文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 10 函数的综合应用题型总结
题型解读｜模型构建｜通关试练
本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数
在中招考试中的定位.一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、
填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进
行讨论.反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何
结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等.二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，
两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际
应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力.二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、
动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结.
模型01 一次函数的性质与应用
一、一次函数的图象与性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
k>0，b>0 一、二、三
y=kx+b y随x的增大而增
(k≠0) 大
k>0，b<0 一、三、四
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k<0，b>0 一、二、四
y=kx+b y随x的增大而减
(k≠0) 小
k<0，b<0 二、三、四
一次函数y=kx+b(k≠0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图
象过一三象限，k<0时图象过二四象限.
二、一次函数的应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确
定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出
某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方
案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
模型02 反比例函数的性质与应用
一、反比例函数的图象与性质
k
反比例函数y= (k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线，
x
k
双曲线y= (k≠0)
x
k＞0 k＜0
图象
位于第一、三象限 位于第二、四象限
自变量x x＜0
的取值范围
增减性 在其每一象限内，y随x的增大而减 在其每一象限内，y随x的增大而增大
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小
中心对称性 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点
轴对称性 反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线y=±x
k
二、反比例函数y= (k≠0)的几何意义：
x
|k|
S =
Rt△AOP 2 S =|k|
矩形AOBP
三、反比例函数的应用：
反比例函数的应用考查热点主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函
数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明.以实际情境为模型的
反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例
函数图象的一部分.
模型03 二次函数的图象性质应用（最值问题、交点问题、存在性问题）
二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数一般式yax2 bxc (a0的性质：
b 4acb2
配方：二次函数yax2 bxca(x )2
2a 4a
a的 开口
顶点坐标 对称轴 增减性
符号 方向
b
x 时，y随x的增大而增
2a
大；
b
x 时，y随x的增大而减
a0 向上 （ ， ） 2a
小；
b 4acb2
x 时，y有最小值
2a 4a
．
（ ， 时，y随x的增大而减
a0 向下
） 小；
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
时，y随x的增大而增
大；
时，y有最大值
．
4．二次函数顶点式 ( )的性质：
a的 开口 顶点
对称轴 增减性
符号 方向 坐标
（ h ， 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的
向上 x=h
k） 增大而减小； 时，y有最小值k．
（ h ， 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的
向下 x=h
k） 增大而增大； 时，y有最大值k．
模型04 二次函数的实际应用
二次函数的实际应用以顶点式 ( )为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标
求二次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、
拱形桥或桥洞问题等.在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同
学们认真、细致.
模型01 一次函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应
用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到.在解题时需要同学们对一次函数的图象
与性质真正理解.所考题型难度中等，相对较容易得分.
答｜题｜技｜巧
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第一步： 审题.认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第二步： 找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；
第三步： 列函数.根据各个量之间的关系列出函数；
第四步： 求解，求出满足题意的数值.
例1．（2023·广东）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入
水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为 ， ，则关于 与 的关系，正确的是（
）
A． ， B． ， C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为 ，的两个点 和 ，
则 ， ，
，
，
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当取横坐标为正数时，同理可得 ，
， ，
，
故选：C
例2．（2023·新疆）表示一次函数 与正比例函数 （m、n是常数且 ）图象是（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：对于A、B，由一次函数的图象可知， ，所以 ，正比例函数应该经过第二、四象限，
故A正确，B错误；
对于C，由一次函数的图象可知， ，所以 ，正比例函数应该经过第一、三象限，故C错
误；
对于D，由一次函数的图象可知， ，所以 ，正比例函数应该经过第二、四象限，故D错
误．
故选A．
例3．（2023·江苏）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物
用时30min，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h．
两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图像如图所示．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)请解释图中点A的实际意义；
(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
(2)y=−70x+330
(3)2.8小时
【分析】（1）根据点A的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出B(3.5,85)，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象，可得点A的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
1
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min，则点B的横坐标为3+ =3.5，
2
1 1
此时慢车继续行驶 小时，则快车与慢车的距离为120−70× =120−35=85，
2 2
∴B(3.5,85)
设直线AB的表达式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
∴直线AB的表达式为y=−70x+330
（3）解：设快车去乙地的速度为a千米/小时，则3(a−70)=120，
解得：a=110
∴甲乙两地的距离为110×3=330千米，
设快车返回的速度为v千米/小时，根据题意，
1 ( 1)
×(v+70)=330− 3+ ×70
2 2
解得：v=100，
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
330− ×100
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需 2 （小时）
=2.8
100
模型02 反比例函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识
残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分.从考点频率看，反比例函数中的K值和三角形、
平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为
主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据图象特点求解反比例的表达式；
第二步： 判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；
第三步： 求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；
第四步： 利用相关的性质和判定进行推理和计算.
例1．（2023·江苏）反比例函数 ，当 时，函数 的最大值和最小值之差为4，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
∴反比例函数 的图象在每个象限内 随 的增大而增大，
当 时，函数 的最大值和最小值之差为4，
，
解得： ．
故选：D
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例2．（2023·上海）如图是反比例函数 ， 在 轴上方的图像，平行四边形 的面积是5，
若点 在 轴上，点 在 的图像上，点 在 的图像上，则 的值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，平行四边形 的面积是5，点 在 的图像上，点 在 的图
像上，
∴
∴
故答案为： ．
模型03 二次函数的图象性质应用
考｜向｜预｜测
二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题
形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几
何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例.
答｜题｜技｜巧
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第一步： 一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；
第二步： 用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；
第三步： 结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，
第四步： 结合其它相关知识解题；
例1．（2023·河南）对于二次函数 的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而增大 D．对称轴是直线
【答案】D
【详解】解：A、 ，开口向上，故A说法正确，不合题意；
B、顶点坐标为 ，故B说法正确，不合题意；
C、当 时，抛物线右侧部分， 随 的增大而增大，故C说法正确，不合题意；
D、抛物线对称轴为 ，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
例2．（2023·浙江）设函数 ， ，直线 与函数 的图象分别交于点 ，
，得（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【详解】解：如图所示，若 ，则 ，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故A选项错误；
如图所示，若 ，则 或 ，
故C选项错误；
如图所示，若 ，则 ，
故B选项正确，D选项错误；
故选：B
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例3．（2023·江苏）已知二次函数 的图象与直线 的图象如图所示．
(1)判断 的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)设直线 与抛物线 的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；
(3)连接 ， ，求 的面积．
【答案】(1)抛物线 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为
(2)A点坐标为 ，B点坐标为
(3)3
【详解】（1）抛物线 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ；
（2）由题意得 ，即 ，
解得 或 ，
则 或 ，
∴A点坐标为 ，B点坐标为 ；
（3）∵ 与y轴交点的坐标为 ，
∴ 的面积 ．
模型04 二次函数的实际应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内
容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.其中，
二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己
的计算不要有失误.
答｜题｜技｜巧
第一步： 理解题意，根据题意求二次函数的表达式，一般应用顶点式；
第二步： 根据题意，求解二次函数的交点坐标、最值等进行相关判断；
第三步： 根据实际情况进行讨论，一般涉及到二次函数性质应用；
第四步： 利用相关的性质和判定进行推理和计算.
例1．（2024·江苏扬州·一模）冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从
高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为 ，与跳台底部所在水平面
的竖直高度为 ， 与 的函数关系式为 ，当他与跳台边缘的水平距离为
时，竖直高度达到最大值．
【答案】6
【详解】解： 运动员的竖直高度 与 的函数关系式为 ，图象是一段开口
向下的抛物线，
对称轴为： ，在区间 内，
当 ，竖直高度 达到最大值．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：6．
例2．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点 处将球传出，其运动路线为抛物线
的一部分，小亮在 处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线
的一部分．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)设抛物线 的顶点为点 ，在 轴上找一点 ，求使 的值最大的点 的坐标；
(3)若小明在 轴上方2m的高度上，且到点 水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的 的
整数值．
【答案】(1)
(2) 坐标为
(3)符合条件的 的整数值为7，8
【详解】（1）解： 点 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线的表达式为 ；
（2）解：直线 与 轴的交点就是所求的点 ，如图所示：
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的顶点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，解 得 ，即直线 与 轴的交点为 ，
点 坐标为 ；
（3）解： 小明在 轴上方 的高度上，且到点 水平距离不超过 的范围内可以接到球，
设接球点为点 ，点 坐标为 ，如图所示：
则 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ；
把 代入 ，得 ，
解得 ；
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
符合条件的 的整数值为7，8．
1．（2023·四川）在平面直角坐标系中，已知 ， ，若把直线 向上平移k个单位长度
后与线段 有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：直线 向上平移k个单位后得到 ，
若直线 向上平移k个单位后与线段 有交点 ， ，
则 ，
解得 ，
故选：A．
2．（2023·南京）已知点 ， ， 都在反比例函数 的图像上，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数 的图象经过第二、四象限，
∴在每一个象限中，y随x的增大而增大，
∵ ，点 ， 在第四象限，
∴ ，
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵点 在第二象限，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．（2023·贵州）在反比例函数 的图象的每一支上， 都随 的增大而减小，且整式 可
以用完全平方公式进行因式分解，则该反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵在反比例函数 的图象的每一支上， 都随 的增大面减小
∴ ，
则 ，
∵整式 可以用完全平方公式进行因式分解．
∴ ，
则 ，
故 ，
∴该反比例函数的表达式为 ．
故选：B．
4．（2023·湖南）二次函数 的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（
）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【详解】解：由函数图象知，二次函数的图象顶点在第二象限，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵顶点坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故选：A．
5．（2023·安徽）如图，在四边形 中， ， ， ，动点 ，
同时从 点出发，点 以每秒 个单位长度沿折线 向终点 运动；点 以每秒 个单位长度沿线
段 向终点 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动 设运动时间为 秒， 的面
积为 个平方单位，则 随 变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：过 作 于 ，当 时，点 在 上，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，点 在 上，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
综上所述，当 时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当 时，函数图象是直线的一
部分，
故选：D．
6．（2023·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点
，则不等式 的解集为 ．
【答案】 /
【详解】解：∵直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴根据函数图象可知，不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
7．（2023·甘肃）若点 是正比例函数 图象上的一点，且 ， ，则k的值为
．
【答案】
【详解】解：∵点 是正比例函数 图象上的一点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（2023·福建）已知 是关于 的一次函数，则 ．
【答案】
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：函数 是关于x的一次函数，
则 ， ，
解得 ，
故答案为： ．
9．（2023·上海）在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于点 ，如图所示依次作正方形 、
正方形 ，、…、正方形 ，使得点 、 、 …在直线l上，点 、 、 …在y轴正
半轴上，则 的面积是 ．
【答案】
【详解】解：观察，发现： ， ， ， ， ， ， ，
（n为正整数）．
观察图形可知：点 是线段 的中点，
点 的坐标是 ， （n为正整数），
的面积是 ，
的面积 ，
故答案为： ．
10．（2023·山东）如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，顶点 、 在第一象
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
限，对角线 轴，交 轴于点 ．若矩形 的面积是16， ，则 ．
【答案】
【详解】解： 矩形 的面积是16， ，
， ，
∵ 轴，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
．
故答案为： ．
11．（2023·江苏）函数 在 有最小值 ，则实数 的值是 ．
【答案】 或
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，则 时，函数有最小值 ，
此时 ，解得 ；
当 时，则 时，函数有最小值 ，
此时 ，解得 不合题意，舍去 ；
当 时，则 时，函数有最小值 ，
此时 ，解得 舍去 ，
综上，实数 的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
12．（2023·安徽）在平面直角坐标系 中，点 ， ， ．
(1)求直线 的解析式；
(2)一次函数 （ 为常数）．
①求证：一次函数 的图象一定经过点 ；
②若一次函数 的图象与线段 有交点，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)①见解析；② 且
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）解：设过 的直线的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
直线 的解析式 ；
（2）①证明：把 代入 得， ，
∴图象必经过点 ；
②解：一次函数 的图象与线段 有交点，
把 代入直线得： ，
∴ ，
把 代入直线得： ，
∴ ，
当 时， 不是一次函数，
综上：a的取值范围为： 且 ．
13.（2023·黑龙江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从
B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往
C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）
之间的函数图象．
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【答案】(1)300，800
(2)y=800x−2400（3≤x≤6）
6 18
(3) 分钟， 分钟，6分钟
11 5
【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵y=kx+b过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴¿，
解得：¿，
∴直线FG的解析式为：y=800x−2400，
自变量x的取值范围是3≤x≤6；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6
解得：t= ；
11
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
18
解得：t= 或6，
5
6 18
答：出发 分钟或 分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
11 5
14．（2023·吉林）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象 经过点 ，过
作 轴的垂线 ，垂足为 ，且 的面积为1．
(1)求m和k的值；
(2)若点 也在这个函数的图象上，当 时，求y取值范围
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
；
点 的坐标为 ，
把 代入 ，
解得 ；
（2）解： 当 时， ；当 时， ，
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当 时， 的取值范围为 ．
15．（2023·广西）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，
B两点，其中点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足 的取值范围；
(3)求 的面积；
【答案】(1)反比例函数关系式为 ，一次函数关系式为： ；
(2) 或 ；
(3) ．
【详解】（1）解：∵图象过点 ，则 ，
解得： ，
∴反比例函数关系式为 ，当 时， ，
∴B点坐标为 ，
设一次函数关系式为 ,则 ，
解得： ，
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴一次函数关系式为： ；
（2）解：由图象得，当 或 时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）解：设直线 与x轴的交点为C，
由（2）知， ，令 ，则 ，即 ．
则 .
16．（2023·河南）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，
除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形 ，上部近似为一
条抛物线．已知 米， 米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面 的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段 与 之间的距离为8米，则点E
与隧道左壁 之间的距离为多少米？
【答案】(1)
(2)点E与隧道左壁 之间的距离为 米．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
设抛物线的解析式为： ，
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则有： ，解得： ，
∴ ．
（2）解：∵平行线段 与 之间的距离为8米，矩形 且 ，
∴点E到x轴的距离为9且在第一象限，
∴点E的纵坐标为 ，
∴ ，解得： 或 （舍去）．
∴点E与隧道左壁 之间的距离为 米．
1．（2024·广西桂林·一模）一次函数 的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：∵一次函数 ， ， ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故选B．
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知一次函数 的图象如图所示，则下列判断中正确的是（
）
A． ， B．方程 的解是
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
C．当 时， D． 随 的增大而减小
【答案】B
【详解】解： 图象过一、二、三象限，且与 轴交于正半轴，
， ，
故A错误，不符合题意；
图象与 轴交于点 ，
方程 的解是 ，
故B正确，符合题意；
由图知，当 时， ，
故C错误，不符合题意；
，
随 的增大而增大；
故D错误，不符合题意；
故选：B．
3．（2024·湖南长沙·一模）对于二次函数 ，有以下结论：①当 时， 随 的增大而增
大；②当 时， 有最小值 ；③图像与 轴有两个交点；④图像是由抛物线 向左平移 个单位长
度，再向上平移 个单位长度得到的．其中结论错误的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，函数图像开口向上，
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，故①符合题意；
当 时， 有最小值 ，故②不符合题意；
当 时， ，则该方程无实数根，∴二次函数的图像与 轴无
交点，故③符合题意；
图像是由抛物线 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的，故④符合题意．
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：B．
4．（2024·广东东莞·一模）将抛物线 的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移1单位长度，
得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据二次函数图象的平移规律，得 ，
故选：C．
5．（2024·甘肃天水·一模）一次函数 与 的图象如图，则下列结论① ；② ；③
当 时， ；④方程 的解是 ． 其中正确的是 （把序号填写在横线上）
【答案】①④/④①
【详解】∵ 的函数值随 的增大而减小，
∴ ，故①正确；
∵ 的图象与 轴交于负半轴，
∴ ，故②错误；
当 时，相应的 的值， 图象均高于 的图象，
∴ ，故③错误；
∵一次函数 与 的图象交点横坐标为 ，
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴方程 的解是 ．故④正确．
故答案为①④．
6．如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的图象，分别与 轴交于点 、 ，两直
线交于点 ．已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程 的解是___；关于 的不等式 的解集是______．
(2)直接写出关于x的不等式组 解集是______．
(3)若点 坐标为 ，
①关于 的不等式 的解集是______；
② 的面积为______．
③在 轴上找 点 ，使得 的值最大，则 点坐标为______．
【答案】(1) ；
(2)
(3)① ；② ；③
【详解】（1）解： 一次函数 和 的图象，分别与 轴交于点 、 ，点 坐标为
，点 坐标为 ，
关于 的方程 的解是 ，关于 的不等式 的解集为 ，
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）根据图象可以得到关于 的不等式组 的解集 ；
（3）①∵点 ，
结合图象可知，不等式 的解集是 ；
② ， ，
；
③ ，记 交 轴于点 ，
此时 ，此时最大，
设直线 为 ，
∴ ，解得 ，
直线 为 ，
令 ，则 ，
，
7．已知一次函数 的图象如图所示，根据图象，解决下列问题：
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求出函数 与 交点 坐标；
(2)求出 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1）解：由 可得， ，
解得 ，
∴ ，
∴点 坐标为 ；
（2）解：当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
8．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，
两种水果的进价和售价如下：
品种 进价（元/斤） 售价（元/斤）
甲 a 5
乙 b 7
乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍．
(1)求a的值；
(2)水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过
120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．
①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；
②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值
不低于320元，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)① ，最大利润为360元；②
【详解】（1）解：根据题意，得：
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①由题意得： ，
∵ ，
∴W随x的增大而增大，
∴当 时，W有最大值为360，即最大利润为360元；
②由题意得， ，
∵当 时， ，不合题意，
∴ ，
∴W随x的增大而增大，
∴当 时，由题意得， ，
解得 ，
∴m的最大值为 ．
10．（2023·吉林）每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
种植220棵株体较大的银杏树，要求在5小时内种植完毕．已知第1个小时两个小组共植树35棵，甲组植
树过程中由于起重机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务
为止，设甲、乙两个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为 （棵），乙组植树数量为 （棵），
、 与x之间的函数关系图象如图所示．
(1)求 与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求m、n的值；
(3)直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？
【答案】(1)
(2)m的值是120，n的值是15
(3)甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵
【详解】（1）设 与x之间的函数关系式是 ，
∵点 在该函数图象上，
∴ ，
解得 ，
即 与x之间的函数关系式是 ．
（2）由图象可得，
乙每小时植树： （棵），
则第1个小时甲植树： （棵），
∴ ， ，
即m的值是120，n的值是15．
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）设甲、乙两个小组经过a小时共植树165棵，
甲2小时之后每小时植树： （棵），
∴ ，
解得 ．
答：甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵．
11．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（ ）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾
气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，
气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻 （ ）的阻值随
着尾气中一氧化碳的含量 （ ）变化的关系图象如图2所示， （ ）为定值电阻，电源电压恒定
不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻 （ ）与尾气中一氧化碳的含量 （ ）之间成________函数，它的
函数解析式为________；
(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于 ．若某辆小轿车
的尾气检测阻值为 ，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；
(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至 ，此时气敏电阻的阻值
与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？
【答案】(1)反比例；
(2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准
(3)此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）解：由函数图象可知，气敏电阻 （ ）与尾气中一氧化碳的含量 （ ）之间成反比
例函数，
设 ，
把 代入 中得 ，
∴ ，
故答案为：反比例； ；
（2）解：在 中，当 时， ，解得 ，
∵ ，
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是不达到标准；
（3）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高，升高 ．
12．（2024·湖南长沙·一模）如图，在直角坐标系中，A，B，C，D四点在反比例函数 ，线段
都过原点O， ，点B点纵坐标为4，连接 ．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)当 时，写出x的取值范围；
(3)求四边形 的面积．
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2) 或
(3)24
【详解】（1）把 代入解析式 中，得
，
解得 ，
故反比例函数的解析式为： ．
（2）根据对称，
∴ ，
根据反比例函数的性质，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ 或 ，
故x的取值范围是 或 ．
（3）∵点B点纵坐标为4， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴四边形 的面积为 ．
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2024·贵州遵义·一模）已知点 在抛物线 （a为常数， ）上．
(1)若 ， ，
①求抛物线的解析式；
②若点 ， 在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若 ，
求t的取值范围；
(2)若 时，总有 ，且当 时总有 ，求a的值．
【答案】(1)① ②
(2)
【详解】（1）解：①当 ， 时，代入 得：
，解得： ，
∴ ；
②∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
由题意，得： ，
解得： ；
（2）∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴对称轴为直线 ，
∵ 时，总有 ，且当 时总有 ，
∴在对称轴的左侧 随 的增大而增大，在对称轴的右侧 随 的增大而减小，
∴当 时， ，
∴ ，
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得： ．
14．（2023·河南郑州·三模）如图，已知抛物线 经过 ， 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：直线 与该抛物线没有交点，
(3)若 ， 为抛物线 上两点 ， 为抛物线上点 和点 之间的
动点（含点 ， ），点 的纵坐标的取值范围为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
【详解】（1）解：由题意可知：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）证明：联立直线与抛物线解析式可得：
，
，
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
方程无实根，即直线 与该抛物线没有交点；
（3）解： 点 纵坐标的取值范围为 ，
当 时， ，
解得： ， ，
得点 ， ，
当 时， ，
解得： ， ，
得点 ， ，
如图 ，
，
， ，
，
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图 ， ，
， ，
，
综上所述： 或 ．
15．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小
明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯
笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．
销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？
【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元
(2)① ；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大
【详解】（1）解：设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价 元，
两边同乘 得： ，
解得： ，
经检验： 为该分式方程的解，且符合题意．
答：甲种灯笼26元，乙种灯笼35元；
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）解：① ，
故y与x的函数解析式为
② ，
∴函数在对称轴 时有最大值．
∵销售部门规定其销售单价不高于每对65元
，
∴乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大．
16．（2024·山东威海·一模）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以
吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就
形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 和抛物线 构成，其中E点为
抛物线的拱顶且高 ， ， ，取 中点O，过点O作线段 的垂直平分线 交抛物线
于点E，若以O点为原点， 所在直线为x轴， 为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
解决下列问题：
(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 ， ，若
，求两个正方形装置的间距 的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
求 的长．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【详解】（1）解：由题知，E点为抛物线顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
四边形 为矩形， 为 的中垂线， ，
， ，
，
，
将其代入 中，
有 ，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： 四边形 和 为正方形， ，
，
延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，易知四边形 和 为矩形，
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，
，
，
当 时， ，解得 ，
， ，
，
；
（3）解： 为 的中垂线， ，
，
， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
太阳光为平行线，
设过点 且平行于直线 的解析式为 ，
由题意得 与抛物线相切，即只有一个交点，
联立 ，
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
整理得 ，
则 ，解得 ，
，
当 时， ，
，
，
．
47
