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专题 09 统计与概率
目 录
题型01 数据统计
题型02 数据分析
题型03 概率
（时间：40分钟）
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题型 01 数据统计
1．（2024·江苏南京·模拟预测）每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况
如下表所示为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列
统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有______人，D类所在扇形的圆心角的度数是______°；
(2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类；
(3)已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良（C类）”和“重度视力不良（D类）”的学生
总人数．
【答案】(1)4；18
(2)B
(3)135人
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形
统计图和统计表中找出相应的数据．
（1）首先利用B类的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以A类所占的百分比即可求得A类学生的人
数；用周角乘以D类所占的百分比求出圆心角的度数即可；
（2）利用中位数的定义求解即可；
（3）用样本数据估计总体数据即可．
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【详解】（1）解：观察两个统计题知：B类有7人，占35%，
所以调查的总人数为7÷35%=20（人)，
所以视力情况属于A类的学生有20×20%=4（人)，
D类所在扇形的圆心角的度数为360°×(1−20%−35%−40%)=18°．
故答案为：4，18；
（2）解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，
所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了B类，
所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为B类．
故答案为：B；
（3）解：300×(40%+5%)=135（人)，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
2．（2022·重庆·一模）2022年4月2日，中国人民银行召开数字人民币研发试点工作座谈会，在现有试点
地区基础上增加重庆市等6个城市作为试点地区，某校数学兴趣小组为了调查七、八年级同学们对数字人
民币的了解程度，设计了一张含10个问题的调查问卷，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调
查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生答对的问题数量为：
5 5 5 6 6 6 7 7 7 7
1
8 8 8 8 8 9 9 9 10
0
八年级20名学生答对的问题数量的条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生答对问题数量的平均数、众数、中位数、答对8题及以上人数所占百分比如表所示：
两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：
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年级 平均数 众数 中位数 答对8题及以上人数所占百分比
七年级 7.4 a 7.5 50%
八年级 7.8 8 b c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中的a，b，c的值；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解数字人民币？请说明理由（写出一条理
由即可）；
(3)若答对7题及以上视为比较了解数字人民币，该校七年级有800名学生，八年级有700名学生，估计该
校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是多少？
【答案】(1)a=8，b=8，c=65%
(2)八年级的学生更了解数字人民币，理由见解析
(3)该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是1085人
【分析】（1）根据七年级20名学生答对的问题数量及众数的定义得到a=8，根据八年级20名学生答对的
问题数量的条形统计图及中位数的定义可得b=8；根据答对8题及以上人数可得c=65%；
（2）从平均值和从中位数看即可确定八年级学生更了解；
（3）利用样本中答对7题及以上学生人数的占比分别估算求和即可得出结果．
【详解】（1）解：根据七年级20名学生答对的问题数量：
5 5 5 6 6 6 7 7 7 7
1
8 8 8 8 8 9 9 9 10
0
可知，8出现的次数最多，
∴众数为8，故a=8；
根据八年级20名学生答对的问题数量的条形统计图可得第10和11位的数据为8、8，
∴中位数为8，故b=8；
∵答对8题及以上人数为13人，
∴c=65%，
∴a=8，b=8，c=65%；
（2）解：八年级的学生更了解数字人民币，
∵从平均值看7.4<7.8，八年级平均数要大；从中位数看7.5<8，八年级中位数也大；
∴八年级的学生更了解数字人民币；
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14
（3）解：七年级比较了解数字人民币的学生总人数是800× =560（人）；
20
15
八年级比较了解数字人民币的学生总人数是700× =525（人）；
20
∴该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是560+525=1085（人）．
【点睛】本题考查条形统计图、平均数、众数、中位数、用样本估计总体等知识，理解各个数量之间的关
系是解决问题的关键．
3．（2023·重庆九龙坡·一模）九龙坡区以创建全国文明城区和全国未成年人思想道德建设工作先进城区
(简称“双创”)为抓手，坚持立德树人，以文化人，协同育人，形成青少年健康成长的良好环境，学校德
育处为了解学生对“双创”的了解情况，从七、八年级各选取了20名同学，开展了“双创”知识竞赛，并对
竞赛成绩进行了整理、描述和分析(成绩得分用x表示，其中A：95≤x≤100，B：90≤x<95，C：
85≤x<90，D：80≤x<85，得分在90分及以上为优秀)，下面给出了部分信息：
七年级20名同学在B组的分数为：91，92，93，94；
八年级20名同学在B组的分数为：90，93，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
中位
年级 平均数 众数 优秀率
数
七年
91 a 95 m
级
八年
91 93 b 65%
级
(1)填空：a=______，b=______，m=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“双创”知识竞赛中，哪个年级学生对“双创”的了解情
况更好？请说明理由；(写出一条理由即可)
(3)该校七年级有850名学生，八年级有900名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
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【答案】(1)92.5，94，60%
(2)八年级学生对“双创”的了解情况更好，理由见解析；
(3)估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为1095人
【分析】
（1）根据中位数的定义，求得第10和第11个数字的中位数求得a的值，根据分数在90分以上的人数除以
总人数求得m，根据众数的定义求b的值；
（2）根据众数以及优秀率进行计算即可求解；
（3）根据样本估计总体，用850和900分别乘以七、八年级的优秀率即可求解．
【详解】（1）
解：∵共有20个数据，
∴中位数是第10个数据和第11个数据的平均数，
92+93
∴中位数是a= =92.5，
2
八年级20名同学在B组的分数中，94出现了5次，出现次数最多，
∴b=94，
4+8
七年级的优秀率为m= ×100%=60%，
20
故答案为：92.5，94，60%．
（2）
八年级学生对“双创”的了解情况更好．
理由：①八年级学生成绩的中位数93大于七年级学生成绩的中位数92.5；
②八年级学生成绩的优秀率65%大于七年级学生成绩的优秀率60%；
（3）850×60%+900×65%=1095（人），
答：估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为1095人．
【点睛】本题考查了利用统计图获取信息的能力，求中位数，众数，样本估计总体；利用统计图获取信息
时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题
4．（2023·北京东城·一模）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本
次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）
进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级成绩的频数分布直方图如下
（数据分成五组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；
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b．七年级成绩在80≤x<90的数据如下（单位：分）：
80 81 85 85 85 85 85 85 85 85 88 89
c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年
80.4 m n 141.04
级
八年
80.4 83 84 86.10
级
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m=______，n=______；
(2)下列推断合理的是______；
①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动
程度较小；
②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．
(3)竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．
【答案】(1)83，85
(2)①②
(3)340
【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行求解即可；
（2）根据方差、中位数进行判断即可；
12+5
（3）根据600× ，计算求解即可．
30
【详解】（1）解：由题意知，七年级成绩的中位数为第15、16位数的平均数，
∵3+3+7=13，3+3+7+12=25，
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81+85
∴中位数m为 =83，
2
由题意知，85出现8次，次数最多，
∴众数n为85，
故答案为：83，85；
（2）解：由题意知样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年
级学生成绩的波动程度较小；推断合理，故①符合要求；
若八年级小明同学的成绩是84分，因为84>83，所以可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生
的成绩，推断合理，故②符合要求，
故答案为：①②．
12+5
（3）解：由题意知600× =340（名），
30
∴估计七年级成绩优秀的学生人数为340．
【点睛】本题考查了频率分布直方图，中位数、众数、方差，用样本估计总体．解题的关键在于对知识的
熟练掌握与灵活运用．
5．（2023·重庆沙坪坝·一模）某校为了解学生对共青团的认识，组织七、八年级全体学生进行了“团史知
识”竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分100分，90
分及90分以上为优秀）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x<85，
B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100，下面给出了部分信息：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82
八年级抽取的10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，91
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 c 52
八年级 92 b 100 50.4
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根据以上信息，解答下列问题：
(1)图表中a=___________，b=___________，c=___________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握团史知识较好？请说明理由（一条理由即
可）；
(3)该校七年级有450人，八年级有500人参加了此次“团史知识”竞赛，估计参加竞赛活动成绩优秀的学
生人数是多少？
【答案】(1)40,92.5,99
(2)八年级的学生掌握团史知识较好，理由见解析
(3)620
【分析】（1）根据扇形图信息可求八年级A,B,C,D的人数，可确定a,b的值，根据七年级的分数和确定
众数的方法可确定c的值；
（2）根据众数的情况可得答案（说明理由不唯一）；
（3）根据样本百分比估算总体情况即可求解．
【详解】（1）解：七、八年级中各随机抽取10名学生，
∴八年级A组的人数是：10×10%=1（名），B组的人数是：10×20%=2（名），C组的人数是：3
（名），D组的人数是：10−2−1−3=4（名），
∴八年级中A.80≤x<85有1名，B.85≤x<90有2名，C.90≤x<95有3名，D.95≤x≤100有4名，
4
∴D组的百分比为 ×100%=40%，中位数在C组中且C组中的数据是：94,90,91
10
91+94
∴中位数是91,94和的一半，即 =92.5，
2
观察七年级的成绩99,80,99,86,99,96,90,100,89,82，众数是99，
∴a=40,b=90.5,c=99，
故答案为：40,92.5,99．
（2）解：七年级的众数是99，八年级的众数是100，说明八年级的学生掌握团史知识较好．
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（3）解：七年级中优秀(x≥90)的学生人数6名，八年级中优秀(x≥90)的学生人数7名，
该校七年级有450人，八年级有500人参加了此次“团史知识”竞赛，
6 7
估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是 ×450+ ×500=620（名）．
10 10
【点睛】本题主要考查调查统计的相关知识，掌握中位数，众数，样本百分比的计算方法，根据样本估算
总体的方法是解题的关键．
题型 02 数据分析
6．（2023·浙江温州·模拟预测）某校设计了甲、乙两款适合初中生学习的App（应用软件），为了了解学
生对两款App的喜欢度，拟抽样180名学生对两款App进行体验，并从5分，4分，3分，2分，1分，选
择一个分值分别对甲、乙款App进行评分．
(1)根据学校信息，请你设计一个合适的抽样方案．
(2)现将随机抽取的学生评分结果整理并绘制成如上两个统计图，请结合所学的统计知识，评选出哪款App
更受学生喜欢？请多角度说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)学生更喜欢甲款App．理由见解析
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及加权平均数以及分层抽样的应用等知识：
（1）根据随机抽样设计一个合适的抽样方案即可；
（2）从中位数、众数、平均数的对比得出答案．
【详解】（1）解：由于拟抽样180名学生对两款App进行体验，而且该校七八九三个年级各段人数相近，
且男女生人数相当，
因此各年级男女生各随机抽取60名学生对两款App进行体验
40×5+50×4+60×3+20×2+10×1
（2）解：甲款App的评分的平均数为： =3.5（分），
40+50+60+20+10
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乙款App的评分的平均数为：1×10%+2×20%+3×30%+4×15%+5×25%=3.25（分），
甲款App的评分的众数是3分，
∵40+50=90，
∴中间的两个分数为4分和3分，
∴甲款App的评分的中位数是3.5分，
乙款App的评分中3分占比最大，
∴众数是3分，
∵180×10%+180×20%=54<90，180×10%+180×20%+180×30%=108>90，
∴乙款App的评分的中位数是3分，
由于甲款App的评分众数与乙款App的评分众数相同，但甲的平均数和中位数均大于乙款App的评分平均
数和中位数，
所以学生更喜欢甲款App．
7．（2023·浙江杭州·模拟预测）王老师要从甲、乙两位同学中选拔一人参加某项竞赛，赛前对他们进行5
次测试，如图是两人5次测试成绩的折线统计图．
(1)分别填写甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差；
平均数 方差
甲
乙
(2)王老师应选派 参加这次竞赛，理由是 ．
【答案】(1)80，70，80，50
(2)乙同学，见解析
【分析】本题考查折线统计图、平均数、方差，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
（1）由折线统计图得出两组数据，再根据平均数和方差的定义列式计算可得；
（2）根据平均数和方差的意义解答可得．
【详解】（1）甲5次测试的成绩为65、80、80、85、90，
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1
则甲的平均数为 ×(65+80+80+85+90)=80（分)，
5
1
甲成绩的方差为 ×[(65−80) 2+(80−80) 2×2+(85−80) 2+(90−80) 2 ]=70（分❑ 2 )；
5
乙5次测试的成绩为70、90、85、75、80，
1
则乙的平均数为 ×(70+90+85+75+80)=80（分)，
5
1
乙的方差为 ×[(70−80) 2+(90−80) 2+(85−80) 2+(75−80) 2+(80−80) 2 ]=50（分❑ 2 )；
5
完成表格如下：
平均数 方差
甲 80 70
乙 80 50
（2）王老师应选派乙同学参加这次竞赛，理由是：
甲乙两位同学的平均成绩相等，而乙同学的方差比甲同学的方差小，即乙同学的成绩比甲同学更稳定，
故答案为：乙同学，甲乙两位同学的平均成绩相等，而乙同学的方差比甲同学的方差小，即乙同学的成绩
比甲同学更稳定．（答案不唯一，言之有理即可）．
8．（2023·浙江温州·模拟预测）某手机平台为用户提供餐厅评分服务，顾客可以从“口味”，“环境”，
“服务”三方面对消费的餐厅进行评分，分值有6个等级，依次为0分，1分，2分，3分，4分，5分．某
餐厅目前在平台上收到500位顾客评分，评分结果如图1所示：
(1)求出这500位顾客对于“口味”评分的平均数与众数．
(2)已知该餐厅在“环境”，“服务”的平均得分分别为4.1分和4.5分．若平台将“口味”，“环境”，
“服务”三项平均分分别按照4:3:3的比例计入对该餐厅的最终评分，且当得分超过4分时，餐厅则被认
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定为“星推餐厅”，请判断该餐厅是否为“星推餐厅”，并说明理由．
(3)结合图1和图2，为该餐厅提出一条合适的建议．
【答案】(1)3.3分，3分
(2)该餐厅不是“星推餐厅”，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平均数的定义及众数的定义求解即可；
（2）由（1）知口味的平均分，利用加权平均数的定义求出最终评分，即可得出结论；
（3）根据“口味”，“环境”，“服务”三项平均分作出建议即可．
1×20+2×45+3×260+4×115+5×60
【详解】（1）解：平均分为： =3.3（分），
500
这500位顾客对于“口味”的评分中，为3分的最多，则众数为3分；
3.3×4+4.1×3+4.5×3
（2）解：该餐厅的最终评分为： =3.9（分），
10
∵3.9<4，
∴该餐厅不是“星推餐厅”；
（3）解：“口味”，“环境”，“服务”三项平均分来看，从该餐厅应该将“口味”加强，使得“口
味”的评分提高．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，众数，平均数，加权平均数，根据统计数据作决策，读
懂条形统计图和利用统计图获取信息是解题的关键．
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大
便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．草莓种植户小丽经过初步了解，
打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此小丽收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并
整理、描述、分析，下面给出了部分信息：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
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c．配送速度和服务质量得分统计表：
配送速度得分 服务质量得分
项目统计量快递公司
中位
平均数 平均数 中位数
数
甲 m 8 7 7
乙 8.5 8.5 7 n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求出表中m,n的值；
(2)在甲乙两家快递公司中，如果某公司服务质量得分的10个数据的波动越小，则认为种植户对该公司的
评价越一致．据此推断：甲、乙两家公司中，种植户对___________的服务质量的评价更一致（填“甲”
或“乙”）；
(3)根据以上数据，小丽应该选择哪一家快递公司？请说明理由．（写出一条理由即可）
【答案】(1)m=8分，n=6.5分；
(2)甲
(3)选择乙公司（答案不唯一）．
【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查
了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）根据平均数、中位数及方差的意义，分别从配送速度和服务质量角度分析求解即可，答案不唯一．
1
【详解】（1）解：甲的平均数m= ×(6+7+7+8+8+8+8+9+9+10)=8（分），
10
乙服务质量得分为4、5、5、6、6、7、8、9、10、10，
6+7
其中位数n= =6.5（分）；
2
（2）解：由折线统计图知，甲公司服务质量得分的波动幅度明显小于乙公司，
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所以甲、乙两家公司中，种植户对甲的服务质量的评价更一致，
故答案为：甲；
（3）解：选择乙公司，
从配送速度角度，甲公司的配送速度的平均数小于乙公司，
所以选择乙公司（答案不唯一）．
10．（2023·广西防城港·模拟预测）自2022年9月秋季开学起，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程．
根据《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课程平均每周不少于1课时．为了解某校初中阶段学
生劳动教育的情况，从该校七、八、九三个年级中，每个年级随机抽取4个班，每班40人，进行问卷调查．
调查问卷（1）你平均每周劳动的时长是______分钟．
（2）你最喜欢的劳动实践课程是______．（单选）
A．烹饪与营养 B．整理与收纳 C．种植与养护 D．布艺
现对调查结果进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
A．学生平均每周劳动的时长统计表．
学生平均每周劳动的时长x（分钟） 人数
40≤x<50 40
50≤x<60 60
60≤x<70 80
70≤x<80 100
x≥80 a
B．学生最喜欢的劳动实践课程统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)学生平均每周劳动的时长统计表中，a= ______．
(2)学生最喜欢的劳动实践课程的统计图中，m= ______．
(3)学生平均每周劳动的时长的中位数落在______这一时间段内．
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(4)根据以上调查，请写出一条你获取的信息．
【答案】(1)200
(2)15
(3)70≤x<80
(4)由以上调查的结果可知，喜欢“烹饪与营养”课程的学生最多．
【分析】本题主要考查读频数分布表的能力，和利用统计图表获取信息的能力，正确理解题意是解题的关
键．
（1）用总人数减去其他组人数即可；
（2）用100%减去其他百分数即可；
（3）根据中位数的定义可得；
（4）根据统计图反应的问题回答即可．
【详解】（1）解：40×4×3−40−60−80−100=200（人），
故a=200；
（2）解：100%−50%−25%−10%=15%，
∴m=15；
（3）解：这组数据的中位数是第240、241个数据的平均值，故落在70≤x<80之间；
1
（4）解：由以上调查结果可知，超过 的学生喜欢烹饪与营养，学校可以适当增加这类课程．
2
题型 03 概率
11．（2024·四川成都·一模）2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的
通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格
实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手
机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2．
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请根据相关信息，解答下列问题：
(1)参加这次调查的学生人数为 ___________，图①中m的值为 ___________；
(2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数；
(3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平
均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，
求选中两男的概率．
【答案】(1)40；15
(2)54°
1
(3)
2
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率：
（1）用玩手机时长为2小时的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而求出m的值即可；
（2）用360度乘以参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的人数占比即可得到答案；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选中两男的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：10÷25%=40人，
∴参加这次调查的学生人数为40人，
6
∴m%= ×100%=15%，
40
∴m=15，
故答案为：40；15；
6
（2）解：360°× =54°，
40
∴参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为54°；
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（3）解：用A、B、C表示三名男生，用D表示女生，列表如下：
A B C D
A (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D)
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选中两男的结果数有6种，
6 1
∴选中两男的概率为 = ．
12 2
12．（2023·四川泸州·一模）今年学校文明城市知识竞赛活动后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分
为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等
成绩（x） 人数
级
A 90≤x≤100 15
B 80≤x<90 a
C 70≤x<80 18
D x<70 7
根据图表信息，回答下列问题：
(1)表中a= ；扇形统计图中， D等级对应的扇形圆心角为 度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞
赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 人；
(2)若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比
赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
【答案】(1)20，42°，450
5
(2)
6
【分析】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键．
（1）先由A等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a的值，再根据D占总人数的比例，
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求出圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A等级的人数；
（2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解．
90
【详解】（1）解：总人数为15÷ =60（人），
360
∴a=60−15−18−7=20，
7
D等级对应的扇形圆心角 ×360=42°，
60
15
若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有1800× =450（人）；
60
故答案为：20，42°，450；
（2）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 甲乙 乙丙 乙丁
丙 甲丙 乙丙 丙丁
丁 甲丁 乙丁 丙丁
共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，
10 5
∴P(甲、乙两人至少有1人被选中)= = ．
12 6
13．（2023·江苏盐城·模拟预测）党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精
神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传
统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行
整理（得分用x表示）:A:50≤x<60，B:60≤x<70，C:70≤x<80，D:80≤x<90，E:90≤x≤100，
并绘制出如图的统计图1和图2．
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请根据相关信息，解答下列问题：
(1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为 °，并将条形统计图补充完整．
(2)若“90≤x≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．求这组数据的
众数和中位数．
(3)若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%的比例确
定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决
赛吗？请说明你的理由．
(4)经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法
求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)54，统计图见解析
(2)众数为96，中位数为95.5；
(3)小敏能参加决赛，理由见解析
3
(4)
5
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数；
（1）先用C组的人数除以C组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算A组人数所占的百分比，
最后用360°乘以A组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以B组所占百分比，
即可求出B组的人数，即可补充条形统计图；
（2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答；众数：在一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将
数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据即为中位数；
（3）将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答；
（4）画出树状图，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参加此次竞赛总人数：23÷23%=100（人)，
15
A组所占百分比： ×100%=15%，
100
A组所在扇形的圆心角度数=360°×15%=54°，
B组人数：100×15%=15（人)，
条形统计图如图所示：
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故答案为：54．
（2）排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
95+96
∴中位数为： =95.5，
2
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
∴众数为96，中位数为95.5；
（3）小敏最后得分：86×20%+89×30%+93×50%=90.4>90，
∴小敏能参加决赛．
（4）画树状图如下：
∴一共有20种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有12种情况，
12 3
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为 = ．
20 5
14．（2024·吉林四平·一模）电动车操作简单、方便快捷、省时省力、性价比高，满足了人们对于短途出
行的需要．小勇收集到四张正面分别印有台铃、小刀、爱玛、雅迪电动车图标的卡片（除图标外，其他完
全相同），并在图标下方依次标记字母A、B、C、D．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取
一张，不放回，再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片标记的字母恰好是
C、D的概率．
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1
【答案】
6
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，根据树状图可知所有可能的结果数以及标记的字母恰好
是C、D的结果数，然后根据公式计算即可；熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：画树状图如图．
共有12种可能的结果，其中抽到的两张卡片标记的字母恰好是C、D的结果有2种，∴抽到的两张卡片标
2 1
记的字母恰好是C、D的概率为 = ．
12 6
15．（2023·江苏宿迁·模拟预测）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别
标有数字2，3，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗
匀，乙再随机抽取一张．
(1)请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？
请用概率的知识加以解释．
1
【答案】(1)
3
(2)不公平，解释见解析
【分析】本题考查列表法求概率，某个事件的概率可以通过事件发生次数除以总次数来计算：
（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．
【详解】（1）解：所有可能出现的结果如下：
甲
2 3 6
乙
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2 2 2 2 3 2 6
3 3 2 3 3 3 6
6 6 2 6 3 6 6
从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，
1
∴两人抽取相同数字的概率为： ；
3
（2）解：从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为3的倍数有4种，所以
5 4
甲获胜的概率为： ，乙获胜的概率为： .
9 9
5 4
∵ > ，
9 9
∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
（时间：40分钟）
一、单选题
1．（2024·湖北孝感·一模）下列说法正确的是（ ）
A．成语“刻舟求剑”描述的是必然事件
B．了解央视春晚的收视率适合用抽样调查
C．调查某品牌烟花的合格率适合用全面调查
D．如果某彩票的中奖率是1%，那么一次购买100张彩票一定会中奖
【答案】B
【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，根据概率的意义，全面调查与抽样调
查，随机事件的特点，逐一判断即可解答，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【详解】解：A、成语“刻舟求剑”描述的是不可能事件，故A不符合题意；
B、了解央视春晚的收视率适合用抽样调查，故B符合题意；
C、调查某品牌烟花的合格率适合用抽样调查，故C不符合题意；
D、如果某彩票的中奖率是1%，那么一次购买100张彩票不一定会中奖，故D不符合题意；
故选：B．
2．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图所示，某校七年级（1）班的全体同学最喜欢的球类运动用的扇形统
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计图来表示，下面说法中错误的是（ ）
A．喜欢足球的人数最多
B．喜欢乒乓球的占全班的总人数的25%
1
C．喜欢排球的占全班的总人数的
15
D．喜欢足球的人数是喜欢篮球的人数的2倍
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形统计图的相关知识，解题的关键在于能够熟练掌握扇形统计图．
根据扇形统计图的数据进行计算分析即可得出答案．
【详解】解：A、喜欢足球的占比最大，人数最多，此选项正确，不合题意；
B、喜欢乒乓球的占全班的总人数的25%，此选项正确，不合题意；
15 3
C、喜欢排球的占全班的总人数的 = ，此选项错误，符合题意；
100 20
D、喜欢足球的人数占全班的总人数的40%，喜欢篮球的人数占全班的总人数的20%，所以喜欢足球的人
数是喜欢篮球的人数的2倍，此选项正确，不合题意．
故选C．
3．（2024·贵州安顺·一模）某班有5名学生参加了一次考试，他们的成绩分别是：88分、75分、92分、
75分和92分，下列描述错误的是（ ）
A．平均数是84.4分 B．众数是75分和92分
C．中位数是88分 D．方差大于100
【答案】D
【分析】本题主要考查了方差，平均数，中位数和众数，根据方差，平均数，中位数和众数的定义求解判
断即可．
88+75+92+75+92
【详解】解：A、平均数是 =84.4分，原说法正确，不符合题意；
5
B、得分为75分和92分都出现了2次，出现的次数最多，则众数是75分和92分，原说法正确，不符合题
意；
C、把5人考试成绩从低到高排列为75分，75分，88分，92分，92分，处在最中间的是88分，即中位数
是88分，原说法正确，不符合题意；
2×(75−84.4) 2+(88−84.4) 2+(92−84.4) 2
D、方差为 =61.04，原说法错误，符合题意；
5
故选：D．
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4．（2024·广东茂名·一模）小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差
分别是s 2=0.5，s 2=1，s 2=4，s 2=6，你认为谁在训练中的发挥更稳定（ ）
小明 小华 小亮 小雨
A．小明 B．小华 C．小亮 D．小雨
【答案】A
【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平
均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【详解】解：∵小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是
s 2=0.5，s 2=1，s 2=4，s 2=6，
小明 小华 小亮 小雨
∴s 2”“<”或“=”）．
【答案】>
【分析】本题主要考查条形统计图与折线图的综合运用，掌握统计图的信息的关系是解题的关键，根据销
售总额与占比计算出相应的量进行比较即可求解．
【详解】解：某超市10月的销售总额为60万元，水果类销售额占比为20%，
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∴某超市10月水果类的销售额为：60×20%=12万元；
某超市11月销售总额为70万元，水果类销售额占比为15%，
∴某超市11月水果类的销售额为：70×15%=10.5万元；
∵12>10.5，
故答案为：>．
9．（2024·四川南充·一模）二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的黑白相间记录数据符
号信息的图形，能在很小的面积内表达大量的信息．小强将二维码打印在纸片上（如图），测得二维码的
面积为400cm2，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片二维码内随机掷点，经过大量实验，发现点落在
黑色阴影的频率稳定在0.60左右，则据此估计二维码黑色阴影部分的面积约为 ．
【答案】240cm2
【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据
落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可．
【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为0.6，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的0.6，
∴黑色阴影区域的面积是400×0.6=240(cm2)，
故答案为：240cm2．
10．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）若一组数据a ，a ， …，a 的平均数为4，方差为3，那么数
1 2 n
据2a +3，2a +3，…，2a +3的平均数和方差分别是 ， ．
1 2 n
【答案】 11 12
【分析】本题考查方差和平均数的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．本题可将平均数和
方差公式中的a换成3a−2，再化简进行计算．
【详解】解：一组数据 a ，a ， …，a 的平均数为4，方差为3，即 a=4,s2=3
1 2 n
那么2a +3,2a +3,2a +3，⋯，2a +3的平均数为
1 2 3 n
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2a +3+2a +3+2a +3+⋯+2a +3 2(a +a +a +⋯+a )+3n ；
1 2 3 n = 1 2 3 n =11
n 3
2a +3，2a +3，…，2a +3的方差为
1 2 n
1 4
[(2a +3−2a−3) 2+(2a +3−2a−3) 2+⋯+(2a +3−2a−3) 2= [(a −a) 2+(a −a) 2+⋯+(a −a) 2 ]；=4×s²=12
n 1 2 n n 1 2 n
故答案为：11；12．
11．（2024·河北石家庄·一模）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中1个白球，3
个红球．
（1）从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是 ；
（2）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球(m>1)搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出1个小球是白
2
球的概率为 ，则m的值为 ．
5
3
【答案】 /0.75 3
4
【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
（1）根据概率公式，用红球的个数除以总的球的个数，即可得到从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率；
1+m 2
（2）根据题意和题目中的数据，可以得到 = ，然后计算即可．
1+m+3+m 5
【详解】解：（1）由题意可得，
3 3
从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是 = ，
1+3 4
3
故答案为： ；
4
（2）由题意可得，
1+m 2
= ，
1+m+3+m 5
解得m=3，
故答案为：3．
12．（2024·山西吕梁·一模）某校组织“用勤劳的双手，打造温馨的家”主题教育活动．实践小组对七年
级学生每周做家务的时长x（单位：小时）进行了随机问卷调查（A．0≤x<1；B．1≤x<2；C．2≤x<3；
D．3≤x<4；E．x≥4），所有问卷都有效且全部收回，并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．
在扇形统计图中，“D”所在扇形的圆心角度数为 ．
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【答案】90°/90度
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，用A的人数除以它的百分比即可得到总人
数，用D所占总体的比例乘以360°即可得到“D”所在的扇形的圆心角的度数，读懂统计图，从不同的统
计图中得到必要的信息是解题的关键．
【详解】解：这次活动共调查的人数为：20÷10%=200（人），
200−20−30−60−40
∴“D”所在扇形的圆心角度数为 ×360°=90°，
200
故答案为：90°．
13．（2024·江苏淮安·一模）将甲、乙两组各5个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都
是13，设甲、乙两组数据的方差分别为s2 、s2 ，则s2 s2 （填“>”“=”或“<”）．
甲 乙 甲 乙
【答案】>
【分析】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键．
【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较大，则s2 >s2
，
甲 乙
故答案为：>．
三、解答题
14．（2024·山东青岛·一模）青岛市九校联合体（山东省青岛超银四校、山东省青岛市实验初级中学、山
东省青岛第七中学、山东省青岛第二十六中学、山东省青岛第三十九中学、山东省青岛五十九中学、山东
省青岛海信学校、山东省青岛第二实验初级中学、山东省青岛大学附属中）中某校为了解全校学生对电视
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节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并
把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
(1)这次被调查的学生共有多少名？
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
(4)该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或
列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】(1)这次被调查的学生共有50名；
(2)画图见解析；
(3)全校学生中喜欢体育节目的约有600名；
2 1
(4)恰好选中甲、乙两位同学的概率为 = ．
12 6
【分析】（1）用喜欢动画节目的人数除以其所占的百分比可得这次被调查的学生人数；
（2）求出喜欢体育节目的人数，补全条形统计图即可；
（3）根据用样本估计总体，用3000乘以本次调查中喜欢体育节目的人数所占的百分比，即可得出答案；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中甲、乙两位同学的结果数，再利用概率公式可得出
答案；
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形
统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
【详解】（1）这次被调查的学生共有15÷30%=50（名），
答：这次被调查的学生共有50名；
（2）喜欢体育节目的人数为：50−4−15−18−3=10（名），补全条形统计图如图所示，
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10
（3）3000× =600（名），
50
答：全校学生中喜欢体育节目的约有600名；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
2 1
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为 = ．
12 6
15．（2023·山东青岛·二模）小明和小李用两个转盘做游戏，如图，两个可以自由转动的转盘甲，乙，每
个转盘被分成面积相等的几个扇形，在转盘甲每个扇形上分别标上数字1，2，3，4，在转盘乙每个扇形上
分别标上数字−1，−2，−3．同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为大于1
时，小明获胜；数字之和小于1时，小李获胜，其他情况视为平局．如果指针恰好指在分隔线上，那么重
转一次，直到指针指向某一区域为止．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【分析】此题考查了游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．画树状图，共有12种等可能的情况，
其中两个指针所指区域的数字之和大于1的结果有3种，小于1的结果有6种，再由概率公式求出小明获
胜的概率和小李获胜的概率，然后比较即可．
【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
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画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和大于1的结果有3种，小于1的结果有6种，
3 1 6 1
∴小明获胜的概率= = ，小李获胜的概率= = ，
12 4 12 2
1 1
∵ ≠ ，
4 2
∴这个游戏对双方不公平．
16．（2024·广西南宁·模拟预测）广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大
产区．2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔
一跃成为春节期间的网红水果．小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三
的小明让爸爸各买一箱，标记为A，B准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择，小明在A，B两箱水果
中各随机取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下（单位cm）；
数据统计表
抽取序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A箱沙糖桔直
4.5 4.4 4.6 4.5 4.4 4.5 4.6 4.6 4.5 4.4
径
B箱沙糖桔直
4.4 4.3 4.4 4.7 4.4 4.8 4.5 4.2 4.8 4.8
径
平均
统计量 众数 中位数
数
A 4.5 b 4.5
B a 4.4 c
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根据题目信息，回答下列问题：
(1)a=______，b=______，c=______；
(2)由折线图可知，s2 ______s2（填“＞”“＝”或“＜”）
A B
(3)爸爸告诉小明沙榶桔一级果外观要求：大小均匀，直径在4cm∼5cm之间．请帮助小明用合适的统计量
评价这两箱沙榶桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙榶枯更好，并写出依据．
【答案】(1)4.5，4.5，4.45
(2)<
(3)这两箱沙榶桔符合一级果要求，选择A箱沙榶枯更好，依据见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义求解；
（2）根据折线统计图可得波动越小的方差越小；
（3）根据方差大小，作出决策，答案不唯一，言之有理即可．
1
【详解】（1）解：a= (4.4+4.3+4.4+4.7+4.4+4.8+4.5+4.2+4.8+4.8)=4.5；
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B箱沙糖桔直径数据从小到大排列为4.2 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.7 4.8 4.8 4.8
4.4+4.5
c= =4.45
2
b=4.5；
故答案为：4.5，4.5，4.45．
（2）根据折线统计图可得s2 < s2，
A B
故答案为：<．
（3）根据表格数据可得知，这两箱沙榶桔符合一级果要求，
选择A箱沙榶枯更好，由于s2 < s2 ，大小均匀，
A B
∴选择A箱沙榶枯更好（答案不唯一）
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