文档内容
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专题 12 圆压轴
目 录
考情分析
考点 圆压轴
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 与圆有关的多结论问题（选/填）
题型02 与圆有关的平移问题
题型03 与圆有关的翻折问题
题型04 与圆有关的旋转问题
题型05 与圆有关的最值问题
题型06 与圆有关的动点问题
题型07 与圆有关的新定义问题
题型08 阿氏圆
题型09 圆、几何图形、锐角三角函数综合
题型10 与圆有关的存在性问题
题型11 与圆有关的定值问题
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
在中考中，涉及圆压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以解
实数的分类 答题形式出现，常结合其它几何图形、锐角三角函数出成压轴题的几率特别大，所
占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.
考点 圆压轴
题型01 与圆有关的多结论问题（选/填）
1．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是AP´B上一点，与点D关
于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：①CD平分∠BCE；
②BE=BD； ③AE2=AF×AB； ④BD为⊙O的切线．其中所有正确结论的序号是
．
2．（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE=3，以点A
为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、
CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）△HGD≌△HEC；（3）S ：S =9∶16
△AHG △DHC
7
；（4）DK= ，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
5
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3．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于
点D、E，BE=8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
8π DF EF
①AE=BC；②∠AED=∠CBD；③若∠DBE=40°，则D´E的长为 ；④ = ；⑤若EF=6，
9 EF BF
则CE=2.24．
4．（2020·湖南岳阳·中考真题）如图，AB为半⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB=8，BD与
半⊙O相切于点B，点P为A´M上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，
延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
4
①PB=PD；②B´C的长为 π；③∠DBE=45°；④△BCF∽△PFB；⑤CF⋅CP为定值．
3
题型02 与圆有关的平移问题
1．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，以BC为直径的⊙O与AB
交于点H，将△ABC沿射线AC平移得到△≝¿，连接BE．
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(1)如图1，DE与⊙O相切于点G．
①求证：BE=EG；
②求BE⋅CD的值；
(2)如图2，延长HO与⊙O交于点K，将△≝¿沿DE折叠，点F的对称点F'恰好落在射线BK上．
①求证：HK∥EF'；
②若KF'=3，求AC的长．
1
2．（2023·四川乐山·中考真题）已知(x ,y ),(x ,y )是抛物C :y=− x2+bx（b为常数）上的两点，当
1 1 2 2 1 4
x +x =0时，总有y = y
1 2 1 2
(1)求b的值；
1
(2)将抛物线C 平移后得到抛物线C :y=− (x−m) 2+1(m>0)．
1 2 4
探究下列问题：
①若抛物线C 与抛物线C 有一个交点，求m的取值范围；
1 2
②设抛物线C 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C 的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为
2 2
点F，如果对抛物线C 上的任意一点P，在抛物线C 上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF
1 2
长的取值范围．
2
3．（2021·湖南株洲·中考真题）将一物体（视为边长为 米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢
π
内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B(E)按逆时针方向旋转至正方形
A BC D 的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A B C D 的位置（此时点B 与点G重合），最后将
1 1 1 2 2 2 2 2
1
物体移到车厢平台面MG上．已知MG//PQ，∠FBP=30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH= 米，
3
EF=4米．
（1）求线段FG的长度；
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（2）求在此过程中点A运动至点A 所经过的路程．
2
题型03 与圆有关的翻折问题
1．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将B´C沿BC翻折交AB于点
D．再将B´D沿AB翻折交BC于点E．若B´E=D´E，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°
C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°
2．（2020·四川自贡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是AB上的一点，连接DE,将△ADE进行翻折，
恰好使点A落在BC的中点F处，在DF上取一点O，以点O为圆心，OF的长为半径作半圆与CD相切于点
G;若AD=4,则图中阴影部分的面积为 ．
3．（2018·云南曲靖·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将B´C沿直线BC翻折，使
B´C的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接
AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PC=√3，求四边形OCDB的面积．
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题型04 与圆有关的旋转问题
1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板ABC和DEF中，
∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°，BC=EF=12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD
与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 ，现将△≝¿绕点C(F)按顺时针方向旋转
（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是
．
2．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，
以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．
(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等
式表示线段AC与DE的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥ AB，AB=4，AC=2，求BC的长；
(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．
3．（2022·山东潍坊·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀
水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠
DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行；设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于
B，C两点，恰有AD2=BD⋅CD，连接AB,AC．
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(1)求证：AD为⊙O的切线；
(2)筒车的半径为3m，AC=BC,∠C=30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的
最大深度（精确到0.1m，参考值：√2≈1.4,√3≈1.7）．
题型05 与圆有关的最值问题
1．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的
半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个
交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根据新区的
自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，
作OM⊥ AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及
MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道
⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
2．（2023·重庆·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点D为线段AB上一动点，连接
CD．
(1)如图1，若AC=9，BD=√3，求线段AD的长．
(2)如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点
G． 若∠G=∠BCE，求证：GF=BF+BE．
(3)在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将
△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM． 连接AN，点P为AN的中点，连接CP，
当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出
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NQ
此时 的值．
CP
3．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点
P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点
P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
1
②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT= OM;
2
1
(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t( ∠MAN．
【数学理解】
德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点A，B是∠MON的边OM
上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与ON边相切于点C时，∠ACB最大，
人们称这一命题为米勒定理．
【问题解决】
（2）如图3，已知点A，B的坐标分别是(0,1)，(0,3)，C是x轴正半轴上的一动点，当△ABC的外接圆
⊙D与x轴相切于点C时，∠ACB最大，当∠ACB最大时，求点C的坐标．
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10．（2023·重庆·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，在AB边上作等边△ABD，直线CE∥AB．
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(1)如图1，若点E在线段AD上，AB=5，CE= ，S =10，求点E到线段AC的距离；
2 △ABC
(2)如图2，若点E在△ABD的内部，连接CD，过点A作AF⊥BC，交BC与点F．求证：
√3
AF+CD= BC；
2
(3)如图3，若点E在△ABD的外部，△AEC为等腰直角三角形，AE⊥ AC，过点E作EF∥AC，交AB的
延长线于点F，延长CB，交EF的延长线与点G，M为CA延长线上一点．将△EAD绕点E顺时针方向旋转
2√3+3√2 √2
至△EA'D'，且旋转角0°<α<90°．若AE=1，AM= ，当M A'+ GA' 的值最小时，直接
6 2
写出△EGA'的面积．
1
11．（2023·浙江宁波·三模）如图1，△ABC内接于⊙O，点D为劣弧A´C上一点，满足∠BCA= ∠D，
2
过点B作AD的垂线，垂足为点F，交⊙O于点E．
(1)求证：BA=BC；
AB 5 BF
(2)若 = ，求 的值；
AC 6 DF
(3)求证：DF=AF+CD；
1
(4)如图3，若∠EBA= ∠EBC，AF=kCD，用含有k的代数式表示tan∠BAD．
3
25
