第5讲反比例函数（考点精析+真题精讲）（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_一轮复习资料_第三章函数_考点精析+真题精讲

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 备战 2024 中考数学一轮复习 第三章函数 第 5 讲反比例函数 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌题型突破 ➍专题精练 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 第 5 讲反比例函数 →➊考点精析← →➋真题精讲← 考向一 反比例函数的定义 考向二 反比例函数的图象和性质 考向三 反比例函数解析式的确定 考向四 反比例函数中 k 的几何意义 考向五 反比例函数与一次函数的综合 考向六 反比例函数的应用 考向七 反比例函数与平面几何综合 类型一最值问题 类型二存在性 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 类型三与面积有关 第 5 讲反比例函数 反比例函数也是非常重要的函数,年年都会考,总分值为15分左右，预计2024年各地中考一 定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比 例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考 察的重点. →➊考点精析← 一、反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例 函数的解析式也可以写成 的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数 的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数 （k是常数，k 0）中x，y的取值范围 ¿ 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象 限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、 y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x 的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对 称中心为原点． 3．注意 （1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的 曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数 中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限 内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼 统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而 增大． 三、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数 中，只有 一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k的值，从而 确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|； △ABC △ACO （2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于 点C，则S =S +S = + = ； △AOB △AOC △BOC （3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延长线与x轴的交点，则S =S –S = – = △AOB △AOC △BOC ． 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两个解析式，构造方程组，然 后求出交点坐标．针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比 例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范围为 或 ． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点， 可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的 情况． 六、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特 别注意自变量的取值范围． →➋真题精讲← 考向一 反比例函数的定义 1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子 是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 为1． 5 y= 1．（山东滨州·中考真题）下列函数：①y=2x﹣1；② x ；③y=x2+8x﹣2；④ 2 1 a y= y= y= x2 ；⑤ 2x ；⑥ x 中，y是x的反比例函数的有 ▲ （填序号） 【答案】②⑤． 【解析】反比例函数的定义． 【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数； 5 2 y= y= ② x 是反比例函数；③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；④ x2 不是反 1 a 比例函数；⑤y= 是反比例函数；⑥y= 中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不 2x x 是反比例函数．故答案为②⑤． 2．（2023·山西·统考中考真题）已知 都在反比例函数 的图象 上，则a、b、c的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数中 判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐 标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数 中 ， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵ ∴ 位于第三象限， ∴ ∵ ∴ ∵ 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点 位于第一象限， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐 标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，其中 a，k为常数，且 ﹐则点M一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的 ，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点 的横坐标判断点M所在的象限，即可解答 【详解】解： ， 反比例函数 的图象经过第一、三象限， 故点M可能在第一象限或者第三象限， 的横坐标大于0， 一定在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的 图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键． 考向二 反比例函数的图象和性质 当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每 个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每 个象限内，y随x的增大而增大． 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限）， 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． a y  (a 0) 4．（2020·山东威海·中考真题）一次函数y axa与反比例函数 x 在同 一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． a 0 a0 y axa 【解析】当 时， ，则一次函数 经过一、三、四象限，反比例函数 a y  (a 0) x 经过一 、三象限，故排除A，C选项； a0 a 0 y axa 当 时， ，则一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数 a y  (a 0) x 经过二、四象限，故排除B选项，故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图 像的关系是解决本题的关键． 5．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点 在反比例函数 的图 像上，且 ，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出 、 的大小关系． 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：∵点 ， ）是反比例函数 的图像上的两点， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解 析式是解题的关键． 6.（2023·山西·统考中考真题）已知 都在反比例函数 的图象上， 则a、b、c的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数中 判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐 标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数 中 ， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵ ∴ 位于第三象限， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴点 位于第一象限， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐 标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 Aa1,y  Ba1,y  7．（2020·湖北武汉·中考真题）若点 1 ， 2 在反比例函数 k y  (k 0) y  y x 的图象上，且 1 2 ，则a的取值范围是（ ） a1 1a1 a1 a1 a1 A． B． C． D． 或 【答案】B k y  (k 0) 【分析】由反比例函数 x ，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随 x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二 象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可． k y  (k 0) 【解析】解：∵反比例函数 x ，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x的增大而增大， y  y ①若点A、点B同在第二或第四象限，∵ 1 2，∴a-1＞a+1，此不等式无解； a1＜0  ②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵y  y ，∴ a1＞0，解得： 1a1 ； 1 2 ③由y＞y，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能． 1 2 a 1a1 综上， 的取值范围是 ．故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的 关键，注意要分情况讨论，不要遗漏． m+3 y= x 8. 已知点A( ，2)、B(2， )都在反比例函数 的图象上． (1)求 、 的值； (2)若直线 与 轴交于点C，求C关于 轴对称点C′的坐标． 【解析】 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 m+3 y= x 解：（1）将点A( ，2)、B(2， )的坐标代入 得： ，解得 ； ， 所以 . （2）直线为 ， 令 ， 所以该直线与 轴的交点坐标为C（1,0）， C关于 轴对称点C′的坐标为(－1，0)． 考向三 反比例函数解析式的确定 1．反比例函数的解析式 （k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定 了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个 点的坐标，代入 中即可． 2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值， 若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上 （2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在 图象上． 9．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣ k 6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝ x （k≠0）的图象经过其中两点，则m 的值为_____． 【答案】-1． 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A(2,1) C(6,m) 【分析】根据已知条件得到点 在第二象限，求得点 一定在第三象限，由 k k y  (k 0) y  (k 0) 于反比例函数 x 的图象经过其中两点，于是得到反比例函数 x 的图 B(3,2) C(6,m) 象经过 ， ，于是得到结论．  A(2,1) B(3,2) C(6,m) A(2,1) 【解析】解： 点 ， ， 分别在三个不同的象限，点 在第 二象限，  C(6,m) 点 一定在第三象限， k y  (k 0)  B(3,2)在第一象限，反比例函数 x 的图象经过其中两点， k y  (k 0) 反比例函数 x 的图象经过B(3,2)，C(6,m)， 326m m1 1 ， ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键． 10.当 为何值时 是反比例函数？ 【点拨】根据反比例函数解析式 ，也可以写成 的形式，后一 种表达方法中 的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为 且 ，二者必须同时满足，缺一不可． 【解析】 解：令 由①得， ＝±1，由②得， ≠1． 综上， ＝－1，即 ＝－1时， 是反比例函数． 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【总结】反比例函数解析式的三种形式：① ；② ；③ ． 11.已知 的图象是双曲线，且在第二、四象限， (1)求 的值． (2)若点(－2， )、(－1， )、(1， )都在双曲线上，试比较 、 、 的大小． 【答案】 解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且 ，∴ . (2)由(1)得此函数解析式为： ． ∵ (－2， )、(－1， )在第二象限，－2＜－1，∴ ． 而(1， )在第四象限， ． ∴ 考向四 反比例函数中 k 的几何意义 三角形的面积与k的关系：（1）因为反比例函数 中的k有正负之分，所以在利用解 析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为 |k|，满 足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂 线的垂足． 12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比 例函数 图像上的一点，过点A分别作 轴于点M， 轴于直N， 若四边形 的面积为2．则k的值是（ ） 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】证明四边形 是矩形，根据反比例函数的 值的几何意义，即可解答． 【详解】解： 轴于点M， 轴于直N， ， 四边形 是矩形， 四边形 的面积为2， ， 反比例函数在第一、三象限， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的 值的几何意义，熟知在一个反比例函数 图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为 是解题 的关键． 13．（2023·广西·统考中考真题）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的 平行线交 的图象于B，D两点，以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四 个小矩形，面积分别记为 ， ， ， ，若 ，则 的值为（ ） 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设 ，则 ， ， ，根据坐标求得 ， ，推得 ，即可求得． 【详解】设 ，则 ， ， ∵点A在 的图象上 则 ， 同理∵B，D两点在 的图象上， 则 故 ， 又∵ ， 即 ， 故 ， 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质 是解题的关键． 14．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分 别为 与 关于直线 对称，反比例函数 的图象与 交于点 ．若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作 轴，根据题意得出 ，再由特殊角的三角函数及等 腰三角形的判定和性质得出 ， ，利用各角之间的关系 ，确定 ，B，O三点共线，结合图形确定 ，然后代入反比 例函数解析式即可． 【详解】解：如图所示，过点B作 轴， ∵ ， 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ 与 关于直线 对称， ∴ ， ∴ ， ∴ ，B，O三点共线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 将其代入 得： ， 故选：A． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定， 理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 15．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲 线 （其中 ）相交于 ， 两点，过点B作 轴，交y轴于 点P，则 的面积是___________． 【答案】 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】把 代入到 可求得 的值，再把 代入双曲线函数的表达式 中，可求得 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】∵直线 与双曲线 （其中 ）相交于 ， 两 点， ∴ ∴ ， ∴双曲线的表达式为： ， ， ∵过点 作 轴，交 轴于点 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反 比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 考向五 反比例函数与一次函数的综合 反比例函数与一次函数综合的主要题型： （1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置； （2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标； （3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式； （4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点 在双曲线 上，将直线 向上平移若干个单位长度交 轴于点 ，交双曲线于点 ．若 ，则点 的坐标是 ___________． 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】求出反比例函数解析式 ，证明 ，过点 作 轴的垂线段 交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线段交 轴于点 ，通过平行线的性质得到 ， 解直角三角形求点 的横坐标，结合反比例函数解析式求出 的坐标，即可解答． 【详解】解：把 代入 ，可得 ，解得 ， 反比例函数解析式 ， 如图，过点 作 轴的垂线段交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线段交 轴于点 ， ， ， ， ， 将直线 向上平移若干个单位长度交 轴于点 ， , 在 中， ， 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 即点C的横坐标为 ， 把 代入 ，可得 ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求 得点 的横坐标是解题的关键． 17．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数 与反比例函数 相交于点A和点 ． (1)求m的值和反比例函数解析式； (2)当 时，求x的取值范围． 【答案】(1) ， ；(2) 或 【分析】（1）根据一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 B两点可得 的值，进而可求反比例函数的表达式； （2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）将点 代入 得： 解得： 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 将 代入 得： ∴ （2）由 得： ，解得 所以 的坐标分别为 由图形可得：当 或 时， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函 数与一次函数的性质． 18．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知 ，设函数 与函 数 的图象交于点 和点 ．已知点 的横坐标是2，点 的纵坐标是 ． (1)求 的值． (2)过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，在第二象限交于点 ；过点 作 轴的垂 线，过点 作 轴的垂线，在第四象限交于点 ．求证：直线 经过原点． 【答案】(1) ， ；(2)见解析 【分析】（1）首先将点 的横坐标代入 求出点A的坐标，然后代入 求出 ，然后将点 的纵坐标代入 求出 ，然后代入 即可求出 ； 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出 所在直线的表达式，进而求解即可． 【详解】（1）∵点 的横坐标是2， ∴将 代入 ∴ ， ∴将 代入 得， ， ∴ ， ∵点 的纵坐标是 ， ∴将 代入 得， ， ∴ ， ∴将 代入 得， ， ∴解得 ， ∴ ； （2）如图所示， 由题意可得， ， ， ∴设 所在直线的表达式为 ， ∴ ，解得 ， 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴当 时， ， ∴直线 经过原点． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题 的关键是熟练掌握以上知识点． 考向六 反比例函数的应用 用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题． 19.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化 而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理 想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部 分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达 到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【点拨】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三 十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能 讲完，否则不能． 【解析】 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y =k x+20， 1 1 把B（10，40）代入得，k =2， 1 ∴y =2x+20． 1 设C、D所在双曲线的解析式为y = ， 2 把C（25，40）代入得，k =1000， 2 ∴ 当x =5时，y =2×5+20=30， 1 1 当 ， ∴y ＜y 1 2 ∴第30分钟注意力更集中． （2）令y =36， 1 ∴36=2x+20， ∴x =8 1 令y =36， 2 ∴ ， ∴ ∵27.8﹣8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【总结】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意 义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应 的函数值． 20.如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y（微克/毫 升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．并测得 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当y=a时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时， 药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？ 【点拨】利用待定系数法分别求出直线OA与双曲线的函数解析式，再令它们相等得出方程， 解方程即可求解． 【解析】 解：设直线OA的解析式为y=kx， 把（4，a）代入，得a=4k，解得k= ， 即直线OA的解析式为y= x． 根据题意，（9，a）在反比例函数的图象上， 则反比例函数的解析式为y= ． 当 x= 时，解得x=±6（负值舍去）， 故成人用药后，血液中药物则至少需要6小时达到最大浓度． 【总结】本题考查了反比例函数的应用，直线与双曲线交点的求法，利用待定系数法求出 关系式是解题的关键． 考向七 反比例函数与平面几何综合 类型一最值问题 21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，等腰直角三角形 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的直角顶点 ，顶点A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线 所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在， 请说明理由． 【答案】(1) ， ；(2)在x轴上存在一点 ，使 周长的值最小,最 小值是 ． 【分析】（1）过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点D，证明 ，则 ，由 得到点A的坐标是 ，由A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上得到 ， 解得 ，得到点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，进一步用待定系数法即可得到 答案； （2）延长 至点 ，使得 ，连接 交x轴于点P，连接 ，利用轴对称的性质 得到 ， ，则 ，由 知 是定值，此时 的周 长为 最小，利用待定系数法求出直线 的解析式，求出点P的 坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点D， 则 ， 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点 ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点A的坐标是 ， A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上． ∴ ， 解得 ， ∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ， ∴ ， ∴反比例函数的解析式是 ， 设直线 所对应的一次函数的表达式为 ，把点A和点B的坐标代入得， ，解得 , 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴直线 所对应的一次函数的表达式为 ， （2）延长 至点 ，使得 ，连接 交x轴于点P，连接 ， ∴点A与点 关于x轴对称， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 的最小值是 的长度， ∵ ，即 是定值， ∴此时 的周长为 最小， 设直线 的解析式是 ， 则 ， 解得 ， ∴直线 的解析式是 ， 当 时， ，解得 ， 即点P的坐标是 ， 此时 ， 综上可知，在x轴上存在一点 ，使 周长的值最小，最小值是 ． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析 式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 形结合和准确计算是解题的关键． 类型二存在性 22．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x 轴交于点 ，与y轴交于点 ，与反比例函数 在第四象限内的图象交于点 ． (1)求反比例函数的表达式： (2)当 时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线 上是否存在点P，使 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) 或 【分析】（1）将 ， 代入 ,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐 标，再将点C的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点A作 交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达 式，与反比例函数联立方程组即可． 【详解】（1）解：把 ， 代入 中得： ， 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 在 中，当 时， ， ∴ ， 把 代入 中得： ， ∴ ， ∴反比例函数的表达式 ； （2）解：联立 ，解得 或 ， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为 ， ∴由函数图象可知，当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当 时， 或 ； （3）解：如图所示，设直线 交y轴于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∵ 是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 同理可得直线 的解析式为 ， 联立 ，解得 或 ， ∴点P的坐标为 或 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求 出对应的函数解析式是解题的关键． 类型三三角形面积问题 23．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，反比例函数 （ 为常数， ）与正比 例函数 （ 为常数， ）的图像交于 两点． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)若y轴上有一点 的面积为4，求点 的坐标． 【答案】(1) ； ；(2) 或 【分析】（1）把 分别代入函数的解析式，计算即可． （2）根据反比例函数的中对称性质，得到 ，设 ，根据 ，列式计算即可． 【详解】（1）∵反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ）的图像交于 两点， ∴ ， 解得 ， 故反比例函数的表达式为 ，正比例函数的表达式 ． （2）∵反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ） 的图像交于 两点， 根据反比例函数图象的中心对称性质， ∴ ，设 ， 根据题意，得 ， ∴ ， 解得 或 ， 故点C的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对 称性是解题的关键． 【34淘宝店铺：向阳百分百】