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备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 7 讲二次函数表达式的确定（含抛物线的变化）
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第七讲二次函数表达式的确定（含抛物线的变化）
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一待定系数法求函数的解析式
考向二二次函数图像的翻折
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第七讲二次函数表达式的确定（含抛物线的变化）
二次函数是非常重要的函数,年年都会考查,总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会
考,它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要
是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查.
→➊考点精析←
1、 用待定系数法求二次函数的解析式
y=ax2 +bx+c
x y
（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
2
y=a(x−h) +k
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
x x y=a(x−x )(x−x )
x 1 2 1 2
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：
2、图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2
＋k的图象．
⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是
（0,c）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．
⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其顶点是
（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．
⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，
即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2
相同．
记住规律：左加右减，上加下减
→➋真题精讲←
考向一待定系数法求解析式
1．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于
， 两点，下列说法正确的是（ ）
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A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为
，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而减小，故D选项不正确，
不符合题意；
当 时，
即
∴ ，
∴ ，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的
交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线
相交于点 ， ．结合图象，判断下列结论：①当 时， ；
② 是方程 的一个解；③若 ， 是抛物线上的两点，则 ；
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④对于抛物线， ，当 时， 的取值范围是 ．其中正确结
论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与 轴的交
点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解．
【详解】解：根据函数图象，可得当 时， ，故①正确；
∵ 在 上，
∴ 是方程 的一个解；故②正确；
∵ ， 在抛物线 上，
∴
解得：
∴
当 时，
解得：
∴当 时， ，
当 时， ，
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∴若 ， 是抛物线上的两点，则 ；故③正确；
∵ ，顶点坐标为 ，
∴对于抛物线， ，当 时， 的取值范围是 ，故④错误．
故正确的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与
坐标轴交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 ，（ ， 是实数）．
已知函数值 和自变量 的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
(1)若 ，求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)当 时，则 时， 随 的增大而减小；当 时，则
时， 随 的增大而减小；(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线 ；再根据抛物线的增减性求
解即可．
（3）先把 代入 ，得 ，从而得 ，再求出
， ， ，从而得 ，然后m、n、p这三个实数中，只有一个
是正数，得 ，求解即可．
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【详解】（1）解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 在 图象上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，则 时， 随 的增大而减小，
当 时，则 时， 随 的增大而减小．
（3）解：把 代入 ，得
，
∴
∴
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴ ，解得： ．
【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练
掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．
4．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数 ．
(1)当 时，
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①求该函数图象的顶点坐标．
②当 时，求 的取值范围．
(2)当 时， 的最大值为2；当 时， 的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)① ；②当 时， ；(2)
【分析】（1）①将 代入解析式，化为顶点式，即可求解；
②已知顶点 ，根据二次函数的增减性，得出当 时， 有最大值7，当 时取
得最小值，即可求解；
（2）根据题意 时， 的最大值为2； 时， 的最大值为3，得出抛物线的对称轴
在 轴的右侧，即 ，由抛物线开口向下， 时， 的最大值为2，可知 ，
根据顶点坐标的纵坐标为3，求出 ，即可得解．
【详解】（1）解：①当 时， ，
∴顶点坐标为 ．
②∵顶点坐标为 ．抛物线开口向下，
当 时， 随 增大而增大，
当 时， 随 增大而减小，
∴当 时， 有最大值7．
又
∴当 时取得最小值，最小值 ；
∴当 时， ．
（2）∵ 时， 的最大值为2； 时， 的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在 轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线开口向下， 时， 的最大值为2，
∴ ，
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又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴二次函数的表达式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练
掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数 图象经过点
和 ．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标为 ；(2)
【分析】（1）把 和 代入 ，建立方程组求解解析式即可，再
把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把 代入函数解析式求解 的值，再利用函数图象可得 时 的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数 图象经过点 和 ．
∴ ，解得： ，
∴抛物线为 ，
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∴顶点坐标为： ；
（2）当 时， ，
∴
解得： ， ，
如图，当 时，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利
用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
6．（2023·浙江·统考中考真题）已知点 和 在二次函数 是
常数， 的图像上．
(1)当 时，求 和 的值；
(2)若二次函数的图像经过点 且点A不在坐标轴上，当 时，求 的取值范
围；
(3)求证： ．
【答案】(1) ；(2) ；(3)见解析
【分析】（1）由 可得图像过点 和 ，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线 ，则抛物线过点 ，即 ，然后
再结合 即可解答；
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（3）根据图像的对称性得 ，即 ，顶点坐标为 ；将点
和 分别代入表达式并进行运算可得 ；则
，进而得到 ，然后化简变形即可证
明结论．
【详解】（1）解：当 时，图像过点 和 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵函数图像过点 和 ，
∴函数图像的对称轴为直线 ．
∵图像过点 ，
∴根据图像的对称性得 ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵图像过点 和 ，
∴根据图像的对称性得 ．
∴ ，顶点坐标为 ．
将点 和 分别代人表达式可得
① ②得 ，
∴ ．
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∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等
式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
考向二二次函数图像的平移（翻折）
7．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此
时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物
线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰
的 是等腰三角形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
【答案】(1) ；(2) 取得最大值为 ， ；(3) 点的坐标为
或 或
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
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（2）直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，设
，则 ，则 ，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质得出 ，对称轴为直线 ，点 向右平
移5个单位得到 ， ，勾股定理分别表示出 ，进而分类讨论
即可求解．
【详解】（1）解：将点 ， ．代入 得，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ，
（2）∵ 与 轴交于点 ， ，
当 时，
解得： ，
∴ ,
∵ ．
设直线 的解析式为 ，
∴
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解得：
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值为 ， ，
∴ ；
（3）∵抛物线
将该抛物线向右平移 个单位，得到 ，对称轴为直线 ，
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点 向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与 轴交于点 ，令 ，则 ，
∴ ,
∴
∵ 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
则 点的横坐标为 ，
设 ，
∴ ， ，
当 时， ，
解得： 或 ，
当 时， ，
解得：
综上所述， 点的坐标为 或 或 ．
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【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数
的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知 是抛物 （b为常
数）上的两点，当 时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 ．
探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 的顶点为点E， 外
接圆的圆心为点F，如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在一点Q，使得
点P、Q的纵坐标相等．求 长的取值范围．
【答案】(1)0；(2)① ②
【分析】（1）根据 ，且 时，总有 ，变形后
即可得到结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题可知：
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时，总有 ，
．
则 ，
∴ ，
∴ 总成立，且 ，
；
（2）①注意到抛物线 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题
意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
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此时， ，
解得 或 （舍），
综上， ，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
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此时， ，解得 或0（舍）．
综上 ，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段 的垂直平分线上．
令 ，解得 ，
，
，
，
设 ，
，
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，
，
，
，即 ，
．
，即 ，
，
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结
合和分类讨论是解题的关键．
9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线 与 轴交于
两点，交 轴于点 ．
(1)请求出抛物线 的表达式．
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(2)如图1，在 轴上有一点 ，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否
存在点 使得四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
(3)如图2，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与 轴
正半轴交于点 ，抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ； ；(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）把 代入 ，求出 即可；
（2）假设存在这样的正方形，过点E作 于点R，过点F作 轴于点I，证明
可得 故可得 ， ；
（3）先求得抛物线 的解析式为 ，得出 ， ，
运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，
设 交直线 于 或 ，如图2，过点 作 轴交 于点 ，交抛物线 于点 ，
连接 ，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得 ，进
而可求得点 的坐标．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ，
∴把 代入 ，得，
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解得，
∴解析式为： ；
（2）假设存在这样的正方形 ，如图，过点E作 于点R，过点F作 轴于
点I，
∴
∵四边形 是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ；
同理可证明：
∴
∴
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∴ ；
（3）解：抛物线 上存在点 ，使得 ．
，
抛物线 的顶点坐标为 ，
将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为 ，
抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于点 ，
， ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴于点 ，连接 ，设 交直线 于 或 ，如图2，过点 作
轴交 于点 ，交抛物线 于点 ，连接 ，
则 ， ， ，
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， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
即点 与点 重合时， ，
【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
；
， ，
，
，
点 与点 关于直线 对称，
；
综上所述，抛物线 上存在点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三
角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．
10．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
的顶点为 ．直线 过点 ，且平行于 轴，与抛物线 交
于 两点（ 在 的右侧）．将抛物线 沿直线 翻折得到抛物线 ，抛物线 交 轴于
点 ，顶点为 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)连接 ，若 为直角三角形，求此时 所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若 的面积为 两点分别在边 上运动，且
，以 为一边作正方形 ，连接 ，写出 长度的最小值，并简要说明
理由．
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【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) ，见解析
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标 ，根据对称性，即
可求解．
（2）由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称， ，则抛
物线 ．进而得出可得 ，①当
时，如图1，过 作 轴，垂足为 ．求得 ，代入解析式得
出 ，求得 ．②当 时，如图2，过 作 ，交
的延长线于点 ．同理可得 ，得出 ，代入解析式得出 代入
，得 ；③当 时，此情况不存在．
（3）由（2）知，当 时， ，此时 的面积为1，不合题意舍去．当
时， ，此时 的面积为3，符合题意．由题意可求得
．取 的中点 ，在 中可求得 ．在
中可求得 ．易知当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ．
【详解】（1）∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标 ．
∵ ，点 和点 关于直线 对称．
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∴ ．
（2）由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称，
∴ ，抛物线 ．
∴当 时，可得 ．
①当 时，如图1，过 作 轴，垂足为 ．
∵ ，
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵直线 轴，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵点 在 图像上，
∴ ．
解得 或 ．
∵当 时，可得 ，此时 重合，舍去．当 时，符合题意．
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将 代入 ，
得 ．
②当 时，如图2，过 作 ，交 的延长线于点 ．
同理可得 ．
∵ ，
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∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵点 在 图像上，
∴ ．解得 或 ．
∵ ，
∴ ．此时 符合题意．
将 代入 ，得 ．
③当 时，此情况不存在．
综上， 所对应的函数表达式为 或 ．
（3）如图3，由（2）知，当 时， ，
此时
则 ， ，则 的面积为1，不合题意舍去．
当 时， ，
则 ，
∴ ，此时 的面积为3，符合题意
∴ ．
依题意，四边形 是正方形，
∴ ．
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取 的中点 ，在 中可求得 ．
在 中可求得 ．
∴当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积
问题，分类讨论是解题的关键．
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