文档内容
2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．)
1．(2016·山东理，1)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
2．(2016·山东理，2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )
A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
3．(2016·山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所
示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，
[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不
少于22.5小时的人数是( )
A．56 B．60 C．120 D．140
4．(2016·山东理，4)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9 C．10 D．12
5．(2016·山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体
的体积为( )
A.＋π B.＋π
C.＋π D．1＋π
6．(2016·山东理，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(2016·山东理，7)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是( )
A. B．π
C. D．2π
8．(2016·山东理，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，
则实数t的值为( )
A．4 B．－4 C. D．－
9．(2016·山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，
f (－x)＝－f (x)；当x>时，f ＝f ，则f(6)等于( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
10．(2016·山东理，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切
线互相垂直，则称y＝f (x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．(2016·山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输
出的i的值为________．
12．(2016·山东理，12)若5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.
13．(2016·山东理，13)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，
AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
14．(2016·山东理，14)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2
＝9相交”发生的概率为________．
15．(2016·山东理，15)已知函数f(x)＝ 其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)
＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
三、解答题：本答题共6小题，共75分．
16．(2016·山东理，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tanB)＝＋.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．
17．(2016·山东理，17)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆
O′的直径，FB是圆台的一条母线．
(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F-BC-A的余弦值．
18．(2016·山东理，18)已知数列{a}的前n项和S＝3n2＋8n，{b}是等差数列，且a＝b＋
n n n n n
b .
n＋1
(1)求数列{b}的通项公式；
n
(2)令c＝，求数列{c}的前n项和T.
n n n
19．(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜
一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，
则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，
乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设
“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
20．(2016·山东理，20)已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立．
21．(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，抛物
线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，
线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证：点M在定直线上；
②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S ，△PDM的面积为S ，求的最大值及取得
1 2
最大值时点P的坐标．答案解析
1.解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3
－2i，∴解得∴z＝1－2i，故选B.
答案 B
2.解析 ∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1且－
1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.
答案 D
10.解析 对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l 的斜率k ＝1，
1 1
当x＝π时，该点处切线l 的斜率k ＝－1，∴k·k ＝－1，∴l⊥l ；对函数y＝ln x求导，得
2 2 1 2 1 2
y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积
不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.答案 A
11.解析 第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，ab，输出i的值为3.
答案 3
12.解析 ∵T ＝C(ax2)5－rr＝a5－rCx ，
r＋1
∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.
答案 －2
13.解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－
2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案 2
14.解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函
数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－
3m>0，解得m>3.
答案 (3，＋∞)
16.(1)证明 由题意知
2＝＋.
化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B，因为A＋
B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，从而sin A＋sin B＝2sin C，由正弦定理得
a＋b＝2c.
(2)解 由(1)知c＝，所以cos C＝＝＝－≥，当且仅当a＝b时，等号成立，故cos C的最小
值为.
17.(1)证明 设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以
GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面
ABC.
因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.
(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
由题意得B(0,2，0)，C(－2，0,0)．过点F作FM垂直OB于点M，
所以FM＝＝3，可得F(0，，3)．
故BC＝(－2，－2，0)，BF＝(0，－，3)．
设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量．
由可得
可得平面BCF的一个法向量m＝，
因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
所以二面角F-BC-A的余弦值为.
18.解 (1)由题意知，当n≥2时，a＝S－S ＝6n＋5，
n n n－1
当n＝1时，a＝S＝11，所以a＝6n＋5.
1 1 n
设数列{b}的公差为d.由
n
即可解得b＝4，d＝3，所以b＝3n＋1.
1 n
(3)由(1)知，c＝＝3(n＋1)·2n＋1.
n
又T＝c＋c＋…＋c，得T＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
n 1 2 n n
2T＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]．
n
两式作差，得－T＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
n
＝3×
＝－3n·2n＋2，所以T＝3n·2n＋2.
n
19.解 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.
由事件的独立性与互斥性，P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)
＝ P(A)P(B)P(C)P(D) ＋ P()P(B)P(C)P(D) ＋ P(A)P()P(C)P(D) ＋ P(A)P(B)P()P(D) ＋
P(A)P(B)P(C)P()
＝×××＋2×＝.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2×＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2×＝＝.
P(X＝6)＝×××＝＝.
可得随机变量X的分布列为
x 0 1 2 3 4 6
P
所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.
20.(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－－＋＝.
当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
当a>0时，f′(x)＝.
①01，
当x∈(0,1)或x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
②a＝2时，＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增．
③a>2时，0<<1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；
当02时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
(2)证明 由(1)知，a＝1时，
f(x)－f′(x)＝x－ln x＋－
＝x－ln x＋＋－－1，x∈[1,2]．
设g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋－－1，x∈[1,2]，则f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x)．由g′(x)＝≥0，
可得g(x)≥g(1)＝1，当且仅当x＝1时取得等号．又h′(x)＝.
设φ(x)＝－3x2－2x＋6，则φ(x)在x∈[1,2]单调递减．
因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x∈(1,2)，使得x∈(1，x)时，φ(x)>0，x∈(x ，2)时，
0 0 0
φ(x)<0.
所以h(x)在(1，x)内单调递增，在(x，2)内单调递减．
0 0
由h(1)＝1，h(2)＝，可得h(x)≥h(2)＝，
当且仅当x＝2时取得等号．
所以f(x)－f′(x)>g(1)＋h(2)＝.即f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立．
21.(1)解 由题意知＝，可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点F，所以b＝，a＝1，所以椭圆
C的方程为x2＋4y2＝1.
(2)①证明 设P(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方
程为y－＝m(x－m)．
即y＝mx－.
设A(x，y)，B(x，y)，D(x，y)．
1 1 2 2 0 0
联立方程
得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.
由Δ>0，得0
