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2021 年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知等差数列 的首项为3，公差为2，则 ．
2．已知 ，则 ．
3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
4．不等式 的解集为 ．
5．直线 与直线 的夹角为 ．
6．若方程组 无解，则 ．
7．已知 的展开式中，唯有 的系数最大，则 的系数和为 ．
8．已知函数 的最小值为5，则 ．
9．在无穷等比数列 中， ，则 的取值范围是 ．
10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问
有几种运动方式组合
运动 运动 运动 运动 运动
7点 点 8点 点 9点 点 10点 点 11点 点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
11．已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛
物线交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ．
12．已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是
．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是
A． B． C． D．
14．已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确
的是
A． B． C． D．
15．已知函数 的定义域为 ，下列是 无最大值的充分条件是
A． 为偶函数且关于点 对称
B． 为偶函数且关于直线 对称
C． 为奇函数且关于点 对称
D． 为奇函数且关于直线 对称
16．在 中， 为 中点， 为 中点，则以下结论：①存在 ，使得
；②存在三角形 ，使得 ；它们的成立情况是
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为4， 为 中点，
平面 ．
（1）若 为等边三角形，求四棱锥 的体积；
（2）若 的中点为 ， 与平面 所成角为 ，求 与 所成角的大小．18．（14分）已知 、 、 为 的三个内角， 、 、 是其三条边， ，
．
（1）若 ，求 、 ；
（2）若 ，求 ．
19．（14分）（1）团队在 点西侧、东侧20千米处设有 、 两站点，测量距离发现
一点 满足 千米，可知 在 、 为焦点的双曲线上，以 点为原点，东
侧为 轴正半轴，北侧为 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 在北偏东 处，求双曲
线标准方程和 点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有 、 两站点，测量距离发现 千
米， 千米，求 （精确到1米）和 点位置（精确到1米，
20．（16分）已知函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域；
（2）若 ，若 有2个不同实数根，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得函数 在定义域内具有单调性？若存在，求出 的取值范
围．
21．（18分）已知数列 满足 ，对任意 ， 和 中存在一项使其为另一项
与 的等差中项．
（1）已知 ， ， ，求 的所有可能取值；
（2）已知 ， 、 、 为正数，求证： 、 、 成等比数列，并求出
公比 ；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 ， ，且 ， ，求
的最大值．2021 年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知等差数列 的首项为3，公差为2，则 21 ．
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解析】：因为等差数列 的首项为3，公差为2，
则 ．故答案为：21．
【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2．已知 ，则 ．
【思路分析】由已知求得 ，再由复数模的计算公式求解．
【解析】： ， ，
则 ．故答案为： ．
【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基
础题．
3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．
【解析】：圆柱的底面半径为 ，高为 ，
所以圆柱的侧面积为 ．故答案为： ．
【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．
4．不等式 的解集为 ．
【思路分析】由已知进行转化 ，进行可求．
【解析】： ，解得， ．故答案为： ．
【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
5．直线 与直线 的夹角为 ．
【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【解析】： 直线 的斜率不存在，倾斜角为 ，
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
故直线 与直线 的夹角为 故答案为： ．
【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．
6．若方程组 无解，则 0 ．
【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．
【解析】：对于方程组 ，有 ，
当 时，方程组的解为 ，根据题意，方程组 无解，
所以 ，即 ，故答案为：0．
【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组
的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解
行列式表示法中对应的公式．
7．已知 的展开式中，唯有 的系数最大，则 的系数和为 64 ．
【思路分析】由已知可得 ，令 ，即可求得系数和．
【解析】：由题意， ，且 ，
所以 ，所以令 ， 的系数和为 ．故答案为：64．
【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．
8．已知函数 的最小值为5，则 9 ．
【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数
解析式变形成 ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条
件．
【解析】： ，
所以 ，经检验， 时等号成立．故答案为：9．
【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积
为定值，属于基础题．
9．在无穷等比数列 中， ，则 的取值范围是 ， ， ．
【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比 的取值范围，再由极限的运算知 ，从
而得解．
【解析】： 无穷等比数列 ， 公比 ， ， ，
， ， ， ， ．
故答案为： ， ， ．
【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能
力，属于基础题．
10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问
有几种运动方式组合 23 种
运动 运动 运动 运动 运动
7点 点 8点 点 9点 点 10点 点 11点 点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中， 、 、 的
组合不符合题意，由此求出结果．
【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中， 、 、 的
组合不符合题意；
所以满足条件的运动组合方式为： （种 ．
故答案为：23种．
【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是
基础题．
11．已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛物线交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ．
【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 的方程
并与抛物线联立，求出点 的坐标，由此可得 ，进而可以求出 ， 的长度，
再由椭圆的定义即可求解．
【解析】：设 ， ，则抛物线 ，
直线 ，联立方程组 ，解得 ， ，
所以点 的坐标为 ，所以 ，又
所以 ，所以 ，
则 ，
所以抛物线的准线方程为： ，
故答案为： ．
【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能
力，属于中档题．
12．已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是
．
【思路分析】在单位圆中分析可得 ，由 ，即 ， ，即可求得
的最小值．
【解析】：在单位圆中分析，由题意可得 的终边要落在图中阴影部分区域（其中
，
所以 ，
因为对任意 都成立，
所以 ，即 ， ，
同时 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是
A． B． C． D．
【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．
【解析】：选项 ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数， 错误，
选项 ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数， 错误，
选项 ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数， 正确，
选项 ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数， 错误，
故选： ．
【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的
理解，属于基础题．
14．已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确
的是
A． B． C． D．
【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解析】：已知集合 ， ， ， ，
解得 或 ， ，
， ， ；
则 ， ，
故选： ．
【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
15．已知函数 的定义域为 ，下列是 无最大值的充分条件是
A． 为偶函数且关于点 对称
B． 为偶函数且关于直线 对称
C． 为奇函数且关于点 对称
D． 为奇函数且关于直线 对称
【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于 ，举出反例可得三个选项错误，对于
利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：
对于 ， ， 为偶函数，且关于点 对称，存在最大值， 错误，
对于 ， ， 为偶函数且关于直线 对称，存在最大值， 错误，
对于 ，假设 有最大值，设其最大值为 ，其最高点的坐标为 ，
为奇函数，其图象关于原点对称，则 的图象存在最低点 ，
又由 的图象关于点 对称，则 关于点 对称的点为 ，
与最大值为 相矛盾，则此时 无最大值， 正确，
对于 ， ， 为奇函数且关于直线 对称， 错误，
故选： ．
【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．在 中， 为 中点， 为 中点，则以下结论：①存在 ，使得
；②存在三角形 ，使得 ；它们的成立情况是
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【思路分析】设 ， ， ， ， ，由向量数量的坐标运算
即可判断①； 为 中点，可得 ，由 为 中点，可得 与 的
交点即为重心 ，从而可判断②
【解析】：不妨设 ， ， ， ， ，
① ， ，
若 ，则 ，即 ，
满足条件的 存在，例如 ，满足上式，所以①成立；
② 为 中点， ， 与 的交点即为重心 ，
因为 为 的三等分点， 为 中点，
所以 与 不共线，即②不成立．
故选： ．
【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为4， 为 中点，
平面 ．
（1）若 为等边三角形，求四棱锥 的体积；
（2）若 的中点为 ， 与平面 所成角为 ，求 与 所成角的大小．【思路分析】（1）由 ，代入相应数据，进行运算，即可；
（2）由 平面 ，知 ，进而有 ， ，由
，知 或其补角即为所求，可证 平面 ，从而有 ，最后在
中，由 ，得解．
【解析】：（1） 为等边三角形，且 为 中点， ，
，
又 平面 ，
四棱锥 的体积 ．
（2） 平面 ，
为 与平面 所成角为 ，即 ，
为等腰直角三角形，
， 分别为 ， 的中点，
，
，
，
或其补角即为 与 所成角，
平面 ， ，
又 ， ， 、 平面 ，
平面 ， ，
在 中， ，
故 与 所成角的大小为 ．
【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，
以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能
力和运算能力，属于基础题．
18．（14分）已知 、 、 为 的三个内角， 、 、 是其三条边， ，
．
（1）若 ，求 、 ；
（2）若 ，求 ．
【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解 的值；利用余弦定理即可求解 的值．
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得 ， ，
的值，进而根据正弦定理可得 的值．
【解析】：（1）因为 ，可得 ，
又 ，可得 ，由于 ，可得 ．
（2）因为 ，
可得 ，
又 ，
可解得 ， ，或 ， ，
因为 ，可得 ， ，
若 ， ， 可 得 ， 可 得
，
可得 为钝角，这与 为钝角矛盾，舍去，
所以 ，由正弦定理 ，可得 ．
【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基
本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（14分）（1）团队在 点西侧、东侧20千米处设有 、 两站点，测量距离发现
一点 满足 千米，可知 在 、 为焦点的双曲线上，以 点为原点，东
侧为 轴正半轴，北侧为 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 在北偏东 处，求双曲
线标准方程和 点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有 、 两站点，测量距离发现 千
米， 千米，求 （精确到1米）和 点位置（精确到1米，
【思路分析】（1）求出 ， ， 的值即可求得双曲线方程，求出直线 的方程，与双
曲线方程联立，即可求得 点坐标；
（2）分别求出以 、 为焦点，以 ， 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点 的坐
标，从而求得 ，及 点位置．
【解析】：（1）由题意可得 ， ，所以 ，
所以双曲线的标准方程为 ，
直线 ，联立双曲线方程，可得 ， ，
即点 的坐标为 ， ．
（2）① ，则 ， ，所以 ，
双曲线方程为 ；
② ，则 ， ，所以 ，
所以双曲线方程为 ，
两双曲线方程联立，得 ， ，
所以 米， 点位置北偏东 ．
【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域；
（2）若 ，若 有2个不同实数根，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得函数 在定义域内具有单调性？若存在，求出 的取值范
围．
【思路分析】（1）把 代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值
的不等式得答案；
（2） ，设 ，得 ， ，求得等式右
边关于 的函数的值域可得 的取值范围；
（3）分 与 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 在定义域内
具有单调性的 的范围．
【解析】：（1）当 时， ，
由 ，得 ，解得 或 ．
函数的定义域为 ， ， ；
（2） ，
，
设 ， 有两个不同实数根，整理得 ， ，
， ，当且仅当 时，方程有2个不同实数根，
又 ， 的取值范围是 ；
（3）当 时， ，在 ， 上单调递
减，
此时需要满足 ，即 ，函数 在 ， 上递减；
当 时， ，在 ， 上递减，
， ，即当 时，函数 在 上递减．
综上，当 ， 时，函数 在定义域 上连续，且单调递减．
【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调
性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
21．（18分）已知数列 满足 ，对任意 ， 和 中存在一项使其为另一项
与 的等差中项．
（1）已知 ， ， ，求 的所有可能取值；
（2）已知 ， 、 、 为正数，求证： 、 、 成等比数列，并求出
公比 ；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 ， ，且 ， ，求
的最大值．
【思路分析】（1）根据 和 中存在一项使其为另一项与 的等差中项建立等式，然
后将 ， ， 的值代入即可；
（2）根据递推关系求出 、 ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；
（3）分别求出 ， ， 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．
【解析】：（1）由题意， 或 ，
解得 ， 解得 ，经检验， ，（2）证明： ， ，或 ，经检验， ；
，或 （舍 ， ；
，或 （舍 ， ；
，或 （舍 ， ；
综上， 、 、 成等比数列，公比为 ；
（3）由 或 ，可知 或 ，
由第（2）问可知， ，则 ，即 ，
，则 ，
，
同理， ，
，同理， ， 的最大值 ．
【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同
时考查了学生计算能力，属于难题．
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