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重难点突破 03 阴影部分面积求解问题
目 录
方法一 直接公式法
方法二 和差法
题型01 直接和差法
题型02 构造和差法
题型03 割补法
类型一 全等法
类型二 等面积法
类型三 平移法、旋转法
类型四 对称法
题型04 容斥原理
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【基础】设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
扇形弧长公式 nπR O
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且 n
180 R
n°
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
l
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S 圆锥侧 =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） n°
l
圆锥全面积公式 S =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） h
圆锥全
r
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
【方法技巧】
1） 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式
nπR
l= 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
180
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，
nπR2 1
然后直接代入公式S扇形=
360
或 S扇形 =
2
l R中求解即可．
1
3）扇形面积公式S扇形=
2
l R 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角
形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.
4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，
即
nπR
2πr= ，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据
180
圆锥的侧面积计算公式来解决问题．
6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形
的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展
开后的扇形半径两个概念．
【阴影部分面积求解问题简介】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图
形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
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1）直接用公式求解．
图形 公式
S = S
阴影 扇形ABC
A C
B
S = S
阴影 △ABC
A C
B
S = S = ab
阴影 四边形ABCD
D
A
b
a
B C
2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．
①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S =S ±S ）
阴影 常见图形 常见图形
图形 面积计算方法 图形 面积计算方法
A S =S −S O S =S
阴影 △ACB 扇形 阴 影 扇 形 AOB
−S
ABD △AOB
A B
D
B C
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S =S −S S = S −S
阴影 △AOB 扇形 阴影 扇形BAD
O
C D COD 半圆AB
A B
O S =S S =S =
阴 影 半 圆 A 阴影 扇形之和
−S nπR2 πR2
AB △AOB =
360 2
A B
B C
S =S
阴 影 扇 形
−S
EAF △ADE
②构造和差法（所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形,然后进行相加减。）
图形 公式
S =S +S
阴影 扇形AOC △BOC
S =S -S
阴影 △ODC 扇形DOE
S =S -S
阴影 扇形AOB △AOB
S =S +S -S
阴影 扇形BOE △OCE 扇形COD
3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利
用公式法或和差法创造条件，从而求解．
①全等法
图形 公式
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S = S
阴影 △AOB
S = S
阴影 扇形BOC
S =S
阴影 矩形ACDF
S = S
阴影 正方形PCQE
②等面积法
图形 公式
S = S
阴影 扇形COD
③平移法
图形 公式
D F C D F C S =S
阴影 正方形BCFE
A E B A E B
S =S
阴影 矩形ABHG
④旋转法
图形 公式
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E E S =S
A A 阴影 扇形AOE
B B
O O
C C S = S
B B 阴影 扇形BOD
D D
A O E A O E
S = S -S
阴影 扇形ABE 扇形MBN
⑤对称法
图形 公式
S =S
阴影 △ACD
S = S
阴影 扇形CDE
1
S = S = S
阴影 △OBC 4 正方形ABCD
S = S - S
阴影 扇形ACB △ACD
4) 容斥原理
当阴影部分是由几个图形叠加形成时,
1）需先找出叠加前的几个图形;
2）然后理清图形之间的重叠关系.
图形（举例） 公式
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B' S =S +S −S
阴影 扇形BAB′ 半圆AB′ 半圆AB
A B
B S阴影=S +S −S
半圆AC 半圆BC △ACB
C A
C S阴影= S + S −S
扇形AEC 扇形BCD △ACB
A D E B
方法一 直接公式法
1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、CA为半径向内作
直角扇形，再以D为圆心、DC为半径向内作直角扇形，使点E刚好落到半圆上，若AB=10，则阴影部分
的面积为（ ）
A．16π B．12π C．8π D．4π
2．（2023·四川成都·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径
画弧，交AD于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形ABCD中，则骰子落在阴影部分的概率为
．
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3．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，
点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'．那么图中阴影部分的面积为 ．
方法二 和差法
题型 01 直接和差法
4．（2019上·河北石家庄·九年级统考期中）已知点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，
AB=10，BC:AC=3:4，阴影部分的面积为 ．
5．（2023·青海·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半
径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）.
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6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=√2，以点C为圆心
画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧
BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
题型 02 构造和差法
8．（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为
Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)( )
3π 3π 3π 3π
A． B．6− C．5− D．3+
4 4 4 4
9．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点
A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（ ）
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1 1 1 1
A．3− π B．3π− C． π D． π−3
3 3 3 3
10．（2023·安徽·模拟预测）如图，⊙O的半径为2，AB=2√3，则阴影部分的面积是 ．（结果保
留π）
11．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2．点
D为BC边的中点，以点D为圆心，CB长为直径画半圆，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为
．（结果保留π）
12．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如图，在半径为√5，圆心角等于45°的扇形AOB内
部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在A´B上，则阴影部分的面积为
．
13．（2022·福建·一模）如图，在平行四边形纸板ABCD中，点E，F，O分别为AB，CD，BD的中
点，连接DE，OF，BF．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为
．
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14．（2023·广东梅州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交
于A、B两点，点B坐标为 ， 与 交于点C， ，则圆中阴影部分的面积为
(0,2√3) OC ⊙D ∠OCA=30°
．
15．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，扇形AMB的圆心角∠AMB=60°，将扇形
AMB沿射线MB平移得到扇形CND，已知线段CN经过A´B的中点E，若AM=2√3，则阴影部分的周长为
．
16．（2024·西藏拉萨·统考一模）如图，等腰△ABC的顶点A，C 在⊙O上， BC边经过圆心0且与⊙O
交于D 点，∠B=30°.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AB=6，求阴影部分的面积
17．（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在△ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分别以
点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段AC的
三等分点时，图中阴影部分的面积为（ ）
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A．8√2−2π B．16√2−4π C．8√2−4π D．16√2−2π
18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知AB是⊙O的直径，DA、DE、BC是⊙O的三条切线，切点
分别为A、E、B，连接OE．
(1)如图1，求证：OE2=DE⋅CE；
(2)如图2，AD=1，BC=3，求图中阴影部分的面积．
题型 03 割补法
类型一 全等法
19．（2022上·安徽阜阳·九年级校考期末）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD= 4√3，
则S =（ ）
阴影
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8
A．π B．2π C． π D．4π
3
20．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，以点A为圆心，矩形的长AD为半径画
弧，交BC于点E，交AB的延长线于点F，若AE恰好平分∠BAD，则阴影部分的面积为（ ）
π−√2−1 2√2+π
A．1 B． C． D．√2−1
2 4
21．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD相交于点O，以点B
为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
22．（2022·青海·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点
E，F，若AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
23．（2022上·江西南昌·九年级统考期末）如图，半径为10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C为弧AB上
一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE=40°，则图中阴影部分的面积为（ ）
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40 110 100
A． π B． π C． π D．10π
3 9 9
类型二 等面积法
24．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交
于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．π
4 3 3
25．（2023·山西大同·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：
通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题
在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，
比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三
角形，再运用全等三角形的性质解决此问题．
例：如图1，D是△ABC内的点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD．若△ABC的面积是10，求
图中阴影部分的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，延长CD交AB于点E．
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∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADE=90°．
在△ADE和△ADC中，
¿
∴△ADE≌△ADC(ASA)．
∴S =S （依据*），ED=DC．
△ADE △ADC
任务：
(1)上述解答过程中的“依据*”是指 ；
(2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
(3)如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD的延
长线于点E，连接BE．若BE=5，请直接写出AD的长．
26．（2023上·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接
BC，CD，AC，BD，BC=CD，∠ACD=30°，AB=12，则图中阴影部分的面积为 ．
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类型三 平移法、旋转法
27．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，
AC，AE，沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
4√3
A．32√3cm2 B．8√3cm2 C．8πcm2 D．( +3π)cm2
3
28．（2023·浙江·模拟预测）如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O 的直
1
径，半圆O 过C点且与半圆O 相切，则图中阴影部分的面积( )
2 1
7−π 5−π 7 5
A． B． C． D．
9 9 9 9
29．（2018·山西·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以
AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8
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类型四 对称法
30．（2017上·山东东营·九年级校联考期末）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若
AC=BC= √2，则图中阴影部分的面积是
31．（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点
O，交AD于点F，交BC于点E．若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
32．（2023·河北保定·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB
于点E(E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若
AB=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 1 π 1 π 1 π 1
A． − B． − C． − D． −
8 8 8 4 2 8 2 4
33．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，半径OA=3，则图中阴影部分的面
积是 ，（结果保留π）
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34．（2023·江苏南通·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB垂直于半径OC，垂足为D，点E在OC的延长
线上，且∠EAC=∠CAB．
(1)求证：直线AE是⊙O的切线；
1
(2)若OE=6,sin∠E= ，求图中阴影部分的面积．
2
题型 04 容斥原理
35．（2022上·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、BC、
AC边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AB=8，BC=4时，则阴影
部分的面积为 ．
36．（2021·广东江门·校考三模）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，
D两点，弦AF切小半圆于点E．已知AB=4，∠BAF=30°，则图中阴影部分的面积是（ ）
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√3 π √3 π √3 π √3 π
A． + B． + C． + D． +
2 3 3 2 2 2 3 3
37．（2023·广东肇庆·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，以点C为
圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，交AB于点E，则图中阴影部分的面积是 ．(结果保留π)
38．（2022·河南·统考中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到
扇形A'O'B'．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
39．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在扇形OAB中，∠AOB=150°，将扇形OAB绕点A顺时针旋转
得到扇形O' AB'，点O的对应点O'恰好落在A´B上，若OA=2，则图中阴影部分的面积为 ．
40．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，
B的对应点都与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
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2 2 1 2
A．2√3− π B． π−2√3 C．2√3− π D． π−√3
3 3 3 3
41．（2023·江苏泰州·校考三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的三边为直径在BC同侧作半
圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，
若AD=4，AE=5，则阴影部分的面积和为 ．
42．（2022·山西长治·统考一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=12，BC=6，以
AB为直径的圆与以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
43．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，
AC=4，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D．
则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
20
