文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 09 一次函数
考点 01 正比例函数的图象与性质
1．（2025·吉林长春·中考真题）已知点 、 在同一正比例函数 的图象上，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例
函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点 、 在同一正比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴正比例函数的图象经过二、四象限，当 时 ，当 时 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴选项 正确，选项 错误，
故选： ．
2．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、
乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得 ，
∴ ，
根据正比例函数的意义， 值越大，图象越陡，反之图象越陡， 值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
3．（2024·天津·中考真题）若正比例函数 的图象经过第一、第三象限，则 的值可以等于
（填一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数 中，当 时， 随 的
增大而增大，图象经过第一、三象限；当 时， 随 的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解
答即可．
【详解】解：∵正比例函数 的图象经过第一、三象限，
∴ ，
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ 的值可以等于 ．
故答案为： （答案不唯一）．
4．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点 和点 ，若点A与点B关于原点
对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相
反数，求出 的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，
∴ ，
∴ ， ，
设正比例函数的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ；
故选A．
5．（2023·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴上，点
在直线 上，若点 的坐标为 ，且 均为等
边三角形．则点 的纵坐标为 ．
【答案】
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】过点 作 轴，交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ，先求出
，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得 ，然后解直角三角形可得
的长，即可得点 的纵坐标，同样的方法分别求出点 的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，
由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 轴，交直线 于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
，
当 时， ，即 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，即点 的纵坐标为 ，
同理可得：点 的纵坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，
归纳类推得：点 的纵坐标为 （ 为正整数），
则点 的纵坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，
正确归纳类推出一般规律是解题关键．
考点 02 一次函数的图象
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为
（ ）
A． B．
C． D．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即
可求解．
【详解】解：∵
当 时，一次函数经过第一、二、三象限，
当 时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
2．（2023·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数 的图象经过
一、三、四象限．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴一次函数 的图象经过点 和 ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
3．（2025·江苏扬州·中考真题）已知 ，则一次函数 的图象不经过
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据
可得 ，从而可得 ，再可得 ，然后根据一次函数的
图象特点即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 时， ， ，与 矛盾，
当 时， ， ，与 矛盾，
当 时， ， ，与 矛盾，
当 时， ， ，与 矛盾，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
4．（2020·湖北荆州·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0，
∴图象过一、二、三象限，
故选C．
【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
5．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．
根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可．
【详解】解：∵由已知，得： ，
∴图象经过第一、二、三象限，
∴图象不经过第四象限．
故选：D．
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出
结论．
【详解】解：∵一次函数 ，若y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴图象一定过第二、四象限，
∵b=-1，
∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．
7．（2025·天津·中考真题）将直线 向上平移 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第
一象限，则 的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一，满足 即可）
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解
析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为： ，
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，
∴ ，
∴ ；
∴ 的值可以是2；
故答案为：2（答案不唯一，满足 即可）
8．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
（其中 ， ， ， ， 为常数）的图象分别为直线 ， ．下列结论正确的是（ ）
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与 轴的交点位
置再判断即可．
【详解】解：由一次函数 ： 的图象可得：
， ，
由一次函数 ： 的图象可得：
， ，
∴ ， ， ， ，
正确的结论是A，符合题意，
故选A．
9．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数 ，根据两位同学的对话得出的结论，错
误的是（ ）
A． B． C． D．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数 系数的符号，判断
出函数图象所经过的象限．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第二象限，
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
∴ ，故选项B正确，不符合题意；
∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，则 ，
∴ ，故选项C错误，符合题意；
∵ ，
∴ ，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．
10．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数 的图象与 轴交于点 ，且经过点 ．
(1)求点 和点 的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数 的图象；
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)点 在 轴的正半轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 点坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 坐标是 ，
【分析】（1）令 得出点 的坐标是 ，把 代入 ，即可求解；
（2）画出经过 的直线，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与x轴交于点 ，
∴令
解得
∴点 的坐标是
∵点 在一次函数 的图象上
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ；
（2）解：如图所示，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）解：如图所示，当 时， ;
∵ ， ，
∴ ，
当 时，
∴符合条件的点 坐标是 ， .
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
11．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点 ， 的直线向上平移3个单位长度，平移
后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点 ， ，求出这条直线
的解析式为 ，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为 ，再将每个选项进行验证，
即可作答．
【详解】解：设过点 ， 的直线解析式为 ，
把点 ， 分别代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 ， 的直线向上平移3个单位长度，
∴平移后的直线解析式为 ，
当 时，则 ，
即 在直线 上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意；
当 时，则 ，
即 在直线 上，故D选项不符合题意；
当 时，则 ，
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即 在直线 上，故C选项不符合题意；
故选：B
考点 03 一次函数的性质
1．（2023·湖南益阳·中考真题）关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当 时，
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：由题意可得： ，
∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错；
当 时， ，
∴图象与y轴交于点 ，故B正确；
当 时， ，
∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当 时， ，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当 时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A.当 时， ，即一次函数 的图象与y轴交于点 ，说法正确；
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
B.一次函数 图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当 时， ，原说法错误；
D.一次函数 的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
3．（2023·湖南·中考真题）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可．
【详解】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小，
，
故只有D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4．（2025·山东东营·中考真题）一次函数 的函数值 随 的增大而减小，当 时 的
值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的
增减性可得k的取值范围，再把 代入函数 ，从而判断函数值y的取值范围，即可得
出结果．
【详解】解：∵一次函数 的函数值 随 的增大而减小，
∴ ，
∴当 时， ，
选项中只有3符合要求，
故选：A．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2024·四川南充·中考真题）当 时，一次函数 有最大值6，则实数m的值为
（ ）
A． 或0 B．0或1 C． 或 D． 或1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当 时和当
，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当 即 时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：
解得： 或 （舍去）
当 即 时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：
解得： 或 （舍去）
综上， 或 ，
故选：A
6．（2024·江苏镇江·中考真题）点 、 在一次函数 的图像上，则 （用
“ ”、“ ”或“ ”填空）．
【答案】<
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据 ，可知一次函数值y随着x的增大而增大，
再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数 中， ，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵ ，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ．
故答案为： ．
7．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点 在直线 上，点 在抛物线
上，若 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设直线 与抛物线 对称轴左边的交点为 ，设抛物线顶点坐标为 ，求得
其坐标的横坐标，结合图象分析出 的范围，根据二次函数的性质得出 ，进而即可求
解．
【详解】解：如图所示，设直线 与抛物线 对称轴左边的交点为 ，设抛物线顶点
坐标为
联立
解得： 或
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
由 ，则 ，对称轴为直线 ，
设 ，则点 在 上，
∵ 且 ，
∴ 点在 点的左侧，即 ， ，
当 时，
对于 ，当 ， ，此时 ，
∴ ，
∴
∵对称轴为直线 ，则 ，
∴ 的取值范围是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
考点 0 4 一次函数与方程（组）、不等式
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、B两点，
若 ， ，则关于x的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
根据一次函数与 轴交点坐标可得出答案．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴当 时， ，即 时， ，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
2．（2024·广东·中考真题）已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致是
（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当 函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式 的解集是 ，
∴当 时， ，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线 过点 ， ，则不等式 的
解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案
是解此题的关键．
4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线 与双曲线 交于点 和点
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：∵把 ，直线 与双曲线 交于点 和点 ，
∴当 时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式 的解集是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结
合的思想是解此题的关键．
5．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图
象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． 随 的增大而增大
B．
C．当 时，
D．关于 ， 的方程组 的解为
【答案】C
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 随 的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数 的图象与 轴的交点在 的图象与 轴的交点
的下方，即 ，故选项B正确；
C、由图象可知：当 时， ，故选项C错误；
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D、由图象可知，两条直线的交点为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ；
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从
函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点 在直线 上，坐标 是二元一次方程
的解，则点 的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求
出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组 ，
解得 ，
∴P的坐标为 ，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
考点 0 5 一次函数的实际应用
1．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有 型和 型两种车型，若购买 型公交车 辆， 型公交车
辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元．
(1)求购买 型和 型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的 型和 型新能源公交车每辆年均载客量分别为 万人次和 万人次．公司准
备购买 辆 型、 型两种新能源公交车，总费用不超过 万元．为保障该线路的年均载客总量最大，
请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元；
(2)方案为购买 型公交车 辆， 型公交车 辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为 万人．
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的
数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买 型公交车每辆需 万元，购买 型公交车每辆需 万元，根据“购买 型公交车 辆， 型
公交车 辆，共需 万元；若购买 型公交车 辆， 型公交车 辆，共需 万元”列出方程组解决问
题即可；
（2）设购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，由“公司准备购买 辆 型、 型两种新能源公
交车，总费用不超过 万元”列出不等式求得 的取值，再求出线路的年均载客总量为 与 的关系式，
根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元，
由题意得： ，
解得 ，
答：购买 型新能源公交车每辆需 万元，购买 型新能源公交车每辆需 万元；
（2）解：设购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，该线路的年均载客总量为 万人，
由题意得 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是整数，
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ， ， ；
∴线路的年均载客总量为 与 的关系式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为 （万人次）
∴ （辆）
∴购买方案为购买 型公交车 辆，则 型公交车 辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人
次，
2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计
划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学
生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，
学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种
大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名
(2)6
(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老
师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；
（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要
保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于 辆，即可解答；
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车 辆，列出不等式组，解得 ，设租车费用为y元，
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
得出 ，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
，
解得： ，
∴ ，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
∴汽车总数不少于 （辆），则汽车总数最少为6辆，
∴共需租车6辆，
故答案为：6．
（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车 辆，
，
解得： ，
∵a为整数，
∴ 或 ，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，
，
∵ ，
∴y随a的增大而增大，
∴当 时，y最小， ，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，
解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023·内蒙古·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒
的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A， 两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的
豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒 盒，设去A
厂家购买应付 元，去 厂家购买应付 元，其函数图象如图所示：
①分别求出 ， 与 之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元
(2)① （ 且 为整数）； ；②购买粽子礼盒少于75盒，去A
厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或 厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去
厂家购买划算
【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为 元，则每盒肉粽的进价为 元，列分式方程求解即可；
（2）①根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；②由 得 ，解得 ，
结合图象即可得解．
【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为 元，则每盒肉粽的进价为 元
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
方程两边乘 ，得
解得
检验：当 时，
∴ 是原方程的解
答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元．
（2）解：① （ 且 为整数）
当 且 为整数时，
当 且 为整数时，
∴
②当 且 为整数，
时
由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或 厂家
购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去 厂家购买划算．
【点睛】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量关
系列分式方程是解题的关键．
4．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社
区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯
和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 ，请通过计算设
计一种购买方案，使所需费用最少．
【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为 元， 元
(2)购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等
式以及一次函数关系式是解题的关键；
（1）设甲、乙两种路灯的单价分别为 元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买甲种路灯 盏，则购买乙种路灯 盏，列出不等式，求得 ，设购买费用为 元，
得出 ，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为 元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为 ， 元
（2）解：设购买甲种路灯 盏，则购买乙种路灯 盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为 元，根据题意得，
∵
∴当 取得最大值时， 取得最小值，
∴ 时， （盏） ，
即购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少，
答：购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少．
5．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂
家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购
进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为
元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰
辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多
30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
【答案】 55 1260
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为 元，则小号“龙辰辰”的单价为 元，根据题意建立
分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为 个，则购进大号“龙辰辰”的数量为
个，先求出 的取值范围，再设该网店所获利润为 元，建立 关于 的函数关系式，利用一次函数的性
质求解即可得．
【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为 元，则小号“龙辰辰”的单价为 元，
由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元．
设购进小号“龙辰辰”的数量为 个，则购进大号“龙辰辰”的数量为 个，
由题意得： ，
解得 ，
设该网店所获利润为 元，
则 ，
由一次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而减小，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
即该网店所获最大利润为1260元，
故答案为：55；1260．
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完
美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园
里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开
始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热
情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区
行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y
（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)A，C两区相距__________米， __________；
(2)求线段 所在直线的函数解析式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
【答案】(1)
(2)
(3)7分或11分或13分
【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a；
（2）求出 ，由图象可得 ，设直线 的解析式为 ，进而问题可求解；
（3）由题意可分三种情况分别进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为 （米），
由题意可知， 表示甲到达B区的时间，则 ，
故答案为：
（2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区，
∴点E的横坐标为 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得到，
，解得： ，
∴线段 所在直线的函数解析式为： ；
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，
则 ，
解得 ，
即机器人乙行进的时间为 分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，
则 ，
解得 ，
即机器人乙行进的时间为 分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，
当 时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为
，把 ， 代入得到，
，解得： ，
∴线段所在直线的函数解析式为： ；
则 ，
解得 ，
即机器人乙行进的时间为 分时，机器人甲、乙相距30米；
综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．
7．（2025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平
伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量
他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
编
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
身
16 16 16 17 17 17 17 17 17 17
高
6 9 9 1 2 3 3 3 4 4
臂
16 16 16 16 16 16 16 16 16 17
展
1 2 4 6 4 5 7 9 9 0
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
编
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
号
身
17 17 17 17 17 17 18 18 18 18
高
5 6 7 7 8 9 0 0 1 3
臂
16 16 17 17 17 17 17 17 17 18
展
9 7 3 2 3 0 7 4 6 5
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均 中位 众
数 数 数
身高
175 m 173
臂展
170 169
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组： ，
）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域
内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展 与身高 之间关联关系的直线 ．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 、 的值： ， ；
(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于 的男生人数；
(3)图②中直线 近似的函数关系式为 ，根据直线 反映的趋势，估计身高为 男生的臂展
长度．
【答案】(1) ；
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2) 人
(3)身高为 男生的臂展长度约为 .
【分析】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体；
（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为 ，再乘以总人数即可；
（3）把 代入 即可得到答案.
【详解】（1）解：由表格信息可得： ；
；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵ ，
当 时， ，
∴身高为 男生的臂展长度约为 .
34
