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第 02 讲 函数及其图像
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=1，且经过
点(−1,y )，(2,y )，则y 与y 的大小为（ ）
1 2 1 2
A．y >y B．y 0，
∴该函数图像的开口向上，
∵1−(−1)=2,2−1=1，
∴点(−1,y )离对称轴的距离比点(2,y )要远，
1 2
∴y >y ，
1 2
故选：A．
2．（2025·陕西西安·一模）已知点A(−1,3)关于x轴的对称点A'和B(2,2)都在一次函数y=kx+b的图象上，
则k的值为（ ）
5 5 3
A． B．5 C． D．
3 2 5
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的坐标变化、待定系数法求函数解析式．先根据对称性求出点A'的坐标，再将
A'和B(2,2)代入y=kx+b，联立解方程组即可得k的值．
【详解】解：A(−1,3)关于x轴的对称点A'的坐标为(−1,−3)，
将(−1,−3)和(2,2)代入y=kx+b得，
¿，
解得¿，
故选：A．
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3．（2025·湖南郴州·模拟预测）若点P(2x+6,x−4)在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在
数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，由点P(2x+6,x−4)在第
四象限内可得¿，解不等式组求出x的取值范围，再把解集在数轴上表示出来即可求解，掌握点的坐标特征
是解题的关键．
【详解】解：∵点P(2x+6,x−4)在第四象限内，
∴¿，
解得−30时，a>0，b>0或a<0，b<0．
ab
当a>0，b>0，则一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y= （a≠0，b≠0）经过一、
x
三象限，故选A符合；
ab
当a<0，b<0时，则一次函数y=ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y= （a≠0，b≠0）经过一、
x
三象限，故排除B；
当ab<0时，a>0，b<0或a<0，b>0．
ab
当a>0，b<0时，则一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y= （a≠0，b≠0）经过二、
x
四象限，故排除C；
ab
当a<0，b>0时，则一次函数y=ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y= （a≠0，b≠0）经过二、
x
四象限，故排除D．
故选：A．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y … −5 0 3 4 3 …
下列结论正确的是（ ）
A．abc>0
B．ax2+bx+c>0的解集是−10，故选项A错误，不符合题意；
由表格可知当y=0时，x=−1，由二次函数图象的对称性可知当y=0时，x=3，所以ax2+bx+c>0的解
集是−11时，y随x的增大而减小，因为−3<0<1，
5
所以y y ，同理易得y 0，且当x<−2时，y随x的
增大而减小，则m的取值范围是（ ）
8 8 8
A．− − D．− 0得到4+2(m+2)+m>0，则m>− ；当x<−2时，y随x的增大而减小，则− ≥−2，
3 2
即可求解．
【详解】解：当x=2时，y>0，
∴4+2(m+2)+m>0，
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8
解得：m>− ，
3
∵当x<−2时，y随x的增大而减小，
m+2
∴− ≥−2，
2
∴m≤2，
8
∴− 0；②
b
− <0；③a+b+c<0；④当−30．
2a
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的
关键．根据图象与y轴交点(0,c)在y轴正半轴，可得c>0，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为
1 b
x=− ，由于对称轴为x=− ，即可判断②正确；当x=1时，y=a+b+c>0，即可判断③，当
2 2a
−30，故④正确．
【详解】解：① 当x=0时，y=c，根据图象可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点(0,c)在y
轴正半轴，即c>0，故①正确，符合题意；
−3+2 1 b 1
②根据图象可知，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x= =− ，即− =− <0，故
2 2 2a 2
②正确，符合题意；
③由图象可知，当x=1时，y=a+b+c>0，故③错误，不符合题意；
④根据图象可知，当−30，故④正确，符合题
意；
综上所述，①②④结论正确，符合题意．
故选：B．
10．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB的中点，E是边
AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，DF交边BC于点F．设AE的长为x，△≝¿的面积为y，
s= y−6，则s与x的函数图象大致为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
4 3
【分析】先求出AB=10，则AD=BD=5，sinA= ，sinB= ，过点E作EM⊥AB于M，过点F作
5 5
4x
FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，则EM= ，S =2x，设BF=a，则
5 △ADE
3a S
CF=8−a，FN= ， 3a ，证△AED和△BHD全等得AE=BH=x，再利用勾股定理得
5 △≝¿= 2 ¿
FH2=a2+x2，FE2=(6−x) 2+(8−a) 2，再证FH=FE，进而求得a，S ，根据y=S −¿列出函数
△≝¿¿ △ABC
关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=10，
∵ D为AB的中点，
∴ AD=BD=5，
BC 8 4 AC 6 3
又sinA= = = ，sinB= = = ，
AB 10 5 AB 10 5
过点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，延长ED到H，使ED=DH，连接BH，FH，如图：
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EM
在Rt△AEM中，AE=x，sinA= ，
AE
4x
∴EM=AE⋅sinA= ，
5
1 1 4x
∴S = AD⋅EM= ×5× =2x，
△ADE 2 2 5
设BF=a，则CF=BC−BF=8−a，
FN
在Rt△BFN中，sinB= ，
BF
3a
∴FN=BF⋅sinB= ，
5
1 1 3a 3a
∴S = BD⋅FN= ×5× = ，
△DBF 2 2 5 2
在△AED和△BHD中，
¿，
∴△AED≌△BHD(SAS)，
∴AE=BH=x，
在Rt△BFH中，BF=a，BH=x，
由勾股定理得：FH2=BF2+BH2=a2+x2，
在Rt△CEF中，CE=AC−AE=6−x，CF=8−a，
由勾股定理得：FE2=CE2+CF2=(6−x) 2+(8−a) 2，
∵ED=DH，DF⊥DE，
∴DF为线段EH的垂直平分线，
∴FH=FE，
∴a2+x2=(6−x) 2+(8−a) 2，
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25−3x
∴a= ，
4
3a 75−9x
∴S = = ，
△DBF 2 8
75−9x 75+7x 25−3x 3x+7
∴S +S =2x+ = ，CF=8−a=8− = ，
△ADE △DBF 8 8 4 4
1 1 3x+7 1
∴S = CE⋅CF= (6−x)× = (−3x2+11x+42)，
△CEF 2 2 4 8
1 1
而S = AC×BC= ×6×8=24，
△ABC 2 2
∴y=S −¿，
△ABC
75+7x 1
即y=24− − (−3x2+11x+42)，
8 8
3 9 75
整理得：y= x2− x+ ，
8 4 8
∵s= y−6，
3 9 75 3 9 27 3
∴s= x2− x+ −6= x2− x+ = (x−3) 2 ，
8 4 8 8 4 8 8
27 27
当x=0时，s= ，当x=6时，s= ，顶点坐标为(3,0)，
8 8
( 27) ( 27)
∴该函数图象是抛物线，与y轴交于点 0, ，顶点为(3,0)，且过点 6, ，
8 8
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二
次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·浙江宁波·二模）二次函数 y=x2−x+3 与坐标轴的交点个数为 个．
【答案】1
【分析】本题考查的是抛物线和坐标轴的交点，分与x轴和y轴有无交点讨论求解即可．
【详解】解：函数与y轴交点： 令x=0，则y=3，故与y轴交于一个点(0,3)；
与x轴交点：令y=0，则x2−x+3=0，此时Δ=(−1) 2−4×1×3<0，方程无解，故与 x 轴无交点，
综上，二次函数与坐标轴只有一个交点．
故答案为：1．
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12．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x−1) 2+2关于y轴对称的抛物线的表
达式为 ．
【答案】y=(x+1) 2+2
【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论．
本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键．
【详解】解：设抛物线y=(x−1) 2+2上一个点坐标为(x ,y )，其关于y轴的对称点为(p,q)，
0 0
则x =−p,y =q，y =(x −1) 2+2，
0 0 0 0
∴q=(−p−1) 2+2，
∴q=(p+1) 2+2，
即y=(x+1) 2+2．
故答案为：y=(x+1) 2+2．
13．（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形OABC和正方形ADEF中，点A、D均在x轴正半轴上，点C在
y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在同一个反比例函数图象上，若正方形ADEF的面积为4，且
BF=AF，则这个反比例函数的表达式为 ．
8
【答案】y=
x
k
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲
x
线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，
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k
求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标(t+2,2)，根据点B，E在反比例函数y= (x>0,k>0)的图
x
象上，列出t的方程，即可求出k．
【详解】解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF=AF=2，AB=AF+BF=2+2=4，
设B点坐标为(t,4)，则E点坐标(t+2,2)，
k
∵点B，E在反比例函数y= (x>0,k>0)的图象上，
x
∴k=4t=2(t+2)，
解得t=2，k=8，
8
∴这个反比例函数的表达式为y= ．
x
8
故答案为：y= ．
x
14．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛物线y=x2上，
点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，全等三角形的判定与性质等知识，先求出A、B的坐标为
A(1,1)，B(b,b2)，则AD=1，OD=1，BE=b，OE=b2，过A作AD⊥y于D，过B作BE⊥y轴于
E，利用AAS证明△ACD≌△CBE，得出AD=CE=1，CD=BE=b，则可得出b2=1+b+1，然后解方程
即可．
【详解】解∶过A作AD⊥y于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵点A、B在抛物线y=x2上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，
∴点A、B的纵坐标为1、b2，
∴A(1,1)，B(b,b2)，
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∴AD=1，OD=1，BE=b，OE=b2，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE=1，CD=BE=b，
又OE=CE+CD+OD，
∴b2=1+b+1，
解得b =2，b =−1（不符合题意，舍去）
1 2
∴b的值为2，
故答案为：2．
15．（2024·安徽安庆·二模）关于x的二次函数y=ax2+(a−6)x−6的图象经过点(6,0)．
（1）a=
（2）若关于x的二次函数y=ax2+(a−6)x−6+m的图象在1≤x≤6内与x轴只有一个交点，则m的取值
范围是
49
【答案】 1 m= 或0≤m<10
4
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）找到抛物线y=ax2+(a−6)x−6与直线y=−m只有一个交点时，m的取值范围即可．
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【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+(a−6)x−6的图象经过点(6,0)，
∴62a+6(a−6)−6=0，
解得a=1；
故答案为：1；
（2）∵a=1，
∴y=x2−5x−6= ( x− 5) 2 − 49 ，
2 4
49
∴当m= 时，抛物线y=ax2+(a−6)x−6与直线y=−m只有一个交点，
4
当x=1时，y=x2−5x−6=−10，
当x=6时，y=x2−5x−6=0，
∴当0≤m<10时，抛物线y=ax2+(a−6)x−6与直线y=−m只有一个交点，
49
综上，当m= 或0≤m<10时，抛物线y=ax2+(a−6)x−6与直线y=−m只有一个交点，
4
49
故答案为：m= 或0≤m<10．
4
1
16．（2024·四川达州·模拟预测）如图，一次函数y=x与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，过点A
x
作AB⊥OA交x轴于点B，作BA ∥OA交反比例函数图象于点A ，过点A 作A B ⊥A B交x轴于点
1 1 1 1 1 1
B ，再作B A ∥BA 交反比例函数图象于点A ，依次进行下去，……，则点A 的纵坐标为
1 1 2 1 2 2024
【答案】45−2√506/−2√506+45
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以
及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提．
1
由一次函数y=x与反比例函数y= 的图象交于点A,可得A(1,1)；易得△OAB是等腰直角三角形，则
x
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OB=2分别过点A, A ，A 作x轴的垂线，垂足分别为 C,D,E,则△A BD是等腰直角三角形，设
1 2 1
1
BD=m,则A D=m,则 A (m+2,m)在反比例函数y= 上，可得m的值，求出点A 的坐标，同理可得A
1 1 x 1 2
的坐标，以此类推，可得结论.
【详解】解：如图，分别过点A, A ,A 作x轴的垂线，垂足分别为C,D,E.
1 2
1
∵一次函数y=x与反比例函数y= 的图象交于点A，
x
∴联立 ¿，解得 ¿，
∴点A的坐标为(1,1).
∴AC=OC=1,∠AOC=45°，
∵AB⊥OA，
∴△OAB是等腰直角三角形.
∴OB=2OC=2，
∵A B∥OA，
1
∴∠A BD=45°，
1
设 BD=m,则 A D=m,
1
∴点 A 的坐标为(m+2,m)，
1
1
∵点A 在反比例函数y= 上,
1 x
∴m(m+2)=1，
解得m=−1+√2或m=−1−√2(负值舍去).
∴点A 的坐标为 (√2+1,√2−1)；
1
∵A B ⊥A B，
1 1 1
∴BB =2BD=2√2−2，
1
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∴OB =2√2，
1
∵B A∥BA ，
1 1
∴∠A B E=45°，
2 1
设 B E=t,则A E=t,
1 2
∴点A 的坐标为 (t+2√2,t).
2
1
∵点A 在反比例函数 y= 上,
2 x
∴t(t+2√2)=1，
解得 t=−√2+√3, t=−√2−√3(负值舍去).
∴点A 的坐标为(√3+√2,√3−√2)；
2
同理点A 的坐标为(2+√3,2−√3)；
3
以此类推，可得点A 的纵坐标为√2025−√2024=45−2√506，
2024
故答案为：45−2√506．
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·上海静安·一模）二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标
是(6,0)，且对称轴是直线x=2．
(1)填空：① a与b的数量关系为：b= ；②图像与x轴的另一个交点坐标为 ．
(2)如果该函数图像经过点(0,−3)，求它的顶点坐标．
【答案】(1)①−4a；②(−2,0)
(2)(2,−4)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对
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称性是解题关键．
b
（1）①根据二次函数的对称轴可得x=− =2，由此即可得；
2a
②根据二次函数的对称性求解即可得；
（2）根据（1）可设二次函数的解析式为y=a(x−6)(x+2)，将点(0,−3)代入求出二次函数的解析式，再
根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得．
【详解】（1）解：①∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，
b
∴x=− =2，
2a
∴b=−4a，
故答案为：−4a；
②∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的一个交点坐标是(6,0)，且对称轴是直线x=2，
∴图像与x轴的另一个交点坐标为(2×2−6,0)，即为(−2,0)，
故答案为：(−2,0)．
（2）解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点坐标是(6,0)和(−2,0)，
∴可设二次函数的解析式为y=a(x−6)(x+2)，
∵这个函数图像经过点(0,−3)，
∴(0−6)×(0+2)a=−3，
1
解得a= ，
4
1 1
∴二次函数的解析式为y= (x−6)(x+2)= (x−2) 2−4，
4 4
∴它的顶点坐标为(2,−4)．
18．（2025·上海青浦·一模）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表．
x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯
y ⋯ 3 0 −1 0 3 ⋯
(1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标；
(2)设该抛物线与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求证：△ABC是
直角三角形．
【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,−1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查二次函数的性质、两点距离公式、勾股定理逆定理等知识点，掌握二次函数的性质是解
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题的关键．
（1）由表格找出y值相等的两个点，再根据对称关系求出对称轴和顶点坐标，进而在观察开口方向；
（2）利用两点距离公式求出AB、AC、BC的长度，再根据勾股定理逆定理证明即可．
【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点(1,0)，(3,0)，
1+3
∴对称轴为x= =2，
2
根据表格可知，顶点坐标为(2,−1)，
∵顶点纵坐标比两侧数值小，
∴开口向上，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,−1)；
（2）证明：∵抛物线与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，
∴A(3,0)，B(0,3)，C(2,−1)，
∴AB2=(3−0) 2+(0−3) 2=18，AC2=(3−2) 2+[0−(−1)] 2 =2，BC2=(0−2) 2+[3−(−1)] 2 =20，
∴AB2+AC2=18+2=20=BC2，
∴∠BAC=90°，
即△ABC为直角三角形．
19．（2025·湖南娄底·一模）如图，点A是坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点C在第一象限．AB=4，
∠CAB=30°，∠CBA=120°．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上的一个动点，当点P处于何位置时，PB+PC的值最小？
【答案】(1)(6,2√3)
( 4√3)
(2)当点P运动到 0, 这个位置时，PB+PC的值最小
5
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴交x轴于点E，证明∠BAC=∠ACB，得出BC=AB=4，解直角三角
1 √3
形得出BE=BC·cos60°=4× =2， CE=BC·sin60°=4× =2√3，求出AE=AB+BE=4+2=6，
2 2
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即可得出答案；
（2）作点B关于y轴的对称点为D，则D(−4，0)，连接CD，CD与y轴交于点P，连接PB，根据两点
√3 4√3
之间线段最短，得出此时点P即为所求作的点，先求出直线y= x+ ，然后求出点P的坐标即可．
5 5
【详解】（1）解：过点C作CE⊥x轴交x轴于点E，如图所示：
∵∠CAB=30°，∠CBA=120°，
∴∠ACB=180°−30°−120°=30°，∠CBE=180°−120°=60°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴BC=AB=4，
1
∴BE=BC·cos60°=4× =2，
2
√3
CE=BC·sin60°=4× =2√3，
2
∴AE=AB+BE=4+2=6，
∴点C的坐标为(6,2√3)；
（2）解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则D(−4，0)，连接CD，CD与y轴交于点P，连接PB，
根据轴对称可知：PB=PD，
∴PB+PC=PD+PC，
∴当PD+PC最小时，PB+PC最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
则¿ ，
解得：¿
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√3 4√3
∴y= x+
5 5
4√3
当x=0时，y=
5
( 4√3)
∴当点P运动到 0, 这个位置时，PB+PC的值最小．
5
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，轴对称的
性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法，作出辅助线．
m
20．（2025·广西柳州·一模）如图，直线y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与双曲线y= （m为常数且
x
m≠0）相交于A(2,a)，B(−1,2)两点．
m
(1)求反比例函数y= 的解析式；
x
m
(2)请直接写出关于x的不等式kx+b> 的解集；
x
(3)连接OA、OB，求△AOB的面积．
2
【答案】(1)y=−
x
(2)x<−1或0 的解集为x<−1或00)的图象经过点P．
x
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(1)求这个反比例函数的解析式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点P的两个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将等腰三角形ABC向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
12
【答案】(1)y= (x>0)
x
(2)见解析
8
(3)
5
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数图象，平移的性质等知识：
（1）由图可知，点P的坐标为(4,3)，再由待定系数法求解；
（2）描出两个整数点即可，根据描点、连线作图即可；
（3）先设出向下平移后点A'的坐标为(5,m)，再代入函数解析式，求出m，即可确定平移距离．
【详解】（1）解：由图可知，点P的坐标为(4,3)，
k
∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点P(4,3)，
x
k
∴3= ，
4
∴k=12，
12
∴这个反比例函数的解析式为y= (x>0)．
x
（2）解：描出这个反比例函数图象上不同于点P的两个格点为(2,6),(6,2)，
可作反比例函数的图象如图所示：
（3）解：由图知，点A的坐标为(5,4)，设向下平移后点A'的坐标为(5,m)．
12
∵点A'在反比例函数y= 的图象上，
x
12
∴m= ．
5
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12 8
∵4− = ，
5 5
8
∴将等腰三角形ABC向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 ．
5
22．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A(2,1)且与直线y=x+1的一个交点为
B(1,m)．
(1)求m的值；
(2)判断抛物线y=ax2+bx+1的顶点是否在直线y=x+1上；
(3)平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点在直线y=x+1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大
值．
【答案】(1)2
(2)抛物线y=ax2+bx+1的顶点是否在直线y=x+1上
5
(3)
4
【分析】（1）直接将B(1,m)代入直线y=x+1求解即可；
（2）由（1）可得B(1,2)，将A(2,1)、B(1,2)代入y=ax2+bx+1列方程组求得a、b的值，可求得抛物线
的解析式，然后画成顶点式确定顶点，最后代入直线y=x+1验证即可．
（3）设平移后的解析式为：y=−(x−h) 2+k，由题意可得k=h+1，即y=−(x−h) 2+h+1；令x=0，则
有y=−h2+h+1，然后配方运用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：将B(1,m)代入直线y=x+1可得：m=1+1=2．
（2）解：由（1）可得：B(1,2)，
将A(2,1)、B(1,2)代入y=ax2+bx+1可得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+1=−(x−1) 2+2，
∴抛物线的顶点坐标为(1,2)；
当x=1时，y=1+1=2，则抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=x+1上．
（3）解：设平移后的解析式为：y=−(x−h) 2+k，
∵平移后的解析式的顶点在直线y=x+1上，
∴k=h+1，
∴y=−(x−h) 2+h+1，
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令x=0，则有y=−h2+h+1=− ( h− 1) 2 + 5 ，
2 4
1 5
∴当h= 时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．
2 4
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点、二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数求最值，
二次函数图象的平移等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
23．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线y=x2−2x−3的顶点为P，与y轴相交与点Q．
(1)求点P、Q的坐标；
(2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与x轴的另一个交点为M，求
sin∠OMQ的值．
【答案】(1)P(1,−4)，Q(0,−3)
3√13
(2)
13
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先利用配方法求出顶点P的坐标，再令x=0求出y的值，即可得到点Q的坐标；
（2）设平移后抛物线的解析式为y=x2−2x+m，求出m的值，即可得到点M的坐标，得到
OQ
sin∠OMQ= ，计算即可得到答案．
MQ
【详解】（1）解：y=x2−2x−3=(x−1) 2−4
顶点P坐标为(1,−4)
令x=0，则y=−3，
∴Q(0,−3)；
（2）解：设平移后得解析式y=x2−2x+m
把(0,0)代入得m=0,
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∴y=x2−2x=x(x−2)，
∴当y=0时，x =0,x =2,
1 2
∴另一个交点M(2,0)，
∴ OM=2,
∵Q(0,−3)，
∴OQ=3，
在Rt△OMQ中，QM=√OQ2+OM2=√13,
OQ 3√13
∴sin∠OMQ= = ．
QM 13
24．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，
k
且OA=3，OC=6，反比例函数y= (x>0)的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE．
x
(1)如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k=______；②求△ODE的面积；
(2)如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．
77
【答案】(1)①4；② ；
9
27
(2)k的值为 ．
4
【分析】（1）①根据反比例函数k的几何意义解答即可；
②根据解析式代入得出点D和E的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，类比于②用k表示出DF，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相
似三角形的判定和性质用k表示出GF，再结合勾股定理DG2+GF2=DF2建立等式求解，即可解题.
【详解】（1）解：①∵△OAD的面积为2，反比例函数图象在第一象限，
k
即有 =2，
2
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∴k=4，
故答案为：4；
②在矩形OABC中，OA=BC=3，OC=AB=6，
∵k=4，
4
∴反比例函数的解析式是：y= (x>0)，
x
∵OA=3，
即点D的纵坐标是3，
4
令 =3，
x
4
解得：x= ，
3
(4 )
∴D ,3 ，
3
4 2
同理，当x=6时，y= = ，
6 3
( 2)
∴E 6, ，
3
4 4 14 2 2 7
∴AD= ，BD=AB−AD=6− = ，CE= ，BE=BC−CE=3− = ，
3 3 3 3 3 3
∴S =S −S −S −S
△ODE 矩形OABC △OAD △OCE △BDE
k k 1
=OA⋅OC− − − BD⋅BE
2 2 2
1 14 7
=6×3−2−2− × ×
2 3 3
77
= ；
9
（2）解：过点D作DG⊥x轴于点G，则DG=OA=3，
∵ OA=3
，即点D的纵坐标是3，
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k
令y= =3，
x
k
解得：x= ，
3
(k )
∴ D ,3 ，
3
k k
同理可得，当x=6时，y= = ，
x 6
( k)
∴E 6, ，
6
k k k k
∴AD= ，BD=AB−AD=6− ，CE= ，BE=BC−CE=3− ，
3 3 6 6
k k
由折叠的性质可知： DF=BD=6− ， FE=BE=3− ，∠DFE=∠B=90°，
3 6
∴∠DFG+∠CFE=90°，
∵DG⊥x轴，
∴∠DFG+∠GDF=90°，
∴∠CFE=∠GDF，
∵∠CFE=∠GDF，∠FCE=∠DGF=90°
∴△CFE∽△GDF，
CE FE
∴ = ，
CF DF
k k
3−
6 6 1
即 = = ，
GF k 2
6−
3
k
∴GF= ，
3
∵DG⊥x轴，
∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2=DF2，
∴32+ (k) 2 = ( 6− k) 2 ，
3 3
27
解得：k= ，
4
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27
即k的值为 ．
4
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形
性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答．
1
25．（2023·山东济南·二模）如图，二次函数y=− x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为
3
(8,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在x轴上方作x轴的平行线y =m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足
1
分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，过点P向x轴作垂线，交
抛物线于点E，交直线AC于点F，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时
立即原速返回．当点E、F重合时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0)．问：以
A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
1 8
【答案】(1)y=− x2+ x
3 3
(2)4
(3)能为平行四边形，t的值为4或6
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形
的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析
式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由
AQ∥EF且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ=EF，分0
