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专题 11 反比例函数的核心知识点精讲
1.了解反比例函数的概念，以及反比例函数解析式的变形.
2.掌握反比例函数的图象与性质.
3.掌握用待定系数法求反比例函数的解析式.
4.熟悉反比例函数与其他几何图形结合.
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例
1. （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取
反比例
值范围是非零的一切实数． 例：函数y=3xm+1，当m= － 2 时，则该
函数的 （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： 函数是反比例函数．
概念 ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上
的方法：①把点的横、纵坐标代入看
是否满足其解析式；②把点的横、纵
k>0 图象经过第 每个象限内，函数y的值 坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
一、三象限 随x的增大而减小. 失分点警示
2.
反比例
（ x 、 y 同
（2）反比例函数值大小的比较时，首
函数的图 先要判断自变量的取值是否同号，即
号）
象和性质 是否在同一个象限内，若不在则不能
k<0 图象经过第 每个象限内，函数y的值 运用性质进行比较，可以画出草图，
二、四象限 随x的增大而增大. 直观地判断.
（ x 、 y 异
号）
3. （1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
反比例
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
函数的 例：若(a，b)在反比例函数 的
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别
图象特 图象上，则(－a，－b)在该函数图象
是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
征 上.(填“在"、"不在")
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k 例：已知反比例函数图象过点（－3，
4.
待定系 即可.
数法
－1），则它的解析式是y= .
知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与 失分点警示
坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面 已知相关面积，求反比例函数的表达
积为1/2|k|. 式，注意若函数图象在第二、四象
（2）常见的面积类型： 限，则k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作
5. 坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反
系数 k
的几何
意义 比 例 函 数 解 析 式 为 ： 或
.
6. （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称 涉及与面积有关的问题时，①要善于
与一次
性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用 把点的横、纵坐标转化为图形的边
函数的
方程思想求解. 长，对于不好直接求的面积往往可分
综合 割转化为较好求的三角形面积；②也
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要注意系数k的几何意义.
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系， 例：如图所示，三个阴影部分的面积
可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也 按从小到大的顺序排列为：S△AOC =S△OPE
可逐一选项判断、排除. ＞ S△BOD .
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方
的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
知识点三：反比例函数的实际应用
7 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
.
（3）依题意求解函数表达式；
一 般 （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
步骤
【题型1：反比例函数的图像和性质】
【典例1】（2023•武汉）关于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
【答案】C
【解答】解：反比例函数 ，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；
反比例函数 ，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；
反比例函数 图象经过点（a，a+2），
∴a（a+2）＝3，
解得a＝1或a＝﹣3，
故D选项错误，
故选：C．
1.（2023•重庆）反比例函数y＝﹣ 的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，2） D．（2，2）
【答案】C
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【解答】解：∵反比例函数y＝﹣ ，
∴k＝﹣4，
A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；
D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与 的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），
∴直线经过点（1，0），A、C不合题意；
B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛
盾，不合题意；
D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＜0，一
致，符合题意；
故选：D．
3．（2023•济南）已知点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）都在反比例函数y＝ （k＜0）的图象
1 2 3
上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 1 3 2 3 1 2 2 3 1
【答案】C
【解答】解：∵ ，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ），
1 2 3
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∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y ＞0，y ＞0，y ＜0，
1 2 3
又∵﹣4＜﹣2，
∴y ＜y ，
1 2
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：C．
【题型2：求反比例函数解析式】
【典例2】（2022•湖北）在反比例函数y＝ 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣
kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 y ＝ ．
【答案】y＝ ．
【解答】解：∵整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，
∴k＝±4，
∵反比例函数y＝ 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
解得k＞1，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
故答案为：y＝ ．
1．（2023•青岛）反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ），则反比例函数的表达式为 y ＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ），
∴ ＝m．
∴m＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝ ．
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2．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在
正比例函数y＝ x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 y ＝﹣ ．
【答案】y＝﹣ ．
【解答】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝ x的图象上，
∴m＝ ＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ，
故答案为：y＝﹣ ．
3．（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶
点A在y轴上，双曲线y＝ （k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2 ，则k＝ ﹣ ．
【答案】﹣ ．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，
∴CE＝BE，
∴AE＝ BC＝ ，
∴A（0， ），C（﹣ ，2 ），
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∵D是AC的中点，
∴D（﹣ ， ），
∴k＝﹣ × ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
4．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，
tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝ ，则图
象经过点D的反比例函数的解析式是 y ＝﹣ ．
【答案】y＝﹣ ．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．
∵tan∠ABO＝ ＝3，
∴可以假设OB＝a，OA＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
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∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵点C在y＝ 的图象上，
∴2a2＝1，
同法可证△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
设经过点D的反比例函数的解析式为y＝ ，则有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣ ．
故答案为：y＝﹣
【题型3：反比例函数系数K的几何意义】
【典例3】（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，顶点B、C
在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝ ，则k＝ ﹣
．
【答案】﹣ ．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
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∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝ ，
∴ ，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴ ，
∴ ，
∴S△OEA ＝ ，
∵S△OEA ＝ |k|，k＜0，
∴k＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
1．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC
的中点，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 4 ．
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】4．
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：
设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），
∴CD＝a，OA＝c，
∵△AOC的面积是6，
∴ ，
∴ac＝12，
∵点C（a，b）在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴k＝ab，
∵点B为AC的中点，
∴点 ，
∵点B在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴ ，
即：4k＝a（b+c），
∴4k＝ab+ac，
将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．
故答案为：4．
2．（2023•黄石）如图，点A（a， ） 和B（b， ）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，其中a＞b
＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为 ，则 ＝ 2 ．
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【答案】 ，2．
【解答】解：因为点A（a， ）在反比例函数y＝ 的图象上，
则 ，又a＞0，
解得k＝5．
根据k的几何意义可知，
．
过点B作x轴的垂线，垂足为D，
则S△OBD +S梯形ACDB ＝S△AOC +S△AOB ，
又根据k的几何意义可知，
S△OBD ＝S△AOC ，
则S梯形ACDB ＝S△AOB ．
又△AOB的面积为 ，且A（a， ），B（b， ），
所以 ，
即 ．
解得 ．
又a＞b＞0，
所以 ．
故答案为： ，2．
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3．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，
反比例函数y＝ （k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点
N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 2 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝12AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝kx（k＞0）上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（6a，6a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝ （k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝ ，
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∴P（ ，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝ ，MH＝a，
∴S矩形OMHN ＝NH×MH＝ ×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
【题型4：与反比例函数有关的综合题】
【典例4】（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+ （k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m为常
数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝ x+ ，反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+ ，得
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．
解得 ．
故A（1，3）．
将其代入反比例函数y＝ ，得
＝3．
解得m＝3．
故一次函数的解析式为y＝ x+ ，反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB＝ ＝5．
设P（a，0），
当AB＝AP时，5＝ ．
解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．
故P（5，0）；
当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
1．（2023•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝ 相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的
面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
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【答案】（1）y＝ ，y＝﹣ x+4；
（2）10；
（3）2＜x＜6或x＜0．
【解答】解：（1）将A（2，3）代入双曲线y＝ ，
∴m＝6，
∴双曲线的解析式为y＝ ，
将点B（n，1）代入y＝ ，
∴n＝6，
∴B（6，1），
将A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线解析式为y＝﹣ x+4；
（2）∵直线AB向下平移至CD，
∴AB∥CD，
设直线CD的解析式为y＝﹣ x+n，
将点C（﹣2，0）代入y＝﹣ x+n，
∴1+n＝0，
解得n＝﹣1，
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∴直线CD的解析式为y＝﹣ x﹣1，
∴D（0，﹣1），
过点D作DG⊥AB交于G，
设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，
∴H（0，4），F（8，0），
∵∠HFO+∠OHF＝90°，∠OHG+∠HDG＝90°，
∴∠HDG＝∠HFO，
∵OH＝4，OF＝8，
∴HF＝4 ，
∴cos∠HFO＝ ，
∵DH＝5，
∴DG＝ DH＝2 ，
∵AB＝2 ，
∴△ABD的面积＝ 2 ×2 ＝10；
方法2：S△ABD ＝S△HBD ﹣S△HAD
＝ HD （x ﹣x ）
B A
＝ 5×4
＝10；
（3）由图可知2＜x＜6或x＜0时，﹣ x﹣1＞ ．
2．（2023•营口）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝ ，
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AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）C（4，2）．
【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA＝90°，
在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝ ，
∴OB＝4，
∴A（2，4），
∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝4×2＝8；
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝4，
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D（6，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，
∴ ，
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∴ ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，反比例函数的解析式为y＝ ②，
联立①②解得， 或 ，
∴C（4，2）．
一．选择题（共9小题）
1．若点（﹣1，4）在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B．（﹣4，﹣1） C． D．（﹣4，1）
【答案】D
【解答】解：将点（﹣1，4）代入反比例函数解析式，得： ，
解得：k＝﹣4，
∴反比例函数解析式为： ．
当 时，y＝16，故 不在反比例函数图象上，故A不符合题意；
当x＝﹣4时，y＝1，故（﹣4，﹣1）不在反比例函数图象上，（﹣4，1）在反比例函数图象上，故B
不符合题意，D符合题意；
当 时，y＝﹣16，故 不在反比例函数图象上，故C不符合题意．
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故选：D．
2．已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2）
B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内
D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
【答案】B
【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝﹣ ＝2，即该函数过点（﹣1，2），故结论正确，选项A不符合题
意；
B．∵反比例函数y＝﹣ ，k＝﹣2＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故结论错误，选项B符合题意；
C．∵反比例函数y＝﹣ ，k＝﹣2＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，故结论正确，选项C不符合题意；
D．∵反比例函数y＝﹣ ，k＝﹣2＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵当x＝1时，y＝﹣ ＝﹣2，
∴若x＞1，则﹣2＜y＜0，故结论正确，选项D不符合题意；
故选：B．
3．反比例函数 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
【答案】D
【解答】解：∵反比例函数 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴a+3＜0，解得a＜﹣3．
故选：D．
4．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，
其图象经过A（4，30），B（2，b）两点（如图），则下列说法错误的是（ ）
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A．y与S之间满足的函数关系式为
B．点B的坐标为（2，60）
C．若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2
D．若面条的横截面面积不超过0.8mm2，则面条的总长度不超过150m
【答案】D
【解答】解：设y与x之间的函数表达式为：y＝ （S＞0），
将（4，30）代入可得：k＝120，
∴y与S之间的函数表达式为：y＝ （S＞0），故A选项正确，不符合题意；
将S＝2代入y＝ 可得y＝60，
所以点B的坐标为（2，60），
故B选项正确，不符合题意；
当y＝100时， ＝100，
解得：S＝1.2，
∴若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2，故C选项正确，不符合题意；
实际意义：当面条的横截面积为1.6mm2时，面条长度为80m；
∵厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2，
∴y≥ ＝150，
故面条的总长度至少为150m，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
5．函数 和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：在函数 （k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数 （k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象
限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k＜0时，函数 （k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象
限，故选项C错误，
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数 （k＞0，x＞0）的图象与线
段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解答】解：连接OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB＝3BC，
∴S△AOB ＝3S△BOC ，
∴S△BOC ＝ ×12＝4，
∴ |k|＝4，
而k＞0，
【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴k＝8．
故选：C．
7．下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．
【答案】C
【解答】解：A、∵y＝x2+2x﹣3开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，且函数图象过（0，﹣3）点，
∴该函数图象过一、二、三、四象限，故本选项不合题意；
B、∵y＝2x的系数2＞0，
∴该函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；
C、在y＝﹣x+2中，k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴该函数图象过一、二、四象限，故本选项符合题意；
D、∵y＝ 中，3＞0，
∴函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；
故选：C．
8．如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y ＝ 的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为
1 1 2
3，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【答案】B
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3，
∴点B的横坐标为﹣3．
观察函数图象，发现：
当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
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∴当y ＜y 时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
1 2
故选：B．
9．如图，点A是反比例函数 图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数 图
象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（ ）
A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
【答案】B
【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝ （x＜0）图象交于点B，
而m＜0，n＜0，
∴S△AOC ＝ |m|＝﹣ m，S△BOC ＝ |n|＝﹣ n，
∵AC＝3BC，
∴AB＝2BC，
∴S△ABO ＝2S△OBC ＝2，
即﹣ n＝1，解得n＝﹣2，
∵﹣ m＝2+1，解得m＝﹣6，
∴m+n＝﹣6﹣2＝﹣8．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
10．若反比例函数 的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 k ＞ 9 ．
【答案】k＞9．
【解答】解：∵反比例函数 的图象分布在第一、三象限，
∴k﹣9＞0，
解得k＞9．
故答案为：k＞9．
11．反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣1），则k的值为 ﹣ 1 ．
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【答案】﹣1．
【解答】﹣解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣1），
把点（2，﹣1）代入y＝
∴﹣1＝ ，
解得：k＝﹣1；
故答案为：﹣1．
12．反比例函数 在第一象限的图象如图，过y 上的任意一点A，作x轴的平行线
1
交y
2
于点B，交y轴于点C，连接OA、OB，若S△AOB ＝2，则k的值为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴ ， ，
∵S△OBC ﹣S△OAC ＝S△AOB ，
∴ ，
而k＞0，
∴k＝8．
故答案为：8．
13．已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25
米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为 0.4米的眼镜
了，则小慧所戴眼镜的度数降低了 15 0 度．
【答案】150．
【解答】解：设函数的解析式为y＝ （x＞0），
∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
∴k＝400×0.25＝100，
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∴解析式为y＝ ，
∴当y＝0.4时，x＝ ＝250，
∵小慧原来戴400度的近视眼镜，
∴小慧所戴眼镜的度数降低了400﹣250＝150度，
故答案为：150．
三．解答题（共3小题）
14．已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝12．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当y＝﹣6时，求x的值．
【答案】（1） ；
（2）﹣4．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为 ，
将x＝2，y＝12代入，得 ，
解得k＝24，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）当y＝﹣6时， ，
解得x＝﹣4．
15．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y℃，从加热开始计算的时间为x
分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为
4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与
时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．
（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
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【答案】（1）该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝4x+4（0＜x＜6），停止加热过程中对应的函
数解析式为y＝ （6≤x≤42）；
（2）对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．
【解答】解：（1）设停止加热过程中对应的函数解析式为y＝ ，
∵点（12，14）在该函数的图象上，
∴14＝ ，得k＝168，
∴停止加热过程中对应的函数解析式为y＝ ，
当y＝28时，28＝ ，得x＝6，当y＝4时，4＝ ，得x＝42，
∴停止加热过程中对应的函数解析式为y＝ （6≤x≤42），
设该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（0，4）、（6，28）在该函数的图象上，
∴ ，得 ，
∴该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝4x+4（0＜x＜6）；
（2）将y＝12代入y＝4x+4中，12＝4x+4，得x＝2，
将y＝12代入y＝ 中，12＝ ，得x＝14，
14﹣2＝12（分钟），
答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．
16．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b 的解集．
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【答案】（1）y＝﹣2x﹣4，y＝﹣ ；
（2）8；
（3）x＜﹣3或0＜x＜1．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则 ，
解得k＝﹣2，b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣ ；
（2）如图，设直线AB交y轴于C，
则C（0，﹣4），
∴S△AOB ＝S△OCA +S△OCB ＝ ×4×3+ ×4×1＝8；
（3）观察函数图象知，
不等式kx+b＞ 的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．
1．反比例函数 的图象一定经过点（ ）
A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（2，4） D．（3，2）
【答案】D
【解答】解：反比例函数 中k＝6，
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A、∵3×（﹣2）＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵2×4＝8≠6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
D、∵3×2＝6，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
2．如图，点A是反比例图数 图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝ 图
象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为6，则m+n＝（ ）
A．﹣8 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣24
【答案】D
【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，
而m＜0，n＜0，
∴S△AOC ＝ |m|＝﹣ m，S△BOC ＝ |n|＝﹣ n，
∵AB＝2BC，△OAB的面积为6，
∴S△OAB ＝2S△OBC ＝6，
即﹣ n＝3，
解得n＝﹣6
∵﹣ m＝6+3，解得m＝﹣18，
∴m+n＝﹣18﹣6＝﹣24．
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，AD
＝OB，双曲线 经过AB的中点F，交BC于点E，下列四个结论：
① ；
②S菱形OABC ＝40；
③E点的坐标是 ；
④连OF、CF，则S△COF ＝10，则正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，
∵A（5，0），
∴OA＝5．
设OD＝x，
∴AD＝2OD＝2x．
又AC⊥BD，
∴OD2+AD2＝OA2．
∴x2+4x2＝25．
∴x＝ ．
∴AC＝2AD＝4 ，OB＝2OD＝2 ．
∴AC+OB＝6 ，故①正确．
∴S菱形OABC ＝ AC•OB＝ ×4 ×2 ＝20，故②正确．
又S菱形OABC ＝BM•OA＝5BM＝20，
∴BM＝4．
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝4，由勾股定理可得AM＝3，
∴OM＝OA﹣AM＝5﹣3＝2．
∵F为AB中点，
∴FG是△ABM的中位线，
∴FG＝ BM＝2，MG＝ AM＝ ．
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∴OF＝ ．
∴F（ ，2）．
∵双曲线过点F，
∴k＝xy＝ ×2＝7．
∴双曲线解析式为y＝ （x＞0）．
由上可知，BM＝4，故设E（x，4）．
将其代入双曲线y＝ （x＞0），得4＝ ，
∴x＝ ．
∴E（ ，4），故③正确．
∵S菱形OABC ＝20，
∴S△COF ＝ S菱形OABC ＝10，故④正确．
综上所述，正确的结论有D个，
故选：D．
4．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与 的图象交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等
式 的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与 的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，
【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴不等式 的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：D．
5．在如图，Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠B＝60°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°，
双曲线y＝ 经过点A，则k的值为（ ）
A． B．﹣9 C． D．﹣6
【答案】B
【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠B＝60°，
∴∠AOB＝30°，
设AB＝a，则OB＝2a，OA＝ ，
由题意可知，∠COA＝30°，
∵∠COA＝∠AOB＝30°，∠ACO＝∠BAO＝90°，
∴△COA∽△AOB，
∴ ，即 ＝ ，
∴S△COA ＝ ，
∴|k|＝2S ＝9，
COA
∴k＝﹣9．
故选：B．
【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC是边长为3的正方形，反
比例函数 的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一
点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【解答】解：∵正方形OABC的边长是3，
∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，
∴ ， ，3），
∴ ， ，
∵△ODE的面积为4，
∴ ，
∴k＝3或﹣3（舍去），
∴D（3，1），E（1，3），
作E关于y轴的对称点E′，连接DE′交y轴于P，则DE′的长＝PD+PE的最小值，
∵CE＝CE′＝1＝AD，
∴BE′＝4，BD＝2，
∴DE′＝ ＝ ＝2 ，
【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即PD+PE的最小值为 ，
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝k x+b的图象与反比例函数 的图象交于A（m，1），
1
两点，与x轴、y轴交于点C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P是第四象限内反比例函数图象上的一点，△COP的面积是△AOD的面积的2倍，求点P的
坐标．
【答案】（1） ， ；
（2） ．
【解答】解：（1）∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
解得k ＝﹣2，
2
∴反比例函数的表达式为 ；
∵点A（m，1）在反比例函数y＝﹣2的图象上，
∴ ，解得m＝﹣2，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）， 在一次函数y＝k x+b的图象上，
1
∴ ，
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得 ，
∴一次函数的表达式为： ；
（2）由（1）得，一次函数的解析式为 ，
令x＝0，则y＝﹣2；
令y＝0，则 ， ，
∴ ，D（0，﹣2）
∴ ，OD＝2，
∴ ，
∴S△COP ＝2S△AOD ＝4，
设点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
8．如图，已知反比例函数 和一次函数y＝2x﹣1交于点A，其中一次函数的图象经过（a，b）、
（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的坐标为（1，1），在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）y＝ ；
（2）存在，（﹣ ，0）或（ ，0）或（2，0）或（1，0）．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣1的图象经过（a，b）、（a+k，b+k+2）两点，
∴ ，
解得：k＝2，
∴反比例函数的解析式为：y＝ ，即y＝ ；
（2）∵点A的坐标为（1，1），
∴OA＝ ＝ ，
当OP＝OA时，点P的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0），
当OA＝AP时，点P的坐标为（2，0），
当PO＝PA时，点P的坐标为（1，0），
综上所述：当点P的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）或（2，0）或（1，0）时，△AOP为等腰三角
形．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/2 23:38:05；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713
1．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣
【答案】B
【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y＝ 的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y＝﹣ 的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
2．（2023•海南）若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【解答】解：由题意，将点（2，﹣1）代入y＝ （k≠0），
可得： ＝﹣1，
解得：k＝﹣2．
故选：B．
3．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数 的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一
定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解答】解：∵点M（2，a）在反比例函数 的图象上，
∴a＝ ，
∵k＞0，
∴a＞0，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
方法二：
∵反比例函数 中，k＞0，
∴图象的两个分支在一、三象限，
∵点M（2，a）在反比例函数 的图象上，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
4.（2023•浙江）已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）均在反比例函数y＝ 的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】B
【解答】解：∵反比例函数y＝ ，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）均在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2 3
【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴y ＜y ＜y ，
2 1 3
故选：B．
5．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F
为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．
∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D
6．（2022•广西）已知反比例函数y＝ （b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次
函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵反比例函数y＝ （b≠0）的图象位于一、三象限，
∴b＞0；
∵A、B的抛物线都是开口向下，
∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，
故A、B都是错误的．
∵C、D的抛物线都是开口向上，
∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0
由a＞0，c＜0，排除C．
故选：D．
7．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝
AB，反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．
若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（ ， ），
【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵点D在AB上，且 AD＝ AB，
∴D（ ，b），
∴BD＝ a，
∴S△BDM ＝ BD•h＝ × a×（b﹣ ）＝ ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ ab＝k，
∵S△ODM ＝S△AOB ﹣S△AOD ﹣S△BDM ＝ ab﹣ k﹣ ab＝3，
∴ab＝16，
∴k＝ ab＝4，
故选：C．
8．（2023•内蒙古）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝ （k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B
（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜ 的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0
C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【答案】B
【解答】解：∵A（﹣2，4）在反比例函数图象上，
∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣ ，
又∵B（m，﹣2）在y＝﹣ 图象上，
∴m＝4，
∴B（4，﹣2），
∵点A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，
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∴ ，解得 ，
一次函数解析式为：y＝﹣x+2．
由图象可知，不等式0＜ax+b＜ 的解集﹣2＜x＜0．
故选：B．
9．（2023•绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是
3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，D，则k的
值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解答】解：∵点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，
且横坐标为1，
∴设B（3，a），则D（1，a+2），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，D，
∴3a＝a+2，解得a＝1，
∴B（3，1），
∴k＝3×1＝3．
故选：C．
10．（2023•广西）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于
B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 S ，S ，S ，
1 2 3
S ，若 ，则k的值为（ ）
4
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：设A（m， ），
在y＝﹣ 中，令y＝ 得x＝﹣ ，令x＝m得y＝﹣ ，
∴B（﹣ ， ），D（m，﹣ ），
∴C（﹣ ，﹣ ），
∴S ＝S ＝1，S ＝ ，
2 4 3
∵ ，
∴1+ +1＝ ，
解得k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，符合题意，
故选：C．
11．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸
壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压
强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 2 0 mL．
【答案】见试题解答内容
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【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝ ，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝ ，
当p＝75kPa时，V＝ ＝80，
当p＝100kPa时，V＝ ＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
12．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴ ＝ ＝1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∵点P在反比例函数 的图象上，
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∴k＝2×2＝4，
故答案为：4．
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