文档内容
2021 年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知等差数列 的首项为3，公差为2，则 ．
2．已知 ，则 ．
3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
4．不等式 的解集为 ．
5．直线 与直线 的夹角为 ．
6．若方程组 无解，则 ．
7．已知 的展开式中，唯有 的系数最大，则 的系数和为 ．
8．已知函数 的最小值为5，则 ．
9．在无穷等比数列 中， ，则 的取值范围是 ．
10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问
有几种运动方式组合
运动 运动 运动 运动 运动
7点 点 8点 点 9点 点 10点 点 11点 点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
11．已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛
物线交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ．
12．已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是
．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是
A． B． C． D．
14．已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确
的是
A． B． C． D．
15．已知函数 的定义域为 ，下列是 无最大值的充分条件是
A． 为偶函数且关于点 对称
B． 为偶函数且关于直线 对称
C． 为奇函数且关于点 对称
D． 为奇函数且关于直线 对称
16．在 中， 为 中点， 为 中点，则以下结论：①存在 ，使得
；②存在三角形 ，使得 ；它们的成立情况是
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为4， 为 中点，
平面 ．
（1）若 为等边三角形，求四棱锥 的体积；
（2）若 的中点为 ， 与平面 所成角为 ，求 与 所成角的大小．18．（14分）已知 、 、 为 的三个内角， 、 、 是其三条边， ，
．
（1）若 ，求 、 ；
（2）若 ，求 ．
19．（14分）（1）团队在 点西侧、东侧20千米处设有 、 两站点，测量距离发现
一点 满足 千米，可知 在 、 为焦点的双曲线上，以 点为原点，东
侧为 轴正半轴，北侧为 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 在北偏东 处，求双曲
线标准方程和 点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有 、 两站点，测量距离发现 千
米， 千米，求 （精确到1米）和 点位置（精确到1米，
20．（16分）已知函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域；
（2）若 ，若 有2个不同实数根，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得函数 在定义域内具有单调性？若存在，求出 的取值范
围．
21．（18分）已知数列 满足 ，对任意 ， 和 中存在一项使其为另一项
与 的等差中项．
（1）已知 ， ， ，求 的所有可能取值；
（2）已知 ， 、 、 为正数，求证： 、 、 成等比数列，并求出
公比 ；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 ， ，且 ， ，求
的最大值．
