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已知整点个数求取值范围
方法突破练
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=mx²−2mx+m−3与x轴交于点A，B.若线段AB上(包含端点)有且
只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围.
2.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线 y=mx²−2mx−1(m⟩0)与x
轴的交点为A，B，抛物线与线段AB所围成的区域记为 W(不含边界).若区域W内有2个整点，求m的取值范围.
3.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线 y=x²−2ax+a²的顶点为
A，直线 y=−x+3与抛物线交于点 B，C(点 B在点 C的左侧)，抛物线与线段 BC围成的封闭区域(不含边界)记为
W.若区域W内有2个整点，求a的取值范围.
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设问进阶练
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=x²−2x+m−2,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
(1)若抛物线与直线 y=−x+2所围成的封闭区域 W₁(不含边界)内恰好有4个整点，求m的取值范围；
2
(2)若抛物线与双曲线 y=− 所围成的封闭区域 W₂(不含边界)内有2个整点，求m的取值范围；
x
(3) 创新题·抛物线旋转考整点将抛物线绕点 M(−1,0)旋转 180°,得到新抛物线 y',，新抛物线 y''与y轴交于
点 C.若线段OC 上的整点个数小于4，求m的取值范围.
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综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax²+bx+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,与直线 y=kx(k≠0)
交于点 B，抛物线顶点 C 的纵坐标为 −3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 k<0且 S =2S 时，求k的值；
AOC AOB
(3)我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.将线段OB，OA及抛物线上的AB段围成的封闭区域(不含边界)
记为M，若区域M内恰好没有整点，求k的取值范围.
作图区 答题区
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2.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，我们把横、纵坐
2
标都为整数的点叫做整点.反比例函数 y= (x⟩0)的图象经过边 BC的中点，已知抛物线 y=−(x−a)²+2a+1.
x
(1)若抛物线经过点 B，求抛物线的解析式；
(2)当抛物线与反比例函数的图象及x轴所围成的封闭区域内恰好只有2个整点(不包含抛物线与坐标轴上的
点)，且落在正方形内或边上，求a的取值范围.
作图区 答题区
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一阶 方法突破练
1. 解:∵ y=mx²−2mx+m−3=m(x²−2x+1)−3=m(x− 1)²−3,
∴抛物线的顶点坐标为(1，-3)，抛物线的对称轴为直线x=1(由二次函数解析式确定顶点坐标及对称轴),
∵线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，
∴这些整数为-1，0，1，2，3(使区域内整点个数接近题目所给的整点个数)，
∵抛物线顶点坐标为(1，-3)，且抛物线与x轴相交于点A,B,∴m>0,
∴抛物线与x轴的右边交点横坐标3≤x<4，
当x=3时,y=4m-3≤0,∴m≤3/4,
当x=4时,y=9m-3>0,
1 1 3
∴m> (找临界点代入解析式中确定字母的取值范围)，∴m的取值范围为 0时,直线y=kx过(4,1)时,区域M内没有整点，此时 k= ,
4
1
∴当 k≤ 时，区域M内没有整点，
4
1 1
∴当 − ≤k<0或 0
