PM为 的切线，∴_______ ，∴ ，∵CM为 的直径，∴_______ ，
∴ ，∴ _______，∵ ，∴ ．∵ ，∴
_______．∴ ，∴ ．
学习任务：
如图，若线段AB与 相交于C，D两点，且 ，射线AB，BF为 的两条切线，切点分别为
E，F，连接CF．
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(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的面积．
54．（2023·河南周口·三模）阅读与思考
学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
割线定理
如图，A是 外一点，过点A作直线 分别交 于点B，C，D，E，则有 ．
证明：如图，连接 ．
∵ （依据：①________________）， ，
∴ ．
∴ ②_________________．
∴ ．
任务：
(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．
(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充
完整，并给出证明．
已知：如图，A是 外一点，过点A的直线交 于点B，C，__________．
求证： ___________．
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55．（2022·广东深圳·三模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定
理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：
已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；
②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；
试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：
若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
题型 13 阿基米德折弦定理
56．（2022·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的
一条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即
．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边 内接于 ， ， 为
上一点， ， 于点 ，则 的周长是 ．
57．（2023·山东济宁·二模）阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学
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王子．在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文
版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折
弦的中点．
【定理模型】如图①，已知 和 是 的两条弦（即折线 是 的一条折弦）， ，M是
的中点，那么从M向弦 作垂线的垂足D是折弦 的中点，即 ．
下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程：
如图②，延长 至点F，使 ，连接 ，…
【定理证明】
(1)按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】
(2)如图③， 内接于 ，已知 ，D为 上一点，连接 ， ，
，求 的周长．
58．（2023·山西吕梁·模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务．
阿基米德（ ，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、
高斯并称为三大数学王子．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ．M是
的中点，则从点M向 所作垂线的垂足D是折弦 的中点，即 ．
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这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作 射线AB，垂足为点H，连接 ．
∵M是 的中点，
∴ ．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形 内接于 ，D为 上一点， ． 于点E， ，
连接 ，求 的周长．
59．（2022·河南平顶山·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、
力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为
世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）， ，M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 ．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明 ，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取 ，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，∴ ，
任务：
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(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边 内接于⊙O， ，D为 上一点， ， 于点E，请直
接写出 的周长．
题型 14 圆与相似综合
60．（2023·浙江温州·三模）如图1，在 中， ， ， ，N是 的中点，
经过A，B，N三点的圆交 于M点，若动点D从点A匀速运动到点M时，动点E从点C匀速运动到点
B，记 ， ．
(1)求 的长．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)连接 ．
①当 时，求x的值．
②如图2，延长 交 于点F，连接 ，当三角形 为直角三角形时，求 的值．
61．（2023·广东潮州·三模）如图，抛物线 与x轴分别交于点 ，与y轴交于
点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
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(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过 两点，且与直线 相切，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 与 相似？如果存在，求出点M的坐标；如果
不存在，请说明理由．
62．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、
B，则所有满足 （ 且 ）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发
现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知 ，连
接PA、PB，则当“ ”的值最小时，P点的位置如何确定？
第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得 ，即 ，构造母子型相似 ∽ （图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图， 与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N， 半径为3，点 ，点
，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．
(1) 的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
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63．（2023·江苏南京·二模）【概念认识】已知圆的两条互相垂直的对称轴m、n，我们把三个顶点分别在
圆、m、n上的等腰直角三角形叫作这个圆的“友好三角形”．如图①、图②， 都是 的“友好三
角形”．
【数学理解】若 都是 的“友好三角形”，且直角顶点C在 上， 的半径为2．
（1） 上满足条件的直角顶点C的个数是 个；
（2） 的面积的最小值为 ；
（3）若 与 的一边相切，请直接写出相切的不同情况及对应的 的面积；
【深入研究】若 都是 的“友好三角形”，且直角顶点C在m或n上． 的半径为2．
（4） 的面积的最小值为 ，最大值为 ．
题型 15 圆与三角函数综合
64．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上一点，且
，点 在边 上，过点 作圆 ，交边 或其延长线于 ，连接 ，设
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．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求弧 的长；
(4)若圆 经过矩形的两个顶点时，直接写出 的值．（注： ， ， ）
65．（2022·湖北恩施·模拟预测）如图， 是 的直径， ， 为圆上的两点， 是 的中点，
，垂足为点 ，直线 与 的延长线相交于点 ，弦 平分 ，交 于点 ，连接
， ， ．
(1)求证： 与 相切；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求线段 的长．
66．（2022·黑龙江绥化·三模）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为
上一点，经过点 ， 的圆 分别交 ， 于点 ， ，连接 ．
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(1)求证： 是圆 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
67．（2023·山西晋城·模拟预测）最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓
观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过 三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角 最大，站在此处观赏最理想，
小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线 上任取异于点E的点 ，连接 交 于点F，连
接 ，…
任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若 ，观察者的眼睛距地面的距离为 米，最大视角为 ，求观察者应该站在距离
多远的地方最理想(结果精确到 米，参考数据 )．
68．（2023·内蒙古赤峰·一模）如图1，以等腰三角形 的一腰 为直径的 交 于点D，过点D
作 于点E．
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(1)直接写出 与 的位置关系
(2)如图2，若点O在 上向点B移动，以点O为圆心， 长为半径的圆仍交 于点 的条件
不变，那么（1）中结论是否还成立？请说明理由
(3)如图3，如果 ，那么圆心O在 的什么位置时， 与 相切？
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2023·山东青岛·二模）如图， 是 的直径，点 是 外一点，过点 的两条直线分别与圆相
切于点 、 ，点 是圆周上任意一点，连接 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃陇南·二模）阳春三月风和日丽，艳阳高照，正是踏春郊游的好时节 某景区举办风车节吸
引游客前来参观 如图是园区内一个风车的简化图，若 ，当风车转动 ，点 运动的路径长度为
（ ）
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A． B． C． D．
3．（2024·浙江·一模）如图， 是半圆O的直径， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西柳州·二模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一． 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形．
如果桥顶到水面的距离 米， 桥拱的半径 米， 此时水面的宽 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南长沙·三模）如图， 的内切圆 分别与 相切于点 ，且
，则 的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
6．（2023·广西梧州·二模）已知 的半径为 ，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为
，则（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·吉林·三模）如图，已知 是以数轴的原点 为圆心，半径为1的圆， ，点 在数
轴上运动，若过点 且与 平行的直线与 有公共点，设 ，则 的取值范围是 ．
8．（2023·河南新乡·二模）如图， 中， ， ， ， 为半圆 的直径，将
沿射线 方向平移得到 ，当 与半圆 相切于点 时，阴影部分的面积为 ．
9．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径 向上对折得到图②，再沿
弦 向下翻折得到图③，最后沿弦 向上翻折得到图④．
（1）若点E是弧 的中点，则 ；
（2）若 ，则 ．（用关于n的代数式表示）
10．（2023·安徽·模拟预测）如图，点 在反比例函数 的图象上，以点 为圆心的 与两坐
标轴都相切， 为 轴负半轴上的一点， 交 轴于点 ，连接 ．
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（1）点 的坐标为 ；
（2）若 ，则 的长为 ．
11．（2024·山东济宁·一模）如图，在扇形 中， ，半径 ．将扇形 沿过点 的
直线折叠，点 恰好落在 上点 处，折痕交 于点 ，点 为 的中点，点 为线段 上一个动点，
连接 ， ， ，过点 作 于点 ，下列说法： 当点 运动到 的中点时，四边形
为菱形， ， 的最小值为 ， 阴影部分面积为 ，正确的是 （填
序号）．
三、解答题
12．（2024·山东济宁·一模）如图， 中 ， 是中线，以 为直径的 交 于点 ，
作 于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
13．（2023·广西北海·二模）综合与实践
【问题提出】
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（1）如图 ，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 进攻，当甲带球冲到 点时，乙
已跟随冲到 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设
球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证： ．
【数学理解】
德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图 ，已知点 ， 是 的边
上的两个定点， 是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与 边相切于点 时， 最大，
人们称这一命题为米勒定理．
【问题解决】
（2）如图 ，已知点 ， 的坐标分别是 ， ， 是 轴正半轴上的一动点，当 的外接圆
与 轴相切于点 时， 最大，当 最大时，求点 的坐标．
14．（2023·浙江台州·二模）如图1，五边形 是 的内接五边形， ，对角线 于
点 ．
(1)①若 ，则 _______；
②猜想 和 的数量关系，并证明；
(2)如图2，当 经过圆心 时，若 ， ，求 ；
(3)作 于点 ，求 的值．
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15．（2023·河南平顶山·二模）提出问题：古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称
为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，
即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成了欧式几何学体系．《几何原本》
第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得
的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．
如图1，上述结论可表示为 ，你能说明其中的道理吗？
探索问题：小明在探究的过程中发现，线段 的位置有两种情况，即 过圆心 和 不过圆心 ．
如图2，当 经过圆心 时，小明同学进行了如下推理：连接 ，易得 ，又 ，
所以 ，可得对应边成比例，进而可知，当 经过圆心 时，得 ．当 不
经过圆心 时，请补全下列推理过程．
(1)已知：如图3， 为 的切线， 为切点， 与 相交于 ， 两点，连接 ， ．求证：
．
证明： ．
(2)解决问题：如图4，已知 为 的直径， 为 延长线上一点， 切 于点 ，连接 ，若
， ，请直接写出 的长．
16．（2023·山西大同·二模）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角
形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点 和 为定点，点 为动点，且 为定长（令 ），可得
线段 的长度为定值．我们探究 和两条定长线段 ， 的数量关系及其最大值和最小值：当动点
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不在直线 上时，如图 ，由背景知识，可得结论 ， ．
当动点 在直线 上时，出现图 和图 两种情况．在图 中，线段 取最小值为 ；在图 中，
线段 取最大值为 ．
模型建立：在同一平面内，点 和 为定点，点 为动点，且 ， 为定长（ ），则有结论
≥ ， ．当且仅当点 运动至 ， ， 三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：
(1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 ；（填选项）
A．方程思想 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想
(2)已知线段 ，点 为任意一点，那么线段 和 的长度的和的最小是 ；
(3)已知 的直径为 ，点 为 上一点，点 为平面内任意一点，且 ，则 的最大值是
；
(4)如图4， ，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上，当 在 边上运动时， 随
之在 上运动，矩形 的形状保持不变．其中 ， ．运动过程中，求点 到点 的最大
距离．
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