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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题13 二次函数的综合题
一、选择题
1.（ 2024四川泸州）已知二次函数 （x是自变量）的图象经过第一、二、四象
限，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与 轴有2个交点，开口向上，
而且与 轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】 二次函数 图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与 轴两个交点的横坐标分别为 ，由题意可得
解得 ．
故选：A．
2. （2024四川自贡）一次函数 ，二次函数 ，反比例函数
在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不
等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：
，
解得： ，
∴ 的取值范围是 ，
故选：C．
二、填空题
1.（ 2024甘肃威武）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚
顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足函数关系
的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车
截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或
“不能”）．
【答案】能
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【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大于 ，
则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
2.（ 2024广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心球沿一段抛
物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则 ______ ．
【答案】
【解析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为 ，把点 ，代入即可求
出解析式；当 时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离 ．
【详解】以点O为坐标原点，射线 方向为x轴正半轴，射线 方向为y轴正半轴，建立平面直角
坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．
设抛物线解析式为： ，
把点 代入得： ，
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解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
当 时， ，
解得， （舍去）， ，
即此次实心球被推出的水平距离 为 ．
故答案为：
3. （2024四川德阳）如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交点位
于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，则
；④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论是______
（请填写序号）．
【答案】①②④
【解析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题
的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线
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的对称轴求出 ，根据图象可得当 时， ，即可判断；③利用抛物线的对称
轴，设 两点横坐标与对称轴的距离为 ，求出距离，根据图象可得，距离对称轴
越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
【详解】解：①∵抛物线 的顶点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
由图可知，抛物线开口方向向下，即 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，故①正确，符合题意；
②∵直线 是抛物线的对称轴，
∴ ，
∴ ，
∴
由图象可得：当 时， ，
∴ ，即 ，故②正确，符合题意；
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③∵直线 是抛物线的对称轴，
设 两点横坐标与对称轴的距离为 ，
则 ， ，
∴ ，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴ ，故③错误，不符合题意；
④如图，
∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
三、解答题
1. （2024甘肃临夏）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，作直线 ．
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（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点 是线段 上方的抛物线上一动点，过点 作 ，垂足为 ，请问线段 是
否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点 是直线 上一动点，过点 作线段 （点 在直线 下方），已知
，若线段 与抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
【答案】（1）
（2）存在，最大值是 ，
（3） 或
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思
想进行求解，是解题的关键．
（1）两点式直接求出函数解析式即可；
（2）过点 作 轴，交 于点 ，设 ，根据三角函数得到
，得到当 最大时， 的值最大，转化为二次函数求最值即可；
（3）设 ，得到 ，求出点 恰好在抛物线上且 时的 值，即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
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∴ ；
【小问2详解】
存在；
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ，
过点 作 轴，交 于点 ，设 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∵ ，
∴当 时， 的最大值为 ，此时 最大，为 ，
∴ ；
【小问3详解】
设 ，则： ，
当点 恰好在抛物线上时，则： ，
∴ ，
当 时，则： ，
解得： 或 ，
∵线段 与抛物线有交点，
∴点M的横坐标的取值范围是 或 ．
2.（ 2024甘肃威武）如图1，抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为 ．
点C为 的中点．
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（1）求抛物线 的表达式；
（2）过点C作 ，垂足为H，交抛物线于点E．求线段 的长．
（3）点D为线段 上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形 ．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接 ， ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）① ②
【解析】【分析】（1）根据顶点为 ．设抛物线 ，把 代入解析式，
计算求解即可；
（2）根据顶点为 ．点C为 的中点，得到 ，当 时， ，
得到 ．结合 ，垂足为H，得到 的长．
（3）①根据题意，得 ，结合四边形 是平行四边形，设 ，结合点F落在抛物线
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上，得到 ，解得即可；
②过点B作 轴于点N，作点D关于直线 的对称点G，过点G作 轴于点H，连接
， ， ，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
【小问1详解】
∵抛物线的顶点坐标为 ．
设抛物线 ，
把 代入解析式，得 ，
解得 ，
∴ ．
【小问2详解】
∵顶点为 ．点C为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 轴，
∴E的横坐标为1，
设 ，
当 时， ，
∴ ．
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∴ ．
【小问3详解】
①根据题意，得 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设 ，
∵点F落在抛物线上，
∴ ，
解得 ， (舍去)；
故 ．
②过点B作 轴于点N，作点D关于直线 的对称点G，过点G作 轴于点H，连接
， ， ，
则四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
故当 三点共线时， 取得最小值，
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∵ ，
∴ 的最小值，就是 的最小值，且最小值就是 ，
延长 交y轴于点M，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的最小值是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判
定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性
质是解题的关键．
3.（ 2024深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别
以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位
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置测量数据如下表所示，设 的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．
（1）（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为C，该数学兴趣小组用水平
和竖直直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物线的开口
大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式 为
．
①此时点 的坐标为________；
②将点 坐标代入 中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入 中解得 ________；（用含m，n的式子表示）
（3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有A，B两点， ，且 轴，二次函数
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和 都经过A，B两点，且 和 的顶点P，Q距线段
的距离之和为10，求a的值．
【答案】（1）图见解析， ；
（2）方案一：① ；② ；方案二：① ；② ；
（3）a的值为 或 ．
【解析】【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形写出点 或点B的坐标，再代入求解即可；
（3）先求得 ， ， 的顶点坐标为 ，再求得 顶点距线段
的距离为 ，得到 的顶点距线段 的距离为 ，得到 的顶点坐标为
或 ，再分类求解即可．
【小问1详解】
解：描点，连线，函数图象如图所示，
观察图象知，函数为二次函数，
设抛物线的解析式为 ，
由题意得 ，
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解得 ，
∴y与x的关系式为 ；
【小问2详解】
解：方案一：①∵ ， ，
∴ ，
此时点 的坐标为 ；
故答案 为： ；
②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
方案二：①∵C点坐标为 ， ， ，
∴ ，
此时点B的坐标为 ；
故答案为： ；
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②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：根据题意 和 的对称轴为 ，
则 ， ， 的顶点坐标为 ，
∴ 顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点坐标为 或 ，
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
综上，a的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题
关键．
4.（ 2024贵州省）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于
进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
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（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种
糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】（1）
（2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
（3）2
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函
数的性质求解即可；
（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x 的函数表达式，然后利
用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解∶设y与x 的函数表达式为 ，
把 ， ； ， 代入，得 ，
解得 ，
∴y与x的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
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，
∴当 时， 有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
【小问3详解】
解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴ ，
化简得
解得 ，
当 时， ,
则每盒的利润为： ,舍去，
∴m的值为2．
5.（ 2024武汉市）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第
一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运
行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面
的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．其中，当火箭
运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．
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（1）若火箭第二级的引发点的高度为 ．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图
象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关
键．
（1）①将 代入即可求解；②将 变为 ，即可确定顶点坐
标，得出 ，进而求得当 时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为 ，求得 ，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线 和直线 均经过点
∴ ，
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解得 ， ．
②由①知， ，
∴
∴最大值
当 时，
则
解得 ，
又∵ 时，
∴当 时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离 ．
【小问2详解】
解：当水平距离超过 时，
火箭第二级的引发点为 ，
将 ， 代入 ，得
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，
解得 ，
∴ ．
6. （2024武汉市）抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的右边），交 轴于点 ．
（1）直接写出点 ， ， 的坐标；
（2）如图（1），连接 ， ，过第三象限的抛物线上的点 作直线 ，交y轴于点 ．若
平分线段 ，求点 的坐标；
（3）如图（2），点 与原点 关于点 对称，过原点的直线 交抛物线于 ， 两点（点 在 轴下
方），线段 交抛物线于另一点 ，连接 ．若 ，求直线 的解析式．
【答案】（1） ， ，
（2）
（3）
【解析】
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【分析】（1）分别令 ，解方程，即可求解；
（2）分别求得直线 ，根据 得出 的解析式，设 ，进而求得
点的坐标，进而根据 平分线段 ，则 的中点在直线 上，将点 的坐标代入直线 解析
式，即可求解．
（3）过点 作 轴，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，证明 ，得出
，先求得点 的坐标，设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
，联立抛物线解析式，设 ， ， 根据一元二次方程根与系数的关系，
得出 ， ， ，进而求得 ，代入 ，化简后得出
，即 ，进而即可求解．
【小问1详解】
解：由 ，
当 时， ，则
当 ，
解得：
∵ 在 的右边
∴ ， ，
【小问2详解】
解：设直线 的解析式为
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将 ， 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为
∵
设直线 的解析式为
∵ 在第三象限的抛物线上
设 ，
∴
∴
∴
设 的中点为 ，则
由 ， ，设直线 的解析式为 ，
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将 代入得，
，
解得：
∴直线 的解析式为 ，
∵ 平分线段 ，
∴ 在直线 上，
∴
解得： （舍去）
当 时，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图所示，过点 作 轴，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∴
∴
∴
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∴
即
∵点 与原点 关于点 对称，
∴ ,
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
联立直线 与抛物线解析式 可得， ，
即
联立直线 与抛物线解析式 可得，
即
设 ， ，
∴ ， ， ，
∴
，
∵
∴ ，
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将 代入得：
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质
与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7. （2024湖北省）如图1，二次函数 交 轴于 和 ，交 轴于 ．
（1）求 的值．
（2） 为函数图象上一点，满足 ，求 点的横坐标．
（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为 与 轴交于点 ，记 ，记 顶点
横坐标为 ．
①求 与 的函数解析式．
②记 与 轴围成的图象为 与 重合部分（不计边界）记为 ，若 随 增加而增加，且
内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 或 ；
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（3）① ；② 的取值范围为 或 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得 ， ，作 轴于点 ，设 ，分当 点在 轴上方
和 点在 轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可；
（3）①利用平移的性质得图象 的解析式为 ，得到图象 与 轴交于点 的坐标
，据此列式计算即可求解；
②先求得 或 ， 中含 ， ， 三个整数点（不含边界），再分三种情
况讨论，分别列不等式组，求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数 交 轴于 ，
∴ ，
解得 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得 或 ，
令 ，则 ，
∴ ， ， ，
作 轴于点 ，
设 ，
当 点在 轴上方时，如图，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去）；
当 点在 轴下方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去）；
∴ 或 ；
【小问3详解】
解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
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∴图象 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
由题意知：C、D不重合，则 ，
∴ ；
②由①得 ，
则函数图象如图，
∵ 随 增加而增加，
∴ 或 ， 中含 ， ， 三个整数点（不含边界），
当 内恰有2个整数点 ， 时，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
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∴ ， 或 ，
∴ ；
∵ 或 ，
∴ ；
当 内恰有2个整数点 ， 时，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ 或 ， ，
∴ ；
∵ 或 ，
∴ ；
当 内恰有2个整数点 ， 时，
此情况不存在，舍去，
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综上， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题，也考查了
二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合法是解题的
关键．
8.（ 2024吉林省）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，
输入x的值为 时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y
的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程 （t为实数），在 时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为 ．小明对P，Q
之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直
接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）Ⅰ： 或 ；Ⅱ： 或 ；Ⅲ： 或
【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方
程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方
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程组即可；
（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为： ，二次函数解析式为： ，当 时，
，对称为直线 ，开口向上，故 时，y随着x的增大而增大；当 时，
， ，故 时，y随着x的增大而增大；
Ⅱ：问题转化为抛物线 与直线 在 时无交点，考虑两个临界状态，当
时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，因此当 时，抛物线
与直线 在 时没有交点；当 ， ，故当 时，抛物线
与直线 在 时正好一个交点，因此当 时，抛物线
与直线 在 时没有交点，当 或 时，抛物线 与直线 在
时没有交点，即方程 无解；
Ⅲ： 可求点P、Q关于直线 对称，当 ， ，当 时， ，当图像对应函
数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 时， ， 时， ，故①当 ，
由题意得： ，则 ；②当 ，由题意得： ，则 ，
综上： 或 ．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴将 ， 代入 ，
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得： ，
解得： ，
∵ ，
∴将 ， 代入
得： ，
解得： ；
【小问2详解】
解：Ⅰ，∵ ，
∴一次函数解析式为： ，二次函数解析式为：
当 时， ，对称为直线 ，开口向上，
∴ 时，y随着x的增大而增大；
当 时， ， ，
∴ 时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围： 或 ；
Ⅱ，∵ ，
∴ ，在 时无解，
∴问题转化为抛物线 与直线 在 时无交点，
∵对于 ，当 时，
∴顶点为 ，如图：
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∴当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点；
当 ， ，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，
∴当 或 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，
即：当 或 时，关于x的方程 （t为实数），在 时无解；
Ⅲ：∵ ，
∴ ，
∴点P、Q关于直线 对称，
当 ， ，当 时， ，
∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 时， ， 时， ，
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∴①当 ，如图：
由题意得： ，
∴ ；
②当 ，如图：
由题意得： ，
∴ ，
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综上： 或 ．
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