文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷
类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要
求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.5. 已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
6. 若 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
7. 若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第
一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和
是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中 (
为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据 的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
10. 已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，
则（ ）
A. B.C. D.
11. 已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A. 点 到直线 的距离小于
B. 点 到直线 的距离大于
C. 当 最小时，
D. 当 最大时，
12. 在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，
则（ ）
A. 当 时， 的周长为定值
B. 当 时，三棱锥 的体积为定值
C. 当 时，有且仅有一个点 ，使得
D. 当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 是偶函数，则 ______.
14. 已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为
轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
15. 函数 的最小值为______.
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面
积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么
______ .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从
中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问
题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问
题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B
类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分 的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19. 记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.（1）证明： ；
（2）若 是边长为1 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
21. 在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
22. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
