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查漏补缺 06 二次函数图象性质及其综合应用（8 大题型）
考点一： 二次函数的图象与性质
【题型一】二次函数的图象与性质
二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对
图像特征
称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式
y y y y y
h>0,k>0
图
a>0 k>0
像 h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
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y
y y
y y h<0,k>0
x x
x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
(− ，
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
)
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；
最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
值
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
增
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
减
性 易 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是
错 不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.
【中考真题】
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
（ ）
A．y=(x+1) 2−3 B．y=(x+1) 2−2
C．y=(x−1) 2−3 D．y=(x−1) 2−2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平
移后的抛物线为y=x2+2x−2，再把y=x2+2x−2化为顶点式即可．
【详解】解：抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，
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则抛物线变为y=x2+2x−2，
∴y=x2+2x−2化成顶点式则为 y=(x+1) 2−3，
故选：A．
2．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … −4 −2 0 3 5 …
y … −24 −8 0 −3 −15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解
析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得¿，解得¿，
∴二次函数的解析式为y=−x2+2x=−(x−1) 2+1，
∵a=−1<0，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线x=1，故选项D符合题意；
当01时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为(1,1)且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
3．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx(a≠0)，满足¿，已知点
(−3,m)，(2,n)，(4,t)在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A．t0，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减
性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得:−3a0
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b 1 3
所以对称轴x=− 的取值范围在 0两种情况讨论即可．
【详解】解：∵直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，
b
∴对称轴为直线x=− >0，
2a
当a<0时，则b>0，
当a>0时，则b<0，
∴a，b异号，
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．
k
5．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=−x+b的图象
x
如图所示，则函数y=x2−bx+k−1的图象可能为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设A(1,k)，则B(k,1)，k>1，将点B(k,1)，代入y=−x+b，得出k=b−1，代入二次函数，可
b
得当x=1时，y=−1，则y=x2−bx+k−1，得出对称轴为直线x= >1，抛物线对称轴在y轴的右侧，且
2
过定点(1,−1)，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
设A(1,k)，则B(k,1)，根据图象可得k>1，
将点B(k,1)代入y=−x+b，
∴1=−k+b，
∴k=b−1，
∵k>1，
∴b>2，
∴y=x2−bx+k−1 =x2−bx+(b−1)−1=x2−bx+b−2，
b
对称轴为直线x= >1，
2
当x=1时，1−b+b−2=−1，
∴抛物线经过点(1,−1)，
∴抛物线对称轴在x=1的右侧，且过定点(1,−1)，
当x=0时，y=k−1=b−2>0，
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故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出k=b−1是解题的关键．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数y=x2−2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的
图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当a=−1时，这个函数的图像在函数y=−x图像的
上方；③若a≥1，则当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正
确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函
数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规
律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线y=x2+2x+3与直线y=−x没有交点，且开口向上即
可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．
【详解】解：将二次函数y=x2−2ax+3(a是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到y=x2−2ax，
当x=0时，y=0，
∴平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当a=−1时，则y=x2+2x+3，
令x2+2x+3=−x，即x2+3x+3=0，
∵ Δ=32−4×1×3=−3<0，
∴抛物线y=x2+2x+3与直线y=−x没有交点，
∵抛物线开口向上，
∴当a=−1时，这个函数的图象在函数y=−x图象的上方；
故②正确；
∵二次函数y=x2−2ax+3(a是常数），
∴开口向上，对称轴为直线x=a，
∴当x>a时，函数值y随自变量x增大而增大，
故③错误；
∵y=x2−2ax+3=(x−a) 2+3−a2，
∴顶点为(a,3−a2 )，
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∵3−a2≤3，
故④正确．
故答案为：①②④．
7．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x −4 −3 −1 1 5
y 0 5 9 5 −27
下列结论：① abc>0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当−43．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的
判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌
握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：把(−4,0)，(−1,9)，(1,5)代入y=ax2+bx+c得，
¿，
解得¿，
∴abc>0，故①正确；
∵a=−1，b=−2，c=8，
∴y=−x2−2x+8，
当y=9时，−x2−2x+8=9，
∴x2+2x+1=0，
∵Δ=22−4×1×1=0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根，故②正确；
−3+1
∵抛物线的对称轴为直线x= =−1，
2
∴抛物线的顶点坐标为(−1,9)，
又∵a<0，
∴当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，当x=−1时，函数取最大值9，
∵x=−3与x=1时函数值相等，等于5，
∴当−42时，−x2−2x+8<−x+2，即ax2+(b+1)x+c<2，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
8．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=−x2+2x的顶
点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点A(x ,y )在抛物线y=−x2+2x上，点B(x +t,y +h)在抛物线y=−x2+bx上．
1 1 1 1
（ⅰ）若h=3t，且x ≥0，t>0，求h的值；
1
（ⅱ）若x =t−1，求h的最大值．
1
【答案】(1)b=4
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10
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
3
【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的
性质是解题关键．
（1）根据题意求出y=−x2+2x的顶点为(1,1)，确定抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标为2，
即可求解；
（2）根据题意得出y =−x 2+2x ， y +h=−(x +t) 2+4(x +t)，然后整理化简
1 1 1 1 1 1
h=−t2−2x t+2x +4t；（ⅰ）将h=3t代入求解即可；（ⅱ）将x =t−1代入整理为顶点式，即可得出
1 1 1
结果．
【详解】（1）解：y=−x2+2x=−(x2−2x+1)+1=−(x−1) 2+1，
∴y=−x2+2x的顶点为(1,1)，
∵抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=−x2+2x的顶点横坐标大1，
∴抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标为2，
b
∴− =2，
2×(−1)
∴b=4；
（2）由（1）得y=−x2+bx=−x2+4x
∵点A(x ,y )在抛物线y=−x2+2x上，点B(x +t,y +h)在抛物线y=−x2+4x上．
1 1 1 1
∴y =−x 2+2x ， y +h=−(x +t) 2+4(x +t)，
1 1 1 1 1 1
整理得：h=−t2−2x t+2x +4t
1 1
（ⅰ）∵h=3t，
∴3t=−t2−2x t+2x +4t，
1 1
整理得：t(t+2x )=t+2x ，
1 1
∵x ≥0，t>0，
1
∴t=1，
∴h=3；
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（ⅱ）将x =t−1代入h=−t2−2x t+2x +4t，
1 1 1
4 2 10
整理得h=−3t2+8t−2=−3(t− ) + ，
3 3
∵−3<0，
4 1 10
∴当t= ，即x = 时，h取得最大值为 ．
3 1 3 3
9．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(−2,5)，对称轴
1
为直线x=− ．
2
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m（m>0）个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图
象上，求m的值；
9
(3)当−2≤x≤n时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
4
【答案】(1)y=x2+x+3
(2)m=4
1
(3)− ≤n≤1
2
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
1 1
（3）分为n<− ，− ≤n<1时，n>1时，建立方程解题即可．
2 2
1 2 1 2
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y=(x+ ) +k，把A(−2,5)代入得(−2+ ) +k=5，
2 2
11
解得k= ，
4
1 2 11
∴y=(x+ ) + =x2+x+3；
2 4
（2）解：点B平移后的点的坐标为(1−m,9)，
则9=(1−m) 2+(1−m)+3，解得m=4或m=−1（舍），
∴m的值为4；
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1
（3）解：当n<− 时，
2
1 2 11 9 1
∴最大值与最小值的差为5−[(n+ ) + ]= ，解得：n =n =− 不符合题意，舍去；
2 4 4 1 2 2
1
当− ≤n≤1时，
2
11 9
∴最大值与最小值的差为5− = ，符合题意；
4 4
当n>1时，
1 2 11 11 9
最大值与最小值的差为(n+ ) + − = ，解得n =1或n =−2，不符合题意；
2 4 4 4 1 2
1
综上所述，n的取值范围为− ≤n≤1．
2
10．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完
美点”．抛物线y=ax2−2ax+2a（a为常数且a>0）与y轴交于点A．
(1)若a=1，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线y=x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
求a的取值范围．
【答案】(1)(1,1)
3 5
(2)
≤a<
2 2
2 1
(3)
0，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)；
当“完美点”个数为5个时，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)．
∴3≤2a<5．
3 5
∴a的取值范围是 ≤a< ．
2 2
（3）根据y=ax2−2ax+2a=a(x−1) 2+a，
得抛物线的顶点坐标为(1,a)，过点P(2,2a)，Q(3,5a)，R(4,10a)．
∵抛物线与直线y=x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”(1,1)，(2,2)，(3,3)符合题意．
下面讨论抛物线经过(2,1)，(3,2)的两种情况：
1 ( 5)
①当抛物线经过(2,1)时，解得a= 此时，P(2,1)，Q 3, ，R(4,5)．
2 2
如图所示，满足题意的“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,3)，共4个．
2 ( 4)
②当抛物线经过(3,2)时，解得a= 此时，P 2, ，Q(3,2)，R(4,4)．
5 5
如图所示，满足题意的“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,4)，共6个．
2 1
∴a的取值范围是 0，
∴k−2<0,a+1>0，
∴一次函数y=(k−2)x+a+1的图象经过一二四象限，
故选A．
2．（2025·四川成都·一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x=1 B．y的最小值为−4
C．x=−2对应的函数值为y=5 D．当00时，y随x的增大而减小；
y … m 8 6 0 …
丙：m=6；丁：图象开口向下．
针对四人的说法，其中不正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二
次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可．
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【详解】解：将(1,8)、(3,0)代入y=ax2+bx+6得：
¿，
解得：¿，
∴二次函数的解析式为y=−2x2+4x+6=−2(x−1) 2+8，
∴该函数图象的对称轴为直线x=1，故甲正确；
又∵ a=−2<0，函数图象的对称轴为直线x=1，
∴二次函数的开口向下，当x<1时，y随x的增大而增大，故乙不正确，丁正确；
当x=0时，y=−2×02+4×0+6=6，即m=6，故丙正确；
故选：B．
6．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判
1
断新函数y=|x2−3x+2|的图象与一次函数y=− x+1的图象的交点个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形
集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案．
【详解】解：∵y=x2−3x+2=(x−1)(x−2)，
∴x=1或x=2时，y=0，当x=0时，y=2，
∴y=x2−3x+2过(1,0)、(2,0)、(0,2)
3 2 1
∵y=x2−3x+2=(x− ) − ，
2 4
3 3 1
∴其开口向上，对称轴为x= ，顶点坐标为( ,− )，
2 2 4
将y=x2−3x+2的图象在x轴下方的部分对称到上方，得到y=|x2−3x+2|的图象，
1 3 1 1
一次函数y=− x+1，当x=0时，y=1，当x= 时，y= ，当x=2时，y=0，故一次函数y=− x+1
2 2 4 2
3 1
过(0,1)和( , )和(2,0)，如图所示：
2 4
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从图象可知，交点个数为3个，
故选：C．
7．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数y=−2(x−1) 2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的
函数表达式是 ．
【答案】y=2(x+1) 2−4
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，二次函数顶点式等．根据题意先得出二次函数顶点坐标为
(1,4)，再求出点关于原点对称的点坐标为(−1,−4)，再根据二次函数图象性质即可求出本题答案．
【详解】解：∵二次函数y=−2(x−1) 2+4的顶点坐标为(1,4)，
∴(1,4)绕原点O旋转180°点坐标为(−1,−4)，
∴a=2，
∴所得到的图象对应的函数表达式：y=2(x+1) 2−4，
故答案为：y=2(x+1) 2−4．
8．（2025·上海·模拟预测）若二次函数y=a(x−m) 2+n(a,m,n≠0)不经过第三象限，且其经过平移后顶
点落在了x轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限．
【答案】三与四
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题
的关键．
根据题意得到二次函数y=a(x−m) 2+n(a,m,n≠0)的顶点坐标为(m,n)，根据平移后新抛物线的顶点坐标
在x轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限．
【详解】解：∵二次函数y=a(x−m) 2+n(a,m,n≠0)不经过第三象限，
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∴抛物线顶点坐标为(m,n)，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口
向上，
∵平移后新抛物线的顶点坐标在x轴上，
新抛物线不可能经过第三、四象限，
故答案为：三与四．
9．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线y=ax2−2a2x−3(a≠0)．
（1）当a=1时，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点A(3a,y )，B(n,y )为抛物线上两点，若30时，当a<0时，然后根据二次
2a
函数的性质求解即可．
【详解】（1）当a=1时，y=x2−2x−3=(x−1) 2−4
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)
故答案为：(1,−4)；
（2）∵抛物线y=ax2−2a2x−3(a≠0)
−2a2
∴对称轴为直线x=− =a
2a
当a>0时，抛物线开口向上
∴x>a时，y随x的增大而增大
∵点A(3a,y )，B(n,y )为抛物线上两点，若3a时，y随x的增大而减小；
∵点A(3a,y )，B(n,y )为抛物线上两点，若30 开口向上 a的正负决定开口方向，
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a<0 开口向下 a的大小决定开口的大小(|a|越大，开
口越小)．
b=0 b
对称轴是y轴，即− =0
2a
b 左同右异中间0
a，b同号 对称轴在y轴左侧，即
b
− ＜0
2a
a，b异号 对称轴在y轴右侧，即
b
− ＞0
2a
c=0 图像过原点
c c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c<0 与y轴负半轴相交
与x轴有两个交点
与x轴有唯一交点 的正负决定抛物线与x轴交点
个数
与x轴没有交点
【中考真题】
1．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象
经过点(−1,0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①abc<0；②a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式
分解为(x+1)(x−5)；④当m>−9a时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握
二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断a，b，c的符号即可；②将点(1,0)代入函
数即可得到答案；③根据题意可得该函数与x轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到
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b
ax2+bx+c=a(x+1)(x−5)；④由− =2，a+c=b得到b=−4a，c=−5a，将x=2代入函数得
2a
y=−9a，从而推出当m>−9a时，该抛物线与直线y=m的图象无交点，即可判断．
b
【详解】解：由题图可知a<0，c>0，− >0
2a
∴b>0
∴abc<0，故①正确；
当x=−1时，a−b+c=0，即a+c=b，故②正确；
∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标为−1，对称轴为直线x=2，
∴二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为5，
∴多项式ax2+bx+c=a(x+1)(x−5)，故③错误；
b
∵− =2
2a
∴b=−4a
∵a+c=b
∴c=−5a
∵当x=2时，y有最大值，即y=4a+2b+c=4a−8a−5a=−9a，
∴当m>−9a时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的图象无交点，
即关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
−c
2．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax−b(a≠0)和y= (c≠0)的图象大致
x
如图所示，则函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．
先根据一次函数与反比例函数的图象可得a<0,b<0，c>0，再根据二次函数的图象特点即可得．
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【详解】解：∵一次函数y=ax−b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0,−b>0，即a<0,b<0，
−c
∵反比例函数y= (c≠0)的图象位于第二、四象限，
x
∴−c<0，即c>0，
b
∴函数y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，与y轴的交点位于y轴的正半轴，对称轴为直线x=− <0，
2a
故选：D．
3．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两实根x =−1，x =3，且abc>0，
1 2
则下列结论中正确的有（ ）
( 4c)
①2a+b=0；②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 1, ；
3
③a<0；④若m(am+b)<4a+2b，则00，进而可得abc=a⋅(−2a)⋅(−3a)=6a3>0，从而可以判断③；由
m(am+b)<4a+2b，故am2+bm+c<4a+2b+c，即对于函数y=ax2+bx+c，当x=m时的函数值小
于当x=2时的函数值，再结合a>0，抛物线的对称轴是直线x=1，从而根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：由题意，∵ax2+bx+c=0有两实根x =−1,x =3，
1 2
¿．
∴②−①得，8a+4b=0．
∴2a+b=0，故①正确．
∴b=−2a，
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b −2a
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=− =− =1．
2a 2a
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1,a+b+c)．
又b=−2a,a−b+c=0，
c
∴3a+c=0，即a=− ．
3
2
∴b=−2a= c．
3
4
∴a+b+c= c．
3
( 4 )
∴顶点坐标为 1, c ，故②正确．
3
∵3a+c=0，
∴c=−3a．
又b=−2a,abc>0，
∴abc=a⋅(−2a)⋅(−3a)=6a3>0，
∴a>0，故③错误．
∵m(am+b)<4a+2b，
∴am2+bm+c<4a+2b+c，
∴对于函数y=ax2+bx+c，当x=m时的函数值小于当x=2时的函数值．
∵a>0，抛物线的对称轴是直线x=1，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
∴|m−1|<2−1，
∴−12．故④错误．
综上，①③正确，共2个．
故选：B．
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( 1 )
5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 − ,n ，与x轴的一个交
3
点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(−6,y ),(5,y )，则
1 2
y >y ；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是 （请填写序
1 2
号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称
3
轴求出a= b，根据图象可得当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设
2
(−6,y ),(5,y )两点横坐标与对称轴的距离为d ，d ，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点
1 2 1 2
的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
( 1 )
【详解】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 − ,n ，
3
b 1
∴− =− ，
2a 3
b 1
∴ = >0，即ab>0，
2a 3
由图可知，抛物线开口方向向下，即a<0，
∴b<0，
当x=0时，y=c>0，
∴abc>0，故①正确，符合题意；
1
②∵直线x=− 是抛物线的对称轴，
3
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b 1
∴− =− ，
2a 3
b 1
∴ = >0，
2a 3
3
∴a= b
2
由图象可得：当x=1时，y=a+b+c<0，
5
∴ b+c<0，即5b+2c<0，故②正确，符合题意；
2
1
③∵直线x=− 是抛物线的对称轴，
3
设(−6,y ),(5,y )两点横坐标与对称轴的距离为d ，d ，
1 2 1 2
| ( 1)| 17 | ( 1)| 16
则d = −6− − = ，d = 5− − = ，
1 3 3 2 3 3
∴d 0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为x =−3，x =2；④k= a．其
1 2 2
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中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a>0，c<0，再结合对称轴x=−1，同时令ax2+bx+c=kx，
从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
b
【详解】解：由图象可得，a>0，c<0，又− =−1，
2a
∴b>0．
∴abc<0．
∴①正确．
由题意，令ax2+bx+c=kx，
∴ax2+(b−k)x+c=0．
又二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，
点B的横坐标为2，
∴ax2+(b−k)x+c=0的两根之和为−3+2=−1，两根之积为−3×2=−6．
b−k c
∴− =−1， =−6．
a a
∴6a+c=0．
又b=2a，
∴3b+c=0．
∴3b+2c=c<0．
∴②错误，③正确．
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b−k
∵− =−1，b=2a，
a
∴k=a．
∴④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【模拟训练】
1．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于
( 3 ) 1
点A − ,0 ，对称轴是直线x=− ，下面说法正确的个数是（ ）
2 2
1 1
（1）abc<0；（2）3a+4c=0；（3）am2+bm≤ a− b（m为任意实数）；（4）若点(−1,y )和点
4 2 1
(2,y )都在抛物线上，则y 0．
b
∵− <0，
2a
∴b<0，
∴abc>0．故（1）错误；
b 1
∵− =− ，
2a 2
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∴b=a．
3
当x=− 时，y=0，
2
9 3
∴ a− b+c=0．
4 2
∴9a−6b+4c=0，
即3a+4c=0，故（2）正确；
1
当x=m时，y=am2+bm+c，当x=− 时，函数取最大值，
2
1 1
∴对于任意实数m有：am2+bm+c≤ a− b+c，
4 2
1 1
∴am2+bm≤ a− b，故（3）正确；
4 2
1
∵对称轴是直线x=− ，点(−1,y )和点(2,y )都在抛物线上，
2 1 2
| 1 | 1 1 | ( 1)| 1
而 − −(−1) =− +1= < 2− − =2 ，
2 2 2 2 2
∴y >y ．故（4）错误．
1 2
则正确的个数为2个，
故选：B
2．（2025·广东中山·一模）函数y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)的图象是由函数
y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移2个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③
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【答案】D
b
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为− =1，进而可得2a+b=0，故①正确；由函
2a
数图象与y轴的交点坐标为(0,3)，y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分
沿x轴向上翻折而成可知c=−3，故②错误；根据对称轴求出b<0，进而可得abc>0，故③正确；求出翻
折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1和3，
−1+3 b
∴对称轴为x= =1，即− =1，
2 2a
∴整理得：2a+b=0，故①正确；
∵y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)与y轴的交点坐标为(0,3)，
y=ax2+bx+c(a>0)可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，
∴c=−3，故②错误；
b
∵y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)中a>0，− =1，
2a
∴b<0，
又∵c=−3<0，
∴abc>0，故③正确；
∵图像与y轴交于点(0,3)，
∴将图象向上平移2个单位后图像与y轴交于点(0,5)，且对称轴为直线x=1，
∴将图象向上平移2个单位后与直线y=5有4个交点，故④错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，与x轴交点问题及二次函数图像的平移，掌握二次函数的对
称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
3．（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，对称轴是直线x=1，下列
结论：①b2−4ac>0；②4a+2b+c>0；③abc<0；④3a+c<0；其中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
由二次函数与x轴有两个交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性可得x=0与x=2关于对称轴x=1对
称，可对②进行判断；利用抛物线的开口方向可得a<0，结合对称轴可得b=−2a>0，根据抛物线与y轴
交于正半轴得到c>0，可对③进行判断；当x=−1时，y<0，即a−b+c=3a+c<0，则可对④进行判断．
【详解】解：由图象可知，二次函数与x轴有两个交点，即Δ=b2−4ac>0，故①正确；
由图象可知，当x=0时，y>0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴ x=0与x=2关于对称轴x=1对称，
∴ 4a+2b+c>0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =1，抛物线与y轴交于正半轴，
2a
∴ b=−2a>0，c>0，
∴ abc<0，故③正确；
∵当x=−1时，y<0，
∴ a−b+c=3a+c<0，故④正确；
故选：D．
4．（2025·湖北荆州·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于
(m,0)，(n,0)两点，且m0；②4ac−b2>0；③cc．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先根据题意可得图象开口向上，a>0，再根据与y轴正半轴交于点C，得c>0，对称轴为直线
b
x=−1，得− <0，判断①；根据二次函数与x轴交于(m,0)，(n,0)两点即判断②；根据对称轴为直线
2a
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b
x=−1即可判断③；先求m+n=− ，再根据对称轴得，m+n=−2，再由增减性即可判断④．
a
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于(m,0)，(n,0)两点，且
m0，
∵与y轴正半轴交于点C，
∴c>0，
∵对称轴为直线x=−1，
b
∴− <0，
2a
∴b>0，
∴abc>0，故①正确．
∵二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于(m,0)，(n,0)两点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故②错误．
b
∵− =−1，
2a
∴b=2a，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴a−2a+c<0，
∴cc，故④正确．
故选：C．
5．（2025·新疆昌吉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =mx+n与抛物线y =ax2+bx−3相交于
1 2
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点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当−2y ；②x=3是方程ax2+bx−3=0的一
1 2
个解；③连接BO，△ABO的面积是12.5；④对于抛物线y =ax2+bx−3，当−2y ，即①正确；
1 2
②由图象可知：抛物线y =ax2+bx−3与x轴有两个交点，
2
∴方程ax2+bx−3=0有两个不相等的实数根．
∴x=3是方程ax2+bx−3=0的一个解，即②正确；
1
③ S = ×5×3=7.5≠12.5 ，即③错误；
△ABO 2
④由③可得抛物线的解析式为：y =x2−2x−3=(x−1) 2−4，
1
∴当x=1时，y 有最小值−4，
1
∵−2a B．无论实数a取什么值，都有y >a
1 1
C．可以找到一个实数a，使得y <0 D．无论实数a取什么值，都有y <0
2 2
【答案】C
−2a
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为x=− =a，
2
顶点坐标为(a,a−a2)，再分情况讨论，当a>0时，当a<0时，y ， y 的大小情况，即可解题．
1 2
【详解】解：∵二次函数解析式为y=x2−2ax+a(a≠0)，
−2a
∴二次函数开口向上，且对称轴为x=− =a，顶点坐标为(a,a−a2)，
2
a a2 3
当x= 时，y = −a2+a=a− a2，
2 1 4 4
a
当a>0时，0< y >a−a2 ，
1
a
当a<0时，a< <0，
2
∴ a−a20时，0a>0，
2
当a<0时，3a<2aa，不一定大于0，
2
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴
上，则ac的值为（ ）
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A．−1 B．−2 C．−3 D．−4
【答案】B
(c c)
【分析】连接AC，交y轴于点D，根据正方形的性质可知AC=OB=2AD=2OD，然后可得点A , ，
2 2
进而代入求解即可．
【详解】解：连接AC，交y轴于点D，如图所示：
当x=0时，则y=c，即OB=c，
∵四边形OABC是正方形，
∴AC=OB=2AD=2OD=c，AC⊥OB，
(c c)
∴点A , ，
2 2
c c2
∴ =a× +c，
2 4
解得：ac=−2，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形
的性质是解题的关键．
3．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点A(x ,y )在直线y=3x+19上，点B(x ,y ),C(x ,y )在抛物线
1 1 2 2 3 3
y=x2+4x−1上，若y = y = y 且x −8，
1
∴−80，求h的值；
1
（ⅱ）若x =t−1，求h的最大值．
1
【答案】(1)b=4
10
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
3
【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的
性质是解题关键．
（1）根据题意求出y=−x2+2x的顶点为(1,1)，确定抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标为2，
即可求解；
（2）根据题意得出y =−x 2+2x ， y +h=−(x +t) 2+4(x +t)，然后整理化简
1 1 1 1 1 1
h=−t2−2x t+2x +4t；（ⅰ）将h=3t代入求解即可；（ⅱ）将x =t−1代入整理为顶点式，即可得出
1 1 1
结果．
【详解】（1）解：y=−x2+2x=−(x2−2x+1)+1=−(x−1) 2+1，
∴y=−x2+2x的顶点为(1,1)，
∵抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=−x2+2x的顶点横坐标大1，
∴抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标为2，
b
∴− =2，
2×(−1)
∴b=4；
（2）由（1）得y=−x2+bx=−x2+4x
∵点A(x ,y )在抛物线y=−x2+2x上，点B(x +t,y +h)在抛物线y=−x2+4x上．
1 1 1 1
∴y =−x 2+2x ， y +h=−(x +t) 2+4(x +t)，
1 1 1 1 1 1
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整理得：h=−t2−2x t+2x +4t
1 1
（ⅰ）∵h=3t，
∴3t=−t2−2x t+2x +4t，
1 1
整理得：t(t+2x )=t+2x ，
1 1
∵x ≥0，t>0，
1
∴t=1，
∴h=3；
（ⅱ）将x =t−1代入h=−t2−2x t+2x +4t，
1 1 1
4 2 10
整理得h=−3t2+8t−2=−3(t− ) + ，
3 3
∵−3<0，
4 1 10
∴当t= ，即x = 时，h取得最大值为 ．
3 1 3 3
5．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数y=(x−a) 2+(x−b) 2（a，b为常数）．设自变量x取x 时，y取
0
得最小值．
(1)若a=−1，b=3，求x 的值；
0
2 1
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)在双曲线y=− 上，且x = ．求点P到y轴的距离；
x 0 2
(3)当a2−2a−2b+3=0，且1≤x <3时，分析并确定整数a的个数．
0
【答案】(1)x =1
0
(2)2或1
(3)整数a有4个
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
(1)根据题意代入化简得y=2(x−1) 2+8，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；
(2)结合题意得到b= −2 ，代入二次函数中化简得y=2x2+ (4 −2a ) x+a2+ (2) 2 ，利用二次函数的性质求
a a a
得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
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(3)结合已知得等式化简得y=2x2−(a2+3)x+a2+b2，结合x 的范围求得a的可能值，即可得到整数a的
0
个数．
【详解】（1）解：有题意知y=(x+1) 2+(x−3) 2=x2+2x+1+x2−6x+9=2x2−4x+10
=2(x2−2x+1)+8=2(x−1) 2+8，
当x =1时，y取得最小值8；
0
2
（2）解： 点P(a,b)在双曲线y=− 上，
x
∵
−2
b= ，
a
∴
y=(x−a) 2+(x−b) 2=(x−a) 2+ ( x+ 2) 2
a
∴
=x2−2ax+a2+x2+
4
x+
(2) 2
a a
=2x2+ (4 −2a ) x+a2+ (2) 2 ，
a a
1
x = ，
0 2
∵
(4 )
−2a
a 1，化解得a2−a−2=0，解得a =2或a =−1，
− = 1 2
2×2 2
∴
则点P(2,−1)或P(−1,2)，
点P到y轴的距离为2或1；
∴
（3）解：y=(x−a) 2+(x−b) 2
=x2−2ax+a2+x2−2bx+b2
=2x2−(2a+2b)x+a2+b2
a2−2a−2b+3=0，
∵a2+3=2a+2b，
∴
y=2x2−(a2+3)x+a2+b2，
∴
1≤x <3，
0
∵
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−(a2+3)
1≤− <3，化简得1≤a2<9，
2×2
∴
a=−2,−1,1,2，
∴则整数a有4个．
【模拟训练】
1．（2025·广东惠州·一模）如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y=ax2过点
B．若∠AOC=60°，则a为（ ）
1
A．−1 B．−2 C．− D．1
2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点B作BD⊥y轴交y
轴于点D，求出B点的坐标，代入即可求解，求出B点的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点B作BD⊥y轴交y轴于点D，
OABC 2
∵菱形 的边长为 ，
∴OC=BC=2，
∵∠AOC=60°，
∴∠BCD=60°，
√3 1
∴BD=BC·sin∠BOC=2× =√3，CD=2cos60°=2× =1，
2 2
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∴B(−√3,−3)，
把B(−√3,−3)代入y=ax2，
∴−3=3a，
∴a=−1，
故选：A．
2．（2025·福建泉州·一模）直线l:y=kx+b(k≠0)与抛物线y=(x−2) 2−3交于A，B两点，与抛物线
y=−(x−1) 2+3交于C，D两点，且始终满足AB=CD，则直线l必过的定点为（ ）
( 3) (3 ) (3 )
A． 3, B． ,−1 C． ,0 D．(3,0)
2 2 2
【答案】C
【分析】设直线l与抛物线y=(x−2) 2−3的交点A的坐标为(x ,y )，B的坐标为(x ,y )，联立¿，得
1 1 2 2
x2−(4+k)x+1−b=0，由一元二次方程的根与系数的关系可得x +x =4+k，x x =1−b，则
1 2 1 2
AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2=√1+k2 ⋅ √(4+k) 2−4(1−b)，同理可得CD=√1+k2 ⋅ √(2−k) 2−4(b−2)，
1 2 1 2
进而可得√1+k2
⋅
√(4+k) 2−4(1−b)=√1+k2
⋅
√(2−k) 2−4(b−2)，即
3 3 ( 3)
(4+k) 2−4(1−b)=(2−k) 2−4(b−2)，解得b=− k，则y=kx+b=kx− k=k x− ，由此即可得出
2 2 2
直线l必过的定点．
【详解】解：设直线l与抛物线y=(x−2) 2−3的交点A的坐标为(x ,y )，B的坐标为(x ,y )，
1 1 2 2
联立¿，
得：x2−(4+k)x+1−b=0，
∴x +x =4+k，x x =1−b，
1 2 1 2
∴AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 1 2
=√ (x −x ) 2+[(kx +b)−(kx +b)] 2
1 2 1 2
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=√ (x −x ) 2+[k(x −x )] 2
1 2 1 2
=√(x −x ) 2+k2 (x −x ) 2
1 2 1 2
=√(1+k2)(x −x ) 2
1 2
=√1+k2 ⋅√(x −x ) 2
1 2
=√1+k2 ⋅√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2
=√1+k2
⋅
√(4+k) 2−4(1−b)，
同理可得：CD=√1+k2
⋅
√(2−k) 2−4(−b−2)，
∵AB=CD，
∴√1+k2
⋅
√(4+k) 2−4(1−b)=√1+k2
⋅
√(2−k) 2−4(b−2)，
∴(4+k) 2−4(1−b)=(2−k) 2−4(b−2)，
3
解得：b=− k，
2
3 ( 3)
∴y=kx+b=kx− k=k x− ，
2 2
3
当x= 时，y=0，
2
(3 )
∴直线l必过的定点为 ,0 ，
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了y=a(x−h) 2+k的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，已知两点坐标
求两点距离，求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解
题的关键．
1
3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线y=x2与直线y= x+3围成的封闭图形内部有k个整点
2
（不包括边界），则k的值为（ ）
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A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用
数形结合思想是解题的关键．
3
先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的x的取值范围为− 6
1 2 3 1 2 3
【答案】B
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x 值，
1
即可求得x 取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得x +x 的取值范围，解答即可．
1 2 3
【详解】解：∵¿，
解得¿或¿，
∵点B(x ,y )，C(x ,y )在抛物线y=−x2+3x上，且y = y ，
2 2 3 3 2 3
∴x ,x 是方程−x2+3x=0的两个根，
2 3
∴x +x =3，
2 3
∵x 0)上任意两点，设抛物线的对称轴是直线x=t．
(1)若对于x =1，x =3，有y = y ，求a的值；
1 2 1 2
(2)若对于03或 ，从而得出M(x ，y )在对称轴的左侧，求得M(x ，y )关于对
2 2 1 1 1 1
称轴的对称点，再根据二次函数的增减性结合题意对称关于t的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵对于x =1，x =3有y = y ，
1 2 1 2
x +x 1+3
∴抛物线的对称轴为直线x= 1 2= =2，
2 2
b −(3a+1)
∵抛物线的对称轴为x=− =− ．
2a 2a
−(3a+1)
∴− =2，
2a
∴a=1；
（2）解：∵当0 ，
2
∵抛物线的对称轴是直线x=t，
∴M(x ，y )在对称轴的左侧，
1 1
故M(x ，y )关于对称轴的对称点为(2t−x ，y )，
1 1 1 1
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∵02t−1，
解得t<2或t>3．
3
∵t> ，
2
3
∴t的取值范围是t>3或 0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a<0，抛物线开口向下，函数有最大值；
2）函数的最值都是定点坐标的纵坐标.
【中考真题】
1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如4⊗3=(4+2×3)(4−3)，则函
数y=(x+1)⊗2的最小值为（ ）
A．−21 B．−9 C．−7 D．−5
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最
值即可．
【详解】解：由题意得，y=(x+1)⊗2=(x+1+2×2)(x+1−2)=(x+5)(x−1)，
即y=x2+4x−5=(x+2) 2−9，
∴当x=−2时，函数y=(x+1)⊗2的最小值为−9．
故选：B．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点A(x ,y ),B(x ,y )在函数y=x2的图象上，x 0，
∴m=3，
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∴y=x2+3x+6= ( x+ 3) 2 + 15 ，
2 4
3 15
∴当x=− 时，二次函数有最小值，最小值为 ，
2 4
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
4．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值
问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a=−4，求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … −4 −2 0 2 4 …
x … * 2 0 −2 −4 …
y的最小值 … * −9 −3 −5 −15 …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我
猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
11
【答案】（1）①y=x2−8x−7；②当x=4时，y有最小值为−23（2）见解析（3）正确，−
4
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把a=−4代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出y的最大值，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）①把a=−4代入y=x2+2ax+a−3，得：
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y=x2+2⋅(−4)x+(−4)−3=x2−8x−7；
∴y=x2−8x−7；
②∵y=x2−8x−7=(x−4) 2−23，
∴当x=4时，y有最小值为−23；
（2）∵y=x2+2ax+a−3=(x+a) 2−a2+a−3，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=−a时，y有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵y=x2+2ax+a−3=(x+a) 2−a2+a−3，
∴当x=−a时，y有最小值为−a2+a−3，
即：y =−a2+a−3=− ( a− 1) 2 − 11 ，
min 2 4
1 11
∴当a= 时，y 有最大值，为− ．
2 min 4
5．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，
1 2
且x ）：
x +x ________x +x ； x −x ________x −x ； x +x ________x +x ．
1 2 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4
①(2)若x =1，2；
(2)−4x −x ，利用不等式性质变形，即①可判断 ．
1 3 4 2 2 1 4 3
（2）根据题意得到30；当x=0
2 4 2
9
时，y=c，当x=1时，y=1+b+c，由y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为 ，分以下三种情况：
16
当在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时， 当在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时， 当在
①x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式②求解，即可解题． ③
【详解】（1）解：∵ y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0)，(x ,0)，且x x −x ，
2 1 4 3
∴ x −x >x −x ，即 x −x < x −x ；
2 4 1 3 1 3 2 4
∴ x +x >x +x ，即 ② x +x > x +x ．
2 3 1 4 2 3 1 4
故答案为；=；<；>；
③
（2）解：∵ x =1，20；
2
当x=0时，y=c，
当x=1时，y=1+b+c，
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b
当− ≥1，则b≤−2，
2
①
那么，在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时，
9 25
有c−(1+b+c)= ，解得b= − （不符合题意，舍去）；
16 16
1 b
当 ≤− <1，解得−20，从而可知m=1，把m=1代入二次函数可得二次函数的解析式为：
( 1) 2 3 3
y= x− + ，利用二次函数的性质可知二次函数有最小值 ．
2 4 4
【详解】解：∵二次函数y=x2−mx+3m2−2m（m为常数）的图象经过点(0,1)，
∴3m2−2m=1，
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分解因式得：(3m+1)(m−1)=0，
1
解得：m=− 或m=1，
3
b −m 1
二次函数y=x2−mx+3m2−2m的对称轴为x=− =− = m，
2a 2×1 2
∵对称轴在y轴右侧，
1
∴ m>0，
2
∴m>0，
∴m=1，
∴二次函数的解析式为y=x2−x+1，
( 1) 2 3
整理得：y= x− + ，
2 4
3
∴二次函数有最小值，最小值为 ．
4
故选：D．
2．（2025·浙江·模拟预测）当a>0时，二次函数y=ax2+(b−2)x+8有最小值，记作m，随着a,b的变化，
m的最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握非负数的性质是解题的关键．
先求出顶点坐标，再根据非负数的性质求解．
【详解】解：∵a>0，
b−2
∴当x=− 时，y取最小值，
2a
8×4a−(b−2) 2 (b−2) 2
∴m= =− +8，
4a 4a
∵(b−2) 2≥0,a>0，
(b−2) 2
∴− ≤0，
4a
(b−2) 2
∴− +8≤8，
4a
∴当b=2时，m取最大值8，
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故选：A．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知a−c=3(a−b)=3k，则关于(b−c) 2+4k的最值，下列说法正确的是
（ ）
A．有最小值1 B．有最小值−1 C．有最大值1 D．有最大值−1
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据a−c=3(a−b)=3k，求出b−c=2k，将(b−c) 2+4k转化为二
次函数求最值即可．
【详解】解：∵a−c=3(a−b)=3k，
∴a−c=3k，a−b=k，
∴b−c=2k，
∴(b−c) 2+4k=4k2+4k=4 ( k+ 1) 2 −1，
2
1
∴当k=− 时，(b−c) 2+4k有最小值−1，
2
故选B．
4．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数y=x2−2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为
（ ）
A．3 B．−1或3 C．−3或1 D．−3或3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图象上点的特征找出
y=6时自变量x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的特征找出y=6时自变量x的值，结合
a≤x≤a+2时，函数值y的最小值为1，可得到关于a的一元一次方程，解即可．
【详解】解：∵y=x2−2x+3=(x−1) 2+2，
∴二次函数y=x2−2x+3图象的顶点坐标为(1,2)，
∴二次函数y=x2−2x+3在实数范围内的最小值为2，
令y=6，则x2−2x+3=6，
解得：x =3，x =−1，
1 2
∵ a≤x≤a+2时，函数值y的最小值为6，
∴ a=3或a+2=−1，
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∴ a=3或a=−3．
故选：D．
5．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数y=mx2−2mx+3（m为常数，且m≠0），当−1≤x≤2时，
该二次函数有最小值2，则m的值是（ ）
1 1 1
A．1 B． C．1或− D．1或
3 3 3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线x=1，再分两种情况：当m>0
时，当m<0时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解
此题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=mx2−2mx+3，
−2m
∴二次函数的对称轴为直线x=− =1，
2×m
∵当−1≤x≤2时，该二次函数有最小值2，
∴当m>0时，当x=1时，y=2，
∴m−2m+3=2，
解得：m=1；
当m<0时，对称轴为直线x=1，
故当x=−1时，y取得最小值为2，
∴m+2m+3=2，
1
解得：m=− ；
3
1
综上所述，m的值为1或− ，
3
故选：C．
6．（2025·天津河东·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的顶点为P，且与x轴相交
于A(x ,0),B(x ,0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,O为坐标原点．
1 2
(1)若x ，x 是方程x2−2x−3=0的两个根，c=3，求该抛物线顶点P的坐标；
1 2
b2 b
(2)若a=−1,b>0,c=4− ，且当 −1≤x≤b+1时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求b的值；
4 2
3√6+3√2
(3)若x +x =−2,x ⋅x =−3，点D是△AOC内的一点，当AD+CD+OD取得最小值 时，求
1 2 1 2 2
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a的值．
【答案】(1)(1,4)
(2)b=4；
(3)a=−1．
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）先根据一元二次方程根，再根据待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线一般式化成顶点式即可
得出点P的坐标．
（2）先得出抛物线解析式，得出抛物线顶点坐标，再根据二次函数的最大值与最小值之差为9列出关于b
的方程求解即可．
（3）先求出A(−3，0)，C(0，−3a)，再分类当a>0和当a<0两种情况，分别画出图形，利用轴对称
的性质得出当C、D、A'共线时，AD+OD+CD最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：解：∵x ，x 是x2−2x−3=0的两个根，
1 2
∴x =−1，x =3，
1 2
∴A(−1，0)，B(3，0)
∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，
∴¿，
解得¿，
∴抛物线函数表达式为y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
则该抛物线顶点P的坐标为(1，4)；
（2）解：∵a=−1，c=4− b2 ，y=−x2+bx+4− b2 =− ( x− b) 2 +4
4 4 2
(b )
∴抛物线的顶点是 ，4 ，
2
∵b>0，
b b
∴ −1≤ ≤b+1，
2 2
∴y最大值为4，
| b| |(b ) b| b
又 (b+1)− − −1 − = >0，
2 2 2 2
b2
∴当x=b+1时，y最小值为=− −b+3，
4
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∵该二次函数的最大值与最小值之差为9，
(
b2
)
∴4− − −b+3 =9，
4
∴b=−8（舍去）或b=4，
∴b=4；
（3）解：∵x +x =−2，x ⋅x =−3，
1 2 1 2
可得y=ax2+2ax−3a，
∴b=2a，c=−3a
A(−3，0)，C(0，−3a)，
当a>0时，如图，
将△AOD绕点O顺时针旋转60∘至△A'OD'，连接A'C，
作A'E⊥CO于E，
∴OD'=OD，AD'=AD，
∴△DOD'是等边三角形，
∴DD'=OD，
∴AD+OD+CD=AD'+DD'+CD≥A'C，
∴当C、D、A'共线时，AD+OD+CD最小，
在Rt△A'OE中，
∠A'OE=30∘，OA'=AO=3，
3 √3 3√3
∴A'E= ，OE= A'O= ，
2 2 2
∵A'C2=CE2+A'E2，
( 3√3) 2 (3) 2 (3√6+3√2) 2
∴ 3a+ + = ，
2 2 2
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∴a =1，a =−(√3+1)（舍去），
1 2
∴a=1．
当a<0时，如图，
将△AOD绕点O逆时针旋转60∘至△A'OD'，
连接A'C，作A'F⊥CO于F，
∴OD'=OD，AD'=AD，
∴△DOD'是等边三角形，
∴DD'=OD，
∴AD+OD+CD=AD'+DD'+CD≥A'C，
∴当C、D、A'共线时，AD+OD+CD最小，
在Rt△A'OF中，
∠A'OF=30∘，OA'=AO=3，
3 √3 3√3
∴A'F= ，OF= A'O= ，
2 2 2
∵A'C2=CF2+A'F2，
( 3√3) 2 (3) 2 (3√6+3√2) 2
∴ −3a+ + =
2 2 2
∴a =−1，a =√3+1（舍去），
1 2
∴a=−1．
【题型三】二次函数与x轴交点问题
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求二次函数 的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x
的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的交
点的个数，它们的关系如下表：
【中考真题】
1．（2023·河北·中考真题）已知二次函数y=−x2+m2x和y=x2−m2（m是常数）的图象与x轴都有两个
交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2 B．m2 C．4 D．2m2
【答案】A
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
【详解】解：令y=0，则−x2+m2x=0和x2−m2=0，
解得x=0或x=m2或x=−m或x=m，
不妨设m>0，
∵(m，0)和(−m，0)关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴(m2，0)与原点关于点(m，0)对称，
∴2m=m2，
∴m=2或m=0（舍去），
m2
∵抛物线y=x2−m2的对称轴为x=0，抛物线y=−x2+m2x的对称轴为x= =2，
2
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．（2023·湖南·中考真题）已知m>n>0，若关于x的方程x2+2x−3−m=0的解为x ,x (x n>0，关于x的方程x2+2x−3−m=0的解为x ,x (x ；当M= 时， M< ．
2 2 2 2
b
【分析】（1）由对称轴为直线x=− 直接求解；
2a
3+√13 √13 3−√13 √13
（2）当M= 时，M> ；当M= 时， M< ．
2 2 2 2
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3
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx−1的对称轴是直线x= ，
2
b 3
∴− = ，
2×1 2
∴b=−3；
（2）解：∵m是抛物线y=x2+bx−1与x轴交点的横坐标，
∴m 2−3m−1=0，
❑
∴m2−1=3m，
∴m4−2m2+1=9m2，
∴m4=11m2−1，
而m2=3m+1
代入得：m4=11(3m+1)−1=2=33m+10，
∴m5=m⋅m4=(33m+10)m=33m2+10m=33(3m+1)+10m=109m+33，
m5−33 109m+33−33
∴M= = =m，
109 109
∵m 2−3m−1=0，
❑
3±√13
解得：m= ，
2
3+√13 √13 3+√13 √13 3
当M=m= 时，M− = − = >0
2 2 2 2 2
√13
∴M> ；
2
3−√13 √13 3−√13 √13 3−2√13
当M=m= 时，M− = − = <0，
2 2 2 2 2
√13
∴M< ．
2
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解
题的关键是对m5进行降次处理．
【模拟训练】
1．（2025·湖北襄阳·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c顶点为(1,m)，经过点(−1,0)，下列结论正确的是
（ ）
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A．b2−4ac−3a
C．c>m D．关于的方程ax2+bx+c=m+1无实数解
【答案】D
【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的
性质，根据二次函数的性质逐一排除即可，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题
的关键．
【详解】解：A、根据图象可知二次函数图象与x轴有两个不同交点，
∴b2−4ac>0，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b2−4ac>a，原选项错误，不符合题意；
B、∵顶点坐标为(1,m)，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
∵抛物线过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a−(−2a)+c=0，
∴c=−3a，原选项错误，不符合题意；
C、∵顶点坐标为(1,m)，且开口向下，
∴当x=1时有最大值为m，
∴当x=0时，y=cm，即y=ax2+bx+c与y=m+1无交点，
∴关于的方程ax2+bx+c=m+1无实数解，原选项正确，符合题意；
故选：D．
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2．（2025·河北保定·二模）已知抛物线y=x2+2x−4与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)，则(a+1)(b+1)的值
为（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．7
【答案】A
【分析】根据韦达定理可知a+b=−2，ab=−4，然后将其代入所求的代数式求值即可．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程
的根与系数的关系，难度不大．
【详解】解： 由抛物线y=x2+2x−4与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)，
知a+b=−2，ab=−4．
∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=−4−2+1=−5．
故选：A．
3．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−1与x轴相交于点A，B，点
C在抛物线上，其坐标为(−2,−1)，若AB=6，则点B的坐标为（ ）
A．(−3,0) B．(3,0) C．(−2,0) D．(2,0)
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点的性质，根与系数的关系（韦达定理）以及两点间距离公式的应用
和解一元二次方程．
先将点C的坐标代入y=ax2+bx−1得到关于a，b的关系式b=2a，再利用根与系数的关系得到
(b) 2 4
+ =36，然后将b=2a代入求出a，b的值，从而得出抛物线表达式，最后令y=0得到一元二次方程
a a
1 1
x2+ x−1=0，解方程便可得到抛物线与x轴的交点坐标即可．
8 4
【详解】解：将点C(−2,−1)代入抛物线y=ax2+bx−1，得：(−2) 2a+(−2)b−1=−1，
化简得：4a−2b=0，即b=2a，
设抛物线y=ax2+bx−1与x轴交点A(x ,0)，B(x ,0)，则：
1 2
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b 1
x +x =− ，x x =− ，
1 2 a 1 2 a
∵AB=6，
∴|x −x |=6，即(x −x ) 2=36，
1 2 1 2
∵(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x ，
1 2 1 2 1 2
(b) 2 4
∴ + =36，
a a
(b) 2 4 4
将b=2a代入 + =36得：4+ =36，
a a a
4 1
化简得： =32，解得a= ，
a 8
1 1
∴b=2a=2× = ，
8 4
1 1
∴y= x2+ x−1，
8 4
1 1
令y=0，得 x2+ x−1=0，整理得：x2+2x−8=0，
8 4
解得：x =2，x =−4，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为A(−4,0)，B(2,0)．
故选： D．
4．（2025·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，若抛物线y=−x2+2x+3与直线y=m（m为正整数）有
两个交点，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式．令−x2+2x+3=m，将
其整理，并根据抛物线与直线有两个交点，可知Δ>0，再求解即可．
【详解】解：令−x2+2x+3=m，
即x2−2x−3+m=0，
∵抛物线y=−x2+2x+3与直线y=m（m为正整数）有两个交点，
∴Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×(−3+m)>0，
∴m<4，
则m的值可以是1．
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故答案为：1（答案不唯一）．
5．（2025·辽宁·一模）一次函数y=2x+5与抛物线y=2x2−4x+3的交点个数为 个．
【答案】2（或“两”）
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程2x+5=2x2−4x+3的Δ的值，据此即可
判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键．
【详解】解：联立方程组¿，
化简得x2−3x−1=0，
∴Δ=(−3) 2−4×(−1)=13>0，
∴方程有2个不等的实数根，
∴一次函数y=2x+5与抛物线y=2x2−4x+3的交点个数为2个，
故答案为：2．
3
6．（2025·云南保山·模拟预测）已知二次函数y=x2+bx−10图象的对称轴是x=− ．
2
(1)求二次函数的解析式；
25
(2)设直线y=2x+7与抛物线y=x2+bx−10交点的横坐标为m，求代数式(m+4) 2+
的值．
(m+4) 2
【答案】(1)y=x2+3x−10
(2)59
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，完全平方公式等知识，掌握知识点的应
用是解题的关键．
（1）直接根据二次函数的对称轴即可求解；
（2）先根据题意转化为一元二次方程m2+m−17=0(m≠−4)，然后通过配方得出
(m+4) 2−7(m+4)−5=0，最后由完全平方公式即可求解．
3
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx−10图象的对称轴是x=− ，
2
b 3
∴− =− ，
2×1 2
∴b=3，
∴二次函数的函数解析式为y=x2+3x−10；
（2）解：由¿得x2+x−17=0，
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∵直线y=2x+7与抛物线y=x2+bx−10交点的横坐标为m，
∴m2+m−17=0(m≠−4)，
∴m2+8m+16−7m−28−5=0，
∴(m+4) 2−7(m+4)−5=0，
5
∴(m+4)− =7，
m+4
2
[ 5 ]
∴ (m+4)− =49，
m+4
25
∴(m+4) 2+ −10=49，
(m+4) 2
25
∴(m+4) 2+ =59．
(m+4) 2
【题型四】二次函数与不等式
二次函数 与一元二次不等式 及
之间的关系如下( ）：
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【中考真题】
1．（2023·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为
(1,0)，对称轴为直线x=−1，下列四个结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③3a+c=0；④当−30，c<0，根据对称轴为直线x=−1可得
b=2a>0，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，进而得到当x=−2时，
y<0，由此即可判断②；根据x=1时，y=0，即可判断③；利用图象法即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴a>0，c<0，
∵二次函数的对称轴为直线x=−1，
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b
∴− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∴abc<0，故①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0)，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，
∴当x=−2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，故②正确；
∵x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故③正确；
由函数图象可知，当−32 D．−10，
∴0y ，求a的取值范围．
1 2 1 2
【答案】(1)(0,0)和(2,0)
(2)a>1或a<0
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式，解题的关键是掌握相关知识．
（1）当a=1时，y=x2−2x，令y=0，求出x，即可求解；
（2）根据不等式的性质可得：3−2my 总成立，
1 2 1 2
y −y =a(x −x )(x +x −2a)>0总成立，分两种情况：①a>0时，②a<0时，结合不等式的性质求解
1 2 1 2 1 2
即可．
【详解】（1）解：当a=1时，y=x2−2x，
令y=0，x2−2x=0，
解得：x =0，x =2，
1 2
∴求抛物线与x轴交点的坐标为(0,0)和(2,0)；
（2）∵2≤m≤4，
∴3≤m+1≤5，−5≤3−2m≤−1
∴3−2my 总成立，
1 2
∴y −y =a(x −x )(x +x −2a)>0总成立，
1 2 1 2 1 2
①a>0时，
∵x 1；
②a<0时，
∵x 0总成立，即4−m>2a，
1 2
∴4−4>2a成立即可，
∴a<0，
综上所述，a>1或a<0．
6．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)，函数y与自变
量x的部分对应值如表：
x … −1 0 1 2 3 4 …
y … 10 m 2 1 2 5 …
(1)直接写出m的值______；
(2)求出函数表达式；
(3)直接写出关于x的不等式ax2+bx+c>x−1的解集：______．
【答案】(1)5
(2)y=(x−2) 2+1
(3)x<2或x>3.
【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线x=2，则当x=4和x=0时，函数值相等，
从而确定m的值；
（2）设顶点式y=a(x−2) 2+1，然后把(0,5)代入求出a即可；
（3）先确定抛物线y=ax2+bx+c和直线y=x−1的交点坐标为(2,1)，(3,2)，然后利用函数图象，写出抛
物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点(1,2)，(3,2)，
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1
∴抛物线的对称轴为直线x= ×(1+3)=2，
2
∴当x=4和x=0时，函数值相等，
∵x=4时，y=5，
∴m=5；
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为(2,1)，
∴抛物线解析式可设为y=a(x−2) 2+1，
把(0,5)代入得5=4a+1，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x−2) 2+1；
（3）解：联立¿，
解得：¿或¿，
∴抛物线y=(x−2) 2+1和直线y=x−1的交点坐标为(2,1)，(3,2)，
如图，当x<2或x>3时，二次函数的图象在一次函数图象的上面，
∴关于x的不等式ax2+bx+c>x−1的解集为x<2或x>3．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较
两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求二次函数解
析式．
【题型五】二次函数与实际问题
1）二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点
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坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的
模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关
键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
【中考真题】
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t
（单位：s）之间的关系式是h=30t−5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
小球从抛出到落地需要6s； 小球运动中的高度可以是30m； 小球运动2s时的高度小于运动5s时的
①高度．其中，正确结论的个数是②（ ） ③
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令h=0解方程即可判断 ；配方成顶点式即可判断 ；把t=2
和t=5代入计算即可判断 ． ① ②
【详解】解：令h=0，则③30t−5t2=0，解得：t =0，t =6，
1 2
∴小球从抛出到落地需要6s，故 正确；
①
∵h=30t−5t2=−5(x−3) 2+45，
∴最大高度为45m，
∴小球运动中的高度可以是30m，故 正确；
当t=2时，h=30×2−5×22=40；当②t=5时，h=30×5−5×52=25；
∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故 错误；
故选C． ③
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F
同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F
也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(04时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：
∴EF=EH=√2x，BE=12−x，
在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2，
∴(√2x) 2+(√2x) 2=(12−x) 2，
∴x=4，
∴当00，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当HG在BC下方时，设AE=x，由题可得：
∴EF=√2x，BE=12−x，
∵∠AEF=∠B=45°，∠A=∠EOB=90°,
∴△FAE∽△EOB，
AE EO
∴ = ，
EF EB
x EO
∴ = ，
√2x 12−x
12−x
∴EO= ，
√2
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12−x
∴当42.4
∴当y=2.4km时，
1
则− x+8.1=2.4
2
解得x=11.4
11.4−3=8.4(km)
∴这两个位置之间的距离8.4km．
（2）解：当水平距离超过15km时，
火箭第二级的引发点为(9,81a+9)，
1
将(9,81a+9)，(15,0)代入y=− x+b，得
2
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1 1
81a+9=− ×9+b，0=− ×15+b
2 2
2
解得b=7.5，a=−
27
2
∴− 0)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．
x
(1)求m，k的值；
k
(2)点P为反比例函数y= (k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P
x
作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，
并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)m=2，k=8
9 ( 8)
(2)S 最大值是 ，此时P 3,
△PMN 2 3
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数表达式，把D的坐标代入直线AB的函数
表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM=QP，设点P的坐
( 8) 1
标为 t, ，(24时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：
∴EF=EH=√2x，BE=12−x，
在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2，
∴(√2x) 2+(√2x) 2=(12−x) 2，
∴x=4，
∴当00，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当HG在BC下方时，设AE=x，由题可得：
∴EF=√2x，BE=12−x，
∵∠AEF=∠B=45°，∠A=∠EOB=90°,
∴△FAE∽△EOB，
AE EO
∴ = ，
EF EB
x EO
∴ = ，
√2x 12−x
12−x
∴EO= ，
√2
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12−x
∴当42.4
∴当y=2.4km时，
1
则− x+8.1=2.4
2
解得x=11.4
11.4−3=8.4(km)
∴这两个位置之间的距离8.4km．
（2）解：当水平距离超过15km时，
火箭第二级的引发点为(9,81a+9)，
1
将(9,81a+9)，(15,0)代入y=− x+b，得
2
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1 1
81a+9=− ×9+b，0=− ×15+b
2 2
2
解得b=7.5，a=−
27
2
∴− 0)的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E．
x
(1)求m，k的值；
k
(2)点P为反比例函数y= (k≠0,x>0)图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P
x
作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，
并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)m=2，k=8
9 ( 8)
(2)S 最大值是 ，此时P 3,
△PMN 2 3
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数表达式，把D的坐标代入直线AB的函数
表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出QM=QP，设点P的坐
( 8) 1
标为 t, ，(225，
3.6
故有碰撞危险，建议司机降低车速保持安全距离．
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