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反比例函数综合题专项练习
方法突破练
k
1.如图，反比例函数 y= 的图象与直线 y=mx;交于A,B两点,点B 的坐标为( (−2,−3),，则点 A的坐标为
x
( )
A. (1,6)
B. (2,3)
( 3)
C. 2,
2
D. (3,2)
k
2.已知在同一直角坐标系中，一次函数 y₁=kx+b与反比例函数 y = 的图象在第二象限交于点. A(−2,1),
2 x
k
则当 kx> −b时,x的取值范围是 ( )
x
1 1
A. x<-2 或 0 D.x<−2或 x>
2 2
2k
3.已知点 A(x₁,y₁)在反比例函数 y= 的图象上，点. B(x₂,y₂)在一次函数y=kx-k的图象上，当 k>0时，
x
下列判断中正确的是( )
A. 当 x₁=x₂>2时, y₁>y₂
B. 当 x₁=x₂<2时, y₁>y₂,
C. 当 y₁= y₂>k时, x₁x₂
3
4.如图，已知反比例函数 y= (x⟩0)与一次函数 y=x+1的图象交于点M(a,b),则代数式 a²−b²的值为
x
( )
A. -1
B. -2
C.−√13
D.√13
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k
5.如图，点A是反比例函数 y= (k⟩0)图象上一点，点 C 在x轴上，过点A作BM∥x轴交y轴于点M，若
x
AB=AM=1,S =2,则k的值为
( )
ABC
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3
6.如图，已知反比例函数 y= 与正比例函数 y=kx的图象交于A，B两点，过点A作y轴的平行线，过点B
x
作x轴的平行线，两平行线交于点C，则. △ABC的面积为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点C在x轴上，直线 y=k₁x(k₁⟩0)过点A，反比例函数
k
y= (x⟩0)的图象过点A和AC的中点D,连接BC,△ABC的面积为6,则k的值为 .
x
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点 B 在x轴上.若A(-1,3),B(2,0),C(4,2),且反比例函数
k
y= (k⟩0)的图象经过CD的中点E，则k的值为 .
x
9.如图，在平面直角坐标系中， Rt△OAB的边 OA 在 x 轴上, ∠OAB=90°,边OB，AB分别与反比例函数
6
y= (x⟩0)的图象交于C(2,3),D两点,点C恰好为OB的中点,连接CD,则CD的长为 .
x
设问进阶练
例1 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数 y₁=−x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例
k
函数 y = (x⟩0)的图象交于一点 C.
2 x
k
(1)若一次函数 y₁=−x+4与反比例函数 y = 的图象在第一象限内只有一个交点，则k的值为 ( )
2 x
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)创新题·直线平移求距离如图②，在(1)的条件下，将一次函数 y₁=−x+4的图象沿y轴向上平移n个单位
k
得到新的一次函数图象y₃，y₃与反比例函数 y₃,y₃ y = 的图象交于点 D,E.当y₃ y₃ >y₂时，x的取值范围
2 x
为 3−√5y 时，x的取值范围为 00)图象上,连接
x
OA,OB,OC,分别过A,B,C三点向x轴作垂线,与x轴交于点D,E,F.若( OD=DE=EF，且图中阴影部分面积为31，则
k的值为 ( )
A. -21 B. -24 C. -31 D.−36
k
6. 如图，▱ABCD的边CD在x轴上，顶点A在反比例函数 y= (x<0)的图象上，点 B在y轴上，AD 与y
x
OD 1
轴交于点 E.若 = ,S =3,则k的值为 .
OC 3 EOC
k
7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y= (x⟩0)的图象上的B，C两点关于直线y=x对称， y=x以
x
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1
OB，OC为邻边作菱形OBAC，其对角线交于点F.若菱形OBAC的面积为40， tan∠BOA= ,则k的值为 .
2
k
8.如图，一次函数 y=k₁x+b与反比例函数 y= (x⟩0)的图象交于点A(m,4),B(4,1).点P是线段AB上一点，
x
过点P作PQ//y轴，交反比例函数的图象于点Q，连接OP，OQ，则 △OPQ面积的最大值为 .
k
9.(点圆最值)如图，反比例函数 y= (k⟩0)的图象与直线 y=2x在第三象限交于点A，在第一象限交于点
x
1
B,C(2,0),点 M在以点 C 为圆心,1为半径的圆上,连接AM,点 N是 AM 的中点,ON长的最小值为 ,则k的值是 .
2
4
10. 创新题·填空双空题 如图，点 A 为反比例函数 y=− (x<0)图象上一点,连接OA,过点O作AO的垂线
x
OB,且OB=nAO(n>0).则当n=2时,点 B 所在反比例函数图象的函数表达式为 (不写自变量的取值范围)；在点A
运动过程中，若点A的横坐标为m，点B的坐标为 (用含m，n的代数式表示).
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一阶 方法突破练
1. B 【解析】由题意可知,点B(-2,-3)与点A关于原点对称,∴点A的坐标为(2,3).
2. A 【解析】求出y₂解析式，联立求交点坐标.∵一次函数与反比例函数的图象交于点A(-2，1)，∴将A(-2,1)
{y =−2x−3
k 2 1
代入 y
2
=
x
,得 k=−2,∴y
2
=−
x
,将k=-2和点A坐标代入 y₁=kx+b,得b=-3,∴y₁=-2x-3.联立
y =−
2 ,
2 x
{ 1
解得 x= 2 , {x=−2 , ∴一次函数与反比例函数图象的另一个交点为 (1 ,−4 ) .画出函数图象如解图，当
y=1 2
y=−4
k k 1
kx> −b时, kx+b> ,即.y₁>y₂,由图象可得当x<-2或 0y₂.
x x 2
2k
3.C 【解析】联立两函数解析式，得 =k(x−1),解得 x₁=2,x₂=−1,∴交点坐标为(2,k),(-1,-2k),如解图，
x
当 x₁=x₂>2时,y₁k时, x₁y₂时，x的取值范围为
2 x
3−√5yon时，x的取值范围为00),则lB(4a,²/₄),设过点 B，C 的直线解析式为y=kx(k≠0),则
4ak=
a
,∴k=
2a2
,.
过点 B,C的直线解析式为
1
{ y= x {x=2a {x=−2a
y= 1 x, 联立 2a2 解得 1 或 1 舍去), ∴C ( 2a, 1) ,∴S = 1 AB.
2a2 2 y= y=− a ABC 2
y= a a
x
1 (2 1) 3
(y −y )= (4a−a) − = .
A c 2 a a 2
2. A 【解析】可先求直线AM,BM 的解析式,得到点C,D 的坐标,再求解OC·OD 即可.设A(a,-a),则B(-
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a+1
{ c=
{ac+d=−a m−a
, ,:
a,a),∵M(m,1),设直线AM 的解析式为y=cx+d(c≠0),则 解得 直线AM 的 解 析 式 为
mc+d=1 a+am
d=
a−m
a+1 a+am a+am a+am a+am
y= x+ ,∴C ( 0, ),∴OC= ,同理可得， OD=− ,∵A(a,-a),M(m,1)都在反比例函
m−a a−m a−m a−m m+a
k a+am a+am
数 y= (k<−1)的图象上,∴-a·a=k=m·1,即k=m=-a²,∴OC· OD=− ⋅ =−m−1=−k−1,..
x m+a a−m
OC·OD的值随k的值增大而减小.
3. C 【解析】由“垂线段最短”知，AB 垂直于直线y=-x时AB 最小，已知点A 的坐标，可构造“一线三垂
直”模型求出点 D 的坐标，由点 D 在反比例函数的图象上求解即可.如解图，过点 B 作 BM⊥x轴于点M,过点 D
作 DN⊥x轴于点N,当AB 最小时,即AB⊥OB,∵点B在直线y=-x上,∴∠AOB=45°,在Rt△AOB 中,∠AOB = 45°,OA
1 1
= 8,∴ OM = BM =
OA=4,∴S = ×4×4=8,∵四边形
OBCD 是正方形,∴ OB = OD, ∠BOD = 90°,∴
2 BOM 2
k 1
∠DON =∠BOM=45°,∴△ODN≌△OBM(AAS),∵ 点 D 在反比例函数 y= 的图象上，. ∴S =S =8= |k|,
x ODN BMO 2
又∵k>0,∴k=16.
2k
4. A 【解析】①∵直线y=-x+b 与反比例函数 y= (k≠0)的图象的一支交于点
x
C(1,4),∴4=-1+b,2k=4,∴b=5,k=2,正确;②∵A,B 分别是直线y=-x+5 与 x轴,y 轴的交点,∴点 A 的坐标为(5,0),点 B
的坐标为(0,5),∴ OA = OB = 5.
∵∠AOB = 90°,∴∠DAF = 45°. ∵ DF ⊥ x 轴,
∴ △ADF 是 等 腰 直 角 三 角 形, 正 确; ③ 联 立
{y=−x+5
{x=1 {x=4
4 , 解得 或 ,. 点 D 的坐标为
y= y=4 y=1
x
(4,1),∴DF=1,点 C到y轴的距离为1,∵ △AOD
和△BOC 等底等高, ∴S =S ,又∵ S△AEC =
AOD BOC
S −SS四边形OBCE,S△BOD=S△AOB-S△AOD,S四边形OBCE=
AOB
1 1 15
S +S =S +S ,∴S ≠S ,错误;④ S =S −2S = ×5×5−2× ×5×1= ,错误.
BOC COE AOD COE AEC BOD COD AOB AOD 2 2 2
5. D 【解析】如解图,设AD 交OB 于点 M,AD 交 OC于点 N，BE交OC于点P，由反比例函数k的几何意义
1 1 1 1
知， S =S =S =− k,∵OD=DE= EF,∴S = S =− k,S = S =
AOD BOE COF 2 ODN 9 COF 18 ODM 4 BOE
1 3 3 5 5 3 3
− k,S = S =− k,S = S =− k,S = S =− k,
8 四 边 形DE9PN CoF 18 四 边 形EFC9P COF 18 四 边 形DM4BE BOE 8
3 3 5 1 1 3
∴S =S −S =− k+ k= − k,S =S −S =− k+ k=− k,
四 边 形BPNM四 边 形BEDM四 边 形PEDN8 18 24 AOM AOD DOM 2 8 8
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3 5 5 31 31
∴S =S +S +S =− k− k− k=− k,∵阴影部分面积为31, ∴− k=
四形 AOM "边 形BPNM四 边 形EFCP8 24 18 36 36
31,∴k=-36.
OD 1 OD 1 S 1
6. -12 【解析】 ∵ = ,∴ = ,∵EOD和△EDC等高, ∴ EOD= ,∵S =3,∴S =
OC 3 CD 2 S 2 EOC EOD
EDC
1,S△EDC=2,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴△EOD∽△EBA,∴OD=DD=
1 S 1 k
, EOD= ,∴S =4,∴S =S +S =6, S =2S =12,∵点A在反比例函数 y= 的图象
2 S 4 EAB BEC ABE EDC ABCD BEC x
EAB
上,∴k=-12.
1
7. 15 【解析】由菱形 OBAC 的面积为40,tan∠BOA= ,得 CF=√10,OF=2CF=2√10.如解图，延长 BC
2
交 x 轴于点 E,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,则 ∠CED=45❑∘,∴OF=EF=2√10,OE=√2OF=
√2
4√5,CE=EF−CF=√10,CD=DE= CE=√5,
2
k
∴OD=OE−DE=3√5,，则点 C 的坐标为 (3√5, √5)，∵点C 在反比例函数 y= 的图象上,∴k=
x
3√5×√5=15.
9 4
8. 【解析】∵ B(4，1)是一次函数与反比例函数图象的交点，. ∴k=4,∴y= ,:点A(m,4)在反比例函数图
8 x
4
象上， ∴m= =1,∴A(1,4),将 A(1,4),B(4,1)代入 y=k₁x+b,解得 k₁=−1,b=5,∴一次函数的解析式为y=-
4
( 4)
x+5,∵ 点 P 是线段 AB 上一点，PQ∥y轴，交反比例函数的图象于点 Q，∴设P (n,−n+5),Q n, ,且1≤n≤4,
n
1 1
如解图,过点 Q 作QD⊥x 轴于点 D,∴点 P,Q,D 在同一条直线上, ∵S =S −S = OD⋅PD− oD.
OPQ OPD OQD 2 2
DQ=
1
⋅n(−n+5)−
1
⋅n⋅
4
=−
1
(n2−5n)− 2=−
1(
n−
5) 2
+
9
,∴−
1
<0,且 1≤
5
≤4,∴当 n=
5
时,S△OPQ
2 2 n 2 2 2 8 2 2 2
9
有最大值，最大值是 .
8
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32
9. 【解析】看到反比例函数的图象与直线有交点，首 先想到求 交点坐标.联立
25
k √k ( √k √k) √k √k
,∴x=± ,∴A − ,−2 ,B( , 2 ),∴点 A 与点 B 关于原点 O 对称,∴点 O 是线段AB 的中点,∵
2 2 2 2 2 2
1 1
N 是线段 AM 的中点,则 ON∥BM,且 ON= BM,∵ ON 的最小值为 ,∴BM的最小值为1,∵M在⊙C上运动,∴当
2 2
B,C,M三点共线且点 M在BC之间时，BM最小，根据点圆最值模型确定点 M 的位置，如解图，连接BC，与⊙C
(√k ) 2 ( √k) 2 32 32
交于点M,此时 BC=BM+CM=1+1=2,∴ −2 + 2 =4,∴k=0或 ,∵k>0,∴k= .
2 2 25 25
16 (−4n )
10.y= ; ,−mn [解析】如解图，过点A作AC⊥x轴于点 C,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,连接
x m
AB.:OA⊥OB,∴∠AOC+∠BOD=90°.又∵ ∠CAO+∠AOC=90°,∴∠CAO=∠BOD.∵
CO AO 1 ( 4) 4
∠ACO=∠BDO,∴ △ACO∽△ODB. ∵ACD= = = .：设点 A x,− ,则 AC=− ,
BD BO 2 x x
−4×2 8 ( 8 ) 8
OC=−x,∴OD= =− ,BD=−2x. ∴B − ,−2x .∴− ⋅(−2x)=16,∴当 n=2时，点 B 所在反比
x x x x
16 AC CO AO ( 4)
例函数图象的函数表达式为 y= ;∵ACO>ODB,∴ = = = ¹/n.∴设点 A m,− ,旋转变换后点 B
x OD BD BO m
(−4n )
的坐标为 ,−mn .
m
13
