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专题 09 一次函数与反比例函数
考点 1 一次函数与反比例函数
一、单选题
1．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数
图像上的一点，过点A分别作 轴于点M， 轴于直N，若四边形 的面积
为2．则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·广西贺州·统考中考真题）在反比例函数 中，当 时，y的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2020·四川巴中·统考中考真题）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数 （k≠0，x＞0）
1
的交点A坐标为（2，1），当y≤y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
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A．0＜x≤2 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x≥2
6．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣ ，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
7．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝ （a＞1）的图像
于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S BCD＝5，则a的值为（ ）
△
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2022·山东滨州·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 与 （k为常数且
）的图象大致是（ ）
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A． B．
C． D．
9．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）一次函数 的函数值y随x的增大而减小，当 时，y
的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
10．（2023年湖南省邵阳市中考数学真题）如图，矩形 的顶点 和正方形 的顶点 都在反比
例函数 的图像上，点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
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11．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行
线交 的图象于B，D两点，以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分
别记为 ， ， ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2019·四川眉山·统考中考真题）如图，一束光线从点 出发，经 轴上的点 反射后经过点
，则点 的坐标是( )
A． B． C． D．
13．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系 中，点A、B分别在y，x轴上，
轴．点M、N分别在线段 、 上， ， ，反比例函数 的图象经
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过M、N两点，P为x正半轴上一点，且 ， 的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022·甘肃武威·统考中考真题）若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=
（写出一个满足条件的值）．
15．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为
．
16．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 为常
数， ， 的图象上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ．若 的面积为 ，则
．
17．（2023年四川省成都市数学中考真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则
（填“ ”或“ ”）．
18．（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于
两点，以 为边作等边三角形 ，若反比例函数 的图象过点 ，则 的值为 ．
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19．（2023年四川省乐山市中考数学真题）定义：若x，y满足 且 （t为常数），
则称点 为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
20．（2023年四川省内江市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 垂直于x轴，
以 为对称轴作 的轴对称图形，对称轴 与线段 相交于点F，点D的对应点B恰好落在反
比例函数 的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为 的中点，且 ，
则k的值为 ．
21．（2019·四川眉山·统考中考真题）如图，反比例函数 的图象经过矩形 对角线的交点
，分别交 ， 于点 、 ．若四边形 的面积为12，则 的值为 ．
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22．（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点
D是线段AB上一动点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接
．当 取最小值时， 的最小值是 ．
三、解答题
23．（2021·青海西宁·统考中考真题）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点
A， 轴于点B，延长AB至点C，连接 ．若 ， ．
（1）求 的长和反比例函数的解析式；
（2）将 绕点 旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．
24．（2022·重庆·统考中考真题）反比例函数 的图象如图所示，一次函数 （ ）的图象与
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的图象交于 ， 两点，
(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式 的解集；
(3)一次函数 的图象与x轴交于点C，连接 ，求 的面积．
25．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C为
中点，将 绕着点B逆时针旋转 得到 ．
(1)反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数图像经过A、 两点，求该一次函数的表达式．
26．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，一次函数 （ 为常数， ）的图象与反比
例函数 为常数， 的图象在第一象限交于点 ，与 轴交于点 ．
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(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点 在 轴上， 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标．
27．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系 中，等腰直角三角形 的直角
顶点 ，顶点A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线 所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
28．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点
，与y轴交于点 ，与反比例函数 在第四象限内的图象交于点 ．
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(1)求反比例函数的表达式：
(2)当 时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线 上是否存在点P，使 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
29．（2023年四川省内江市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函
数 的图象在第一象限内交于 和 两点，直线 与x轴相交于点C，连接 ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当 时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)过点B作 平行于x轴，交 于点D，求梯形 的面积．
30．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）如图，已知一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于 ，B两点，与x轴交于点C，将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后与
反比例函数图象交于点D，E．
(1)求k，m的值及C点坐标；
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(2)连接 ， ，求 的面积．
31．（2023年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若 ，则
．
证明：设 ，∵ ，∴ ，
易证
∴ ，
∴
∴ ，
若 时，当 ，则 ．
同理：若 时，当 ，则 ．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点 顺
时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，已知
．
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出 的值；
(3)求直线 的解析式．
32．（2023·广东梅州·统考一模）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于A，B两点，
点A的横坐标为2，点B的横坐标为 ，则不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
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33．（2023·湖北鄂州·统考二模）数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可
以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线 与双曲线 相交于点 ．根
据图象可知关于 的方程 的解是（ ）
A． 或1 B． 或2 C．1或2 D． 或
34．（2023·陕西宝鸡·统考三模）一次函数 的图象不经过第三象限，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
35．（2023·宁夏银川·校考二模）根据如图所示的二次函数 的图象，判断反比例函数
与一次函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
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36．（2023·湖南永州·校考三模）若 ，则一次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系
中的图象大致可能是（ ）
A． B． C．
D．
37．（2023·北京顺义·统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋 元，每星期可卖出 袋，经市场
调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价 元，每星期就少卖出 袋．已知这种干果的进价为每袋
元，设每袋涨价 （元），每星期的销售量为 （袋），每星期销售这种干果的利润为 （元）．则
与 ， 与 满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数，二次函数 B．一次函数，反比例函数
C．反比例函数，二次函数 D．反比例函数，一次函数
38．（2023·江苏南京·统考二模）若一个数 大于它的倒数，结合 和 的图象（如图），可知 的
取值范围是 ．
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39．（2023·湖南长沙·校联考二模）反比例函数 的图象如图所示，点 是该函数图象上一点，
垂直于 轴，垂足是点 ，如果 ，则 的值为 ．
40．（2023·湖北鄂州·统考二模）如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，
轴，已知点 的横坐标分别为 与 的面积之和为 ，则 的值为
．
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41．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，在平面直角坐标系 中，已知正比例函数 的图象与反比
例函数 的图象交于 两点．
(1)求反比例函数的解析式和点 的坐标；
(2)结合图象，请直接写出不等式 的解集．
42．（2023·江苏泰州·统考二模）在平面直角坐标系 中，函数 和直线 （k为常数，
且 ）的图像如图所示，若函数 与 的图像有一个交点 ．
(1)求m，k的值；
(2)过动点 作平行于x轴的直线，分别交函数 和 的图像于点B、C，在点P的运动过程中，
点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值．
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43．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，过
点A作 轴于点B， ，点C在线段 上，且 ．
（1）求k的值及线段 的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当 与 的面积相等时，请求出点P的坐标．
44．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，直线 与反比例函数 在第一条限内交于 ，
两点， 轴上的点 满足 ．
(1)若点 坐标为 ，求点 的坐标；
(2)若 的面积为 ，求实数 的值；
(3)设点 ， 的坐标分别为 ， ，求 的值．
45．（2023·广东梅州·统考一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图像相交于
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、 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足 的 的取值范围；
（3）若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标．
46．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线 与直线 交于点 、
，与两坐标轴分别交于点 ，已知点 ，连接 ．
(1)求 的面积；
(2)作直线 ，将直线 向上平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点，求 的值．
47．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，
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点 ，一次函数 与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数解析式；
(2)连接 ，求 的面积；
(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接 ，把线段 绕点A顺时针旋转 ，点E的
对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
48．（2023·山东济南·统考三模）如图，一次函数 的图像与x轴交于点 ，与反比例函数
的图像交于点 ，过直线 上的点B作 轴于点C，与反比例函数交于点 ，
连接 ， ．
(1)求k的值与B点坐标；
(2)求 ；
(3)若点P是直线 上的动点，是否存在点P，使得 与 相似？若存在，求出此时P点的坐标；
若不存在，请说明理由．
49．（2023·贵州贵阳·统考二模）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于
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点 ， ．
(1)求一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式 的解集．
50．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴负半轴交
于点 ，与 轴交于 点，与反比例函数 交于 ， 两点．
(1)求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象；
(2)请直接写出不等式 的解集；
(3)求 的面积．
51．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于
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点 ，点 ，一次函数 与 轴相交于点 ．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式，
(2)连接 ， ，求 的面积．
52．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，直线 与反比例函数 的图像相交于点A和点
，与x轴的正半轴相交于点B．
(1)求k的值；
(2)连接 ，若点C为线段 的中点，求 的面积．
53．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，平行于 轴的直尺 一部分 与双曲线 交于点 和 ，
与 轴交于点 和 ，点 和 的刻度分别为 和 ，直尺的宽度为 ， (注：平面直角
坐标系内一个单位长度为 )．
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(1)求反比例函数解析式；
(2)若经过 ， 两点的直线关系式为 ，请直接写出不等式 的解集；
(3)求梯形 的面积．
54．（2023·江苏无锡·校考二模）定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿
平行线向下翻折形成新的函数图像，我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”．
【基本应用】
(1)如图，点 、 、 均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(2)在（1）的条件下，点 为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个
交点，求a的取值范围．
【创新应用】
(3)如果反比例函数 的图像上有一点 ，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为
________．
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55.（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线 与直线 交于点 、
，与两坐标轴分别交于点 ，已知点 ，连接 ．
(1)求 的面积；
(2)作直线 ，将直线 向上平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点，求 的值．
yx8
56．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数
k
y k 0 的图象交于 ， 两点（点 在点 左边），与 轴交于点 ，延长 交反比例函数
x A B A B x C AO
k
y k 0 的图象于点 ．
x E
(1)填空：EO________AO（填“>”“=”或“<”）；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出EAC的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
(3)在EAC的平分线上取点F ，使AFE90，连接CF，当k 15时，求△ACF的面积．
57.（2023·宁夏银川·校考二模）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随
教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较
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为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x
（分）的变化规律如图所示，其中 、 分别为线段， 平行于x轴， 为双曲线的一部分．上课
开始时，注意力指数为20，第10分钟时，注意力指数为40．根据图像信息，
回答下列问题：
(1)中间一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时长为__________分钟；
(2)若开始上课第x分钟学生的注意力指数和上课第40分钟时的注意力指数相等，求x的值；
(3)一道数学题，需要讲19分钟，为了讲解效果，要求学生的注意力指数至少为36，那么经过适当安排，
老师能否在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题？请说明理由．
58．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于 、 两点，
与反比例函数 的图象相交于点 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点 的横坐标为 ，过点 作 轴平行线，交反比例函数的图象于点 ，连接 求 的面积．
59．（2023·山东济南·统考三模）已知一次函数 （ ， 为常数， ）的图像如图所示，则正
比例函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图像大致是（ ）
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A． B．
C． D．
60．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）由于机器设备老化，某工厂去年1月份开始对部分
生产设备进行技术升级，边升级边生产．去年1-10月其利润 （万元）与月份 之间的变化如图所示，设
备技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设备技术升级完成后是一次函数图象的一部分，下列说法
正确的是（ ）
A．由图象可知设备技术升级完成前的五个月处于亏损状态，升级后开始盈利
B．由图象可知设备技术升级完成前后共有6个月的利润超过100万元
C．由图象可知设备技术升级完成后每月利润比前一月增加30万元
D．由图象可知设备技术升级完成后最大利润超过200万元/月
25
