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专题 14 二次函数与几何压轴
目 录
题型01 三角形面积问题
类型一 利用铅垂高计算三角形面积
类型二 面积比值问题
类型三 面积存在性问题
类型四 面积最值问题
题型02 线段相关问题
类型一 线段和最值问题
类型二 线段差最小问题
类型三 周长最值
题型03 存在性问题
类型一 平行四边形存在性问题
类型二 矩形存在性问题
类型三 菱形存在性问题
类型四 正方形存在性问题
类型五 等腰三角形存在性问题
类型六 直角三角形存在性问题
类型七 相似三角形存在性问题
类型八 等角存在性问题
类型九 二倍角、半角存在性问题
类型十 特殊角存在性问题
类型十一 线段存在性
（时间：60分钟）
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题型 01 三角形面积问题
类型一 利用铅垂高计算三角形面积
1．（2023·山东青岛·一模）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，
下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线l 、l ，l 、
1 2 1
l 之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这
2
个三角形的铅垂高；
1
结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S= dh”．
2
尝试应用：
已知：如图2，点A(−5,3)、B(4,0)、C(0,6)，则△ABC的水平宽为______，铅垂高为______，所以
△ABC的面积为______．
学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，点B为抛物线的顶点，图象与y轴
交于点A，与x轴交于E、C两点，BD为△ABC的铅垂高，延长BD交x轴于点F，则顶点B坐标为______，
铅垂高BD=______，△ABC的面积为______．
2．（2024·山西晋城·一模）综合与探究
1 4
如图，抛物线y=− x2− x+4与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直
3 3
线BC上方抛物线上一动点．
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(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．
(2)连接PB，PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二 面积比值问题
7
3．（2023·辽宁大连·二模）平面直角坐标系xOy中，抛物线C ：y=x2先向右平移 个单位长度，再向上
1 2
7
平移 个单位长度，得到新的抛物线C ，其顶点为A，C ，C 相交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
4 2 1 2
连接BC交OA于点D．
(1)点A的坐标是________；
(2)如图，求△OBD面积与△OCD面积的比值；
( 3)
(3)在y轴上有两点E(0，n)，G 0,n+ ，过点E作x轴的平行线交直线AO于点F，以EF，EG为邻边
2
作矩形EFHG，直线FH分别交抛物线C ，C 于点P，Q．若抛物线C在矩形EFHG内部（不含边界）的
1 2
部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线C ，在矩形EFHG内部（不含边界）的部分对应的函数
2
值y随x的增大而减小，求PQ的取值范围．
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4．（2021·天津河西·二模）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成
的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2(a>0)与直线y=x相交于点O和点
A，OA截得的抛物线弓形的曲线上有一点P．
（Ⅰ）当a=1时，解答下列问题：
①求A点的坐标；
②连接OP，AP，求△OPA面积的最大值；
③当△OPA的面积最大时，直线OP也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上
也有一点P'，连接OP'，P'P，当△OP'P的面积最大时，求这个△OP'P的最大面积与②中△OPA的最大
面积的比值；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中a=1的条件去掉后，其它条件不变，则△OP'P的最大面积与△OPA的最大面积的比值
是否变化？请说明理由．
5．（2021·江苏盐城·二模）将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图
1
像（如图2），记为C：y2＝ x．
a
【概念与理解】
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将抛物线y=4x2和y=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C ：_____________；C ：
1 2 1 2
____________．
【猜想与证明】
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C 于点
1
A、B，交抛物线C 于点C、D，如图3所示．
2
AB AB
（1）填空：当x=1时， =______；当x=2时， =_______；
CD CD
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．
【探究与应用】
①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为 ；
②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
若抛物线C ：y2＝mx、C ：y2＝nx（00)与y轴交于A点，其顶点为D．直线
1
y=− x−2m分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线AD相交于E点．
2
(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
(2)将△ACE沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
(3)抛物线y=−x2+2x+m(m>0)上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
23．（2023·河南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−16对称轴是直线x=1，且过点A(−2,0)．点B为
抛物线与x轴另一交点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)矩形BCDE的边BC在x轴正半轴上，边CD在第四象限．BC=6，CD=4．将矩形BCDE沿x轴负半轴
方向平移得到矩形B'C'D'E'，直线B'E'与直线C'D'分别交抛物线于点M、N．在平移过程中，是否存在
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以C'、E'、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移距离；若不存在，请说明理由．
类型二 矩形存在性问题
24．（2023·山西晋中·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点为D(1,4)与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及点A、B、C的坐标；
(2)如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
(3)如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点
的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3,0),B(2,0)．
与y轴交于点C，∠CAO=45°，直线y=kx交抛物线于点E，且AE=EC．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线y=1上一点，点N为直线EC上一点，求CM+MN的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是
矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 菱形存在性问题
26．（2024·陕西西安·一模）已知：平面坐标系内点P(x,y)和点A(0,1)，点P到点A的距离始终等于点P
到x轴的距离．
(1)请你求出点P满足的函数关系式；
(2)如果（1）中求出的函数图象记为L，L'是L沿着水平方向平移得到的，若点M在L上，点N是L平移后
点M的对应点，点Q是x轴上的点．是否存在这样的点M，使得以M、N、O、Q为顶点的四边形是有一
个内角为60°且的菱形？若存在，请你求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，
B点，与y轴交于点C(0，3)，点B的坐标为（3,0），点P是抛物线上一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在；若不
存在，请说明理由．
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√3
28．（2022·陕西·模拟预测）如图，一次函数y= x+√3的图象与坐标轴交于点A、B，二次函数
3
√3
y=− x2+bx+c的图象经过A、B两点．
3
(1)求二次函数解析式；
(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为C、P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、
P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
类型四 正方形存在性问题
29．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，
B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC
为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
1
30．（2023·辽宁抚顺·三模）如图，抛物线y=− x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点
4
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B(0,3)，C为该抛物线图象上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求tan∠ABC的值；
(3)点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形
ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2023·山西大同·模拟预测）综合与探究
2
如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，直线y= x−4与x轴
3
交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点
N，连接MC，MD．
(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．
(2)当CM=EN时，求点M的横坐标．
(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐
标；若不存在，请说明理由．
类型五 等腰三角形存在性问题
32．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x−3与x轴交于点A，与y轴交
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于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设该抛物线的顶点为点H，求△BCH的面积；
(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最
大值及点M的坐标；
(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点
的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2023·广东汕头·二模）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且
OB=OC=3, OA=1, OD=2，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得AE⊥AD．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
(2)求点E的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．
34．（2023·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
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与y轴交于C点，其中B(4,0),C(0,−8) ，连接AC，BC．点E是线段OB上一动点（不与O、B两点重
合），过点E作x轴的垂线l，与直线l交于点D，与抛物线交于点P．
(1)求抛物线的表达式，及直线BC的表达式；
(2)过点P作PF⊥BC，垂足为F，求Rt△PFD周长的最大值；
(3)点Q在y轴上，点H在抛物线对称轴上，是否存在点Q、H使得△AQH为等腰直角三角形，且
∠QAH=90∘，若存在，求出点Q、H的坐标，若不存在，请说明理由．
类型六 直角三角形存在性问题
35．（2023·贵州贵阳·二模）如图，二次函数y=x2−3x−4的图象与x轴交于A和B两点，与y轴交于点C，
点P是直线AC下方的抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)当PE最大时，在二次函数的图象上是否存在点Q，使以点A,P,Q为顶点的三角形是直角三角形？若存
在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
36．（2023·广西梧州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B
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两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为(−1,0)，抛物线顶点D的坐标为(1,−4)，直
线BC与对称轴相交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为直线x=1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记
A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S，若S=3S ，请求出m的值；
△BCD
(3)点P是线段BD上的动点，将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP，是否存在点P，使得△D'EP与△BEP的
重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由．
37．（2023·青海西宁·二模）如图，抛物线y=x2+2x−3与x轴相交于点A(−3,0)，与y轴相交于点C．
(1)求直线AC的解析式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值；
(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，
请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
类型七 相似三角形存在性问题
38．（2024·甘肃平凉·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−2,0)，点B(4,0)，交y轴于点C(0,4)．
连接AC,BC.D为OB上的动点，过点D作ED⊥x轴，交抛物线于点E，交BC于点G．
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(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)过点E作EF⊥BC，垂足为F，设点D的坐标为(m,0)，请用含m的代数式表示线段EG的长，并求出当
m为何值时EG有最大值，最大值是多少？
(3)点D在运动过程中，是否存在一点G，使得以O,D,G为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请求出
此时点G的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（2024·云南昆明·模拟预测）抛物线y=ax2+2ax+c(a＞0)与x轴交于A(−3,0)、B两点（A在B的
左侧），与y输交于点C(0,−3)，抛物线的顶点为M．
(1)求a、c的值；
(2)若点P是线段AC上一个动点，连接OP．问，是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与
△ABC相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图像与x轴交于
A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(−2，0)，点B的坐标为(8，0)．
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(1)求此二次函数的解析式；
(2)动点D从点C出发，以每秒√5个单位的速度在线段CB上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像
于点E，交x轴于点F，连接CE和OD，若△OCD与△CDE的面积相等，求t的值．
(3)点D在直线CB上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，
使得以B、E、F为顶点的三角形与△ABC相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
类型八 等角存在性问题
41．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
2
如图1，二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C．直
3
线y=−2x−2经过A，C两点，连接BC．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得∠ABD=∠ABC？若存在，请求出此时点D的坐标；若不
存在，请说明理由．
(3)如图2，将△AOC沿x轴正方向平移得到△A'O'C'（点A，O，C的对应点分别为A'，O'，C'），A'C'，
O'C'分别交线段BC于点E，F，当△C'EF与△O'BF的面积相等时，请直接写出△A'O'C'与△BOC重叠
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部分的面积．
42．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，点C在
直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(1,0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的
点E处．
(1)求抛物线解析式；
(2)连接BE，
①S = ；
△BCE
②若点P为直线AB上方抛物线上一动点，连接PB,PC，当四边形PBCE面积最大时，求点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在一点Q，使∠QEA=∠BAE？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
类型九 二倍角、半角存在性问题
43．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A，
B两点，点A的坐标是(−4,0)，点B的坐标是(1,0)，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二
象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接OP，是否存在点P，使得∠OPD=2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理
由．
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44．（2023·山东东营·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c过A(−4,0)，B(6,0)，C(0,8)三点；点P是
第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且10)
是平面直角坐标系上的两点，一次函数y=kx+b的图象过点A且与S交于P(x ,y ),Q(x ,y )两点，PC垂
1 1 2 2
直于S的对称轴，垂足为C．
(1)用x ,x 表示线段BC的长；
1 2
(2)求证：∠ABP=∠ABQ；
(3)若a=1，是否存在直线PQ，使得∠PBQ=60°？如果存在，求出PQ的解析式，如果不存在，说明理
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由．
1 3
50．（2023·广东东莞·二模）如图，二次函数y= x2+bx− 的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B，以AB
2 2
为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
(1)b= ___；点D的坐标：___；
1
(2)线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为 ？若存在，请求出点P，若不存在，
2
请说明理由．
(3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时
△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
（时间：60分钟）
√5 √5
1．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 y= x2− x−2√5分别交x轴于点A，B（点A在点B的
4 2
左侧）， 交y轴于点C．
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(1)求点A和点B的坐标；
(2)以B为圆心， 3 为半径作圆．
①如图1，连接AC，P是线段AC上的动点， 过点P作⊙B的一条切线PM（点M为切点）， 求线段
PM的最小值；
1
②如图2，点D为抛物线的顶点， 点Q在圆B上，连接CQ，DQ， 求DQ− CQ的最大值．
2
2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线经过原点，与x轴交于另一点
A，顶点坐标为(2,−1)，过点G(2,0)的直线y=kx+b(k≠0)与抛物线交于点B，C，且点B在点C的左侧．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AB,AC，当△ABG的面积与△ACG的面积之比为1:2时，求直线的函数表达式；
1 1
(3)若有直线l:y=−2，点B到直线l的距离为BD，点C到直线l的距离为CE，求证： + =1．
BD CE
3．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线y=x2−2x+c与x轴正半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，
且OA=OB，与直线y=kx+1(k≠0)交于C,D两点．
(1)求点B的坐标；
(2)当k=1时，求△BCD的面积；
(3)k取何值时△BCD的面积最小？最小面积是多少？
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4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线F:y=ax2−2ax−8a(a>0)与x轴交于A，B两点，与y轴
交于点C，直线x=3交x轴于点D．
(1)若OB=OC，直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点E在第四象限的抛物线上，在线段OD和直线x=3上是否存在F，G两点，使得C，E，
F，G为顶点的四边形是以CF为一边的矩形？若存在，求点F的坐标；若不存在，说明理由；
( 1)
(3)如图2，将抛物线F平移，使其顶点落在轴上的点P 0, 处，得到抛物线G，直线MN与抛物线G只
2
有一个公共点M，与x轴交于点N，定点Q在y轴正半轴上，且满足∠MQN=90°，求此时点Q的坐标．
5．（2023·山东淄博·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)，B(8,0)，
C(0,4)三点．
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；
(2)如图2，设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥BC，垂足为点
D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标；
(3)在y轴负半轴上是否存在点N，使点A绕点N顺时针旋转后，恰好落在第四象限抛物线上的点M处，且
使∠ANM+∠ACM=180°，若存在，请求N点坐标，若不存在，请说明理由．（请在备用图中自己画
图）
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6．（2023·陕西西安·三模）已知抛物线L 过点A（−1，0），B（3，0） ，C（0，−3）．
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(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线L 的对称轴与x轴交于点P，将该抛物线沿直线y=m翻折得抛物线L ，在抛物线L 第四象限的图
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象上是否存在一点D，使的△CPD是以CP为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的L 的解
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析式；若不能，请说明理由．
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