文档内容
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专题 05 反比例函数
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）
知识模块一： 反比例函数的图象与性质 知识模块二：反比例函数的解析式确定方法
知识模块三： 反比例系数k的几何意义 知识模块四 反比例函数与一次函数综合
知识模块五 反比例函数的实际应用
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（5大考点）
考点一：反比例函数的图象与性质 考点二：反比例函数解析式的确定
考点三：反比例函数与一次函数综合 考点四：反比例函数的实际应用
考点五：反比例函数与几何综合（含k的几何意义）
04 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（3大易错点）
易错点1：利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上
易错点2：利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
易错点3：反比例函数k的几何意义
知识模块一： 反比例函数的图象与性质
知识点一：反比例函数的概念
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k
一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.
x
反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx−1（k≠0）的形式.
知识点二：反比例函数的图象与性质
表达式 k
y= （k为常数，k≠0）
x
图象
性
k>0 k<0
质
经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在图象所在的每一象限内，函数值y随 在图象所在的每一象限内，函数值y随自
自变量x的增大而减小 变量x的增大而增大
中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于
对称性 原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上
轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交
图象特征 点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线
y=±x，对称中心为原点．
注意：
(1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较.
(2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可.
(3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比
例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称.
知识模块二： 反比例函数解析式的确定方法
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
k
1）设反比例函数的解析式为y= （k为常数，k≠0）；
x
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2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
知识模块三：反比例系数k的几何意义
当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补
法进行求解.
一、一点一垂线
y y
y
A A
A
C
C E
E
x x
x
C
O B D O B D O B
|k|
结论：S
△AOB
=S
△COD
S
△AOE
=S四边形CEBD S
△AOC
=
二、一点两垂线
y
y y
A
A E A
E D
C
C F
F G
G
x x x
O B D O B D O C E B
结论：S =S S =S S ▱ =|k|
矩形ABOE 矩形CDOF 矩形AEFG 矩形CGBD ABCD
三、两点一垂线
y y
A
B A
O x x
B O
C C
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结论： S = 2S = |k|
△ABC △ABO
k
如左图，已知一次函数与反比例函数 y= 交于 A、B 两点，且一次函数与 x 轴交于点 C，则
x
S =S +S
△AOB △AOC △BOC
1 1 1
= co•|y|+ co•|y|= co(|y|+|y|)
2 A 2 B 2 A B
k
如右图，已知一次函数与反比例函数 y= 交于 A、B 两点，且一次函数与 y 轴交于点 C，则
x
S =S +S
△AOB △AOC △BOC
1 1 1
= co•|x|+ co•|x|= co(|x|+|x|)
2 A 2 B 2 A B
y y
A A
C
C x x
O O
B B
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|
k|
y y y y
x x x x
O O O O
五、两点和原点
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y y y
C C
A A C A D
B B B
M
x x x
O D O E F D O F
方法一 方法二 方法三
方法一：S ＝S －S －S ．【分割】
△AOB △COD △AOC △BOD
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S ＝S ，则S ＝S ．
△OAM 四边形MEFB △AOB 直角梯形AEFB
方法三：S ＝S －S －S 【补形】
△AOB 四边形COFD △AOC △BOF.
1
方法四：S ＝S －S ＝ OD•（|y|-|y|）
△AOB △AOD △BOD 2 A B
1
方法五：S ＝S －S ＝ OC•（|x|-|x|）
△AOB △BOC △AOC 2 B A
六、两曲一平行
类型一 两条双曲线的k值符号相同
y y = k2/x y y = k2/x y y = k2/x
y = k1/x y = k1/x y = k1/x
x x x
O O O
1 1
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝ |k1|- |k2|
阴影 阴影 2 2
y y = k2/x y y = k2/x
D B
y = k1/x C y = k1/x
F
x x
O O E A
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝|k1|-|k2|- S
阴影 阴影 直角梯形AFDE
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类型二 两条双曲线的k值符号相同
y = k2/x y = k2/x
y = k2/x y y
y
A B A
A B D
y =k1/x y =k1/x
y =k1/x
x x
x
D O C B O C
C O
1
结论：S ＝S ＝ (|k1|+|k2|) S ＝|k1|+|k2|
△AOB △ACB 2 阴影
知识模块四 反比例函数与一次函数综合
1.自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对 y1>y2时
自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如
下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>x 或x
