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专题 12 圆压轴
目 录
题型01 与圆有关的多结论问题（选/填）
题型02 与圆有关的平移问题
题型03 与圆有关的翻折问题
题型04 与圆有关的旋转问题
题型05 与圆有关的最值问题
题型06 与圆有关的动点问题
题型07 与圆有关的新定义问题
题型08 阿氏圆
题型09 圆、几何图形、锐角三角函数综合
题型10 与圆有关的阅读理解问题
题型11 与圆有关的存在性问题
题型12 与圆有关的定值问题.
（时间：60分钟）
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题型 01 与圆有关的多结论问题（选/填）
1．（2023·河北保定·模拟预测）如图，在△ABC中，BC=10，点O为AB上一点，以5为半径作⊙O分别
与BC，AC相切于D，E两点，OB与⊙O交于点M，连接OC交⊙O于点F，连接ME，FE，若点D为
BC的中点，给出下列结论：①CO平分∠ACB；②点E为AC的中点；③∠AME=22.5°；④M´F的长度
5
为 π．其中正确结论的个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·山东济宁·一模）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2．将扇形OAB沿过点B的
直线折叠，点O恰好落在A´B上点D处，折痕交OA于点C，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，
连接OP，PE，DP，过点D作DF⊥BC于点F，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形
S 1 4√3
COPD为菱形，② △CDF = ，③ OP+PE的最小值为√3，④阴影部分面积为π− ，正确的是
S 3 3
△OCB
（填序号）．
3．（2023·广东广州·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，
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∠ACD+∠BCD=180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列
结论正确的是 ．①∠AOD=2∠BAD；②∠DAC=∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE=4，
EC=1，则BC=3．
题型 02 与圆有关的平移问题
4．（2023·广东深圳·一模）如图1，平行四边形ABCD中，AD=2√3，DC=4√3，∠D=60°，点M在
BC延长线上且CM=CD，EF为半圆O的直径且FE⊥BM，FE=6，如图2，点E从点M处沿MB方向
运动，带动半圆O向左平移，每秒√3个单位长度，当点F与点D重合时停止平移，如图3，停止平移后半
圆O立即绕点E逆时针旋转，每秒转动5°，点F落在直线BC上时，停止运动，运动时间为t秒．
(1)如图1，BF= ；
(2)如图2，当半圆O与DC边相切于点P，求EM的长；
(3)如图3，当半圆O过点C，EF与DC边交于点Q，
①求EF平移和旋转过程中扫过的面积；
②求CQ的长；
√3 √2
(4)直接写出半圆O与平行四边形ABCD的边相切时t的值．（参考数据：sin35°= ，tan35°= ）
3 2
5．（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定
在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
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方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B' A'，设小棒扫过区域的面积为S (即图中灰色区域的面积，下同)；
1
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到
B' A'，设小棒扫过区域的面积为S ．
2
(1)①S =______，S =______；(结果保留π)
1 2
②比较S 与S 的大小．(参考数据：π≈3.14，√3≈1.73．)
1 2
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三
次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为S ，求S ．
3 3
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S 小于S ，画出示意图并说明理由．
4 3
6．（2023·福建厦门·一模）点O是直线MN上的定点，等边△ABC的边长为√3，顶点A在直线MN上，
△ABC从O点出发沿着射线OM方向平移，BC的延长线与射线ON交于点D，且在平移过程中始终有
∠BDO=30°，连接OB，OC，OB交AC于点P，如图所示．
(1)以O为圆心，OD为半径作圆，交射线OM于点E．
①当点B在⊙O上时，求B´E的长；
②⊙O的半径为r，当△ABC平移距离为2r时，判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)在平移过程中，是否存在OC=OP的情形？若存在，请求出此时点O到直线BC的距离；若不存在，请
说明理由．
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题型 03 与圆有关的翻折问题
7．（2023·安徽淮南·一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．
(1)如图①，将A´C沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=2√3，则⊙O的半径为 ；
(2)如图②，将B´C沿弦BC翻折，交AB于D，把B´D沿直径AB翻折，交BC于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的B´D的中点，则∠B的度数为 ；
（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．
4
8．（2022·河北保定·一模）Rt△ABC，∠C=90°，BC=6，tanB= ，E，F分别在AC，BC边上，且
3
EF=5，将△EFC沿EF翻折至△EFC'位置．以EF为直经作半⊙O；
(1)CF=3时，CC'=_________，O到AB的距离=________；
(2)若以F，C，E为顶点的三角形与△ABC相似，求CF的长；
(3)在（2）的条件下，求点O到AB的距离；
(4)△EFC的面积最大是_______．
(5)直接写出半圆O过△ABC的外心时，CF的值．
9．（2021·贵州黔西·模拟预测）如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦．CD=4√3，AB与CD交于点
E，将C´D沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长BA至P，使AP=OA，连接PC．
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(1)求⊙O的半径；
(2)求证：PC是⊙O的切线；
(3)点N为AD´ B的中点，在PC延长线上有一动点M，连接MN交AB于点G．交B´C于点F（F与B、C不
重合）．求NG⋅NF的值．
题型 04 与圆有关的旋转问题
10．（2023·江苏常州·一模）如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB'C'的位置，
那么可以得到：AB=AB'，AC=AC'，BC=B'C'，∠BAC=∠B' AC'，∠ABC=∠AB'C'，
∠ACB=∠AC'B'．（___________）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着
“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
(1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：________________；
(2)如图2，将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A'B'C'
的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB'=6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为______________cm；
(3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在
弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如
图3)？
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11．（2023·广东云浮·二模）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB=AC，BC=8，点D为优弧BDC
4
上的动点，且cos∠ABC= ．
5
(1)如图1，若∠BCD=∠ACB，延长DC到F，使得CF=CA，连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
(2)如图2，若∠BCD的角平分线与AD相交于E，求⊙O的半径与AE的长；
(3)如图3，将△ABC的BC边所在的直线l 绕点A旋转得到l ，直线l 与⊙O相交于M，N，连接
1 2 2
AM，AN．l 在运动的过程中，AM⋅AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规
2
律．
12．如图1，已知∠ABC=60°，点O在射线BC上，且OB=4．以点O为圆心，r(r>0)为半径作⊙O，
交直线BC于点D，E．
(1)当⊙O与∠ABC只有两个交点时，r的取值范围是________．
(2)当r=2√2时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转α(0°<α<180°)．
①若BA与⊙O相切，求α的度数为多少；
②如图2，射线BA与⊙O交于M，N两点，若MN=OB，求阴影部分的面积．
题型 05 与圆有关的最值问题
13．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，P点
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为劣弧B´C上一个动点，且A(−1,0)、E(1,0)．
(1)B´C的度数为 °；
(2)如图2，连结PC，取PC中点G，则OG的最大值为 ；
(3)如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
PC+PD
(4)如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证： 为定值，并求出这个
PA
定值．
14．（2024·湖南怀化·一模）已知正方形ABCD和正方形EFGH按图1所示叠放在一起，其中AB=4，
EF=2，点O为AB和EF的中点．
(1)图2中正方形EFUV为图1中正方形EFGH关于直线AB的轴对称图形，求点D和点U的连结线段DU
的长度；
(2)将图1中的正方形EFGH绕点O旋转，如图3所示，求运动过程中点D和点G之间距离的最大值和最
小值．
15．（2023·云南昭通·二模）如图1，在四边形ABCD中，AD=CD=6√3，∠B=60°，以AB为直径所
作的⊙O经过点C，且与AD相切于A点，连接AC．
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(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)⊙E是△ACD的外接圆，不与A、D重合的点F在⊙E的劣弧AD上运动（如图2所示）．若点P、Q
分别为线段AC、CD上的动点（不与端点重合），当点F运动到每一个确定的位置时，△FPQ的周长有最
小值m，随着点F的运动，m的值也随之变化，求m的最大值．
16．（2024·陕西西安·二模）（1）如图1，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=12，若⊙O
的半径为2，点P在⊙O上，M是线段AB上一动点，连接PM，求线段PM的最小值，并说明理由．
新定义：在平面直角坐标系中，已知点M为定点，对点A给出如下定义，在射线AM上，若MN=k⋅MA
（k>0，且k为整数），则称N是点A是关于点M的“k倍点”．
（2）如图2，点A是半径为1的⊙O上一点，且M(3,1)，N是点A关于点M的“二倍点”，P为直线
y=√3x上一点，是否存在点P，使得线段PN最小；若存在，请求出PN的最小值，并直接写出此时N点
的坐标；若不存在，请说明理由．
题型 06 与圆有关的动点问题
17．（2024·辽宁大连·一模）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边中点，点E为线段DC
上一动点，过点A，D，E作⊙O分别交AB，AC于点F，G，连接FG，DG．
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(1)求证：∠B=∠DGF；
(2)已知：BC=24，∠B=30°，当四边形BDGF为平行四边形时，请补全图2，并求出DE的长．
18．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点M是直径AB上的一个动点，过
点M的弦CD⊥AB，交⊙O于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，
交⊙O于点G．
图1 图2 备用图
(1)如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若
∠PGC=∠MDE，求证：PG是⊙O的切线；
(2)在点M运动的过程中，DE=kDF（k为常数），求k的值；
(3)如图2，连接BG、OF、MF，当△MOF是等腰三角形时，求∠BGD的正切值．
19．（2023·山东烟台·模拟预测）直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，
直角边AC与⊙O相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．
(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
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(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．
①AD=3,PD=1，则AB=______；PQ=______；
②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=√3QD．
题型 07 与圆有关的新定义问题
20．（2024·上海杨浦·一模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个
点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H
与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题：
已知直线OA外有一点P，PA⊥OA，OA=4，AP=2，圆M是点P与直线OA的点切圆．
(1)如果圆心M在线段OP上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）．
(2)如图2，以O为坐标原点、OA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，点P在第一象限，设圆心M
的坐标是(x,y)．
①求y关于x的函数解析式；
②点B是①中所求函数图象上的一点，连接BP 并延长交此函数图象于另一点C．如果CP:BP=1:4，求
点B的坐标．
21．（2024·湖南长沙·一模）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
(1)若 ▱ABCD是圆的“奇妙四边形”，则 ▱ABCD是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
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(2)如图1，已知⊙O的半径为R，四边形ABCD是⊙O的“奇妙四边形”．求证：AB2+CD2=4R2；
(3)如图2，四边形ABCD是“奇妙四边形”，P为圆内一点，∠APD=∠BPC=90°，∠ADP=∠PBC，
AP
BD=4，且AB=√3DC．当DC的长度最小时，求 的值．
DP
22．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和点C给出如
下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
(1)如图，点A(−1,0)，B 、B 分别为过A、O点的线段与⊙O的交点．
1 2
①在点C (−1，1)，C (−1，2)，C (0，2)中，弦AB 的“关联点”是 ；
1 2 3 1
②若点C是弦AB 的“关联点”，则AC的长为 ；
2
(2)已知点M在y正半轴上，N在x正半轴上，若对于线段MN上任一点S，都存在⊙O的弦PQ，使得点S
4√2
是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，t的取值范围为 √3≤t≤ ，求出
3
此时MN所在直线表达式．
23．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如
下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线
段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的
“关联线段”．
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(1)如图2，点A ，B ，A ，B ，A ，B 的横、纵坐标都是整数．
1 1 2 2 3 3
①在线段A B ，A B ，A B 中，⊙O的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是______；
1 1 2 2 3 3
②若线段A B ，A B ，A B 中，存在⊙O的关于直线y=−x+m对称的“关联线段”，则m=______；
1 1 2 2 3 3
(2)已知y=−√3x+b(b>0)交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=√2．若线段AB是⊙O的关于直线
y=−√3x+b(b>0)对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
题型 08 阿氏圆
1
24．（2023·山东济南·一模）抛物线y=− x2+(a−1)x+2a与x轴交于A(b,0)，B(4,0)两点，与y轴交
2
于点C(0,c)，点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
S 1
(2)如图1，连接BC、AP，交点为M，连接PB，若 △PMB = ，求点P的坐标；
S 4
△AMB
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，
3
旋转角为α(0°<α<90°)，连接E'B，E'C，求E'B+ E'C的最小值．
4
1 3
25．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2− x−4与x轴交于A、B两点，
4 2
与y轴交于点C．
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(1)求点A、B、C的坐标；
1
(2)如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出 CP+BP的
2
最小值．
√5 √5
26．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 y= x2− x−2√5分别交x轴于点A，B（点A在点B
4 2
的左侧）， 交y轴于点C．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)以B为圆心， 3 为半径作圆．
①如图1，连接AC，P是线段AC上的动点， 过点P作⊙B的一条切线PM（点M为切点）， 求线段
PM的最小值；
1
②如图2，点D为抛物线的顶点， 点Q在圆B上，连接CQ，DQ， 求DQ− CQ的最大值．
2
1
27．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+bx+3的对称轴是直线x=2，
4
与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段
CM=CD时，求点M的坐标；
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(3)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．
题型 09 圆、几何图形、锐角三角函数综合
28．（2024·湖南长沙·一模）如图1，点A,B,C在圆O上运动，满足AB2=BC2+AC2，过点A的切线交
BC延长线于点D．
(1)求证：∠DAC=∠CBA；
(2)记△ABC,△ACD,△ABD的面积为S ,S ,S，若√S=2√S −√S ，求tanD；
1 2 1 2
(3)如图2，点Q是线段BC上一动点（Q不与B,C重合），QP⊥AD于P，交AC于点M．若tanD=√2，
CQ √ 1 1
设 =x，且y=PD⋅ + ，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
BC DQ⋅DC AM⋅AC
29．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，点E是边AD上一点，且
AE=3，点F在边AB上，过点B、F、E作圆O，交边BC或其延长线于G，连接BE，GE，GF，设
BF=x(0AB．M是
ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是ABC的中点，
∴MA=MC．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC上一点，∠ABD=15°．CE⊥BD于点E，CE=3
，连接AD，求△DAB的周长．
34．（2023·河南新乡·三模）阅读下列材料，并完成相应学习任务：
我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过
探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程：
已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：过点A、B、C、D可作一个圆．
证明：假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，设过点A、B、D三点作出的圆为⊙O．分两种情况讨
论．
①如图（1），若点C在⊙O内．延长DC交⊙O于点E，连接BE．
∵ ∠BCD是△BCE的外角，
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∴ ∠BCD>∠E．
∵ ∠A+∠E=180°，∠A+∠BCD=180°，
∴ ∠E=∠BCD，与∠BCD>∠E矛盾，
②如图（2），若点C在⊙O外．设CD交⊙O于点E，连接BE．
∵ ∠BED是△BCE的外角，
∴ ∠BED>∠C．
∵ ∠A+∠C=180°，∠A+∠BED=180°，
∴ ∠BED=∠C，与∠BED>∠C矛盾．
综上可知，假设不成立，故过点A、B、C、D可作一个圆．
学习任务：
(1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______．
(2)应用上述结论，解决以下问题：
如图（3），在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，对角线AC，BD交于点E．
①若∠ACB=25°，求∠ADB的度数；
②若BE=5，AD=CD=6，求DE的长．
题型 11 与圆有关的存在性问题
35．（2024·山东淄博·一模）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在边BC上，以O为圆心
BO为半径作⊙O，⊙O与射线BD的另一个交点为E，直线CE与射线AD交于点F．
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(1)设BO=x，BE= y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(2)如图2，连接AO，当AO∥CE时，请求出⊙O的半径；
(3)如果射线EC与⊙O的另一个交点为Q，连接OQ，问是否存在△COQ为直角三角形，若存在，请直接
写出Rt△COQ的面积；若不存在，请说明理由．
36．（2023·四川达州·模拟预测）如图，抛物线y=(x+1)(x−a)（其中a>1）与x轴交于A，B两点，交y
轴于点C．
(1)直接写出线段AB的长（用a表示）；
(2)若⊙D为△ABC的外接圆，且△BCD与△ACO的面积之比为5:8，求此抛物线的解析式，并求出点D
的坐标；
(3)在（2）的前提下，试探究抛物线y=(x+1)(x−a)上是否存在一点P，使得∠CAP=∠DBA？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
PA
37．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知平面上有两个定点A、B，则平面上满足 =k（k是不为1的常
PB
PA 1
数）的动点P形成一个圆，我们把这样的圆叫做定比圆，如图点A(−2,0)、B(6,0)，且满足 = ，设
PB 3
动点P形成的定比圆为圆M．
(1)求圆M的圆心坐标和半径；
(2)圆M上是否存在P，使△PAB为直角三角形，若存在求出点P坐标；
(3)若点Q的坐标为(2,3)，求3PQ+PB的最小值．
38．（2024·陕西西安·二模）（1）如图1，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=12，若⊙O
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的半径为2，点P在⊙O上，M是线段AB上一动点，连接PM，求线段PM的最小值，并说明理由．
新定义：在平面直角坐标系中，已知点M为定点，对点A给出如下定义，在射线AM上，若MN=k⋅MA
（k>0，且k为整数），则称N是点A的“k倍点”．
（2）如图2，点A是半径为1的⊙O上一点，且M(3,1)，N是点A的“二倍点”，点P为直线y=√3x上
一点，是否存在点P，使得线段PN最小；若存在，请求出PN的最小值，并直接写出此时N点的坐标；若
不存在，请说明理由．
题型 12 与圆有关的定值问题.
39．（2023·浙江杭州·二模）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是B´D上一动点（点E不
与B，D重合），CE，分别交OD，G，连接AC．设⊙O的半径为r，∠OAF=α．
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(1)∠OCG= （用含α的代数式表示）；
(2)当α=30°时，求证：AF=2FE；
(3)判断AG⋅CF是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
40．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（A
在B左侧），与y轴交于点C（0，3），已知顶点M的坐标为（1，4）．
(1)求抛物线的解析式并求出点A，B的坐标；
(2)如图1，P，Q是抛物线对称轴上两点（点P在点Q上方），且PQ=1，当AQ+QP+PC取最小值时，
求点P的坐标；
(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴于F，△ABD的外接圆与DF相交于
点E．问：线段EF的长是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．
41．（2023·江苏盐城·三模）已知⊙C的圆心C(0,3)，半径为2，一次函数y=kx+b经过点A(−1,0)且与
1
⊙C交于P、Q两点，M是PQ的中点，且直线PQ与直线m:y=− x−2相交于点N．
3
(1)当直线PQ经过点C时，求点N的坐标；
(2)当PQ=2√3时，求一次函数的表达式；
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(3)AM⋅AN是定值吗，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，CD是弦，E是劣弧CD上一
点，将⊙O沿CD折叠，使得点E的对应点是点E'，且弧CE'D与AB相切于点E'，设线段BE'的长度为x，
弦CD的长度为y，则（ ）
A．(x−1) 2+ y2=3 B．(x−1) 2+(y−2√2) 2=3
2 2
C．(x−1) 2+ ( y− √3) = 4 D．x2+ ( y− 2√3) = 4
3 3 3 3
1
2．（2023·广东深圳·二模）如图，直线l：y=− x+4分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第
2
一象限的点．作△POB的外接圆⊙C，延长OC交⊙C于点D，当△POD的面积最小时，则⊙C的半径
长为（ ）
A．√5 B．2 C．√3 D．3
3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：
如图，Rt△ABC中，AB=60，AC=45，∠BAC=90°．D，E分别是AC，AB边上的动点，DE=52，
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以DE为直径的⊙O交BC于点P，Q两点，求线段PQ的最大值．
嘉嘉：当点D，E分别在AC，AB上移动时，点О到点A的距离为定值；
淇淇：当PQ为圆О的直径时，线段PQ的长最大．
关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（ ）
A．两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52
B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48
C．淇淇的说法有问题，当DE∥BC时，线段PQ的长度最大
D．这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值
4．（2023·河北衡水·二模）如图1，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长
BC=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，
并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角
∠AMB=45°．甲、乙二人给出了找点M的思路，以及MC的值，下面判断正确的是( )
甲：如图2，在矩形ABCD中取一点O，使得OA=OB=OM，M即为所求，此时CM=10米；
乙：如图3，在矩形ABCD中取一点O，使得OA=OB，且∠AOB=90°，以O为圆心，OA长为半径画弧，
交CD于点M ，M ，则M ，M 均满足题意，此时MC=8或12．
1 2 1 2
A．甲的思路不对，但是MC的值对 B．乙的思路对，MC的值都对且完整
C．甲、乙求出的MC的值合在一起才完整 D．甲的思路对，但是MC的值不对
二、填空题
5．（2023·浙江温州·三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24
片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢
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或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二
十四边形顶点A ，正八边形顶点B 与圆心O共线，正二十四边形顶点A ，A 与正八边形顶点M ，M 共
1 1 1 10 1 3
A A
线，则 1 10 的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点M ，M ，…，
M M 1 2
1 3
M 逆时针同速旋转．圆心O绕M 旋转后的对应点为O ，以此类推，当O 落在M M 上时，若
8 1 1 1 1 2
OA =67.5米，则O O 的值为 米．
1 1 5
6．（2023·河北保定·二模）定义：P,Q分别为两个图形G ,G 上任意一点，当线段PQ的长度存在最小值
1 2
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时，就称该最小值为图形G 和G 的“近距离”；当线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为图形G
1 2 1
和G 的“远距离”．请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题：
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,3),B(−2,−4),C(2,−4),D(2,3)．
（1）线段AB与线段CD的“近距离”为 ．
（2）⊙M的圆心在x轴正半轴上，半径为1，若⊙M与CD相切于点E，则⊙M与线段AB的“近距离”
为 ，此时⊙M与四边形ABCD的“远距离”为 ．
7．（2023·福建厦门·模拟预测）早在10世纪，阿拉伯著名数学家阿尔·库希（al－Kuhi）设计出一种方案，
通过两个观测者异地同时观测同一颗流星来测定其发射点的高度．如图，假设有两名观测者在A，B两地
观察同一颗流星S（流星与地球中心O，A，B在同一个平面内），AC，BC均为当地地平线（与圆O相
π AS
切），两人观测的仰角分别为15°，30°．若地球半径为R，l = R，则 = ．
A´B 3 BS
8．（2023·江苏无锡·三模）如图，在直角坐标系中，A(−4,0)，D是OA上一点，B是y正半轴上一点，且
OB=AD，DE⊥AB，垂足为E，
（1）当D是OA的中点时，DE= ；
（2）求OE的最小值 ；
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9．（2023·福建三明·二模）如图，AB为⊙O的直径，点M为⊙O内一个定点，∠MAB=30°，
1
OM= OA，经过点M的弦PQ交AB于点C，连接PA，PB，QA，QB．在下列结论中：
2
①△AOM为直角三角形；
②△MOC与△BPC相似；
③若AM平分∠PAB，则四边形APBQ为矩形；
④若∠BPQ=2∠APQ，则AQ=2OM．
其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题
10．（2023·云南昆明·模拟预测）【问题引入】
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点B作直线MN，过点A作AE⊥MN于点E，判断：点E一定
Rt△ABC外接圆⊙O上（填“在”或“不在”）．
【问题探索】
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如图2，以线段AB上一点O为圆心，OB为半径画圆，交AB于点C，点D是异于点B，C的⊙O上一点，
f
E为BD的延长线上一点.当AE有最小值f时，此时DE= ，且∠DAE=∠B．
2
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若f =8；以A为圆心，AD为半径画弧交射线BD于点F（与D不重合），G为BD的中点，判断点A，
O，G，F是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的面积；如果不在，请说明理由．
11．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点A是一只探照灯，距离地
面高度AB=m，照射角度∠MAN=α，在地平线l上的照射范围是线段MN，此灯的光照区域△AMN的面
积最小值是多少？
(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设α=90°，m=4，构造△AMN的外接圆
⊙O，可得OA≥AB，即OA的最小值为4，又MN=2OA，故得MN的最小值为__________，通过计算可
得△AMN的面积最小值为__________．
(2)当α=45°，m=4时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程
续写完整：
解：作△AMN的外接圆⊙O，作OH⊥MN于H，设MN=2x
(3)请你写出原题中的结论：光照区域△AMN的面积最小值是__________________________．（用含
m，α的式子表示）
(4)如图3，探照灯A到地平线1距离AB=4米，到垂直于地面的墙壁n的距离AD=6米，探照灯的照射角
4
度∠MAN，且sin∠MAN= ，光照区域为四边形AMCN，点M、N分别在射线CD、CB上，设
5
△ACM的面积为S ，△ACN的面积为S ，求4S +9S 的最大值．
1 2 1 2
12．（2023·河南平顶山·二模）提出问题：古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称
为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，
即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成了欧式几何学体系．《几何原本》
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第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得
的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．
如图1，上述结论可表示为AB2=AC⋅AD，你能说明其中的道理吗？
探索问题：小明在探究的过程中发现，线段AD的位置有两种情况，即AD过圆心O和AD不过圆心O．
如图2，当AD经过圆心O时，小明同学进行了如下推理：连接OB，易得∠ABC=∠ADB，又
∠A=∠A，所以△ABC∽△ADB，可得对应边成比例，进而可知，当AD经过圆心O时，得
AB2=AC⋅AD．当AD不经过圆心O时，请补全下列推理过程．
(1)已知：如图3，AB为⊙O的切线，B为切点，AD与⊙O相交于C，D两点，连接BC，BD．求证：
AB2=AC⋅AD．
证明： ．
(2)解决问题：如图4，已知AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，连接AD，若
CD=3√2，CA=3，请直接写出AD的长．
13．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、
PA
B，则所有满足 =k（k>0且k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发
PB
现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连
接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？
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第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
OC OP
第2步：在OB上取点C，使得OP2=OC⋅OB，即 = ，构造母子型相似△OCP∽△OPB（图
OP OB
2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A(0,2)，点
(3 )
B ,0 ，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．
2
(1)PA+2PB的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
31
